Biểu diễn ma trận của hệ phương trình maxwell

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH -----**----- THÁI HỒNG TRUNG BIỂU DIỄN MA TRẬN BIỂU DIỄN MA TRẬN CỦA HỆ CỦA HỆ PHƯƠNG TR PHƯƠNG TR ÌNH MAXWELL ÌNH MAXWELL LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ Vinh, 2009 1 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Đinh Phan Khôi. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn đã chọn đề tài và hướng dẫn tác giả thực hiện luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS. TS. Đinh Xuân Khoa, TS. Võ Thanh Cương, TS. Lưu Tiến Hưng cùng các thầy giáo, cô giáo đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ trong quá trình hoàn thành luận văn này. Vinh, ngày 28 tháng 11 năm 2009 Thái Hồng Trung 2 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 Chương 1: DẠNG TÍCH PHÂN, DẠNG VI PHÂN VÀ DẠNG MA TRẬN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNNH MAXWELL 2 1.1. Dạng tích phân, dạng vi phân của hệ phương trình Maxwell 2 1.2. Dạng ma trận của hệ phương trình Maxwell trong môi trường đồng nhất 11 1.3. Dạng ma trận của hệ phương trình Maxwell trong môi trường không đồng nhất 16 1.4. Kết luận chương 1 19 Chương 2: SỰ TRUYỀN CỦA CHÙM ÁNH SÁNG ĐƠN SẮC GẦN TRỤC. PHÉP BIẾN ĐỔI FOLDY-WOUTHUYSEN. 20 2.1. Biểu diễn chính xác của hệ phương trình Maxwell trong môi trường 20 2.2. Phép biến đổi Foldy-Wouthuysen 24 2.3. Trường hợp không có nguồn 29 2.4. Trường hợp có nguồn 33 2.5. Kết luận chương 2 34 Chương 3: SỰ TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƯỜNG CÓ HỆ SỐ KHÚC XẠ KHÔNG ĐỔI VÀ TRONG MÔI TRƯỜNG CÓ HỆ SỐ KHÚC XẠ CÓ TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG TRỤC 35 3.1. Môi trường có hệ số khúc xạ không đổi 35 3.2. Môi trường với hệ số khúc xạ thay đổi theo quy luật đối xứng trục 37 3.3. Kết luận chương 3 41 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 PHỤ LỤC MỞ ĐẦU 3 Hệ phương trình Maxwell về điện từ trường [1], [11] biểu diễn lý thuyết tổng quát cho tất cả các hiện tượng điện từ và quang học. Từ nửa thế kỷ trước, người ta đã xây dựng biểu diễn ma trận của hệ phương trình Maxwell [7-10]. Tuy nhiên, hầu hết các biểu diễn đó có độ chính xác không cao và thường được viết dưới dạng một cặp phương trình ma trận cho môi trường tự do. Các biểu diễn đó chỉ là gần đúng đối với môi trường có độ điện thẩm ( , )t ε r và độ từ thẩm ( , )t µ r phụ thuộc không- thời gian. Một số tác giả biểu diễn qua một cặp phương trình sử dụng các ma trận (3 x 3): một cho rot và một cho div. Một số tác giả khác đã xây dựng biểu diễn ma trận của hệ phương trình Maxwell đối với trường hợp độ điện thẩm ( , )t ε r và độ từ thẩm ( , )t µ r thay đổi. Cách tiếp cận này sử dụng các véctơ Riemann-Silberstein ( , ) ± F r t để viết lại hệ phương trình Maxwell gồm 4 phương trình: hai phương trình cho rot và hai phương trình cho div và có sự trộn giữa ( , ) + F r t và ( , ) - F r t . Sự trộn này được biểu diễn qua hai hàm dẫn xuất của độ điện thẩm ( , )t ε r và độ từ thẩm ( , )t µ r . Bốn phương trình này sau đó được biểu diễn dưới dạng một cặp phương trình ma trận sử dụng các ma trận (6 x 6): một phương trình cho rot và một phương trình cho div. Mặc dù cách tiếp cận này là chính xác nhưng nó đòi hỏi một cặp các phương trình ma trận. Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi tìm hiểu chi tiết cách biểu diễn hệ phương trình Maxwell dưới dạng chỉ một phương trình các ma trận 8 x 8, sử dụng tổ hợp tuyến tính các thành phần của các véctơ Riemann-Silberstein ( , t) ± F r và phép biến đổi Foldy-Wouthuysn. Biểu diễn này được S. A. Khan và các cộng sự đề xuất đầu tiên từ năm 2002 [7-9], cho trường hợp tổng quát với độ điện thẩm và từ thẩm ( , t) ε r và ( , t) µ r phụ thuộc không – thời gian. Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm 3 chương. Trong chương 1, sau khi nhắc lại các dạng tích phân và dạng vi phân quen thuộc, chúng tôi dẫn ra dạng ma trận của hệ phương trình Maxwell. Sự truyền của chùm ánh sáng đơn sắc gần trục và phép biến đổi Foldy-Wouthuysen được trình bày ở chương 2. Chương 3, khảo sát sự truyền ánh sáng trong môi trường có hệ số khúc xạ không đổi và trong môi trường có hệ số khúc xạ đối xứng trục. 4 Chương 1 DẠNG TÍCH PHÂN, DẠNG VI PHÂN VÀ DẠNG MA TRẬN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL Trong chương này, sau khi nhắc lại hệ phương trình Maxwell dưới dạng vi phân và tích phân quen thuộc, chúng tôi sẽ xây dựng biểu diễn ma trận của hệ phương trình Maxwell. 1.1. Dạng tích phân, dạng vi phân của hệ phương trình Maxwell a) Điện từ trường – điện tích và dòng điện Điện từ trường được đặc trưng bởi 4 véctơ: véctơ cường độ điện trường E , véctơ cường độ cảm ứng điện (cũng gọi là véctơ điện dịch) D , véctơ cường độ từ trường H và véctơ cảm ứng từ B . Bốn véctơ trên không độc lập với nhau. Đối với các môi trường đẳng hướng, chúng liên hệ với nhau bằng những hệ thức: ε = D E µ = B H trong đó ε gọi là hằng số điện môi và µ gọi là độ từ thẩm của môi trường. Đối với chân không, điện từ trường cũng được đặc trưng bằng cả 4 véctơ , , ,E D B H như trong môi trường vật chất. Thực nghiệm chứng tỏ rằng giữa hằng số điện môi 0 ε và độ từ thẩm 0 µ của chân không có hệ thức 0 0 2 1 = c ε µ trong đó c là tốc độ ánh sáng trong chân không, c = 3.10 8 m/s. Tính chất điện từ của môi trường vật chất được đặc trưng bằng các hằng số ε và µ . Bên cạnh những hằng số đó, người ta định nghĩa: ' 0 ε ε ε = ' 0 µ µ µ = , lần lượt được gọi là độ điện môi tỉ đối và độ từ thẩm tỉ đối. Chúng cho biết các hằng số ε và µ của môi trường bằng bao nhiêu lần 0 ε và 0 µ của chân không. Điện tích 5 được coi là phân bố liên tục trong không gian. Nếu điện tích phân bố liên tục trong một thể tích bất kỳ nào đó thì mật độ điện tích khối ρ tại mỗi điểm được tính bằng hệ thức: 0 lim ∆ → ∆ = ∆ V e V ρ trong đó ∆ V là một thể tích nhỏ bất kỳ bao quanh điểm quan sát và e ∆ là điện tích chứa trong thể tích đó. Mật độ điện tích khối được đo bằng đơn vị Coulomb trên mét khối (C/m 3 ). Nếu điện tích được phân bố liên tục trên một mặt bất kỳ nào đó thì mật độ điện tích mặt δ tại mỗi điểm được tính bằng hệ thức: 0 lim ∆ → ∆ = ∆ S e S δ trong đó S ∆ là một diện tích nhỏ bất kỳ bao quanh điểm quan sát và e ∆ là điện tích chứa trong diện tích đó. Mật độ điện tích mặt được đo bằng đơn vị Coulomb trên mét vuông (C/m 2 ). Nhiều khi người ta có thể coi rằng điện tích tập trung tại một điểm. Đối với điện tích điểm thì mật độ điện tích bằng vô cực. Dòng điện được phân bố liên tục trong không gian. Nếu dòng điện được phân bố liên tục trong một thể tích bất kỳ nào đó thì mật độ dòng điện j tại mỗi điểm được tính bằng hệ thức: 0 lim ∆ → ∆Ι = ∆ j S S trong đó ∆Ι là cường độ dòng điện chảy qua một mặt nhỏ bất kỳ S ∆ chứa điểm quan sát và vuông góc với phương của dòng điện tại điểm quan sát. Phương và chiều của j trùng với phương và chiều của dòng điện tại điểm quan sát. Nếu dòng điện được phân bố liên tục trên một mặt bất kỳ nào thì mật độ dòng điện mặt i tại mỗi điểm được tính bằng hệ thức: 0 lim ∆ → ∆Ι = ∆ i l l trong đó ∆Ι là cường độ dòng điện chảy qua một mặt nhỏ bất kỳ ∆ S chứa điểm quan sát và vuông góc với phương của dòng điện tại điểm quan sát. Phương và chiều của i trùng với phương và chiều của dòng điện tại điểm cường độ dòng điện mặt chảy qua một đoạn thẳng bất kỳ l ∆ chứa điểm quan sát quan sát. 6 Mật độ dòng điện j được đo bằng đơn vị Ampere trên mét vuông (A/m 2 ), mật độ dòng điện mặt i được đo bằng Ampere trên mét (A/m). Nói chung, các đại lượng đặc trưng cho điện từ trường , , ,E D B H , điện tích ( , ) ρ δ , dòng điện ( , )j i và tính chất điện từ của môi trường ( , ) ε µ đều biến đổi theo không - thời gian. Các phương trình Maxwell diễn tả những định luật của trường điện từ bằng cách xác lập mối quan hệ giữa các đại lượng kể trên tại cùng một điểm của không gian và vào cùng một thời điểm. Vì vậy, muốn thành lập những phương trình Maxwell, chúng ta phải viết lại những định luật cơ bản của điện từ trường dưới dạng những hệ thức giữa các đại lượng ở cùng một điểm và một thời điểm, tức là dưới dạng những phương trình vi phân có chứa đạo hàm riêng phần theo tọa độ và thời gian [1, 2, 11]. b) Dạng vi phân của định lý Ostrogradski – Gauss Theo định luật Coulomb, lực điện giữa hai điện tích điểm e và e ’ bằng: ' 2 1 . 4 = 0 F r e e r πε . (1.1) Định luật đó có thể viết lại dưới dạng khác. Ta biết rằng điện tích e tạo ra quanh nó một điện trường. Tại một điểm chứa e ’ , điện trường của e có giá trị bằng: 2 1 e 4 r = 0 E r πε . (1.2) trong đó 0 r là bán kính véctơ của điện tích e ’ khi lấy điện tích e làm gốc. Điện trường của e tác dụng lên e ’ một lực bằng: ' = F Ee . (1.3) Đó là cách biểu diễn khác của định luật Coulomb, nhưng công thức (1.3) có ý nghĩa tổng quát hơn (1.1). Công thức (1.1) phù hợp với nguyên lý tác dụng xa, nó biểu diễn lực tương tác tức thời giữa e và e ’ , và chỉ đúng trong trường hợp các điện tích đứng yên hoặc chuyển động chậm và khoảng cách giữa chúng không lớn lắm. Công thức (1.3) phù hợp với nguyên lý tác dụng gần, nó đúng trong mọi trường hợp và không phụ thuộc nguyên nhân gây ra điện trường E . Từ (1.2) ta rút ra biểu thức của véctơ cảm ứng điện: 7 2 1 4 ε π = = D E e r 0 r (1.4) Xét một mặt kín bất kỳ S, trong mặt có chứa một điện tích e nào đó (không nhất thiết là điện tích điểm). Theo định lý Ostrogradski-Gauss, ta có: DdScos = = = ∫ ∫ DdS Ñ Ñ N e α (1.5) trong đó N là thông lượng của cảm ứng điện D qua mặt kín bất kỳ S, dS là một nguyên tố diện tích trên mặt S. Chiều dương của dS là từ trong ra ngoài mặt S. Do dV = = ∫ ∫ e de ρ nên ta viết được (1.5) dưới dạng: dV= ∫ ∫ DdS Ñ Ñ V ρ (1.6) trong đó V là thể tích do mặt kín S bao bọc. Theo định lý Ostrogradski-Gauss trong toán học ta có: div dV= ∫ ∫ DdS D Ñ S V . Bởi vậy, (1.6) trở thành: div dV dV= ∫ ∫ D V V ρ , Vì mặt kín S và thể tích V do nó bao bọc là bất kỳ nên các lượng trong dấu tích phân là bằng nhau, và: div = D ρ . (1.7) Đó là dạng vi phân của định lý Ostrogradski-Gauss và cũng là một trong những phương trình Maxwell [1, 2, 11]. c) Định luật bảo toàn điện tích – dòng điện dịch Xét một thể tích không đổi bất kỳ V, giới hạn bằng một mặt kín S không đổi. Điện tích chứa trong thể tích V bằng: dV= ∫ V e ρ . Giả thử điện tích trong thể tích V biến đổi theo thời gian và trong đơn vị thời gian nó biến thiên một lượng bằng: d d dV dV dt dt ∂ = = ∂ ∫ ∫ e t ρ ρ . 8 Thực nghiệm chứng tỏ rằng điện tích được bảo toàn. Nếu điện tích trong thể tích V biến đổi, phải có một dòng điện tích (dòng điện) chảy qua mặt kín S bao quanh thể tích V. Dòng điện đó chảy vào thể tích V nếu dòng điện tích trong V tăng, và chảy ra nếu dòng điện tích giảm. Xét một nguyên tố mặt dS trên mặt kín S. Điện lượng chảy qua dS trong đơn vị thời gian (cường độ dòng điện qua dS) bằng dI= dv S ρ , trong đó v là vận tốc của điện tích tại điểm chứa dS và véctơ dS hướng từ trong ra ngoài thể tích V. Do đó, ta có: = j v ρ . và điện lượng chảy qua mặt kín S trong đơn vị thời gian (cường độ dòng điện qua mặt S) bằng: d = = = ∫ ∫ ∫ I I vdS jdS ρ . Do quy ước về chiều của dS , nên cường độ dòng điện I là dương khi dòng chảy từ trong ra ngoài mặt S, và âm khi dòng chảy từ ngoài vào trong. Định luật bảo toàn điện tích có thể biểu diễn bằng: d dt = − I e hay: dV ∂ = − ∂ ∫ ∫ jdS Ñ s t ρ . (1.8) Ta viết lại: div dV= ∫ ∫ jdS j Ñ S V . Khi đó (1.8) trở thành: dV div dV ∂ = − ∂ ∫ ∫ j V V t ρ . Vì thể tích V là bất kỳ và không đổi nên: div ∂ = − ∂ j t ρ hay div 0 ∂ + = ∂ j t ρ . (1.9) Đó là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích, cũng được gọi là phương trình liên tục. 9 Đối với dòng điện dừng, mật độ điện tích tại từng điểm là không đổi theo thời gian, do đó, 0 t ρ ∂ = ∂ và phương trình liên tục đối với dòng dừng là: divj =0. (1.10) phương trình (1.10) có nghĩa là đường dòng không có điểm xuất phát và điểm tận cùng, nó hoặc là khép kín, hoặc đi xa ra vô cực. Đối với dòng biến đổi (dòng xoay chiều), ta có: 0, ên :n t ρ ∂ ≠ ∂ div =- 0 t ∂ ≠ ∂ j ρ . Đường dòng không phải là khép kín, nó bắt đầu hoặc tận cùng ở những nơi mà mật độ điện tích biến thiên theo thời gian. Lấy đạo hàm theo thời gian của (1.7) ta được: div ∂ ∂ = ∂ ∂ D t t ρ thế vào (1.9) ta có div 0 ∂   + =  ÷ ∂   D j t (1.11) So sánh với (1.10), ta thấy rằng ở đây ∂   +  ÷ ∂   D j t là một véctơ mà đường sức khép kín, tương tự như véctơ j (1.10). Nó là tổng của véctơ j và véctơ ∂ ∂ D t , trong đó ∂ ∂ D t cũng phải có thứ nguyên của j , tức là thứ nguyên của mật độ dòng. Lượng ∂ ∂ D t do sự biến thiên của véctơ cảm ứng điện theo thời gian gây ra và được gọi là mật độ dòng điện dịch. Tổng của mật độ dòng điện dẫn và mật độ dòng điện dịch gọi là mật độ dòng điện toàn phần. Dòng toàn phần trong trường hợp dòng điện biến đổi cũng khép kín như dòng điện trong trường hợp dòng điện dừng. Dòng điện dịch và dòng điện dẫn có bản chất vật lý hoàn toàn khác nhau. Nhưng thực nghiệm chứng tỏ rằng, dòng điện dịch cũng gây ra một từ trường hoàn toàn giống như từ trường của một dòng điện dẫn bằng nó ∂   =  ÷ ∂   D j t . Nói cách khác, 10