Biểu diễn ma trận của hệ phương trình maxwell

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH -** - THÁI HỒNG TRUNG BIỂU DIỄN MA TRẬN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ Vinh, 2009 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Đinh Phan Khôi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn chọn đề tài hướng dẫn tác giả thực luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS TS Đinh Xuân Khoa, TS Võ Thanh Cương, TS Lưu Tiến Hưng thầy giáo, giáo nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ trình hoàn thành luận văn Vinh, ngày 28 tháng 11 năm 2009 Thái Hồng Trung MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chƣơng 1: DẠNG TÍCH PHÂN, DẠNG VI PHÂN VÀ DẠNG MA TRẬN CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNNH MAXWELL 1.1 Dạng tích phân, dạng vi phân hệ phương trình Maxwell 1.2 Dạng ma trận hệ phương trình Maxwell mơi trường đồng 11 1.3 Dạng ma trận hệ phương trình Maxwell mơi trường không đồng 16 1.4 Kết luận chương 19 Chƣơng 2: SỰ TRUYỀN CỦA CHÙM ÁNH SÁNG ĐƠN SẮC GẦN TRỤC PHÉP BIẾN ĐỔI FOLDY-WOUTHUYSEN 20 2.1 Biểu diễn xác hệ phương trình Maxwell mơi trường 20 2.2 Phép biến đổi Foldy-Wouthuysen 24 2.3 Trường hợp khơng có nguồn 29 2.4 Trường hợp có nguồn 33 2.5 Kết luận chương 34 Chƣơng 3: SỰ TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG MƠI TRƢỜNG CĨ HỆ SỐ KHÚC XẠ KHƠNG ĐỔI VÀ TRONG MƠI TRƢỜNG CĨ HỆ SỐ KHÚC XẠ CĨ TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG TRỤC 35 3.1 Mơi trường có hệ số khúc xạ khơng đổi 35 3.2 Môi trường với hệ số khúc xạ thay đổi theo quy luật đối xứng trục 37 3.3 Kết luận chương 41 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 PHỤ LỤC MỞ ĐẦU Hệ phương trình Maxwell điện từ trường [1], [11] biểu diễn lý thuyết tổng quát cho tất tượng điện từ quang học Từ nửa kỷ trước, người ta xây dựng biểu diễn ma trận hệ phương trình Maxwell [7-10] Tuy nhiên, hầu hết biểu diễn có độ xác khơng cao thường viết dạng cặp phương trình ma trận cho mơi trường tự Các biểu diễn gần mơi trường có độ điện thẩm  (r, t ) độ từ thẩm  (r, t ) phụ thuộc không- thời gian Một số tác giả biểu diễn qua cặp phương trình sử dụng ma trận (3 x 3): cho rot cho div Một số tác giả khác xây dựng biểu diễn ma trận hệ phương trình Maxwell trường hợp độ điện thẩm  (r, t ) độ từ thẩm  (r, t ) thay đổi Cách tiếp cận sử dụng véctơ Riemann-Silberstein F ± (r, t ) để viết lại hệ phương trình Maxwell gồm phương trình: hai phương trình cho rot hai phương trình cho div có trộn F + (r, t ) F- (r, t ) Sự trộn biểu diễn qua hai hàm dẫn xuất độ điện thẩm  (r, t ) độ từ thẩm  (r, t ) Bốn phương trình sau biểu diễn dạng cặp phương trình ma trận sử dụng ma trận (6 x 6): phương trình cho rot phương trình cho div Mặc dù cách tiếp cận xác địi hỏi cặp phương trình ma trận Trong khn khổ luận văn này, chúng tơi tìm hiểu chi tiết cách biểu diễn hệ phương trình Maxwell dạng phương trình ma trận x 8, sử dụng tổ hợp tuyến tính thành phần véctơ Riemann-Silberstein F  (r, t) phép biến đổi Foldy-Wouthuysn Biểu diễn S A Khan cộng đề xuất từ năm 2002 [7-9], cho trường hợp tổng quát với độ điện thẩm từ thẩm  (r, t)  (r, t) phụ thuộc không – thời gian Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo phụ lục, luận văn gồm chương Trong chương 1, sau nhắc lại dạng tích phân dạng vi phân quen thuộc, chúng tơi dẫn dạng ma trận hệ phương trình Maxwell Sự truyền chùm ánh sáng đơn sắc gần trục phép biến đổi Foldy-Wouthuysen trình bày chương Chương 3, khảo sát truyền ánh sáng mơi trường có hệ số khúc xạ khơng đổi mơi trường có hệ số khúc xạ đối xứng trục Chƣơng DẠNG TÍCH PHÂN, DẠNG VI PHÂN VÀ DẠNG MA TRẬN CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH MAXWELL Trong chương này, sau nhắc lại hệ phương trình Maxwell dạng vi phân tích phân quen thuộc, xây dựng biểu diễn ma trận hệ phương trình Maxwell 1.1 Dạng tích phân, dạng vi phân hệ phƣơng trình Maxwell a) Điện từ trƣờng – điện tích dịng điện Điện từ trường đặc trưng véctơ: véctơ cường độ điện trường E , véctơ cường độ cảm ứng điện (cũng gọi véctơ điện dịch) D , véctơ cường độ từ trường H véctơ cảm ứng từ B Bốn véctơ không độc lập với Đối với môi trường đẳng hướng, chúng liên hệ với hệ thức: D  E B  H  gọi số điện mơi  gọi độ từ thẩm môi trường Đối với chân không, điện từ trường đặc trưng véctơ E, D, B, H môi trường vật chất Thực nghiệm chứng tỏ số điện môi  độ từ thẩm 0 chân khơng có hệ thức  0  c tốc c2 độ ánh sáng chân khơng, c = 3.108 m/s Tính chất điện từ môi trường vật chất đặc trưng số   Bên cạnh số đó, người ta định nghĩa: '   0 '   , 0 gọi độ điện môi tỉ đối độ từ thẩm tỉ đối Chúng cho biết số   môi trường lần  0 chân khơng Điện tích coi phân bố liên tục khơng gian Nếu điện tích phân bố liên tục thể tích mật độ điện tích khối  điểm tính hệ thức:   lim V 0 e V V thể tích nhỏ bao quanh điểm quan sát e điện tích chứa thể tích Mật độ điện tích khối đo đơn vị Coulomb mét khối (C/m3) Nếu điện tích phân bố liên tục mặt mật độ điện tích mặt  điểm tính hệ thức:   lim S 0 e S S diện tích nhỏ bao quanh điểm quan sát e điện tích chứa diện tích Mật độ điện tích mặt đo đơn vị Coulomb mét vng (C/m2) Nhiều người ta coi điện tích tập trung điểm Đối với điện tích điểm mật độ điện tích vơ cực Dịng điện phân bố liên tục khơng gian Nếu dòng điện phân bố liên tục thể tích mật độ dịng điện j điểm tính hệ thức:  S 0 S j  lim  cường độ dòng điện chảy qua mặt nhỏ S chứa điểm quan sát vng góc với phương dòng điện điểm quan sát Phương chiều j trùng với phương chiều dòng điện điểm quan sát Nếu dòng điện phân bố liên tục mặt mật độ dịng điện mặt i điểm tính hệ thức:  l 0 l i  lim  cường độ dịng điện chảy qua mặt nhỏ S chứa điểm quan sát vng góc với phương dịng điện điểm quan sát Phương chiều i trùng với phương chiều dòng điện điểm cường độ dòng điện mặt chảy qua đoạn thẳng l chứa điểm quan sát quan sát Mật độ dòng điện j đo đơn vị Ampere mét vng (A/m2), mật độ dịng điện mặt i đo Ampere mét (A/m) Nói chung, đại lượng đặc trưng cho điện từ trường E, D, B, H , điện tích (  ,  ) , dịng điện ( j, i) tính chất điện từ môi trường ( ,  ) biến đổi theo khơng - thời gian Các phương trình Maxwell diễn tả định luật trường điện từ cách xác lập mối quan hệ đại lượng kể điểm không gian vào thời điểm Vì vậy, muốn thành lập phương trình Maxwell, phải viết lại định luật điện từ trường dạng hệ thức đại lượng điểm thời điểm, tức dạng phương trình vi phân có chứa đạo hàm riêng phần theo tọa độ thời gian [1, 2, 11] b) Dạng vi phân định lý Ostrogradski – Gauss Theo định luật Coulomb, lực điện hai điện tích điểm e e‟ bằng: F e.e' r0 4 r (1.1) Định luật viết lại dạng khác Ta biết điện tích e tạo quanh điện trường Tại điểm chứa e‟, điện trường e có giá trị bằng: E e r0 4 r (1.2) r0 bán kính véctơ điện tích e‟ lấy điện tích e làm gốc Điện trường e tác dụng lên e‟ lực bằng: F  e' E (1.3) Đó cách biểu diễn khác định luật Coulomb, cơng thức (1.3) có ý nghĩa tổng quát (1.1) Công thức (1.1) phù hợp với nguyên lý tác dụng xa, biểu diễn lực tương tác tức thời e e‟, trường hợp điện tích đứng yên chuyển động chậm khoảng cách chúng không lớn Công thức (1.3) phù hợp với nguyên lý tác dụng gần, trường hợp khơng phụ thuộc nguyên nhân gây điện trường E Từ (1.2) ta rút biểu thức véctơ cảm ứng điện: D  E  e r0 4 r (1.4) Xét mặt kín S, mặt có chứa điện tích e (khơng thiết điện tích điểm) Theo định lý Ostrogradski-Gauss, ta có: N  DdS   DdScos   e (1.5) N thơng lượng cảm ứng điện D qua mặt kín S, dS nguyên tố diện tích mặt S Chiều dương dS từ mặt S Do e   de    dV nên ta viết (1.5) dạng:  DdS    dV (1.6) V V thể tích mặt kín S bao bọc Theo định lý Ostrogradski-Gauss tốn học ta có:  DdS   divDdV S V Bởi vậy, (1.6) trở thành:  divDdV    dV , V V Vì mặt kín S thể tích V bao bọc nên lượng dấu tích divD   phân nhau, và: (1.7) Đó dạng vi phân định lý Ostrogradski-Gauss phương trình Maxwell [1, 2, 11] c) Định luật bảo tồn điện tích – dịng điện dịch Xét thể tích khơng đổi V, giới hạn mặt kín S khơng đổi Điện tích chứa thể tích V bằng: e    dV V Giả thử điện tích thể tích V biến đổi theo thời gian đơn vị thời gian biến thiên lượng bằng: de d     dV   dV dt dt t Thực nghiệm chứng tỏ điện tích bảo tồn Nếu điện tích thể tích V biến đổi, phải có dịng điện tích (dịng điện) chảy qua mặt kín S bao quanh thể tích V Dịng điện chảy vào thể tích V dịng điện tích V tăng, chảy dịng điện tích giảm Xét nguyên tố mặt dS mặt kín S Điện lượng chảy qua dS đơn vị thời gian (cường độ dòng điện qua dS) dI=  vdS , v vận tốc điện tích điểm chứa dS véctơ dS hướng từ ngồi thể tích V Do đó, ta có: j  v điện lượng chảy qua mặt kín S đơn vị thời gian (cường độ dòng điện qua mặt S) bằng: I   dI    vdS   jdS Do quy ước chiều dS , nên cường độ dòng điện I dương dòng chảy từ ngồi mặt S, âm dịng chảy từ ngồi vào Định luật bảo tồn điện tích biểu diễn bằng: de  I dt   t dV    jdS hay: (1.8) s Ta viết lại:  jdS   divjdV S V Khi (1.8) trở thành:   t dV   divjdV V V Vì thể tích V không đổi nên:   divj t   divj  t hay (1.9) Đó dạng vi phân định luật bảo tồn điện tích, gọi phương trình liên tục Đối với dịng điện dừng, mật độ điện tích điểm không đổi theo thời gian, đó,   phương trình liên tục dịng dừng là: t divj =0 (1.10) phương trình (1.10) có nghĩa đường dịng khơng có điểm xuất phát điểm tận cùng, khép kín, xa vơ cực Đối với dịng biến đổi (dịng xoay chiều), ta có:    0, nên : divj=0 t t Đường dịng khơng phải khép kín, bắt đầu tận nơi mà mật độ điện tích biến thiên theo thời gian Lấy đạo hàm theo thời gian (1.7) ta được: div vào (1.9) ta có D   t t  D   j   t  div  (1.11)  D  So sánh với (1.10), ta thấy   j  véctơ mà đường sức  t  khép kín, tương tự véctơ j (1.10) Nó tổng véctơ j véctơ D , t D D phải có thứ nguyên j , tức thứ nguyên mật độ dòng Lượng t t biến thiên véctơ cảm ứng điện theo thời gian gây gọi mật độ dòng điện dịch Tổng mật độ dòng điện dẫn mật độ dòng điện dịch gọi mật độ dịng điện tồn phần Dịng tồn phần trường hợp dòng điện biến đổi khép kín dịng điện trường hợp dịng điện dừng Dịng điện dịch dịng điện dẫn có chất vật lý hoàn toàn khác Nhưng thực nghiệm chứng tỏ rằng, dòng điện dịch gây từ trường hoàn   toàn giống từ trường dịng điện dẫn  j  D   Nói cách khác, t  điện trường biến thiên theo thời gian sinh từ trường, tương tự từ trường biến thiên sinh điện trường theo định luật cảm ứng điện từ [1, 2, 11] d) Định luật dịng tồn phần Thực nghiệm cho thấy rằng, dịng điện sinh xung quanh từ trường Đối với dịng điện khơng đổi, ta có định luật lưu thông cường độ từ trường: “Lưu thông véctơ cường độ từ trường theo chu tuyến khép kín tổng dịng điện chu tuyến bao quanh:  Hdl   ” (1.12) c Trong cơng thức trên, I dịng tổng cộng chu tuyến C bao quanh chiều dương chu tuyến chọn phù hợp với chiều dương dòng điện I theo quy tắc vặn nút chai Ta có    jdS (1.13) s S diện tích chu tuyến C bao quanh Theo định lý Stockes: 10 Số hạng bổ sung đóng vai trị số hạng mô men điện / từ tương ứng phương trình Dirac Số hạng mà ta bỏ qua (khi chuyển từ biểu diễn xác xuống gần xác) tương tự với số hạng mơ men điện / từ dị thường liên kết điện trường từ trường tương ứng Tuy nhiên, cách khảo sát này, hai số hạng dẫn từ hệ phương trình Maxwell, trong lý thuyết Dirac số hạng dị thường bổ sung vào dựa kết thực nghiệm lập luận Ngoài ra, hai số hạng có Số hạng  i .u  liên quan tới phân cực ta gọi nói số hạng phân cực Ta khảo sát bình phương Hamiltonian quang học: ˆ  {n  r   pˆ }   2u H   M  pˆ  , n  r    2i n  r   u  i M  pˆ  ,  u    n  r   i  u}2  (2.36)  pˆ 2  M  pˆ  , n  r   i  u Ta biết rằng, chùm ánh sáng đơn sắc gần trục truyền dọc theo chiều dương trục z, tiến triển theo chiều z hàm sóng quang học   r  thoả mãn phương trình Schrodinger i    r   Hˆ  r  , z (2.37) Hamiltonian quang học Hˆ cho bởi:  Hˆ   n2 (r )  p 2  (2.38) n  r   n  x, y, z  Trong quang sóng, tia giả thiết truyền theo đường song song với trục quang chọn trục z Nghĩa là, pˆ  Hệ số khúc xạ vào cỡ đơn vị Với môi trường với hệ số khúc xạ khơng đổi n(r)  n khai triển Taylor thức là: 33  n  r   pˆ  2  1/2 1/    n0 1- pˆ 2   n0   ˆ2  1- 2n p   8n pˆ   16n6 pˆ     0  n0   10  ˆ ˆ  p  p      128n08 256n010 (2.39) Trong khai triển nói ta giữ lại số hạng mong muốn theo bậc  2 pˆ   Nói chung, hệ số khúc xạ khơng phải số Sự thay đổi hệ  n0  luỹ thừa  số khúc xạ n  r  diễn tả khai triển Taylor theo biến không gian x,y với hệ số thuộc z Để thu Hamiltonian quang sóng, ta lấy khai triển  2 pˆ   dọc theo tất n   theo trục giữ lại số hạng tới bậc xác  số hạng khác (xuất từ khai triển số khúc xạ n  r  ) theo thành phần không gian pha tới bậc tương tự Trong cách khai triển tốn chia thành tính chất trục +quang sai, theo bậc Trong học lượng tử tương đối tính, ta có tốn khảo sát tính chất theo giới hạn phi tương đối tính + bổ đính tương đối tính theo bậc Trong lý thuyết Dirac electron, điều thực thuận tiện thông qua phép biến đổi Foldy-Wouthuysen [10]  2 pˆ   Hamiltonian quang học n   Ở gần bậc thấp nghĩa bậc  viết theo ˆ Ô cho bởi: i  ˆ  2  ,   z (2.40) ˆ    n   ˆ   Ô  2n0 Chú ý rằng, Ô2  pˆ 2 ˆ    n  r   n0    i .u Các số hạng ma trận liên quan tới phân cực Hamiltonian hình thức (2.40) viết theo số hạng không gian pha là: ˆ  2  {n  r   pˆ }- i  u   2n0 34 (2.41) Lưu ý rằng, ta giữ lại số hạng bậc khai triển Taylor số khúc xạ n(r) cho phù hợp với bậc ( pˆ  ) n0 Do Ô bậc với pˆ  nên xét tới bậc ( 2 pˆ  ) Hamiltonian quang n0 sóng viết theo tốn tử ˆ Ơ cho bởi: i    Hˆ (4)  z ˆ (4)  n   ˆ   Ô  o 2no (2.42)    Ô, Ô , ˆ   i z Ô  2     Ô  Ô,ˆ   i Ô  8no  z    8no   Chú ý rằng, Ô4  pˆ 4 Ô  Hamiltonian (2.42) viết theo z biến khơng gian pha có dạng là: ˆ (4)  {n  r   pˆ  pˆ }    2n0 8n03  { pˆ , n r  n0         8n0   2 px  n  r   n0  px  p y  n  r   n0  p y }  i  { px ,  p y ,  n  r   n0      p y ,  px ,  n  r   n0   }    8n02    2 {  p , n r  n0     p y ,  n  r   n0   }  x      8n0  i  {  px ,  n  r   n0   ,  p y ,  n  r   n0    }    8n03   (2.43)  A, B   AB  BA „…‟ đóng góp xuất có mặt số hạng phân cực Chú ý rằng, Hamiltonian gần trục (2.41) Hamiltonian quang sai bậc thấp (2.43) khác với biểu thức thu cách tiếp cận truyền thống [7] 35 2.4 Trƣờng hợp có nguồn ( W  ) Trong phần trước, giả thiết w=0 điều cho phép ta xây dựng hình thức luận sử dụng ma trận x thông qua phép biến đổi FoldyWouthuysen Phép biến đổi cho phép ta loại phần lẻ ma trận x tới độ xác Ở đây, ta có vấn đề tương tự bậc cao Bởi vậy, ta cần áp dụng phép biến đổi Foldy-Wouthuysen để giảm đóng góp phần lẻ chiều xuống chiều Xuất phát từ phương trình quang học (2.13) thực phép biến đổi Foldy-Wouthuysen trước, đại lượng có số chiều gấp đơi Một cách hình thức, ta viết: ˆ  ˆ ,  g ˆ  ˆg ,      g       (2.44) Ô  Ôg   0 n0  ng  n0   0   Phép biến đối Foldy-Wouthuysen cho ta:  Hˆ g   n0  0   n0  0 0  ˆg   g Ô2g   2n0 0   g  ˆg   w.w    2n0 0 0    g (2.45) Ta bỏ  g phần trước thu được: i   (r)  ˆ  (r) z ˆ  n   ˆ  Ô  (2.46) Ô=i  M y px  M x p y      M  Pˆ  , ˆ  (n(r)  n0 )   i   u  2  w 2n0 36 w2  w.w bình phương grad logarit hàm trở kháng Điều cho thấy Hamiltonian quang học (2.35) thay đổi Theo cách này, ta áp dụng Foldy-Wouthuysen theo kiểu thác triển để thu ˆ (4) g Kết Hamiltonian quang học có bậc cao làm thay đổi Hamiltonian quang học (2.35) nhiều Mặt khác, ta áp dụng Foldy-Wouthuysen theo kiểu thác triển để thu đóng góp cao xuất từ grad logarit hàm trở kháng tới độ xác [7 - 10] 2.5 Kết luận chƣơng Xuất phát từ biểu diễn xác hệ phương trình Maxwell dạng ma trận x môi trường với độ điện thẩm  (r, t) độ từ thẩm  (r, t) thay đổi với có mặt nguồn, chúng tơi xây dựng Hamiltonian quang học xác cho chùm ánh sáng đơn sắc gần trục Hamiltonian quang học có dạng đại số tương tự với phương trình Dirac Chúng tơi trình bày kỹ thuật biến đổi Foldy-Wouthuysen lý thuyết Dirac áp dụng để khảo sát hai trường hợp cụ thể: có nguồn khơng có nguồn Kết thu Hamiltonian quang sóng với độ xác Các Hamiltonian quang sóng có số hạng ma trận phụ thuộc bước sóng 37 Chƣơng SỰ TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG MƠI TRƢỜNG CĨ HỆ SỐ KHÚC XẠ KHÔNG ĐỔI VÀ TRONG MÔI TRƢỜNG CĨ HỆ SỐ KHÚC XẠ CĨ TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG TRỤC Trong chương này, chúng tơi áp dụng hình thức luận tổng qt cho mơi trường có hệ số khúc xạ khơng đổi mơi trường có hệ số khúc xạ có tính chất đối xứng trục 3.1 Mơi trƣờng có hệ số khúc xạ khơng đổi Đối với mơi trường với hệ số khúc xạ không đổi n(r)  nc , có [7 10]: Hˆ c  nc   i(M y px  M x p y ) (3.1) chéo hố xác phép biến đổi: ˆ T   exp i(  i  )O   exp  i  (M y px  M x p y )   cosh( pˆ   ) i (3.2)  ( M y px  M x p y ) pˆ  sinh( pˆ   ) Ta chọn: (2 pˆ   )  pˆ  nc (33) Khi đó: T  (nc  pz ) i  ( M y px  M x p y ) pz (nc  pz ) pz   (nc2  pˆ 2 ) Hˆ c chéo hóa có dạng sau: Hˆ c diagonal  T  Hˆ c T   T  nc   i ( M y px  M x p y )T  38 (3.4)  2   n c  pˆ 2     (3.5) Tiếp theo, ta so sánh kết xác vừa thu với kết gần thu qua phương pháp khai triển chuỗi Taylor mà ta xây dựng phần trước Ta thấy rằng: (4)     ˆ ˆ ˆ H c  nc 1  p   p     8nc  2nc     nc 1  pˆ 2    nc  (3.6)  2   nc2  pˆ 2     diagonal  Hˆ c Biết Hamiltonian, ta tính ánh xạ chuyển đổi Tốn tử chuyển   điểm ( z '' , z ' ) z ''  z ' trục z viết cách hình thức:  ( z '' , z ' )  ˆ ( z '' , z ' )  ( z '' , z ' ) (3.7) ˆ ( z '' , z ' ) thỏa mãn: i   ˆ '' ' ( z , z )  Hˆ ˆ ( z ' ' , z ' ) , ˆ ( z '' , z '' )  Iˆ z   i z' '  ˆ ( z '' , z ' ) exp    ' dzHˆ ( z )   z     '' z i  Iˆ   ' dzHˆ ( z )  z z  i  z' '      ' dz  ' dz ' Hˆ ( z ) Hˆ ( z ' ) z   z  , (3.8) Iˆ toán tử đơn vị  biểu thị luỹ thừa bậc theo lộ trình Dạng thuận tiện biểu thức toán tử tiến triển theo z , ˆ ( z '' , z ' ) hay hàm truyền z thường chọn là: 39  i  ˆ ( z '' , z ' )  exp   Tˆ ( z '' , z ' )     (3.9) với: '' z Tˆ ( z '' , z ' )   ' dzHˆ ( z ) z z  i  z' '      ' dz  ' dz '  Hˆ ( z ), Hˆ ( z ' )  z 2   z (3.10)  , cho cơng thức Magnus [3] Áp dụng cách thức nói trên, ta tính tốn tử chuyển:  i  Uˆ c ( zout , zin )  exp   zH c      i  pˆ  pˆ 2  ,   exp  + nc z 1          2n c  n c    (3.11) z  ( zout , zin ) Dùng (3.11) ta tính ánh xạ chuyển:  r   p     1    out    z   r n p      p  c    in (3.12) 3.2 Môi trƣờng với hệ số khúc xạ thay đổi theo quy luật đối xứng trục Hệ số khúc xạ vật liệu có tính chất đối xứng trục mô tả đa thức sau: n(r)  n0   ( z )r2   ( z)r4  (3.13) Hồn tồn khơng tính tổng qt ta giả thiết rằng, trục đối xứng trùng với trục quang học (trục z ) Chú ý rằng: ˆ    ( z )r2   ( z )r4     i  u ˆ  i(M p  M p )  y x x y (3.14)   (M  pˆ  ) đó: 40  u   n  ( z )  r  d    ( z )   z r 2n0  dz  (3.15) Để đơn giản biểu thức Hˆ (4) cho công thức (2.42) - (2.43) chương 2, ta áp dụng công thức sau:  ˆ 0 z (M pˆ  )2  pˆ 2 , ˆ  pˆ ,    M pˆ  r2 (M  pˆ  )  2 r pˆ   pˆ 2 r2  2 Lˆz  2 2   (3.16) Lˆ z mơ men xung lượng Thực phép biến đổi cần thiết, ta thu   biểu thức Hamiltonian quang sóng xác tới bậc  pˆ 2  sau: n  ( ) ( ) ˆ  Hˆ  Hˆ   Hˆ 0,(2)  Hˆ 0,(4)  Hˆ (  , ) p 0,  Hˆ 0, p  n0  pˆ    ( z )r2 2n0 Hˆ 0,(4)  pˆ 4 8n0   ( z) 4n (r2pˆ 2  pˆ 2 r2 )   ( z )r4 2  2 ( ) Hˆ 0,(2)    ( z )   ( z ) Lˆz   22 ( z )r2 2n0 2n0 2n0 Hˆ ( ) 0,(4)   4n03    ( z ) r Lˆz  Lˆ r  2  z  2 2n03  ( z ) ( z )r i  d  Hˆ (  , )    ( z )    z 2n0  dz   (3.17)  i  ( z )( x p y   y px ) 4n03 i  d      ( z )   z Lˆz 2n0  dz   i  ( z )     r , pˆ 2   4n0  i 8n03 d  2   ( z )    z r , pˆ    dz    41  A, B  ( AB  BA) „….‟ số hạng khác xuất từ số hạng phân cực Ta giữ lại bậc thấp số hạng để minh hoạ Lý để tách Hamiltonian quang sóng ˆ theo cách sau: Hamiltonian đối xứng Hˆ 0, p mô tả tính chất lý tưởng; Hˆ 0,(4) đặc trưng cho quang sai bậc Cả hai Hamiltonian bị thay đổi đóng góp phụ thuộc bước sóng cho ( ) ( ) Hˆ 0,(4) Cuối cùng, có Hˆ ( , ) , liên quan tới phân cực Hˆ 0,(2) Từ thành phần Hamiltonian ta thấy: số hạng  2n02  ( z ) Lˆz đóng góp vào Hamiltonian gần trục, gây quay ảnh góc  ( z ) :  ( z '' , z ' )   2n02  z '' z' dz ( z ) (3.18) Hamiltonian Hˆ 0,(4) thành phần ta có cách mơ tả cổ điển liên quan ( ) tới quang sai Hˆ 0.(4) thay đổi quang sai nói đóng góp phụ thuộc bước sóng ngồi cịn gây quang sai cịn lại phép có đối xứng trục Trước xa hơn, ta liệt kê tất quang sai phép đối xứng trục Đối xứng trục cho phép xác quang sai bậc 3, là: Kí hiệu Đa thức Tên C pˆ 4 Cầu sai K pˆ 2 ,(pˆ  r  rpˆ  )   Coma k pˆ 2 Lˆz Coma dị hướng A (pˆ  r  rpˆ  )2 Sự loạn thị a (pˆ  r  rpˆ  ) Lˆz Sự loạn thị dị hướng F (pˆ 2r2  r2pˆ 2 ) Độ cong trường D r2 ,(pˆ  r  rpˆ    Sự biến dạng d r2 Lˆz Sự méo ảnh E r4 Sắc sai 42 Đối xứng trục cho phép số hạng (trong Hamiltonian) xây dựng từ pˆ 2 , r2 , (pˆ  r  r pˆ  ) Lˆ z Kết hợp lại, tính tới bậc 4, ta có 10 số hạng kể Lˆ2z Ta liệt kê số bảng Số hạng thứ 10 là:   1 Lˆ2z  pˆ 2r2  r2p 2  (pˆ  r  r pˆ  )2   2 (3.19) Như vậy, Lˆ2z không liệt kê cách riêng lẻ Ta có quang sai bậc phép cho đối xứng trục nói trước Ánh xạ chuyển đổi trục cho bởi:  r   p     P Q   r         R S p   out   in (3.20) đó: P, Q, R ,và S nghiệm Hamiltonian trục (3.17) Từ điều kiện đối ngẫu ta có: PS  QR  Trong trường hợp đặc biệt này, từ cấu trúc phương trình trục ta kết luận rằng: R  P' S  Q' với dấu „ ' ‟biểu thị đạo hàm theo trục z Tốn tử chuyển diễn tả xác theo nghiệm gần trục P, Q, R ,và S biểu diễn tương tác [8]  i  ˆ ( z '' , z ' )  exp - Tˆ ( z, z0 )  ,    i  exp  C ( z '' , z ' )pˆ 4   K ( z '' , z ' ) pˆ 2 , (pˆ  r  rpˆ  )   k ( z '' , z ' )pˆ 2 Lˆz    A( z , z )(pˆ  r  rpˆ  )  a( z '' , z ' )(pˆ r  rpˆ  ) Lˆz '' ' (3.21)  F ( z '' , z ' )(pˆ 2r  r 2pˆ 2 )  D( z '' , z ' ) r2 , (pˆ  r  r pˆ  )    d ( z '' , z ' )r2 Lˆz  E ( z '' , z ' )r4  hệ số quang sai cho bởi:   ( z) C ( z , z )   ' dz  S  2 Q S   ( z )Q z 2n0  8n0 z' '   ( z) K ( z '' , z ' )   ' dz  RS  2 QS ( PS  QP)   ( z ) PQ z 4n0  8n0 '' ' z' '  2 2n   ( z ) ( z ) PQ3   43  2 2n   ( z ) ( z )Q    k ( z '' , z ' )  z' '  2n03 z' dz 22 ( z )Q ''    ( z) 2 A( z '' , z ' )   ' dz  R S  2 PQRS   ( z ) P 2Q   ( z ) ( z ) P 2Q  z 2n0 2n0  8n0   a( z '' , z ' )  z' '  z' 2n dz 22 ( z ) PQ z' '   ( z) F ( z '' , z ' )   ' dz  R S  2 ( P S  Q R )   ( z ) P 2Q z 4n0  8n0  2   ( z ) ( z ) P 2Q  2no  z' '   ( z) D( z '' , z ' )   ' dz  R S  2 PR ( PS  QR ) z 4n0  8n0   ( z)P Q  d ( z '' , z ' )   2 2n  2n  ( z ) ( z ) P 3Q    z' ' z' dz 22 ( z ) P z' '   ( z) E ( z '' , z ' )   ' dz  R  2 P R   ( z ) P z 2n0  8n0  2   ( z ) ( z ) P  2n0  (3.22) Như ta thấy rằng, cách tiếp cận cho ta tất quang sai quang sai tương tự cách mô tả truyền thống bị thay đổi đóng góp phụ thuộc bước sóng quang sai cịn lại (k, a,và d bất đẳng hướng) phụ thuộc bước sóng tuý hoàn toàn vắng mặt cách tiếp cận truyền thống [7 - 10] 44 3.3 Kết luận chƣơng Trong chương này, áp dụng kết thu chương chương cho mơi trường có hệ số khúc xạ khơng đổi mơi trường có hệ số khúc xạ có tính chất đối xứng trục Nếu theo cách tiếp cận truyền thống, ta thu quang sai Theo cách tiếp cận mới, thu quang sai khã dĩ ứng với trường hợp đối xứng trục Kết cho thấy, thay đổi phụ thuộc bước sóng quang sai, cách tiếp cận dẫn tới quay ảnh tỉ lệ với bước sóng Chúng tơi dẫn cơng thức xác cho quay ảnh Sự quay ảnh tới cách tiếp cận truyền thống 45 KẾT LUẬN CHUNG Luận văn thu kết sau đây: Thu biểu diễn ma trận hệ phương trình Maxwell mơi trường có độ điện thẩm  (r, t ) độ từ thẩm  (r, t ) thay đổi, có kể tới có mặt nguồn Biểu diễn ma trận thu có cấu trúc đại số tương tự phương trình Dirac Xây dựng Hamiltonian quang học xác cho chùm ánh sáng đơn sắc gần trục Hamiltonian quang học có dạng đại số gần với phương trình Dirac Trình bày kỹ thuật biến đổi Foldy-Wouthuysen áp dụng kỹ thuật để khảo sát hai trường hợp cụ thể: có nguồn khơng có nguồn Đã thu Hamiltonian quang sóng với độ xác mong muốn Khảo sát trường hợp cụ thể: mơi trường có hệ số khúc xạ khơng đổi mơi trường có hệ số khúc xạ có tính chất đối xứng trục dẫn hệ số quang sai ứng với trường hợp đối xứng trục Tuy nhiên, khuôn khổ luận văn, số hạng ma trận liên quan tới phân cực có mặt hệ số quang sai chưa khảo sát chi tiết 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Thỏa, Điện động lực học, NXB ĐH & THCN, Hà Nội, 1980 [2] Đào Văn Phúc, Điện động lực học, NXB GD, Hà Nội, 1990 [3] Đặng Quang Khang, Cơ học lượng tử, NXB KH & KT, Hà Nội, 1998 [4] Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh, Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội, 2005 [5] Nguyễn Sum, Mai Quý Năm, Nguyễn Hữu Quang, Ngơ Sĩ Tùng, Nguyễn Văn Giám, Đại số tuyến tính, NXB ĐHQG, Hà Nội, 2000 [6] N.E Kotssin, Phép tính véctơ mở đầu phép tính tenxơ, NXB KH & KT, Hà Nội, 1976 [7] Sameen Ahmed Khan, arXiv:physics/0205083, Maxwell Optics: I An Exact Matrix Representation of the Maxwell Equations in a Medium [8] Sameen Ahmed Khan, arXiv:physics/0205084, Maxwell Optics: II An Exact Formalism [9] Sameen Ahmed Khan, arXiv:physics/0205085, Maxwell Optics: III Applications [10] John P Costella and Brucce H J McKellar, arXiv:hep-physics/9503416v1, The Foldy-Wouthuysen Transformation [11] J D Jackson, Classical Electrodynamics, Third Edition, John Wiley & Sons, 1989 47 ... DẠNG MA TRẬN CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNNH MAXWELL 1.1 Dạng tích phân, dạng vi phân hệ phương trình Maxwell 1.2 Dạng ma trận hệ phương trình Maxwell mơi trường đồng 11 1.3 Dạng ma trận hệ phương trình Maxwell. .. W=0) Trong phần trước, hệ phương trình Maxwell ta trình bày biểu diễn ma trận xác hệ phương trình Maxwell dùng ma trận x Từ biểu diễn này, xây dựng Hamiltonian quang học ma trận x Sự liên kết thành... chứa hai phương trình Maxwell với div Phương trình đầu (1.31) chuyển thành biểu diễn ma trận x Tuy nhiên biểu diễn khơng chứa điều kiện phân kỳ (phương trình Maxwell thứ phương trình Maxwell thứ