Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, huỷ boson biến dạng

LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Ban chủ nhiệm thầy cô giáo khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ suốt thời gian học tập làm luận văn Đặc biệt xin gửi lời cảm ơn chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS.Lưu Thị Kim Thanh tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ tơi q trình nghiên cứu hồn thiện luận văn Cuối tơi xin tỏ long biết ơn tới gia đình, bạn bè,những người động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập làm luận văn Mặc dù cố gắng song luận văn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến q thầy bạn Hà nội, tháng 11 năm 2011 Tác giả Đoàn Thị Thu Hường LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thong tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc Tác giả Đoàn Thị Thu Hường MỞ ĐẦU Vật lý lý thuyết chuyên ngành vật lý học, phát triển mạnh mẽ bề rộng bề sâu Vật lý lý thuyết có nội dung vật lý phương pháp toán học Vật lý lý thuyết nghiên cứu quy luật tổng quát nhất, phản ánh chất vật lý tượng tự nhiên [1, 2, 3, 4, 5] Vật lý lý thuyết có hai nhiệm vụ: a) Diễn tả quy luật vật lý dạng hệ thức định lượng thành lập mối liên hệ nội kiện quan sát thực nghiệm Xây dựng thuyết bao gồm giải thích số phạm vi rộng rãi nhiều tượng vật lý b) Dùng phương pháp tốn học để tìm quy luật quy luật tổng quát quy luật biết, đoán trước mối liên hệ tượng vật lý mà thực nghiệm chưa quan sát Thuyết lượng tử, lý thuyết vật lý lý thuyết học, học lượng tử làm thay đổi quan niệm giới vi mô, phần mở rộng bổ sung học Newton (cũn gọi học cổ điển) Nó sở nhiều chuyên ngành khác vật lý hố học vật lý chất rắn, hóa lượng tử, vật lý hạt Trong học lượng tử, đại lượng vật lý đặc trưng tốn tử Ví dụ như: lượng, động lượng, tọa độ, mơ men góc, …đều có tốn tử tương ứng Mặt khác, học lượng tử xây dựng hệ tiên đề, loạt cơng cụ tốn, số tốn tử giữ vị trí quan trọng [6,7,8,9] Việc hiểu rõ tốn tử tính chất chúng cần thiết người nghiên cứu vật lý đại Ngày nay, lí thuyết trường lượng tử sở để giải thích chất hạt vi mơ cấu trúc tính chất Lí thuyết trường lượng tử mở đường để nhận biết trình vật lý xảy giới hạt vi mơ, lí thuyết trường lượng tử đóng vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực vật lý Đặc biệt việc nghiên cứu hệ nhiều hạt xây dựng định luật phân bố thống kê lượng tử Các phương pháp bổ sung cho để làm rõ chất vật lý trình vật lý hệ nhiều hạt Các tính tốn lí thuyết xây dựng mơ hình lý tưởng, có sai khác kết lí thuyết thực nghiệm thu Khi người ta thường dùng phương pháp gần để giải Nhóm lượng tử mà cấu trúc đại số biến dạng phù hợp với nhiều mơ hình vật lý, phương pháp gần lí thuyết trường lượng tử Nhóm lượng tử đại số biến dạng khảo sát thuận lợi hình thức luận dao động tử điều hoà biến dạng Trong năm gần việc nghiên cứu nhóm lượng tử đại số biến dạng kích thích thêm quan tâm ngày nhiều đến hạt tuân theo thống kê khác với thống kê Bose - Einstein thống kê Fermi - Dirac thống kê para Bose, para Fermi, thống kê vô hạn, thống kê biến dạng , với tư cách thống kê mở rộng [10, 11, 12, 13, 14] Cho đến cách mở rộng đáng ý khuôn khổ đại số biến dạng Với lý chọn đề tài “Biểu diễn ma trận toán tử sinh, hủy boson biến dạng” Mục đích đề tài tìm hiểu tốn tử vật lý, cơng cụ hữu hiệu dựng nghiên cứu hệ hạt vi mô Xây dựng biểu diễn ma trận toán tử boson biến dạng q, thỏa mãn hệ thức giao hoán tương ứng xây dựng thống kê lượng tử biến dạng phương pháp lí thuyết trường lượng tử NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ TỐN HỌC CỦA CÁC PHÉP TÍNH TỐN TỬ Trong chương này, giới thiệu vắn tắt mô tả trạng thái học lượng tử Dirac lí thuyết biểu diễn Trước hết, trạng thái hệ lượng tử gì? Chúng ta thừa nhận biết trạng thái hệ biết thông tin hệ Một hệ lượng tử trạng thái xác định điều ta muốn biết biết, ngoại trừ vi phạm qui luật học lượng tử Các trạng thái hệ lượng tử mơ tả hàm sóng ψ Sự mô tả trạng thái lượng tử khác nhiều trạng thái học cổ điển Ví dụ, trạng thái lượng tử ta đồng thời xác định xác tọa độ xung lượng hệ nguyên lí bất định Heisenberg Hơn nữa, ta tiên đốn xác suất sư kiện tương lai mà Sự khác biệt thứ hai trạng thái lượng tử chỗ hàm sóng mơ tả chúng tn theo nguyên lí chồng chất trạng thái Các trạng thái lượng tử mơ tả vectơ trạng thái |ψ> (tương  ứng với hàm sóng (r , t) ) không gian vectơ Không gian gọi khơng gian Hilbert với vectơ sở kí hiệu |uj> gọi trạng thái cở sở hay ket sở {|uj>} 1.1 Không gian vectơ E - không gian vectơ Euclide 1.1.1 Không gian vectơ E Định nghĩa: Không gian vectơ E tập hợp phần tử (x, y, z…) với phép cộng hai phần tử x, y phép nhân phần tử x với số thực λ thỏa mãn tính chất sau đây: Phép cộng: ∀x, y ∈ E định nghĩa z = x + y ∈ E thỏa mãn điều kiện: Giáo hoán: x+y=y+x Kết hợp: (x + y) + k = x + (y + k) Tồn phần tử không (0) cho: x + = + x ∀x ∈ E Với phần tử x, tồn phần tử đối xứng (-x) cho x + (-x) = (-x) + x = Phép nhân: ∀x ∈ E, ∀λ ∈ R (R - tập hợp số thực) định nghĩa z = λx ∈ E thỏa mãn điều kiện sau: Kết hợp: λ1(λ2x) = λ1λ2x Phân bố phép cộng vecto: λ(x + y) = λx + λy Phân bố phép cộng số λ: (λ1 + λ2)x = λ1x + λ2x Tồn λ = thỏa mãn λx = 1.x = x Mỗi phần tử x, y, z, … tập hợp E gọi vectơ Không gian E định nghĩa với λ ∈ R gọi không gian thực, với λ số phức (λ ∈ C, C tập hợp số phức) E gọi không gian phức Các vectơ x1, x2, …, xn ∈ E phụ thuộc tuyến tính, tồn số thực λ1, λ2, …, λn không không tất cho: λ1x1 + λ2x2 + … + λnxn = Nếu 1      n  vecto x1 , x , , x n độc lập tuyến tính Số cực đại vectơ độc lập tuyến tính khơng gian gọi số chiều khơng gian Trong khơng gian tuyến tính n chiều, người ta chọn n vectơ độc lập tuyến tính (x1 , x , , x n )  (x i ,i  1, 2, , n) làm sở Khi vectơ z ∈ E khai triển dạng tổ hợp tuyến tính vectơ sở: n z   axii  E i1 (1.1) hệ số thực (nếu E không gian vectơ) phức (nếu E không gian phức) Thông thường người ta kí hiệu vectơ sở là{ei} (e1  x1 , e  x , , e n  x n ) có: tọa độ vectơ z z1 , z , , zn nghĩa ta n z   z i ei (1.2) i1 Sau chọn sở {ei} tọa độ zi vectơ z (z ∈ E) xác định Có thể biểu diễn vectơ z ma trận cột có n phần tử n tọa độ zi:  z1     z2  z   Z     z  n  (1.3) Ma trận cột kí hiệu z phụ thuộc vào việc chọn sở Cùng vectơ z hai sở khác có tọa độ khác biểu diễn hai ma trận cột khác 1.1.2 Không gian vectơ Euclide Trong không gian vectơ thực E cho, tích vơ hướng hai vectơ x, y ∈ E, kí hiệu (x, y) số thực cho: (x, y) = (y, x) ∀x, y ∈ E (giao hoán) (x, λy) = λ(x, y) ∀x, y ∈ E, λ ∈ R (kết hợp) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) ∀x, y, z ∈ E (phân phối) E gọi khơng gian vectơ với tích vơ hướng Nếu thỏa mãn thêm điều kiện xác định dương: (x, x) ≥ 0, ∀x ∈ E (x, x) = x = E gọi khơng gian Euclide thực Trong không gian Euclide độ dài (hay môđun) vectơ x định nghĩa: x (x, x) (1.4) Góc θ hai vectơ x y định nghĩa sau: ( x , y) cos  x y (1.5) Hai vectơ trực giao với tích vơ hướng không: (x, y) = Từ định nghĩa sở {ei} suy không gian Euclide vectơ sở e1, e2, …, en trực giao (ei, ej) = i # j có độ dài đơn vị (chuẩn hóa): (ei, ej) = Tính chất trực chuẩn hệ sở viết lại sau: (ei , e j )  ij (1.6) Đối với không gian phức Z, tích vơ hướng hai vectơ x, y ∈ Z kí hiệu (x, y) thỏa mãn điều kiện sau: (x, y) = (y, x) ∀x, y ∈ Z (x, λy) = λ(x, y) ∀x, y ∈ Z, λ ∈ C (tập hợp số phức) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) ∀x, y, z ∈ Z Nếu khơng gian phức với tích vơ hướng thỏa mãn thêm điều kiện: (x, x) ≥ ∀x ∈ Z (x, x) = x = khơng gian Z gọi khơng gian Euclide phức hay không gian Unita Trong không gian Unita tọa độ xi vecto x; x  (x1 , x , , x n nói ) chung số phức Tích vơ hướng hai vectơ x, y có dạng: (x, y)  x1y1  x y   x n y n (1.7) Các khái niệm độ dài vectơ, tính trực giao hai vectơ khơng gian Unita giữ không gian Euclide thực Trong không gian phức n chiều Z, sau chọn sở tọa độ vectơ xác định Biểu diễn vectơ ma trận cột  x1   y1    x   y2   2     Y x, y  Z X y x            y x   n   n tích vơ hướng hai vectơ (1.7) biểu diễn dạng tích ma trận hàng nhân với ma trận cột  y1   y   * * *  *  (x, y)  (x x x ) XY n     y  n  (1.8) 1.2 Không gian Hilbert 1.2.1 Định nghĩa Không gian Hilbert H khơng gian Unita đầy đủ, có nghĩa tổ hợp tuyến tính vecto khơng gian vectơ khơng gian Tính chất suy từ định nghĩa không gian vectơ Nếu khơng gian có số chiều vơ hạn tính chất đầy đủ có nghĩa chuỗi vectơ hội tụ vectơ khơng gian Khơng gian Hilbert tách chứa tập hợp trù mật đếm vectơ Tập hợp trù mật tập hợp mà vectơ giới hạn chuỗi vectơ tập hợp (ví dụ số hữu tỷ hợp thành tập hợp trù mật tập hợp trù mật tập hợp số thực) 63 thỏa mãn điều kiện trực chuẩn: n m  n ,m  Tác dụng toán tử sinh, hủy a , a lên vectơ sở không gian  a Fock là: n  n 1n a n  n n  (3.55) Để biểu diễn toán tử boson ma trận, xét phần tử a m,n  m a  n  m n1n1  n m n  n  m,n 1 với m, n nhận giá trị: 0, 1, 2,… (3.56)  Từ (3.56) tìm biểu diễn ma trận tốn tử a dạng: có 0  0 0  0   0   0  a    0 0       0  (3.57) n  Làm tương tự với toán tử hủy hạt a , có phần tử a m,n a m,n  m a n  n m n  n m,n = 1 (3.58) với m, n nhận giá trị 0, 1, 2, … Biểu diễn ma trận tốn tử a có dạng:  0 0   0  0  0 0 a        0 n  0 10  (3.59) 64 Thực phép nhân ma trận hoàn toàn thu hệ thức (3.52) (3.53) Thật vậy, ta có phần tử ma trận N mn xác định sau: N mn  m N n  m n n  n m n  n m ,n Ma trận N ma trận vng có phần tử đường chéo 0, 1, 2, … n  , phần tử khác Chúng ta kiểm tra lại, ta có:  N  a a 0 0    0  0   0     0 0 0   0  0     0 0 0 0  0   0   0 0        n 0 0 0 0 0 n1     0    n   (3.60) 3.5 Biểu diễn toán tử [q]-Boson ma trận 3.5.1 Lý thuyết q - số Ta biết q-số tơng ứng với số thông thờng x đợc định nghĩa là: x x q x  q q  q 1 (3.61) 65 Víi q tham số, x toán tử có định nghĩa giống nh biểu thức (3.61) Chúng ta chó ý r»ng q-sè lµ bÊt biÕn víi phÐp biến đổi q q1 , xảy hai trờng hợp: + Nếu q thực, q-số biĨu diƠn nh sau: q  e   th ×:  x x q  q x   q q với thực thì: s h  x  e x  e  x   e  sh    e  q  ei víi  lµ + NÕu q lµ hƯ sè pha, q-sè cã thĨ biĨu diƠn nh sau:    x x q  q x   1 q q i x e  i  x e  i e  i e (3.62) thùc sh  x  sh  (3.63)  Trong c¶ hai trờng hợp giới hạn q1 (hoặc tơng ứng 0) q-số (hoặc toán tử) trở số thông thờng (toán tử) tức lim x x (3.64) q 1 ThËt vËy: sh  x   lim  x   lim lim  sh   0 sh   0 q1  sin  x   lim x lim   lim   q1   0 sin  sin   0  s h  x  x x  x sin  x  x x  x Tõ (3.61) ta cã mét sè trêng hỵp sau:  0  3 q2 q 1  0; 1  1;  2  qq  q 1 q 3 q q 2   1qq q q q-số thỏa mãn đồng thức khác với đồng thức quen thuộc biĨu diƠn th«ng thêng: [a] [b+1] - [b].[a+1] = [a-b] ThËt vËy:  a   b  1  qa  q a 66 qb 1  q  1 q q  q  b   a  1  q 1 qb  q a 1  q  q b 1 q q  q 1 q b 1  a 1 66 Khi ®ã: [a+1] = [a].[b+1] - [b] q a b  q  ( a b ) = [a-b] q 1  q q- giai thõa: [n] = [n] [n-1] [n-2] [2] [1] m   m !    n m  n ! n ! qhệnhị số: thức m m q- nhị thức tổng quát:  a  b m   k 0  k  mk .a  b k Trong giíi h¹n q1 có: [n] n m m  víi n vµ lµ giai thõa chn  m n    n  n    Các hàm biến dạng q: n  a n x n 0  n ! eq  ax     n x sin q  x     1  2n 1  2n  1! n 0  x n n cos q  x     1 2n! n Bên cạnh kiểu q - số trình bày có số biến d¹ng nh sau:  x x Q Qê   Q 1 (3.65) x  x p ,q  q  x p  q 1 p  x q  x q   x (3.66) x 1 q 1 qq (3.67) Lý thuyÕt q - sè lµ sở toán học lý thuyết biến dạng lợng tử mà sau sử dụng để tim Biểu diễn toán tử boson biến dạng ma trn, đại số biến dạng thống kê lợng tử biến dạng 67 3.5.2 Biu din cỏc toỏn t [q] boson bng ma trn Các dao động tử điều hoà biến dạng - q, đa vào mở rộng ma trận dao ®éng tư boson víi sù gióp ®ì q cđa q - số n ; gọi [q]-Boson Khi thay số nguyên số q q thu đợc ma - số  n trËn biĨu diƠn cđa c¸c to¸n tư sinh, hủ dao ®éng  q  Boson 0    a q   1q 0 0      0   2  q (3.69)     q    q a q   (3.68) ;   1  0  2 lỵng tư nh sau:   B»ng c¸c phÐp tÝnh ma trận, thu đợc hệ thức cho toán tử sinh, huỷ q toán tử số dao động tử N là: N aˆ  aˆ ; N  a q a a q a q  q a q a q   q q; q q q q  Boson   a q , a q    N (15)    a q , a q  0; N, a q  a    q ; N , a q  a    q Đại số (15) đợc thực không gian Fock có véctơ sở véc tơ trạng thái riêng toán tử số dao ®éng tư N ,  a  qn | nq  T¸c dơng cđa c¸c to¸n tư a q | n q   (3.70) |0 nq ! a q a lên véc tơ sở  , q q  n  1 q |n 1 ; a q | n  qq 68 n | n 1q (3.71) Trên sở hệ thức ®· nªu trªn cđa  q  boson , chóng ta tính đợc tổng trạng thái hệ dao ®éng tư  q  boson lµ   H   Z  Tr e    e  n   e  n 0  N     (3.72) 68 v µ Tr   e    H    H  N   n | e N    q  N  N   q n 0     eê |n  q  q  1  e      e  2     Kết thu đợc trị trung bình số chứa đầy dao động tử [q] - boson, hay sè c¸c [q] - boson ë cïng trạng thái lợng tử có lợng  N  q e  ( ) 1 1  ( )  qq e 1 e  2 ( )  (3.73)  HƯ thøc (3.73) gäi lµ phân bố thống kê Bose - Einstein biến dạng- q; Khi tham số biến dạng q = (3.73) trở phân bố thống kê Bose - Einstein quen 3.6 Biểu diễn toán tử {q}-Boson ma trận Khi thay số nguyên ma trận dao động tử boson q - số q thu đợc ma trận biểu diễn toán tử sinh; huỷ dao động q lỵng tư nh sau: boson 0    1q   b  q   0 q  0 0   1  q ;    2  q   0 b q   0       2 0    (3.74 )   b q thoả mãn hệ thức sau: Các ma trận  , bq  N  q b q b q ;   N ; b q  b q , b  b (3.75) q  q    b , b q  N , b q  b     q     q ; N , b q b q q Đại số (3.75) đợc thực không gian Fock có véc t¬ c¬ së |n q  b   q  q n | n ! 69 (3.76)  tử bq , bq không gian T¸c dơng cđa c¸c to¸n  b q | nq n  1 | n  ; b q | q  n | n  (3.77)    n q q q q  69 ViÖc tính trị trung bình số chứa đầy - boson hay số q trạng thái có lợng , đợc thực tơng tự nh trên, thu đợc N q     e 1  q  q 1 e  1   e2         (3.78) Từ biểu diễn ma trận toán tử sinh, hủy{q}- boson (3.74) với n=0, ta thu biểu diễn ma trận toán tử sinh, hủy Fermion Khi q = hệ thức (3.78) trở phân bố thông kê Fermi Dirac, (3.78) đợc gọi phân bố thống kê Fermi - Dirac biến dạng - q KT LUẬN CHƯƠNG Trong chương chúng tơi tìm biểu diễn ma trận toán tử sinh, hủy boson Từ đó, sở lý thuyết biến dạng q, sử dụng q-số Chúng mở rộng thu biểu diễn ma trận toán tử sinh, hủy - q boson theo hai kiểu biến dạng 70 KẾT LUẬN CHUNG Với đề tài “Biểu diễn ma trận toán tử sinh, hủy boson biến dạng” đạt số kết sau: + Trình bày vấn đề toán tử, sở toán học sử dụng học lượng tử lí thuyết trường lượng tử + Chúng chứng minh hệ thức đại số toán tử, hệ thức quan trọng nghiên cứu hệ nhiều hạt phương pháp lí thuyết trường lượng tử + Trên sở hẹ thức giao hoán tốn tử boson chúng tơi tìm biểu diễn ma trận toán tử sinh, hủy boson + Sử dụng lí thuyết biến dạng q chúng tơi mở rộng thu biểu diễn ma trận toán tử sinh, hủy q - boson theo kiểu biến dạng Xây dựng phân bố thống kê biến dạng q mặt hình thức thống dao động tử boson fermion lý thuyết biến dạng 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Xuân Hãn (1996), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử NXB ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), Cơ sở lý thuyết Vật lý Lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội [3] Phạm Qúy Tư Cơ học lượng tử NXBGD Hà Nội, 1998 [4] O W Greenberg (1990), Exemple of infinite statistics, Phys Rev Lett 64, 705 [5] A J Macfarlane (1989), On q - Analogues of the Quantum Harmonic Oscil - lators and the Quantum Group SU (2)q, J.Phys A: Math Gen 22, 4581 [7] H S Green(1953), A Generalized Method of Field Quantization, Phys Rev 270 90, [8] V I Manko, G Marmo, S Sonimeno, F Zaccaria (1993), Physical non-Linear Aspects of Classical and Quantum q- Oscillators, Mod Phys Lett A8, 3577 [9] A Martin Relgado (1991), Planck Distribution for a qBoson Gas, J Phys A: Math Gen 24, L1285 - L1291 [10] A Jannuassis oscillator, J Phs A: (2003), New deformed Heisenberg Math Gen 23, L233L237 [11] Dao Vong Duc (1994), Generalized q- deformed oscillator and their statistics, Preprint ENSLAPP-A-494/94, Annecy France [12] Luu Thi Kim Thanh (2009), The Average Energy for The qDeformed Harmonic Oscillator, Comm in Phys Vol 19, No 2, pp 124 -128 [13] Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng(1998), Vật lý thống kê, NXBĐHQG Hà Nội 72 [14] N.T.T.Huong , N.C.Cuong,and H.H.Bang(2010), Squark pair Production at Muon Colliders in the MSSM with CP viola - tion”, Int.J of Theor.Phys 49(1), pp.1457-1464 72 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA CÁC PHÉP TÍNH TỐN TỬ 1.1 Khơng gian vectơ E - không gian vectơ Euclide 1.2 Không gian Hilbert 1.3 Vecto ket, bra 1.4 Toán tử 13 1.5 Vectơ riêng trị riêng toán tử 15 1.6 Phép biến đổi sở Unita bất biến 20 1.7 Giao hoán tử toán tử - Hệ thức bất định 24 KẾT LUẬN CHƯƠNG 26 Chương 2: MỘT SỐ HỆ THỨC ĐẠI SỐ TOÁN TỬ QUAN TRỌNG 27 2.1 Hệ thức 27 2.2 Hệ thức 28 2.3 Hệ thức 28 2.4 Hệ thức 29 2.5 Hệ thức 30 2.6 Hệ thức 32 2.7 Hệ thức 34 2.8 Hệ thức 35 2.9 Hệ thức 35 2.10 Hệ thức 10 36 KẾT LUẬN CHƯƠNG 37 73 Chương 3: BIỂU DIỄN MA TRẬN CỦA TOÁN TỬ BOSON BIẾN DẠNG q 38 3.1 Phép biểu diễn số lấp đầy cho dao động tử điều hoà 38 3.2 Hệ nhiều hạt đồng 49 3.3 Biểu diễn toán tử ma trận 60 3.4 Biểu diễn toán tử Boson ma trận 62 3.5 Biểu diễn toán tử [q]-Boson ma trận 64 3.6 Biểu diễn toán tử {q}-Boson ma trận 68 KẾT LUẬN CHƯƠNG 69 KẾT LUẬN CHUNG 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 ... ij Như ma trận A biểu diễn * ij *    tốn tử A biểu diễn tốn tử A ma trận A (biểu diễn toán tử A ) chuyển vị lấy liên hợp phức 1.4.2 Toán tử ecmite  Định nghĩa toán tử ecmite: Toán tử A gọi...  Tốn tử A tác dụng khơng gian Z có sở trực chuẩn biểu diễn ma trận A có phần tử là: Aij  ei A e j  en  (1.34)  Ma trận biểu diễn toán tử A liên hợp với A biểu diễn ma trận có phần tử là:... kê biến dạng , với tư cách thống kê mở rộng [10, 11, 12, 13, 14] Cho đến cách mở rộng đáng ý khuôn khổ đại số biến dạng Với lý chọn đề tài Biểu diễn ma trận toán tử sinh, hủy boson biến dạng