Về phương pháp ma trận cho bài toán tổ hợp và hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ THU HƢƠNG VỀ PHƢƠNG PHÁP MA TRẬN CHO BÀI TỐN TỔ HỢP VÀ HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ THU HƢƠNG VỀ PHƢƠNG PHÁP MA TRẬN CHO BÀI TỐN TỔ HỢP VÀ HÌNH HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Thanh Sơn THÁI NGUYÊN - 2018 i Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu Chương Ma trận số kiến thức 1.1 Ma trận phép toán ma trận 1.2 Định thức ma trận 1.3 Giá trị riêng, véctơ riêng 1.4 Chéo hóa ma trận 1.5 Chuẩn ma trận 1.6 Phân tích SVD ma trận chuẩn Chương Phương pháp ma trận tổ hợp 2.1 Ma trận đồ thị 2.2 Đếm đường đi: phương pháp ma trận chuyển 2.3 Đếm số bao trùm 2.4 Đếm chu trình Euler Chương Phương pháp ma trận hình 3.1 Quay không gian 3.2 Giao nhân 3.3 Góc khơng gian 3.4 Giao không gian bị liệt kê học 4 11 13 17 18 28 28 31 37 42 47 47 50 53 58 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 ii Bảng ký hiệu K Trường số M (m × n, K) Khơng gian ma trận cỡ m × n trường K A Ma trận A AT Ma trận chuyển vị ma trận A In Ma trận đơn vị cấp n tr(A) Vết ma trận A sgn(σ) Dấu phép hoán vị σ det(A) Định thức ma trận A pA (x) Đa thức đặc trưng ma trận A A R Chuẩn Frobenius ma trận A A p Chuẩn p ma trận A diag Ma trận đường chéo ker(A) Hạt nhân ma trận A span(v1 , v2 , , ) Không gian véctơ sinh {v1 , v2 , , } im(A) Ảnh ma trận A A(k, :) Hàng thứ k ma trận A A(:, k) Cột thứ k ma trận A G(V, E) Đồ thị G có tập đỉnh V tập cạnh E deg(u) Bậc đỉnh u indeg(u) Bậc vào đỉnh u outdeg(u) Bậc đỉnh u A(G) Ma trận kề đồ thị G M (G) Ma trận liên thuộc đồ thị G L(G) Ma trận Laplacian đồ thị G Lv (G) → − L (G) Phần phụ đại số L(G) CG (n) Số đường đóng có độ dài n G cG Sô bao trùm đồ thị G c(G, v) Sơ bao trùm có gốc v đồ thị G SVD Phân tích kỳ dị ma trận Ma trận Laplacian đồ thị có hướng G Mở đầu Trong tốn học, lý thuyết ma trận đại số tuyến tính nội dung bản, quan trọng có nhiều nhiều ứng dụng Ngày nay, ma trận ứng dụng vào hàng loạt lĩnh vực khác nhau, từ giải tích tới hình học vi phân lý thuyết đồ thị, từ học vật lý tới kỹ thuật, Vì trở thành trọng tâm nội dung học tập sở cho việc đào tạo bậc đại học sau đại học thuộc chuyên ngành khoa học công nghệ tất trường đại học Về mặt lịch sử, tác phẩm “Nghiên cứu số học” (Disquisitiones Arithmeticae, năm 1801), để xác định phép biến đổi tuyến tính, Gauss đưa ký hiệu dạng bảng, ma trận Ơng định nghĩa tích hai ma trận Điều gợi ý cho Cauchy ([5]) tới định lý tích hai định thức Vào kỷ 19, Cayley Silvester phát triển lý thuyết ma trận Các khái niệm ma trận định thức ngày quen thuộc với nhà tốn học, chúng góp phần làm chín dần ý niệm không gian n chiều Trong lý thuyết đồ thị, đồ thị tập hợp mối quan hệ đỉnh cạnh đồ thị Mối quan hệ có biểu diễn dạng danh sách cạnh kề dạng ma trận Từ việc khảo sát tính chất đặc trưng đồ thị thực thông qua khảo sát ma trận đồ thị ngược lại Bài toán đếm cây, đếm nhánh, đếm đường đồ thị chuyển thành tốn tính định thức ma trận Ở khía cạnh khác, coi cột ma trận véc tơ phương phẳng, ma trận mang thơng tin phương phẳng Những phép toán ma trận biểu biến đổi hay tương tác mang tính hình học phẳng mà thơng qua đó, nhiều tốn hình học giải Với mong muốn tìm hiểu sâu ứng dụng ma trận giải toán tổ hợp toán hình học, chúng tơi lựa chọn đề tài Về phương pháp ma trận cho tốn tổ hợp hình học hướng dẫn TS Nguyễn Thanh Sơn Mục đích luận văn sử dụng số khái niệm tính chất ma trận, định thức, giá trị riêng, phân tích giá trị kỳ dị ma trận để giải số toán quay không gian con, giao hai không gian, số tốn đếm tổ hợp Ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia làm ba chương Chương Ma trận số kiến thức chuẩn bị Chương tổng hợp lại định nghĩa, số tính chất, định lý ma trận, định thức, phép tốn ma trận, vết ma trận, phân tích SVD ma trận Chương Phương pháp ma trận tổ hợp liệt kê Chương trình bày ứng dụng phương pháp ma trận vào toán đếm số học tổ hợp, cụ thể toán đếm cây, đếm chu trình, đếm số đường đồ thị Một đồ thị biểu diễn dạng ma trận, từ ta suy đặc trưng dựa ma trận Chương Phương pháp ma trận hình học Trong chương phép phân tích SVD sử dụng để trả lời câu hỏi: cho trước hai không gian con, chúng gần nào, chúng có giao hay khơng, ta “quay” khơng gian thành khơng gian lại khơng Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS Nguyễn Thanh Sơn, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho tơi nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy cô, người tận tâm giảng dạy bảo tác giả suốt trình học tập thực luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết chân thành tới phòng Sau Đại học, khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu khoa học Cuối xin gửi làm cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 10 năm 2018 Người viết luận văn Nguyễn Thị Thu Hương Chương Ma trận số kiến thức chuẩn bị Nhằm đạt tính tồn vẹn định luận văn nhắc lại số kiến thức bản, chương tổng hợp lại định nghĩa, số tính chất, định lý ma trận, định thức, phép toán ma trận, vết ma trận, phân tích SVD ma trận Nội dung chương tổng hợp từ giáo trình đại số tuyến tính [1] sách chun khảo tính tốn ma trận [7] 1.1 Ma trận phép toán ma trận Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Mỗi bảng có dạng  a11 a12 a  21 a22 A=  · · am1 am2  · · · a1n  · · · a2n   ··· ·  · · · amn aij ∈ K (1 ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n), gọi ma trận m hàng n cột với phần tử K Nếu m = n, ta nói A ma trận vuông cấp n Véctơ hàng (ai1 , ai2 , , ain ) gọi hàng thứ i ma trận A Véctơ cột (a1j , a2j , , amj )T gọi cột thứ j ma trận A Ma trận nói thường ký hiệu gọn A = (aij )m×n Tập hợp tất ma trận m hàng, n cột với phần tử K ký hiệu M (m×n, K) Ta định nghĩa hai phép tốn cộng nhân với vơ hướng M (m × n, K) sau:  a11 a12 a  21 a22   · · am1 am2   · · · a1n b11 b12   · · · a2n   b21 b22 + ··· ·   · · · · · amn bm1 bm2  a11 + b11 a12 + b12 a +b a22 + b22  21 21 =  · · am1 + bm1 am2 + bm2  a11 a12 a  21 a22 a  · · am1 am2   · · · b1n  · · · b2n   ··· ·  · · · bmn  · · · a1n + b1n  · · · a2n + b2n  ,  ··· · · · · amn + bmn  · · · a1n aa11 aa12   · · · a2n   aa21 aa22 = ··· ·   · · · · · amn aam1 aam2  · · · aa1n  · · · aa2n   , (a ∈ K) ··· ·  · · · aamn Cho hai ma trận A = (aij ) ∈ M (m × n, K), B = (bjk ) ∈ M (n × p, K) Định nghĩa 1.1.2 ([1]) Tích AB ma trận A ma trận B ma trận C = (cik ) ∈ M (m × p, K) với phần tử xác định sau n cik = (1 ≤ i ≤ m, ≤ k ≤ p) aij bjk , j=1 Ví dụ 1.1.3  a b c  x t   ax + by + cz at + bu + cv       d e f  y u = dx + ey + f z dt + eu + f v  g h i z v gx + hy + iz gt + hu + iv Ví dụ 1.1.4   −2  15  −1 0 = −1 17 4 −2 = −4 12 −6 Nhận xét 1.1.5 Điều kiện để định nghĩa ma trận tích AB số cột A số hàng B Có thể xảy trường hợp tích AB định nghĩa mà tích BA khơng Ma trận  0  I = In =  · 0 ·  ···  · · · 0  · · · · ··· gọi ma trận đơn vị cấp n Định nghĩa 1.1.6 ([1]) Ma trận A ∈ M (n × n, K) gọi ma trận khả nghịch (hoặc ma trận khơng suy biến) có ma trận B ∈ M (n × n, K) cho AB = BA = In Khi đó, ta nói B nghịch đảo A ký hiệu B = A−1 Nhận xét A khả nghịch ma trận nghịch đảo xác định Thật vậy, giả sử B B nghịch đảo A Khi B = BIn = B(AB ) = (BA)B = In B = B Trong Mục 1.2, điều kiện cần đủ đơn giản ma trận vuông khả nghịch Định nghĩa 1.1.7 Cho ma trận A cỡ m × n, ta đổi hàng ma trận A thành cột (và cột thành hàng) ta ma trận cỡ n × m, gọi ma trận chuyển vị ma trận A, ký hiệu AT AT = (cij )n×m , cij = aji , i = 1, , n, j = 1, , m Tính chất 1.1.8 (A + B)T = AT + B T (kA)T = kAT (AB)T = B T AT Định nghĩa 1.1.9 Nếu A = AT A gọi ma trận đối xứng (A ma trận vng có phần tử đối xứng qua đường chéo thứ nhất) A = −AT A gọi phản đối xứng (A ma trận vng có phần tử đối xứng trái dấu qua đường chéo thứ nhất, phần tử đường chéo thứ 0) 48 A − BQ F = tr(AT A) + tr(B T B) − tr(QT B T A) Cho nên, (3.1) tương đương với tốn cực đại hóa tr(QT B T A) Điểm cực đại hóa Q tìm cách tính phân tích SVD ma trận B T A Thật vậy, U T (B T A)V = Σ = diag(σ1 , , σp ) phân tích SVD ma trận ta định nghĩa ma trận trực giao Z Z = V T QT U , p tr(QT B T A) = tr(QT U ΣV T ) = tr(ZΣ) = p zii σi ≤ i=1 σi i=1 Rõ ràng, ta đạt cận cách đặt Q = U V T Z = Ip Từ đó, ta có định lý sau Định lý 3.1.1 ([7]) Cho ma trận A B thuộc Rm×p , thuật tốn sau tìm ma trận trực giao Q ∈ Rp×p cho A − BQ F đạt cực tiểu C = B T A Tính phân tích SVD U T CV = Σ Lưu U V Q = U V T Ví dụ 3.1.2 Cho hai ma trận   1.2 2.9  A= 5.2 6.8 2.1  4.3 , 6.1 8.1 Tìm ma trận Q cho A − BQ F  3  B= 5   4  6 đạt cực tiểu Giải Sử dụng phần mềm Maple ta tính C := transpose(B).A = 83.5 102.2 99.6 122.8 Tính phân tích SVD C: U, S, V := svd(C) U= −0.6408 −0.7677 −0.7677 0.6408 49 Σ= 205.9538 0 0.3626 V = −0.6311 −0.7757 −0.7757 0.6311 Từ ta có ma trận Q = U V T cần tìm Q := U.transpose(V) = 0.9999 0.0126 −0.0126 0.9999 Vậy ma trận Q= 0.9999 −0.126 0.126 0.9999   cực tiểu hóa  3   5 1.2   4 2.9 Q −  5.2 6 6.8  2.1  4.3  6.1 8.1 = 0.4661 F Ta biết phép quay ngược chiều kim đồng hồ góc θ (radian) R2 biểu thị ánh xạ tuyến tính có ma trận R(θ) = cos θ − sin θ sin θ cos θ Trong R3 , tình phức tạp chút Ta nghiên cứu phép quay quanh trục tọa độ Mở rộng từ kết R2 , ba phép quay góc θ theo trục Ox, Oy, Oz  0    Rx (θ) = 0 cos θ − sin θ , sin θ  cos θ   cos θ sin θ  , − sin θ cos θ  Ry (θ) =   cos θ − sin θ   Rz (θ) =  sin θ cos θ 0 0 Để minh họa phép quay nghiên cứu mục này, ta xét ví dụ sau 50 Ví dụ 3.1.3 Cho hai ma trận   1   B = 1 1 ,  0  √ √  A= 2 Quay ma trận B quanh trục Oz góc π/4 ta √ Rz (π/4) · B = 2 √  2 √ −√ 22 2   1 1  0    √ √  2 = A 0 1 1 =  Vậy quay quanh trục Oz góc π/4, vectơ cột B biến thành véctơ cột A Nói cách khác, tốn Procrustes với ma trận AT T B T có điểm cực tiểu Q = Rz (π/4) với giá trị cực tiểu Thật vậy, ta kiểm tra điều thuật toán nêu Định lý 3.1.1 với trợ giúp Maple Sử dụng cú pháp interface(displayprecision = 4): with(MTM): with(LinearAlgebra): A := Matrix([[0, sqrt(2), 0], [0, sqrt(2), 1]]): B := Matrix([[1, 1, 0], [1, 1, 1]]): C := transpose(B).A: U, S, V := svd(evalf(C)): Q := U.transpose(V) ta thu ma trận Q   −0.7071 0.7071 5.2763 · 10−11   Q= 0.7071 0.7071 5.2763 · 10−11  −3.1402 · 10−16 −7.4619 · 10−11 1.000 Kiểm tra lại ta có chuẩn Frobenius B T Q − A 3.2 F = 1.0553 · 10−10 ≈ Giao nhân Nhắc lại nhân ánh xạ tuyến tính A, ký hiệu ker(A), tập véc tơ x cho Ax = Khi A ánh xạ khơng gian hữu hạn 51 chiều mà đó, có sẵn sở, A biểu diễn thành ma trận, ta ký hiệu A Khi đó, nhân ma trận A tập véc tơ cột cho Ax = Cho A ∈ Rm×n B ∈ Rp×n , xét tốn tìm sở trực chuẩn ker(A) ∩ ker(B) Một cách tiếp cận tính nhân ma trận C= A B Cx = x ∈ ker(A) ∩ ker(B) Tuy nhiên, có cách hiệu ta dùng định lý sau Định lý 3.2.1 ([7]) Giả sử A ∈ Rm×n , B ∈ Rp×n cho {z1 , , zt } sở trực chuẩn ker(A) Đặt Z = [z1 , , zt ] Gọi {w1 , , wq } sở trực chuẩn ker(BZ) Nếu W = [w1 , , wq ], cột ZW tạo thành sở trực chuẩn ker(A) ∩ ker(B) Chứng minh Vì AZ = (BZ)W = nên ta có im(ZW ) ⊂ ker(A) ∩ ker(B) Giả sử x thuộc ker(A) ker(B) Ta suy x = Za với = a ∈ Rt Nhưng = Bx = BZa, ta phải có a = W b với b ∈ Rq Do đó, x = ZW b ∈ im(ZW ) Khi sử dụng phép phân tích SVD để tính sở trực chuẩn định lý trên, ta thu thuật toán sau: Thuật toán 3.2.2 ([7]) Cho A ∈ Rm×n B ∈ Rp×n , thuật tốn sau tìm số ngun s ma trận Y = [y1 , , ys ] có cột trực chuẩn sinh khơng gian ker(A) ∩ ker(B) Nếu phép giao rỗng s = Tính phân tích SV D UAT AVA = diag(σi ) Lưu VA đặt r = rank(A) Nếu r < n C = BVA (:, r + : n) Tính phân tích SV D UCT CVC = diag(γi ) Lưu VC đặt q = rank(C) Nếu q < n − r s=n−r−q Y = VA (:, r + : n)VC (:, q + : n − r) Ngược lại 10 s=0 52 11 Ngược lại 12 s=0 13 Kết thúc Ví dụ 3.2.3 ([7]) Nếu   −1   A = 1 −1 1 , −1     B = 2  giải hệ phương trình Ax = Bx = ta tìm ker(A) ∩ ker(B) = span{x}, x = [1 − − 3]T Áp dụng Thuật toán 3.2.2, ta tìm    −0.8165 0.0000 V2A V2C 0.2673          −0.3273 ≈ −0.5345 ≈ 0.2673 −2 = −0.4082 0.7071 0.4082 0.7071 −0.9449 −0.8018 −3 Ví dụ 3.2.4 Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P ) : 2x+y−z−3 = (Q) : x + y + z − = Viết phương trình tắc đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng (P ) (Q) Giải Cách (phương pháp phổ thông) Mặt phẳng (P ) có véctơ pháp tuyến n(P ) = (2, 1, −1) Mặt phẳng (Q) có véctơ pháp tuyến n(Q) = (1, 1, 1) Tích có hướng hai véctơ pháp tuyến [n(P ) , n(Q) ] = −1 1 −1 1 1 = (2, −3, 1) Điểm M (0, 2, −1) điểm chung hai mặt phẳng Đường thẳng giao tuyến (P ) (Q) qua M (0, 2, −1) nhận véctơ u = (2, −3, 1) làm véctơ phương có phương trình tắc x y−2 z+1 = = −3 hay có phương trình tham số    x = 2t y = − 3t   z = −1 + t (t ∈ R) 53 Cách (Áp dụng Thuật toán 3.2.2) Theo cách biểu diễn đại số tuyến tính, mặt phẳng (P ) trực giao với véctơ pháp tuyến n(P ) = (2, 1, −1) hay (P ) nhân ma trận   2   A= 1  −1 −1 −1 Tương tự, (Q) nhân ma trận   1   B = 1 1  1 Khi việc tìm giao tuyến (P ) (Q) tương đương với tìm ker(A)∩ker(B) Áp dụng Thuật tốn 3.2.2 ta tìm sở ker(A) ∩ ker(B) Nói cách khác, ta tìm véctơ phương giao tuyến (P ) ∩ (Q) 3.3 Góc khơng gian Ý tưởng sử dụng phép phân tích SVD để tính góc vộct chớnh l ca Bjăorck v Golub [4] Cho F G hai khơng gian Rm có số chiều thỏa mãn p = dim(F ) ≥ dim(G) = q ≥ Góc nhỏ θ1 (F, G) = θ1 ∈ [0, π/2] F G định nghĩa cos θ1 = max max uT v, u = 1, v = u∈F v∈G Giả sử giá trị cực đại đạt u = u1 v = v1 Khi đó, θ2 (F, G) định nghĩa góc nhỏ thành phần trực giao F u1 với thành phần trực giao G v1 Tiếp tục theo cách không gian rỗng, ta dẫn tới định nghĩa sau Định nghĩa 3.3.1 ([4]) Các góc (principal angles) θ1 , , θq ∈ [0, π/2] F G định nghĩa cách truy hồi với k = 1, 2, , q cos(θk ) = max max uT v = uTk vk u∈F v∈G 54 với ràng buộc u = v = 1, uT ui = 0, i = 1, 2, , k − 1, v T vi = 0, i = 1, 2, , k − Các véctơ {u1 , , uq } {v1 , , vq } gọi véctơ khơng gian F G Lưu ý góc thỏa mãn ≤ θ1 ≤ · · · ≤ θq ≤ π/2 Các véctơ {u1 , , uq } {v1 , , vq } gọi véctơ khơng gian F G Lưu ý véctơ khơng xác định góc ln ln xác định Góc lớn có liên hệ với khái niệm khoảng cách không gian số chiều Nếu p = q dist(F, G) := − cos2 (θp ) = sin(θp ) Nếu cột QF ∈ Rm×p QG ∈ Rm×q sở trực chuẩn F G, max max uT v = max max y T (QTF QG )z p q u∈F u =1 v∈G v =1 y∈R y =1 z∈R z =1 Ta suy Y T (QTF QG )Z = diag(σ1 , , σq ) phân tích SVD QTF QG , ta xác định uk , vk θk [u1 , , up ] = QF Y, [v1 , , vq ] = QG Z, cos(θk ) = σk k = 1, , q Thông thường, không gian F G định nghĩa miền giá trị ma trận cho trước A ∈ Rm×p B ∈ Rm×q Trong trường hợp này, sở trực chuẩn cần có tìm cách tính phân tích QR hai ma trận Thuật tốn 3.3.2 ([7]) Cho A ∈ Rm×p B ∈ Rm×q (p ≥ q), ma trận có cột độc lập tuyến tính, thuật tốn sau tính ma trận trực giao U = [u1 , , uq ] V = [v1 , , vq ] cos(θ1 ), , cos(θq ) cho góc θk góc im(A) im(B) uk vk véctơ tương ứng 55 Giả sử A, B có phân tích QR A = QA RA QTA QA = Ip , RA ∈ Rp×p B = QB RB QTB QB = Iq , RB ∈ Rq×q C = QTA QB Tính phân tích SVD Y T CZ = diag(cos(θk )) QA Y (:, : q) = [u1 , , uq ] QB Z = [v1 , , vq ] Ví dụ 3.3.3 Cho hai ma trận         A = 3 4 , B = 3  −1 Tìm giá trị cosin góc im(A) im(B) Giải Sử dụng phần mềm Maple, ta thực cú pháp sau để thực thi Thuật toán 3.3.2 interface(displayprecision = 4): with(MTM): with(LinearAlgebra): A := Matrix([[1, 2], [3, 4], [5, 6]]): B := Matrix([[1, 5], [3, 7], [5, -1]]): Q1, R1 := QRDecomposition(A)  √  √ 13 √ 35 210 210 √ √ 35   35 35 105 210  ,  35 √ √ 1 35 − 42 210 Q2, R2 := QRDecomposition(B)   √ √ 11 √ 35 390 390√ √ 35  35  35 30 390  ,  35 √ √ 1 35 − 390 39 C := transpose(Q1).Q2 2340 √ √ 210 390 √ 44 35√ 35 35 210 √ 35√ 35 390 56 Y, S, Z := svd(evalf(C)) 1.0000 1.0000 1.0000 , , 1.0000 0.8561 1.0000 Các giá trị cosin góc im(A) im(B) giá trị đường chéo S nên 1.0000 0.8561 Ở góc độ hình học, ta xem cột A B véctơ phương hai mặt phẳng (A) (B) cosin góc thứ tức góc có giá trị Điều nói nên việc mặt phẳng có giao chung với nhau; giao tuyến có phương véctơ tương ứng Việc giá trị cosin góc thứ hai số khác khác nói lên hai mặt phẳng tạo với góc (hiểu theo nghĩa tốn học phổ thơng) có cosin 0,8561 Mối liên hệ phân tích kỹ phần Sau ta xây dựng mối liên hệ khái niệm góc trình bày mục với khái niệm góc chương trình tốn học phổ thông Trước tiên cần nhấn mạnh khái niệm trình bày muc hiểu xác góc phương thẳng phương phẳng Khái niệm thay cho khơng gian véctơ chiều hai chiều Ta xét ba chiều a) Góc hai đường thẳng: Góc hai đường thẳng a b góc a b b đường thẳng cắt a song song với b Khái niệm cắt bao trùm khái niệm trùng Từ Định nghĩa 3.3.1, ta cần tìm hai véctơ u v độ dài 1, có giá nằm a b cho góc chúng nhỏ (vì hàm cosin nghịch biến [0, π/2]) Khi a b a ≡ b nên u v chọn trùng Do cos θ1 = uT v = u, v = u = 1, nên góc a b radian Nếu a ∦ b, a cắt b Do hạn chế θ1 ∈ [0, π/2], góc hai đường thẳng a (b ) góc nhọn tạo a cắt b Khi đó, hình dung u v có giá a, b , gốc nằm giao điểm a với b có độ dài b) Góc đường thẳng mặt phẳng: Với cách tiếp cận tương tự phần trước, góc mặt phẳng (P ) đường thẳng a góc (P ) a a a qua M ∈ (P ) Nếu a (P ) a ⊂ (P ) Ta chọn u ≡ v có giá nằm (a ) có độ dài Khi đó, góc chúng, theo Định 57 nghĩa 3.3.1 xác định cos θ1 = u, v = u = 1, nên θ1 = radian Do vậy, ta nói a (P ) nằm (P ) a song song (P ) tùy theo việc a (P ) có khơng có điểm chung Trong trường hợp a (P ) cắt nhau, tốn học trình bày phổ thơng, người ta định nghĩa góc a (P ) góc a hình chiếu vng góc a a lên (P ) Để mối liên hệ với khái niệm góc trình bày mục này, ta cần đến tính chất sau Tính chất 3.3.4 Cho đường thẳng a mặt phẳng (P ) cắt khơng gian, a hình chiếu vng góc a lên (P ) Giả sử b đường thẳng nằm (P ) qua giao a ∩ (P ) Khi đó, góc a a khơng lớn góc a b Từ tính chất phần góc hai đường thẳng, ta chọn u v có giá nằm a a Theo góc u v trùng với góc a (P ) định nghĩa chương trình phổ thơng c) Góc hai mặt phẳng: Ta biết hai mặt phẳng (P ) (Q) khơng gian có ba vị trí tương đối: trùng nhau, song song cắt Hai trường hợp đầu quy trường hợp ta xét góc tạo chúng: góc hai mặt phẳng Sử dụng Định nghĩa 3.3.1, ta chọn u1 = v1 có độ dài có giá nằm (P ) (Q) Do hai giá song song (hai véctơ chiều) nên theo phân tích góc hai đường thẳng cos θ1 = u1 , v1 = u1 = Do θ1 = radian Đây góc thứ Để tìm góc thứ hai, ta phải chọn u2 v2 vng góc với u1 v1 Do (P ) (Q) song song trùng nên ta dễ dàng chọn u2 = v2 có chuẩn Do mà θ2 radian Trong trường hợp (P ) (Q) cắt theo giao tuyến d Khi ta thấy u1 = v1 có giá nằm d θ1 = radian Để xác định θ2 , (P ) lấy u2 ⊥ u1 có gốc nằm (Q) Tại gốc u2 , lấy v2 nằm Q mà vng góc với v1 = u1 theo chiều cho góc u2 v2 khơng lớn π/2 Khi sách phổ thơng định nghĩa góc (P ) (Q) góc hai véctơ u2 v2 Để góc góc thứ hai θ2 hai phương phẳng (P ) (Q), ta sử dụng tính chất sau 58 Tính chất 3.3.5 Với ký hiệu trên, giả sử v2 véctơ có gốc trùng với gốc v2 có giá nằm (Q) Khi đó, góc u2 v2 ln khơng lớn góc u2 v2 Như vậy, qua phân tích ta thấy khái niệm góc hai khơng gian trình bày mục khái qt hóa khái niệm góc đối tượng chiều hai chiều trình bày chương trình tốn học phổ thơng Cụ thể hơn, ta nói góc (khác khơng) đối tượng góc khác khơng theo thứ tự Định nghĩa 3.3.1 (xem Hình 3.1) Hình 3.1: Góc thứ hai θ2 góc hai mặt phẳng (P ) (Q) 3.4 Giao không gian Thuật tốn 3.3.2 sử dụng để tìm sở trực chuẩn im(A) ∩ im(B) A ∈ Rm×p B ∈ Rm×q (p ≥ q) Định lý 3.4.1 ([7]) Cho {cos(θk ), uk , vk }qk=1 xác định Thuật toán 3.3.2 Nếu số s xác định = cos(θ1 ) = · · · = cos(θs ) > cos(θs+1 ), ta có im(A) ∩ im(B) = span{u1 , , us } = span{v1 , , vs } Chứng minh Chứng minh rút từ nhận xét cos(θk ) = 1, uk = vk 59 Ví dụ 3.4.2 Cho hai mặt phẳng (P ) (Q) xác định phương trình tổng quát (P ) : z = (Q) : x = Tìm đường thẳng giao tuyến Giải Mặt phẳng (P ) (Q) tương ứng im(A) im(B)   0   A = 0  , 0   0   B = 0 0 0 Ta tìm sở im(A) ∩ im(B) dựa vào Định lý 3.4.1 Thuật toán 3.3.2 with(MTM): with(LinearAlgebra): A := Matrix([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 0]]): B := Matrix([[0, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]): Q1, R1 := QRDecomposition(A)     0 1 , 0 0 Q2, R2 := QRDecomposition(B)   0   0 1 , 0 0 C := transpose(Q1).Q2 0 Y, S, Z := svd(evalf(C)) −1 , −1 Q1.Y , 0 −1 60   −1   −1  0 Vậy ma trận u1 , u2     u1 = −1 ,   −1   u2 =   Vì = cos θ1 > cos θ2 = 0, ta có (P ) ∩ (Q) = im(A) ∩ im(B) = span{u1 } Phương trình đường thẳng giao tuyến (P ) (Q) có dạng    x = y = −t, t ∈ R   z = 0, hay giao tuyến trục Oy Trong chương ta thấy được, tốn quay khơng gian chuyển thành toán cực tiểu chuẩn Frobenius hai ma trận Bài tốn tìm giao nhân ma trận có trường hợp riêng tìm phương giao tuyến hai mặt phẳng chuyển thành tốn tìm sở trực chuẩn tích ma trận Việc tìm góc khơng gian trường hợp riêng tốn xác định góc véctơ hai khơng gian Việc tìm giao mặt phẳng giao hai không gian giải nhờ vào thuật tốn tìm góc véctơ hai khơng gian Cuối cùng, tất ứng dụng trên, việc tìm phân tích SVD ma trận ln cần thiết để tìm lời giải tốn 61 Kết luận Luận văn với đề tài Về phương pháp ma trận cho tốn tổ hợp hình học giải vấn đề sau: • Trình bày kiến thức chuẩn bị ma trận định nghĩa ma trân, định thức, giá trị riêng, véctơ riêng, chéo hóa ma trận, định nghĩa phép phân tích kỳ dị, cú pháp tìm phân tích SVD phần mềm Maple • Trình bày ứng dụng phương pháp ma trận vào số toán đếm đồ thị, cụ thể tốn đếm cây, đếm chu trình, đếm số đường đi, đếm số bao trùm, đếm số chu trình Euler đồ thị • Ứng dụng phân tích SVD giải tốn xoay hai khơng gian con, tìm giao nhân hai ánh xạ tuyến tính, tính góc khơng gian, tìm giao không gian Sử dụng phần mềm Maple để thực hành tính tốn cho tốn 62 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng (2001), Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Tiếng Anh [2] F Ardila (2015), Algebraic and geometric methods in enumerative combinatorics, Handbook of Enumerative Combinatorics, M Bóna (editor), in series Discrete Mathematics and Its Applications, CRC Press, 2015 [3] R A Beezer (2006), A First Course in Linear Algebra, Congruent Press [4] A Bjăorck and G H Golub (1973), “Numerical Methods for Computing Angles Between Linear Subspaces”, Math Comp., 27, pp 579–594 [5] J G Broida and S G Williamson (1989), A Comprehensive Introduction to Linear Algebra, Addison-Wesley [6] D Cvetkovic, P Rowlinson, S Simic (2010), An Introduction to the Theory of Graph Spectra, Cambridge University Press [7] G H Golub and C F Van Loan (1996), Matrix Computations, The Johns Hopkins Universirty Press ... lý ma trận, định thức, phép toán ma trận, vết ma trận, phân tích SVD ma trận Chương Phương pháp ma trận tổ hợp liệt kê Chương trình bày ứng dụng phương pháp ma trận vào toán đếm số học tổ hợp, ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ THU HƢƠNG VỀ PHƢƠNG PHÁP MA TRẬN CHO BÀI TỐN TỔ HỢP VÀ HÌNH HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số:... n, K) Khơng gian ma trận cỡ m × n trường K A Ma trận A AT Ma trận chuyển vị ma trận A In Ma trận đơn vị cấp n tr(A) Vết ma trận A sgn(σ) Dấu phép hoán vị σ det(A) Định thức ma trận A pA (x) Đa