Một số kết quả về biểu diễn nhóm hữu hạn luận văn tốt nghiệp đại học

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ******************** LÊ THỊ LƯƠNG TRANG MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN KHÓA LUẬN CỬ NHÂN KHOA HỌC NGÀNH TOÁN HỌC Vinh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ******************** LÊ THỊ LƯƠNG TRANG MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC ThS NGUYỄN QUỐC THƠ Vinh – 2011 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Chương KHÁI NIỆM VỀ BIỂU DIỄN NHÓM § 1: Định nghĩa biểu diễn .3 § 2: Đặc trưng biểu diễn § 3: Vành biểu diễn Chương MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN § 1: Biểu diễn nhóm Aben § 2: Biểu diễn nhóm đối xứng .15 § 3: Biểu diễn nhóm đối xứng tổng quát .26 § 4: Biểu diễn quy tổng quát ma trận 29 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 LỜI NÓI ĐẦU Như biết nhóm đối tượng bản, cổ điển toán học Nó mô tả định nghĩa nhóm, mô tả ánh xạ đẳng cấu, mô tả tập sinh quan hệ chúng, biểu diễn nhóm Lý thuyết biểu diễn nhóm lý thuyết có nhiều ứng dụng không toán học mà nhiều ngành khoa học khác Nội dung khoá luận hệ thống lại chứng minh số kết biểu diễn nhóm hữu hạn Khoá luận chia làm hai chương CHƯƠNG I KHÁI NIỆM VỀ BIỂU DIỄN NHÓM Nội dung chương nhắc lại khái niệm biểu diễn nhóm hữu hạn, từ đưa tính chất đặc trưng biểu diễn…Các khái niệm khái niệm cần thiết phục vụ cho chương II Cụ thể thể qua mục sau § 1: Định nghĩa biểu diễn § 2: Đặc trưng biểu diễn § 3: Vành biểu diễn CHƯƠNG II MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN Đây nội dung khoá luận, chương tác giả trình bày số định nghĩa, định lý, tính chất nhóm phép Cụ thể sau § 1: Biểu diễn nhóm Aben § 2: Biểu diễn nhóm đối xứng § 3: Biểu diễn nhóm đối xứng tổng quát § 4: Biểu diễn quy tổng quát ma trận Khoá luận hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo Th.S Nguyễn Quốc Thơ thầy cô giáo khoa toán Nhân dịp tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo Th.S Nguyễn Quốc Thơ thầy cô giáo khoa toán, đặc biệt tổ đại số giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá luận suốt bốn năm học vừa qua Nhân tác giả xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè giúp đỡ tác giả thời gian vừa qua Mặc dù tác giả cố gắng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tác giả mong nhận góp ý thầy cô, bạn sinh viên để khoá luận hoàn thiện Vinh, tháng năm 2011 Tác giả CHƯƠNG I KHÁI NIỆM VỀ BIỂU DIỄN NHÓM § ĐỊNH NGHĨA VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN Giả sử G nhóm hữu hạn, K trường, V không gian vectơ hữu hạn chiều K 1.1 Định nghĩa Một biểu diễn (tuyến tính ) G V đồng cấu nhóm ϕ : G → GL(V ) , từ G vào nhóm GL(V) tự đẳng cấu tuyến tính V Ký hiệu ϕ (s ) ϕ s với s ∈ G Ta có: ϕ st = ϕ sϕ t , ϕ e = id v , ϕ s −1 = (ϕ s ) −1 , Với s, t ∈ G e đơn vị nhóm G V gọi không gian biểu diễn G (hay G - không gian) Số chiều V K gọi cấp biểu diễn Nếu K = ¤ , ¡ , £ £ ta nói ϕ biểu diễn hữu tỉ, thực phức (tương ứng ) G Biểu diễn ϕ : G → GL(V ) gọi biểu diễn trung thành ϕ đơn cấu R * nhóm; ϕ gọi tầm thường ϕ e = id v với s ∈ G 1.2 Ví dụ Mỗi biểu diễn cấp G đồng cấu ϕ : G → GL( K ) ≡ K ∗ = K \ { 0} Đặt g = G , ta có s g = e với s ∈ G , ϕ sg = K ∗ Như ϕ s bậc g đơn vị K ∗ với s ∈ G Từ ta thấy biểu diễn phức phong phú biểu diễn thực, £ * có g bậc g 1, ¡ theo chẵn hay lẻ) * chứa nhiều hai bậc g (tùy § ĐẶC TRƯNG CỦA BIỀU DIỄN Trong mục trở xét biểu diễn phức Giả sử V trường không gian vectơ phức n chiều a: V → V phép biến đổi tuyến tính có ma trận A = ( Aij ) sở { e1 , e2 , , en } V Số n phức Tr (a) = ∑ Aii gọi vết a i =1 2.1 Định nghĩa Giả sử ϕ : G → GL(V ) biểu diễn tuyến tính nhóm G không gian vectơ V Hàm số χ ϕ : G → C định nghĩa công thức: χ ϕ ( s ) = Tr ( χ ϕ ) ,( s ∈ G ) gọi đặc trưng biểu diễn ϕ 2.2 Mệnh đề Nếu χ đặc trưng biểu diễn ϕ có cấp n, thì: (i) χ (e) = n, (ii) χ ( s −1 ) = χ ( s ) , với s ∈ G , (iii) χ (tst −1 ) = χ ( s) , với s,t∈ G 2.3 Định lý Đặc trưng rG biểu diễn quy G cho công thức  G rG ( s ) =  0 s=e s≠e Chứng minh Chọn sở C [ G ] (t) (t ) t∈G , Trên sở ánh xạ ϕ s tác động sau: ϕ s (t ) = st Như vậy, s ≠ e st ≠ t với t ∈ G Ta biểu [ ] diễn ϕ s dạng ma trận, ta ma trận Aϕs = aij n , suy phần tử đường chéo Aϕ sở Tức s rG ( s) = Tr (ϕ s ) = 0, ∀s ≠ e (trong Tr (ϕ s ) vết ϕ ) Vậy theo Mệnh đề 2.2, ta có rG (e) = dim C [ G ] = G Từ định lý ta có hai hệ sau: Hệ Mối biểu diễn bất khả quy chứa biểu diễn quy với số bội cấp Hệ Giả sử W1 , W2 , , W p tất không gian G bất khả quy, đôi không đẳng cấu với nhau, có đặc trưng tương ứng χ1 , χ , , χ p cấp tương ứng n1 , n2 , , n p Khi 2 a) n1 + n2 + + n p = G p b) ∑ ni χ i ( s) = 0, ∀s ∈ G, s ≠ e i =1 2.4 Định nghĩa Hàm f : G → C gọi hàm lớp G nếu, f (tst −1 ) = f (t ), ∀s, t ∈ G Ký hiệu RC (G ) không gian vectơ F(G,C) gồm tất hàm lớp G 2.5 Định lý Số biểu diễn bất khả quy đôi không đẳng cấu G số liên hợp G Chứng minh Giả sử D1,D2, ,Dk tất lớp liên hợp G Hàm f : G → C hàm lớp f số lớp liên hợp D i (i = 1,2 ,k) Các số phức chọn tùy ý, dim( RC (G )) = k Mặt khác dim( RC (G )) số biểu diễn bất khả quy đôi không đẳng cấu G § VÀNH BIỂU DIỄN Tập hợp biểu diễn nhóm G trang bị hai phép toán ⊗,⊕ Nó có nhiều tính chất vành, vành, ta “hiệu” hai biểu diễn (tương ứng với tổng ⊕ ) Để khắc phục điều ta mở rộng tập biểu diễn thành tập biểu diễn suy rộng, cách sau Giả sử ϕ , ϕ , , ϕ p tất biểu diễn bất khả quy đôi không đẳng cấu G Khi đó, biểu diễn ϕ G phân tích thành tổng ϕ = m1ϕ ⊕ ⊕ m pϕ p với hệ số mi nguyên không âm Nếu ψ = n1ϕ ⊕ ⊕ n pϕ p biểu diễn G, ta có ϕ ⊕ ψ = (m1 + n1 )ϕ ⊕ ⊕ (m p + n p )ϕ p , ϕ ⊗ψ = ∑ ⊕ mi n j (ϕ i ⊗ ϕ j ) ij Mối biểu diễn ϕ i ⊗ ϕ j lại phân tích qua ϕ , ϕ , , ϕ p Ta vào đẳng thức ta thu phân tích ϕ ⊗ψ p Bây ta gọi R(G) tập hợp tổng hình thức ϕ = m1ϕ ⊕ ⊕ m pϕ hệ số mi số nguyên (dương, âm 0) Mỗi phần tử R(G) gọi biểu diễn suy rộng G Tổng ϕ ⊕ ψ tích ϕ ⊗ψ hai biểu diễn suy rộng ϕ ψ xác định công thức nêu cho trường hợp ϕ ψ biểu diễn Ta thấy R(G) lập thành vành (giao hoán) hai phép toán ⊕ ⊗ Nó gọi vành biểu diễn nhóm G Giả sử χi đặc trưng biểu diễn ϕ i Khi đó, R(G) đồng với tập hàm tổ hợp tuyến tính χ1 , , χ p χ = m1 χ1 + + m p χ p Với hệ số mi nguyên Mỗi hàm gọi đặc trưng suy rộng G Hai phép toán định nghĩa sau: 10 (∑ mi χ i ) + (∑ ni χ i ) = ∑ (mi + ni )χ i , (∑ mi χ i )(∑ n j χ j ) = ∑ mi n j ( χ i χ j ) Vì R(G) gọi vành đặc trưng G Đối với phép cộng, R(G) nhóm Abel tự tập hợp { χ , χ , , χ } p R G = C ⊗ R (G ) z Hơn R(G) ⊂ Rc G Ngoài ra, ta thấy c Bây ta gọi ϕ biểu diễn đơn vị G, tức biểu diễn cấp ϕ : G → GL(C ) định nghĩa ϕ 1s = id c , ∀s ∈ G , đặc trưng χ1 xác định χ1 ( s ) = 1, ∀s ∈ G Rõ ràng χ1 đơn vị vành R(G) Tóm lại ta thu 3.1 Mệnh đề Các đặc trưng suy rộng G lập thành vành giao hoán R(G) với đơn vị đặc trưng χ1 biểu diễn đơn vị Phép nhân vành R(G) hoàn toàn xác định thông qua hệ số k cấu trúc, tức số nguyên không âm mi j xuất phân tích χ i χ j = ∑ mijk χ k k 3.2 Mệnh đề mijk = G ∑ χ (t ) χ t∈G i j (t ) χ k (t ) Chứng minh mij χ l (t ) Nhân hai vế đẳng thức χi (t ) χ j (t ) = ∑ l l −1 Với G χ k (t ) lấy tổng ∀t ∈ G Quan hệ trực giao đặc trưng k bất khả quy dẫn tới mij = G 3.3 Mệnh đề ∑ χ (t ) χ t∈G i j (t ) χ k (t ) 26 Chẳng hạn: Xét τ a δ ábτ a = δ a b −1 1  τ a −1 =   = (132) ( 456 ) 3 4 1  1  1  τ a −1δ abτ a =       = δ a 2b    3   Tương tự ta kiểm tra trường hợp lại 2.6.5 Định lý Nếu H chuẩn tập lm λ S(G) ,G nhóm có tâm e tự đẳng cấu tự đẳng cấu H ≅ lm λ x lm ρ Chứng minh −1 Ta có H = { α ∈ S (G ) \ α  δ g  α ∈ Im λ , ∀δ g ∈ Im λ} + Từ Im λ , Im ρ nhóm S(G), H chuẩn tập Im λ => Im λ ∆H Im λ ? tâm tập Im λ , H chuẩn tập Im λ => Im λ ? , : α ∈ H , ∀δ g ∈ Im λ => α  δ g  α −1 ∈ Im λ α  δ g  α −1  τ g ' = τ g '  α  δ g  α −1 , ∀τ g ' ∈ Im ρ ⇔ α −1  α  δ g  α −1  τ g '  α = α −1  τ g '  α  δ g  α −1  α ⇔ δ g  (α −1  τ g '  α ) = (α −1  τ g '  α )  δ g −1 −1 Mà α  τ g '  α ∈ S (G ) ⇒ α τ g '  α ∈ Im ρ tâm tập Im λ ⇒ Im ρ ∆ H + Chứng minh Im λ  Im ρ = {id } ,thật : Giả sử α ∈ Im λ  Im ρ ⇒ α ∈ Im λ α ∈ Im ρ ∃δ g1 ∈ Im λ τ g ∈ Im p cho: α ( x ) = δ g1 ( x) = τ g ( x), ∀x ∈ G ⇒ α (e) = δ g1 (e) = τ g (e) ⇔ g1e = eg ⇔ g1 = g 27 Đặt g = g1 = g2 ⇒ α ( x) = δ g ( x ) = τ g ( x), ∀x ∈ G ⇒ g ∈ C (G ) (tâm G) Mà theo giả thiết C(G) = { e} ⇒ g = e ⇒ α ( x) = δ e ( x ) = x, ∀x ∈ G ⇒ α = id ∈ Im λ ∩ Im p Hay Im λ ∩ Im p = { id } + Chứng minh H = Im λ Im p • Chứng minh Im λ Im p ⊂ H ∀α ∈ Im λ Im p ⇒ α = δ g1 τ g −1 Xét α  δ g  α ( x) = τ g  δ g δ g  δ g  τ g ( x) −1 −1 −1 = g1−1 gg1 xg g 2−1 = g1 gg1 x = g ' x = δ g ' ( x) −1 Với g’ =g g1 gg1 ∈ G, ∀δ g ∈ Im λ −1 Mà δ g ' ∈ Im λ ⇒ α  δ g  α ∈ Im λ ⇒ α ∈ H (do H chuẩn tập Im λ ) ⇒ Im λ Im p ⊂ H • Chứng minh H ⊂ Im λ Im p Vì G hữu hạn ⇒ S(G) hữu hạn ⇒ H hữu hạn ⇒ H = { id , x1 , , x n } Mặt khác Im λ ∆ H ⇒ H = Im λ + x1 Im λ + + x n Im λ Ta lại có λ biểu diễn thự G nên G ≅ Im λ Từ giả thiết ⇒ ∀ tự đẳng cấu Im λ tự đẳng cấu trong, đó: xi−1  δ g  xi ∈ Im λ , ∀δ g ∈ Im λ ⇒ ∃a ∈ Im λ cho: xi−1  δ g  xi = a −1  δ g  a ⇒ a  xi−1  δ g  xi  a −1 = δ g ' ⇒ ( xi  a −1 ) −1  δ g  ( xi  a −1 ) = δ g , ∀δ g ∈ Im λ ⇒ xi  a −1 ∈ Im p (do Imp tâm tập Im λ ) 28 Đặt y i = xi  a −1 ∈ Im p ta có: y i Im λ = xi  a −1 Im λ = xi Im λ (do Im λ nhóm ∀i = 1,2, , n ) ⇒ H = Im λ + y1 Im λ + + y n Im λ Khi với α ∈ H α ∈ yi Im λ Hay H ⊂ Im p Im λ = Im λ Im p (Do y i Im λ = Im λy i Im λ∆H ) Vậy H = Im p Im λ Từ ta có: Im λ ∆ H; Imp ∆ H; Im λ ∩ Imp = { id } ⇒ Im λ Imp = < Im λ ∪ Im p >⇒ Im λ Im p ≅ Im λ × Im p ⇒ H ≅ Im λ × Im p (đpcm) a −1 ∈ Im λ )( 29 § BIỂU DIỄN NHÓM BỞI NHÓM ĐỐI XỨNG TỔNG QUÁT Trong mục ta giả thiết nhóm G nhóm hữu hạn, biểu diễn quy ta có biểu diễn khác nhóm phép 3.1 Biểu diễn nhóm qua nhóm đối xứng nhóm thương 3.1.1 Định lý Cho G nhóm G H = { xH \ ∀x ∈ G} nhóm thương G ϕ : g → π g biểu diễn nhóm G vào nhóm phép P bắc cầu tập S.Khi i) Ánh xạ πg :G H → GH xH  gxH phép G H π g ( H ) = H ⇔ g ∈ H ii) Tương ứng phần tử S lớp ghép G H – Chứng minh i) Chứng minh: π g phép G H ⇔ chứng minh π g song ánh Thật vậy: Với xH yH ∈ G H , mà π g (xH) = π g (yH) ⇒ gxH = gyH G ⇒ ∃! x ∈ G : gx = y (tính chất nghiệm H nhóm phương trình ax = b nhóm) ⇒ gxH = yH ⇒ ∃xH ∈ G H : π g ( xH ) = yH ⇒ π g toàn ánh Vậy π g song ánh hay phép Chứng minh π g ( H ) = H ⇔ g ∈ H , thật vậy: Nếu g ∈ H ⇒ gH = H mà e ∈ H = eH ⇒ π g ( H ) = π g (eH ) = gH = H Ngược lại π g ( H ) = H ⇒ g ∈ H hiển nhiên 30 ii) Giả sử S = { s1 , s , , s n } Khi với s1,si S tồn π g i ( s1 ) = si (i =1,2, ,n), Vì P bắc cầu Ta chứng minh G H = { g1 H , , g n H } φ • gi H ∩ gi H = i ≠ j với Thật vậy: gi H ∩ gi H = φ ⇔ g i−1 g j ∉ H ⇔ π g −1g ( s1 ) ≠ s1 i j ⇔ π g −1  π g j ( s1 ) = π g −1 ( s j ) ≠ π g −1 ( si ) = s1 (vì si i i i ≠ s j ) • Với ∀g ∈ G Giả sử π g ( s1 ) = si (i = 1,2, , n) ⇒ π g −1  π g ( s1 ) = π g −1 ( si ) = s1 i i −1 Do π g g ( si ) = s1 ⇒ g i g ∈ H ⇒ g ∈ g i H −1 i Vậy G H = { g1 H , , g n H } Như ta có: S = G H = n Nói chung biểu diễn ϕ : G → S (G H ) biểu diễn thực Câu hỏi đặt ϕ biểu diễn thực sự, câu trả lời thể đinh lý sau: 3.2 Biểu diễn thực 3.2.1 Định lý Cho G nhóm hữu hạn H nhóm G i) Khi ker ϕ ước chuẩn lớn G H ii) ϕ biểu diễn thực H không chứa ước chuẩn thực G Chứng minh i) Ta có ker ϕ = { g ∈ G \ π g = id } Từ π g = id ⇔ gxH = xH , ∀x ∈ H (1) Mà H nhóm ⇒ H −1 = H H H −1 = H Từ (1) ⇒ gxH = xH ⇔ g ∈ xH ( xH −1 ) = xHH −1 x −1 = xHx −1 ∈ G { ⇒ ker ϕ = g ∈ G \ g ∈ xHx −1 , ∀x ∈ G } 31 =  xHx −1 x∈G Ker ϕ ∆ G hiển nhiên Giả sử A ∆ G, A ⊂ H ker ϕ ⊂ A Ta chứng minh A ⊂ ker ϕ ∀h ∈ A (A ∆ G) ⇒ ∀x ∈ G : x −1hx ∈ A ⇒ α (i ) = i ∀i = (1,2, , n) Vậy α ánh xạ đồng hay kerp = { id } Do p đơn cấu từ Sn vào Mn(K) hay P biểu diễn thực 32 § BIỂU DIỄN CHÍNH QUY BỞI MA TRẬN Nội dung mục ta xây dựng biểu diễn nhóm phép nhóm nhân ma trận không suy biến Ta ký hiệu Mn(K) nhóm nhân ma trận không suy biến, cấp n trường K 4.1 Biểu diễn nhóm Sn nhóm Mn(K) Cho G nhóm hữu hạn cấp n, S(G) ≅ Sn nhóm phép bậc n Giả sử M K- không gian vectơ, { m1 , m2 mn } sở vectơ M Định lý Tồn biểu diễn thực nhóm Sn nhóm Mn(K) Chứng minh Với phép α ∈ S n ≅ S (G ) , ta xác định ánh xạ tuyến tính pα : M → M Sao cho pα (mi ) = mα (i ) kết đại số tuyến tính cho ta biết ánh xạ pα tồn Gọi Aα ma trận ánh xạ tuyến tính pα sở { m1 , m2 mn } Xét ánh xạ p : Sn → M n ( K ) α  p(α ) = Aα Chứng minh p đồng cấu Thật ta có ∀α , α ∈ S n , ta có pα1α (mi ) = pα1 (mα ( i ) ) = pα1  pα (mi ) điều với mi(i =1,2,…,n) Nên ánh xạ pα α đồng với ánh xạ pα1  pα hay pα1α = pα1  pα Gọi Aα , Aα ma trận ánh xạ pα , pα Khi Aα α = Aα Aα 2 Do p(α 1α ) = Aα α = Aα Aα = p(α ) p(α ) 2 ⇒ p đồng cấu Chứng minh p đơn ánh: 33 Xét Kerp = {α ∈ S n \ Aα = I n } , I n ma trận đơn vị vuông cấp n Với α ∈ Kerp p(α ) = I n , nên pα (mi ) = mα (i ) (i = 1,2,…,n ) ⇒ α (i ) = i, ∀i ( i = 1,2,…,n) Vậy α ánh xạ đồng hay kerp = { id } Do p đơn cấu từ Sn vào Mn( K ) hay p biểu diễn thực 4.2 Biểu diễn nhóm nhóm ma trận phép Cho G nhóm hữu hạn Ord(G)=n Giả sử G = {g1,… ,gn}, có biểu diễn thực λ : G → Sn g  δg 4.2.1 Định lý Với giả thiết ánh xạ Φ : p oλ : G → M n ( K ) g  p (δ g ) Là biểu diễn thực nhóm hữu hạn G vào M n(K)(p xác định Định lý 3.1) Chứng minh + Từ λ , p đồng cấu ⇒ Φ đồng cấu + Φ Đơn ánh Nếu g1,g2 ∈ G thỏa mãn p  λ ( g1 ) = p  ( g ) ⇔ p(δ g1 ) = p(δ g ) Mà p đơn ánh ⇒ δ g = δ g ⇒ g1 = g (do λ đơn ánh) Vậy Φ đơn ánh Hay Φ biểu diễn thực nhó hữu hạn G/ 4.2.2 Các ví dụ Ví dụ : Cho G =3 – Nhóm xylic cấp sinh a ⇒ G={e,a,a }:={e,a,b} với phép nhân G xác định sau : 34 e a b e e a b a a b e b b e a Hãy xây dựng biểu diễn : ϕ : G → M ( R) Trước hết ta xây dựng ánh xạ λ: G → S3 x  δx e a b  : = id e a b δe =  δa =  δb =  e a b  : = a b e 1    = (123);  1 e a b  : = b e a 1    = (132); 3 2 p (δ e ) (e)=e ; p (δ e ) (a) = a ; p (δ e ) (b)=b ⇒ 1 0 p (δ e ) = 0 0 = I3 0 1 p (δ a ) (e) = a , p (δ a ) (a) = b , p (δ a ) (b) = e ⇒ 0 1 p (δ a ) = 1 0 0 0 p (δ b ) (e)= b , p (δ b ) (a) = e , p (δ b ) (b) = a ⇒ 0 0 p (δ b ) = 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0       Vậy ϕ (e) = 0 0 , ϕ (a) = 1 0 , ϕ (b) = 0 1 0 1 0 0 1 0 35 Ví dụ : Cho G = {e,a,b,c} với ab = ba = c; a2 = b2 = c2 = e Phép nhân G cho bới bảng sau : e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Hãy xây dựng ánh xạ : λ: G → S4 x  δx Ta đánh số phần tử G song ánh f : G → {1,2,3,4} δ e = id 1   = (12)(34); δ a =   3 1   = (13)(24); δ b =  3 2 1   = (14)(23); δ c =   1 λ (e) = id; λ (a) = (12)(34); λ (b) = (13)(24); λ (c) = (14)(23); Ta xây dựng Φ : G → M4(K) X  Φ (x) = Ax Với Φ (x) = p  λ (x) ⇒ Φ (e) = I4 + p( λa )(e) = a , p( λa )(a) = e , p( λa )(b) = c , p( λa )(c) = b 36 0 1 ⇒ p( λa ) =  0  0 0 0 0 0 0 = Φ (a) 1  0 + p( λb )(e) = b , p( λb )(a) = c , p( λb )(b) = e , p( λb )(c) = a 0 0 ⇒ p( λb ) =  1  0 0 1 0 0 1 = Φ (b) 0  0 + p( λc )(e) = c , p( λc )(a) = b , p( λc )(b) = a , p( λc )(c) = c 0 0 ⇒ p( λc ) =  0  1 0 0 0 1 0 = Φ (c) 0  0 4.3 Biểu diễn quy nhóm nhóm ma trận không suy biến Giả sử G nhóm cấp r, V không gian véc tơ n- chiều Gọi {ej} j∈G đánh số theo phần tử j G sở V Xây dựng ánh xạ(AX) R: G → GL(V) s  Rs với Rs phép biến đổi tuyến tính V chos Rs(ej) = esj; ∀s ∈ G, ∀j ∈ G 4.3.1 Định lý Ánh xạ Rs xác định biểu diễn nhóm G vào nhóm GL(V) Chứng minh + Chứng minh R đồng cấu Rst(ej) = e(st)j = es(tj) = Rs(etj) = Rs(Rt(ej)) = RsRt(ej) ⇒ Rst = RsRt ⇒ R đồng cấu 37 + Chứng minh R đơn ánh Nếu s,t ∈ R mà Rs(ej) = Rt(ej) ⇒ esj = etj ⇔ sj = tj ⇔ s = t (do G nhóm hữu hạn) Hay R đơn ánh Vậy R biểu diễn nhóm G nhóm GL(V) 4.3.2 Định nghĩa Biểu diễn R: G → Mn(K) gọi biểu diễn quy nhóm với nhóm nhân ma trận không suy biến 4.3.3 Ví dụ Xét G = S3 = {e,(12),(13),(23),(123),(132)} Với phép nhân G cho bảng sau : e (12) (13) (23) (123) (132) e e (12) (13) (23) (123) (132) (12) (12) e (123) (132) (13) (23) (13) (13) (13) e (123) (23) (12) (23) (23) (123) (132) e (12) (13) (123) (123) (23) (12) (13) (132) e (132) (132) (13) (23) (12) e (123) Hãy xây dựng biểu diễn R Đặt e = e , f1 = (12) , f2 = (13) , f3 = (23) , f4 = (123) , f5 = (132) Gọi {ee, e f ,…, e f }là sở V (V không gian véc tơ chiều ) Xây dựng R: G → GL(V) s  Rs Như sau : + Re (ee) = ee , Re ( e f ) = e f (i= 5) ⇒ Re =I6 e e i i e ⇒ R e f1 (ee) = e f1 , R e f1 ( e f1 ) = e f1 f1 = ee , R e f1 ( e f ) = e f5 , R e f1 ( e f ) = e f , Ref ( e f ) = e f , Ref ( e f ) = e f 38 0 1  0 ⇒ R e f1 =  0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1  0 0  0 ⇒ R e f2 0 0  1 = 0 0  0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0  1 0  0 ⇒ R e f3 0 0  0 = 1 0  0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0  0 0  0 ⇒ R e f4 0 0  0 = 0 1  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0  0 0  0 ⇒ R e f5 0 0  0 = 0 0  1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 1  0 Tương tự ta có 39 KẾT LUẬN Khóa luận thu kết sau: Tổng quan lý thuyết nhóm đặc biệt nhóm phép Hệ thống lại khái niệm biểu diễn nhóm hữu hạn, mô tả đặc trưng biểu diễn, vành biểu diễn Mô tả biểu diễn quy phải, trái nhóm hữu hạn G nhóm phép thế, mô tả cấu trúc ảnh biểu diễn quy trái quy phải nhóm đối xứng S(G) Xây dựng cách biểu diễn nhóm hữu hạn khác với biểu diễn quy tìm điều kiện để biểu diễn biểu diễn thực Biểu diễn nhóm đối xứng sn nhóm ma trận không suy biến Từ xây dựng biểu diễn nhóm hữu hạn nhóm ma trận 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục Hà Nội, 1972 [ 2] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục, 1999 [ 3] NguyễnTự Cường, Đại số đại, Nhà xuất Đại Học Quốc gia Hà Nội,2003 [ 4] Trần Trọng Huệ, Đại số đại cương,Nhà xuất Đại Học Quốc gia Hà Nội, 2001 [ 5] J.P.Serr, Biểu diễn nhóm hữu hạn (M.1970) [...]... hai biểu diễn cấp một là biểu diễn đơn vị χ1 và một biểu diễn χ 2 Một số trường hợp cụ thể của n: Với n=1: biểu diễn của nhóm đơn vị S1 = { e} Với n=2: biểu diễn của S2 ≅ C2 (xét ở ví dụ 1.5) Với n=3: xét biểu diễn của nhóm S3 Ta có S3 có 3 lớp liên hợp, được đại diện { (e), (1 2), (1 2 3)} Vậy S3 có 3 biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu với nhau Hai trong số các biểu diễn đó có biểu diễn. .. = χ j , χ j = 1 Vậy ϕ i ⊗ ϕ j là một biểu diễn bất khả quy Ta có 12 CHƯƠNG II BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN § 1 BIỂU DIỄN CỦA NHÓM ABEN Trong mục này tác giả sẽ sử dụng lý thuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn để xét biểu diễn của một số nhóm đặc biệt đó là: nhóm Aben, nhóm xyclic, nhóm đối xứng Sn (n = 1, 2, 3) 1.1 Định lý Nhóm G là nhóm Aben khi và chỉ khi mọi biểu diễn bất khả quy của G đều có cấp bằng 1 Chứng... có các kết quả sau 1.4 Định lý Cho G là một nhóm, khi đó có sự tương ứng một một giữa biểu diễn cấp 1 của G và các biểu diễn bất khả quy của nhóm Abel G/ [ G, G ] Số các biểu diễn cấp 1 không đẳng cấu với nhau của G bằng chỉ số [ G, G ] trong G Chứng minh Giả sử f là một biểu diễn cấp một của G, có nghĩa chọn f : G → GL(C) Vì GL(C) là nhóm Abel và Imf là nhóm con của GL(C), nên Imf cũng là nhóm Abel... BỞI NHÓM ĐỐI XỨNG TỔNG QUÁT Trong mục này ta luôn giả thiết nhóm G là nhóm hữu hạn, ngoài biểu diễn chính quy ta còn có thể có các biểu diễn khác bởi nhóm phép thế 3.1 Biểu diễn nhóm qua nhóm đối xứng của nhóm thương 3.1.1 Định lý Cho G là một nhóm và G H = { xH \ ∀x ∈ G} là nhóm thương của G và nếu ϕ : g → π g là biểu diễn của nhóm G vào nhóm các phép thế P bắc cầu của tập S.Khi đó i) Ánh xạ πg :G... H (do H là một nhóm) ⇒ f ∈A⇒G ⊂ A (2) Từ (1) và (2) ta có G = A ⇒ Đpcm 2.5 Biểu diễn nhóm bởi nhóm đối xứng Cho G1 và G2 là hai nhóm bất kỳ, một đồng cấu ϕ : G1 → G2 được gọi là một biểu diễn nhóm G1 bởi nhóm G2 - Biểu diễn ϕ được gọi là biểu diễn thực sự nếu ϕ là đơn cấu 2.5.1 Định lý Mọi nhóm G đều đẳng cấu với nhóm phép thế nào đó trên các phần tử của G Nói cách khác: Nếu gọi S(G) là nhóm phép thế... biểu diễn thực sự 32 § 4 BIỂU DIỄN CHÍNH QUY BỞI MA TRẬN Nội dung chính của mục này ta xây dựng biểu diễn nhóm phép thế bởi nhóm nhân các ma trận không suy biến Ta ký hiệu Mn(K) là nhóm nhân các ma trận không suy biến, cấp n trên trường K 4.1 Biểu diễn nhóm Sn bởi nhóm Mn(K) Cho G là nhóm hữu hạn cấp n, khi đó S(G) ≅ Sn là nhóm phép thế bậc n Giả sử M là K- không gian vectơ, { m1 , m2 mn } là một cơ... là tương ứng một - một) Do tương ứng một - một vừa thiết lập ở trên và do G/ [ G, G ] là nhóm Abel ⇒ số biểu diễn cấp một không đẳng cấu với nhau của G bằng ord( G /[ G, G ] ) = [ G : [ G, G ] ] 1.5 Ví dụ Ví dụ 1: n Cho G = {a n ∈ Z } là nhóm xyclic cấp n sinh bởi phần tử a Mô tả các biểu diễn bất khả quy của G Chứng minh Vì nhóm xyclic là nhóm Abel, khi đó theo định lý 1.1 thì mọi biểu diễn bất khả... g n H } Như vậy ta có: S = G H = n Nói chung biểu diễn ϕ : G → S (G H ) không phải là biểu diễn thực sự Câu hỏi đặt ra khi nào thì ϕ là biểu diễn thực sự, câu trả lời sẽ được thể hiện trong đinh lý sau: 3.2 Biểu diễn thực sự 3.2.1 Định lý Cho G là một nhóm hữu hạn và H là nhóm con của G i) Khi đó ker ϕ là ước chuẩn lớn nhất của G trong H ii) ϕ là biểu diễn thực sự khi và chỉ khi H không chứa ước chuẩn... biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu của G Khi đó, theo kết quả của biểu diễn chính quy ta có n12 + n22 + + n 2p = G Mặt khác nhóm G là nhóm Abel nếu và chỉ nếu mọi lớp liên hợp của nó chứa đúng một phần tử, tức là nếu và chỉ nếu G = p (số lớp liên hợp của G) Nhưng G = p Vậy n1 = n2 = = np = 1 Từ định lý 1.1 ta có hệ quả sau: 1.2 Hệ quả Giả sử H là nhóm con của G, H giao hoán Khi đó mọi biểu. .. δ g ' ⇒ λ là một đồng cấu ⇒ λ là một đơn cấu ⇒ đpcm 2.5.2 Định nghĩa 22 Biểu diễn λ ở trong Định lý 2.5.1 gọi là biểu diễn chính quy trái của nhóm G 2.5.3 Ví dụ Xét biểu diễn nhóm Dihedral D3 vào nhóm S6 Khi đó D3 = {e, a, a 2 , ab, a 2 b, b} Các phần tử của D3 có tính chất a3 = e,b2 =e, (ab)2 = e Trước hết ta đánh số các phần tử D3 bởi song ánh f : D3 → {1,2,3,4,5,6} Khi đó ta lập biểu diễn chính quy ... NIỆM VỀ BIỂU DIỄN NHÓM § 1: Định nghĩa biểu diễn .3 § 2: Đặc trưng biểu diễn § 3: Vành biểu diễn Chương MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN § 1: Biểu diễn. .. j biểu diễn bất khả quy Ta có 12 CHƯƠNG II BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN § BIỂU DIỄN CỦA NHÓM ABEN Trong mục tác giả sử dụng lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn để xét biểu diễn số nhóm đặc biệt là: nhóm. .. Vành biểu diễn CHƯƠNG II MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN Đây nội dung khoá luận, chương tác giả trình bày số định nghĩa, định lý, tính chất nhóm phép Cụ thể sau § 1: Biểu diễn nhóm Aben