Một số kết quả về môđun giả nội xạ và giả xạ ảnh

Lời nói đầu Trong lớp môđun, lớp môđun nội xạ lớp môđun xạ ảnh đợc xem nh hai trụ cột nghiên cứu lý thuyết môđun lý thuyết vành Các kết chúng đóng vai trò quan trọng lý thuyết vành môđun mà công cụ trực tiếp để nghiên cứu đại số đồng điều, tôpô đại số, đại số giao hoán Vì vai trò đặc biệt quan trọng chúng nên vấn đề mở rộng lớp môđun đợc nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trong khoảng 30 năm qua lớp môđun nội xạ đợc mở rộng theo nhiều hớng khác hớng quan trọng đa lớp môđun tựa nội xạ, liên tục, tựa liên tục, CS- môđun (1 - C 1)- môđun Các kết theo hớng đợc N.V Dung - D.V Huynh - Smith - Wisbauer tổng kết lại sách Extending modules (xem [4]) Theo hớng nhà toán học tiếp tục đa lớp môđun giả nội xạ đợc nghiên cứu Bharadwai - Tiwary (1982), Jain - Singh (1975), Tiwary - Pandeya (1978), gần Dinh, López - Permouth Khoá luận nghiên cứu tính chất môđun giả nội xạ giả xạ ảnh hai lớp môđun mở rộng môđun tựa nội xạ tựa xạ ảnh nhằm giải toán đặt ra: Những tính chất hai lớp môđun mở rộng xem xét đặc điểm Jacobson vành tự đồng cấu môđun giả nội xạ giả xạ ảnh, mối liên hệ hai lớp môđun với điều kiện (C2), (D2) Khoá luận đợc trình bày thành chơng: Trong chơng I, hệ thống khái niệm thờng gặp khoá luận Trong chơng II, trình bày cách hệ thống khái niệm tính chất môđun nội xạ môđun xạ ảnh Trong chơng III, tập trung nghiên cứu tính chất hai lớp môđun mở rộng nhằm giải toán đặt 2 Khi nghiên cứu lớp môđun giả nội xạ giả xạ ảnh, nhận thấy hệ thống kiến thức cha thực hoàn thiện nên đặt nhiều toán hấp dẫn nghiên cứu thời gian tới nh: Bài toán 1: Môđun giả nội xạ cần thoả mãn điều kiện để trở thành môđun tựa nội xạ, nội xạ Bài toán 2: Môđun giả xạ ảnh cần thoả mãn điều kiện để trở thành môđun tựa xạ ảnh, xạ ảnh Bài toán 3: Đặc điểm môđun giả nội xạ giả xạ ảnh vành đặc biệt nh: vành Noether, vành Artin, vành chuỗi Khoá luận đợc hoàn thành dới hớng dẫn thầy giáo - PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, NCS.ThS Lê Văn An nhóm seminar Lý thuyết vành môđun Nhân dịp bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với thầy nhóm seminar giúp đỡ nhiệt tình, chu đáo góp ý thiết thực cho trình hoàn thành khoá luận Chúng xin cảm on thầy giáo, cô giáo tổ Đại số bạn sinh viên động viên, giúp đỡ hoàn thành khoá luận Vì trình độ thời gian có hạn nên khoá luận chắn nhiều thiếu sót, mong đóng góp ý kiến bạn đọc để khoá luận đợc hoàn thiện Tác giả Chơng I : khái niệm Trong chơng này, đa định nghĩa, tính chất liên quan đến công trình Các khái niệm, tính chất ký hiệu dựa chủ yếu vào tài liệu: F.W Anderson and K.R Fuller [2]; S.H Mohamed and B.J Muller [6] Các vành đợc giả thiết vành kết hợp, có đơn vị môđun vành đợc hiểu môđun phải unita 1.1 Môđun cốt yếu môđun đóng Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành M R-môđun phải Xét N môđun M a) Môđun N đợc gọi cốt yếu (essential) M ký hiệu N e M , với môđun K M , K K N Nếu N môđun cốt yếu M, ta nói M mở rộng cốt yếu (essential extension) N b) Môđun N đợc gọi đóng (closed) M N mở rộng cốt yếu thực Nói cách khác, N gọi đóng M với môđun K M mà N e K K = N c) Môđun K M đợc gọi bao đóng (closure) môđun N M K môđun tối đại M cho N cốt yếu K d) Môđun B M đợc gọi bé (small) M (hay đối cốt yếu) M ký hiệu B [...]... Môđun giả xạ ảnh là lớp môđun mở rộng thực sự của môđun tựa xạ ảnh 2.2 Mệnh đề (1) Nếu N là M - giả xạ ảnh thì mọi toàn cấu f : M N là chẻ ra (2) Môđun N là xạ ảnh nếu và chỉ nếu N là M- giả xạ ảnh với mọi môđun M (3) Nếu N là M - giả xạ ảnh thì N là M/X - giả xạ ảnh với X là môđun con của M (4) Mọi hạng tử trực tiếp của môđun M - giả xạ ảnh cũng là môđun M - giả xạ ảnh (5) Môđun N là M - giả xạ ảnh. .. nhau nếu M là N -giả nội xạ và N là M -giả nội xạ Nhận xét: Môđun giả nội xạ là lớp môđun mở rộng thực sự của môđun tựa nội xạ 1.2 Mệnh đề [3.Proposition 2.1] (1) Nếu N là môđun M - giả nội xạ thì mọi đơn cấu f : N M là chẻ ra (2) Môđun N là môđun nội xạ nếu và chỉ nếu N là M -giả nội xạ với mọi môđun M (3) Nếu N là môđun M - giả nội xạ thì N là môđun A - giả nội xạ với A là môđun con bất kỳ của M (4)... Xạ ảnh Tựa xạ ảnh (D2) (D3) 13 Chơng III: Môđun giả nội xạ và môđun giả xạ ảnh Đ1 Môđun giả nội xạ 1.1 Định nghĩa Môđun N đợc gọi là M - giả nội xạ (M-pseudo -injective) nếu mọi môđun con A của M, mọi đơn cấu A M : A N đều có thể mở rộng tới đồng cấu : M N Môđun N đợc gọi là giả nội xạ (pseudo injective) N nếu N là N -giả nội xạ Các môđun M và N đợc gọi là giả nội xạ lẫn nhau nếu M là N -giả nội. .. Reading, 1991 [8] Lê Văn An - Nguyễn Thị Đức Hiền, Một số kết quả về môđun giả nội xạ và giả xạ ảnh, Tạp chí khoa học Đại học Vinh, Tập XXXV, số 4A(2006) [9] Ngô Sỹ Tùng - Lê Văn An - Nguyễn Thị Đức Hiền, Môđun giả nội xạ và môđun (1 - C1), ứng dụng để đặc trng vành; preprint 2007 [10] Nguyễn Thị Đức Hiền, Một số kết quả về môđun giả nội xạ và giả xạ ảnh, Đề tài sinh viên nghiên cứu khoa học cấp Bộ,... U là môđun tựa nội xạ Định lý đợc chứng minh 19 Đ2 Môđun giả xạ ảnh 2.1 Định nghĩa N Môđun N đợc gọi là A - giả xạ ảnh (A-pseudo -projective) nếu với mọi môđun con X của A, mỗi toàn cấu : N A / X có thể đợc nâng lên thành đồng cấu A A/X : N A Môđun N đợc gọi là giả xạ ảnh (pseudo-projective) nếu N là N -giả xạ ảnh Các môđun M và N đợc gọi là xạ ảnh lẫn nhau nếu M là N -xạ ảnh và N là M -xạ ảnh Nhận... của môđun M - giả nội xạ cũng là môđun M - giả nội xạ 14 (5) Nếu N là M - giả nội xạ thì (M) là môđun con của N với mọi đơn cấu : E ( M ) E ( N ) Đặc biệt, nếu P là môđun giả nội xạ thì ( P) P với mọi đơn cấu End ( E ( P )) (6) Nếu A và B là các môđun giả nội xạ lẫn nhau và E ( A) E ( B ) thì mỗi đẳng cấu E ( A) E ( B ) cảm sinh một đẳng cấu A B Hơn nữa, A và B là các môđun giả nội xạ Chứng... ( A) B và f 1 ( B) A , suy ra A B Ta có A là B -giả nội xạ và A B nên A là A -giả nội xạ Suy ra A và B là các môđun giả nội xạ Định lý đợc chứng minh 1.3 Định lý [2 Theorem 2.2] Nếu M1 M2 là môđun giả nội xạ thì M1, M2 nội xạ lẫn nhau Chứng minh Do M 1 M 2 là môđun giả nội xạ nên theo (3) M 1 M 2 là M2 -giả nội xạ Giả sử A là môđun con của M2 và đồng cấu f : A M 1 16 Ta xây dựng đồng cấu g nh... chẻ ra, suy ra N là môđun nội xạ (3) Giả sử X là môđun con của môđun A và f : X N là một đơn cấu Do N là M -nội xạ nên tồn tại đồng cấu g : M N là mở rộng của f X A Xét đồng cấu f ' = g A : A N Dễ thấy f là g f f M N đồng cấu mở rộng của f, suy ra N là A -giả nội xạ (4) Giả sử N là M -giả nội xạ và N = A A ' ta sẽ chứng minh A là môđun M -giả nội xạ Giả sử X là một môđun con của M và đơn cấu f : X ... Hệ quả: Một môđun giả nội xạ và CS thì liên tục Chứng minh Đợc suy ra từ Định nghĩa 1.3.1 và Định lý 1.4 Từ Tính chất 1.3.2, Định nghĩa 1.5.1, Định nghĩa 1.1 và Định lý 1.3 ta có phép kéo theo sau đây: Giả nội xạ (C2) (C3) Nội xạ Tựa nội xạ Giả nội xạ + CS Liên tục Tựa liên tục CS 17 1.6 Định lý Cho M là môđun giả nội xạ và E = End (M) Khi đó: e i) J ( E ) = { E / Ker M } ii) E/J(E) là vành... M1 là M2 - xạ ảnh Định lý đợc chứng minh 2.4 Định lý Nếu M là môđun giả xạ ảnh thì M thỏa mãn điều kiện (D2) Chứng minh Do M là giả xạ ảnh nên M là M -giả xạ ảnh Giả sử X M và M / A X Khi đó X là M -giả xạ ảnh (theo Mệnh đề 2.2) Suy ra M/A cũng là M -giả xạ ảnh Xét toàn cấu tự nhiên : M M / A thì là chẻ ra Suy ra A M Định lý đã đợc chứng minh 2.5 Định lý Cho M là môđun giả xạ ảnh và E = End ... Môđun N đợc gọi giả nội xạ (pseudo injective) N N N -giả nội xạ Các môđun M N đợc gọi giả nội xạ lẫn M N -giả nội xạ N M -giả nội xạ Nhận xét: Môđun giả nội xạ lớp môđun mở rộng thực môđun tựa nội. .. thành môđun tựa nội xạ, nội xạ Bài toán 2: Môđun giả xạ ảnh cần thoả mãn điều kiện để trở thành môđun tựa xạ ảnh, xạ ảnh Bài toán 3: Đặc điểm môđun giả nội xạ giả xạ ảnh vành đặc biệt nh: vành... N A Môđun N đợc gọi giả xạ ảnh (pseudo-projective) N N -giả xạ ảnh Các môđun M N đợc gọi xạ ảnh lẫn M N -xạ ảnh N M -xạ ảnh Nhận xét: Môđun giả xạ ảnh lớp môđun mở rộng thực môđun tựa xạ ảnh 2.2