Một số vấn đề về phủ điểm đếm được và k lưới

2 Bộ giáo dục đào tạo Trờng Đại học Vinh phan văn thái số vấn đề phủ điểm - đếm đợc k-lới Chuyên ngành : Giải tích Mã số : 1.01.01 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học : TS đinh huy hoàng Vinh - 2002 ******* Mục lục Trang Mở đầu Chơng I Các mối quan hệ loại lới 1.1 Các khái niệm 1.2 Các mối quan hệ loại lới Chơng II Sự tồn k- lới 24 2.1 Các khái niệm 24 2.2 Sự tồn k - lới 26 Kết luận Tài liệu tham khảo 33 34 mở đầu Lý thuyết phủ điểm - đếm đợc không gian mêtric tổng quát đợc nhà toán học nh Burke, Grnenhege, Michael, Tanaka quan tâm từ năm 1970 Gần vấn đề nói đợc nghiên cứu sâu không gian tôpô đặc biệt ( T quy ) nhà toán học nh Chuan Liu, Shoulin, Tanaka, Pengfei Yan Các nhà toán học nghiên cứu phủ điểm - đếm đợc với đặc trng khác nh k- lới, cs*- lới, wcs*- lới, p-k- lới, Mục đích nghiên cứu luận văn tập trung nghiên cứu vấn đề phủ điểm - đếm đợc thông qua số kết Tanaka [6], Pengfei Yan Shoulin [7] Đặc biệt, xét mối quan hệ loại lới tồn k- lới, cs*- lới Trong luận văn này, không thích không gian X, Y ánh xạ f ta hiểu X, Y T1 - không gian, quy f ánh xạ liên tục lên.Với mục đích đó, luận văn đợc chia thành chơng nh sau : Chơng I Các mối quan hệ loại lới Chơng II Sự tồn k- lới Nhân xin chân thành cảm ơn TS Đinh Huy Hoàng nêu vấn đề nghiên cứu hết lòng hớng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo khoa Sau Đại học, khoa Toán, đặc biệt thầy cô giáo tổ Giải tích giúp đỡ nhiều trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả chơng I mối quan hệ loại lới 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X không gian X (không thiết phải mở hay đóng ) Đặt P phủ P n2 Tiếp tục trình trên, sau số hữu hạn bớc mà ta tìm đợc G bổ đề đợc chứng minh Nếu ngợc lại, ta xây dựng đợc đếm đợc dãy {x'jk}k ; j = 1, 2, cho x'jk x k , j, nghiã ta xây dựng đợc quạt x Vì X - không gian nên tồn ~ ~ đờng chéo { x j }của quạt cho x j x Vì tồn Pi p ' dãy ~ S { x j } cho {x} S Pi U Theo cách xây dựng dãy {xjk} ta thấy Pi p ' gặp số hữu ~ hạn dãy {x'jk}và chứa số hữu hạn phần tử { x j } Từ điều mâu thuẫn suy điều phải chứng minh Chứng minh định lý Vì X - không gian p cs* - lới nên theo 1.2.15, p có tính chất (A) Do với U mở X mà U chứa x tồn f p < cho x Ints ( f) f U Từ bổ đề 1.2.20, suy tồn f ' p < cho x Ints ( f ') f ' U, x f ' 24 Vậy p có tính chất (B) 1.2.21 Mệnh đề Nếu p k- lới mở p sở yếu Chứng minh.Với x X đặt p x = {P p: x P} Khi p = {p : x X} x Vì p k- lới nên p xlà lới x Giả sử U V thuộc px Ta có U V tập mở chứa x nên tồn P px cho P U V Nếu G tập mở X với x G, từ tính k- lới p suy tồn P p cho x P G Ngợc lại, G X cho x G tồn p x P mà x P G P mở nên G tập mở X Vậy p sở yếu X 1.2.22 Nhận xét (1) Nếu p k- lới mở p cs - lới cs*- lới Thật vậy, giả sử {xn} dãy hội tụ tới x X U lân cận x Ta có tập {x} compact X nên từ P k- lới suy tồn P P < cho x P U Vì P mở nên P lân cận x từ {xn} hội tụ tới x suy tồn số m N cho xn P với n m, nghĩa {x} { xn: n m } P U Vậy có p P cs- lới Theo mệnh đề 1.2.1 ta cs*- lới (2) Pengfei Yan ShouLin [7] : 25 i)Nếu X có sở yếu điểm - đếm đợc X có k- lới điểm - đếm đợc ii) X có sn- lới điểm - đếm đợc không suy đợc X có p- k- lới điểm - đếm đợc, chẳng hạn compact hoá Stone Cech N iii) X có cs*- lới điểm - đếm đợc không suy đợc X có phủ điểm đếm đợc thoả mãn (A), chẳng hạn S 26 Chơng II Sự tồn k- lới Từ định nghĩa loại lới mối quan hệ chúng, chơng ta xét tồn k- lới 2.1 Các khái niệm 2.1.1 Định nghĩa (1) Họ {A : A} tập X đợc gọi có tính chất HCP {B : A'} = { B : A' } với A' A B A với A' (2)Họ p tập X đợc gọi có tính chất - HCP p = p , p n =1 n n có tính chất HCP 2.1.2 Định nghĩa Giả sử p phủ không gian X (1) Ta nói X đợc xác định P X có tô pô yếu tơng ứng với P A X đóng X A P đóng P với P P đây, ta thay tính "đóng" "mở" (2) Không gian X đợc làm trội P hợp tuỳ ý P P đóng X đợc xác định P ' (3) Không gian X không gian dãy A X đóng không dãy A hội tụ đến điểm không A 2.1.3 Định nghĩa Tập A X gọi G tập A giao đếm đợc tập mở chứa A 27 2.1.4 Định nghĩa ánh xạ f: X Y đợc gọi ánh xạ đóng với tập đóng A X f (A) tập đóng Y 2.1.5 Định nghĩa Không gian X đợc gọi k- không gian X đợc xác định phủ gồm tập compact X 2.1.6 Định nghĩa Không gian X đợc gọi - không gian có k- lới - hữu hạn địa phơng 2.1.7 Định nghĩa ánh xạ f : X Y đợc gọi ánh xạ thơng tồn quan hệ tơng đơng E X đẳng cấu f: X/E Y thoả mãn f = fq, q phép chiếu tự nhiên từ X lên X/E 28 2.2 Sự tồn k- lới Tơng tự nh mệnh đề 1.2; hệ 1.5 mệnh đề 1.8 [6] ta có : 2.2.1 Mệnh đề (1) Giả sử P phủ điểm - đếm đợc X Khi P k- lới p wcs- lới tập compact X compact dãy (2) Giả sử P phủ X có tính chất - HCP Khi P k- lới p wcs- lới Chứng minh (1) Điều kiện cần : Giả sử P k- lới điểm - đếm đợc Theo mệnh đề 1.2.2 ta có p wcs- lới Theo bổ đề 1.1 [6] ( tơng ứng định lý 3.1 [2] ) không gian compact với k- lới điểm - đếm đợc khả metric compact dãy Suy tập compact X compact dãy Điều kiện đủ : Giả sử p wcs - lới tập compact X compact dãy, ta cần chứng minh P k- lới Thật vậy, giả sử U tập mở X K compact X cho K U Với x X ta đặt : {P P : xP U}={Pn (x): n N} ( Do tính chất điểm - đếm đợc phủ P ) Khi K đợc phủ họ p P < với p { Pn (x) : x X; Giả sử ngợc lại K p với n N } 29 p { Pn (x) : x X; P0 (x0)} P < p = { P0 (x ), n N } Khi với x0 K ta có P0 (x0) Vì K p, suy { p = { P0 (x )} nên tồn x1 K \ P0 (x ) Xét 0 P1 (x0), P0 (x1), P1 (x1)}.Vì K p nên tồn x2 K \ p , tiếp tục trình ta xây dựng đợc dãy {xn} K cho xn Pi (xj) với i, j < n Vì K compact dãy nên tồn dãy S {xn} hội tụ tới điểm x K Vì p wcs- lới nên tồn P p cho P U P chứa dãy S S Lấy xn S, xn P suy tồn m cho P = Pm ( xn ) Lấy nk > max [m, k k k nk] ta đợc xn Pm (nk) Điều mâu thuẫn với cách xây dựng dãy{xn} Vậy P k- lới (2) Vì k-lới wcs- lới nên điều kiện cần hiển nhiên Ta chứng minh điều kiện đủ : Giả sử P = { p n : n N } wcs- lới, HCP với p n - p n+1, U tập mở X, K tập compact, K U Với n N, đặt p n ={P p n : P U } Un = p n Vì điểm K G tập X ( K ) nên tập compact K thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ Do K tập compact dãy Giả sử K Un với n = 1, 2, Khi với n = 1,2 , tồn xn K\ Un Do K compact nên tồn dãy { xn } {xn} cho k xn x K U Vì p wcs*- lới nên tồn P p cho k { xn } P U k Từ suy P p''n Điều mâu thuẫn với xnk U nk = p'' nk với nk Do tồn i N cho K Ui Nhng pi Là phủ HCP nên 30 p pi Thật vậy, ta có tập compact K đợc phủ số hữu hạn pi } Giả sử họ hữu hạn pi không phủ K Lấy {P : P P0 pi ,khi tồn x K \ P0 tồn P1 pi cho K Ui = x1 P'1 Vì P P không phủ K nên tồn x2 K \ (P P 0) tồn P pi cho x P Tiếp tục lý luận t2 ơng tự ta xây dựng đợc dãy {xn} K, { P n } pi cho xn Pn với n xn P k với k < n Từ K tập compact dãy suy tồn dãy { xnk : k N } { xn } cho xnk hội tụ tới x K Khi tồn P pi cho x P Từ pi có tính chất HCP suy {xn : nk = 1, 2, } = k {xn } = { x : nk = 1,2, } n k k nk =1 Do tồn n0 N để xnk = x với nk n0 Suy xn +1 = xn P n Điều mâu thuẫn với xn P k với k < n Do tồn họ hữu hạn p ' P i cho K Vậy p ' U P k- lới 2.2.2 Nhận xét Chứng minh hoàn toàn tơng tự nh mệnh đề 2.2.1 (1) ta có P p- k lới p-wcs-lới tập compact X compact dãy 31 2.2.3 Hệ [6] Giả sử X không gian dãy, không gian mà điểm thuộc G - tập Khi phủ điểm - đếm đợc P X k- lới ( tơng ứng p- k- lới ) P wcs- lới ( tơng ứng p- wcs- lới ) Chứng minh Vì X không gian dãy nên đợc xác định phủ tất tập compact metric Do tập compact không gian dãy compact dãy Theo chứng minh mệnh đề 2.2.1(2), tập compact không gian mà điểm G - tập compact dãy Theo mệnh đề 2.2.1 (1), P k- lới nêú P wcs- lới tập compact X compact dãy Từ suy điều phải chứng minh 2.2.4 Mệnh đề [6] Giả sử f: X Y thoả mãn (1) (2) dới Khi với dãy{yn} hội tụ tới y Y với y yn , tồn dãy {xn} hội tụ tới x {f(xn)}là dãy {yn} (1) f ánh xạ thơng X không gian dãy (2) f ánh xạ đóng điểm X G - tập Chứng minh.(1) Đặt A = {yn: n N} Vì A không đóng Y (y yn) nên B = f-1(A) không đóng X Vì X không gian dãy nên tồn dãy {xn} hội tụ đến điểm không nằm B {f(xn)}là dãy {yn} (2)Từ yn y (yn y) nên với i N, tồn x f-1(y) cho x { f ( yn ):n i} Vì {x}là G- tập X nên tồn dãy {Gn: n N} lân cận x cho {Gn: n N} = {x} Gn + Gn 32 Với i N, ta đặt Ui = Gi {f-1(yn): n i} Vì f ánh xạ đóng nên với dãy {an}, an Un hội tụ tới x Do đó, từ x { f ( yn ):n i} , Gn lân cận x ta có Un = Gn {f-1(yk) : k n } Với n N, ta chọn xn Un Khi {xn} dãy hội tụ tới x f(xn)}là dãy {yn} 2.2.5 Mệnh đề [6] Nếu không gian Y thoả mãn điều kiện sau suy Y có k-lới điểm - đếm đợc (1) Y có sở yếu điểm - đếm đợc (2) Y có k- lới - HCP (3) Y ảnh đóng - không gian X (4) Y đợc làm trội - không gian X ( < ) Chứng minh (1) Với y Y, đặt Py = {Pn(y) : n N } đợc xác định nh định nghĩa 1.1.8 Giả sử P = { Py: y Y } sở yếu điểm - đếm đợc Y Có thể giả thiết Pn(y) giảm Khi với y Y {yn} Pn(y) hội tụ tới y Ngợc lại dãy {yn} hội tụ tới y với n, tồn nm cho yk Pn(y) với k nm Thật vậy, giả sử A = { yn: n N } - Pn(y) vô hạn Vì A {y} đóng Y nên với p A, p y tồn m N cho Pm(p) (A {y}) = ( P sở yếu ), suy Pm(p) A = Từ Pn(y) A = với n (theo cách đặt A ) A đóng Y ( Pm(p) 33 A= ) suy mâu thuẫn (vì A đóng Y A vô hạn nên y A, mâu thuẫn với cách đặt A ) Từ ta chứng minh Y không gian dãy Giả sử A đóng Y, {yn} A, yn hội tụ tới y, U lân cận y Khi tồn m N cho Pm(y) U Nếu y A tồn Pm(y) A = Vì yn Pm(y) {yn} A nên suy mâu thuẫn Vậy y A Ngợc lại, giả sử {yn} A, yn y y A Ta chứng minh A đóng Giả sử A không đóng suy Y \ A không mở Do tồn y0 Y\ A cho Pn(y0) A Từ chọn đợc yn Pn(y0) A, {yn} Pn(y0) A A, yn y0 suy y0 A mâu thuẫn với y0 Y \ A Vậy A đóng Do Y không gian dãy Vì p sở yếu nên p wcs* lới Theo hệ 2.2.3 ta có P k- lới điểm - đếm đợc (2) Giả sử p = {pn: n N } k- lới - HCP Với n N đặt Dn = {y Y : pn không điểm hữu hạn y } pn = { P Dn : P pn } {{y}: y Dn } Giả sử p = {pn : n N } Khi p' ' wcs* lới điểm - đếm đợc Hơn điểm Y G tập Do theo hệ 2.2.3 p ' k- lới điểm - đếm đợc (3) Giả sử f : X Y ánh xạ đóng P k- lới - hữu hạn địa phơng X Vì điểm X G- tập nên theo mệnh đề 2.2.1 (2) 34 mệnh đề 2.2.4 ta có f(P) k - lới - HCP Y Do đó, theo kết (2) Y có k lới điểm - đếm đợc (4) Với , đặt Y = X - {X : < } Giả sử P k - lới - hữu hạn địa phơng Y P= P Y Khi P = {P: } điểm - đếm đợc Ta chứng minh P k - lới, giả sử K tập compact U tập mở với K U Khi K có giao với hữu hạn Y Thậy vậy, tồn D = {xn: n N} cho xn K Y n với n < n+1 D X hữu hạn Do D tập đóng rời rạc n X Điều mâu thuẫn Giả sử {: Y K } = {1, 2, , n} Với i = 1, 2, , n, tồn họ hữu hạn f i P i cho Y K i Do K { f i f i U P i : i = 1, 2, , n} U Vậy tồn họ hữu hạn P P cho K P U Suy P k - lới 35 Kết luận Luận văn đạt đợc số kết qủa nh sau: Trình bày khái niệm loại lới, - không gian, k-không gian, không gian dãy, sở yếu Chứng minh mối quan hệ đợc đa [7] (nhng không chứng minh) Đặc biệt đa mối quan hệ loại lới cha đợc nêu [7] (mệnh đề 1.2.3, 1.2.8, 1.2.14, nhận xét 1.2.22 (1), định lý 1.2.20) Đa phản ví dụ: Từ wcs*- lới k - lới không suy đợc cs*- lới Phủ điểm - đếm đợc thỏa mãn (A) nhng không thỏa mãn (B) (Ví dụ 1.2.5, nhận xét 1.2.18) Xét tồn k lới: Trình bày chứng minh đầy đủ, chi tiết số kết qủa Tanaka [6], Pengfei Yan Shou Lin [7] 36 Tài liệu tham khảo [1] J L Keli, Tôpô đại cơng, Hồ Thuần, Hà Huy Khoái, Đinh Mạnh Tờng ( Dịch ), Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1973 [2] D.Burke, On certain point countable covers, Pacific J Math 64 (1976), 79- 92 [3] Ryszard Engelking, General Topology, warszawa 1977 [4] Masami Sakai, Remark on spaces with special type of k- networks, Tsukuba J Math, Vol 21 No 2(1997) 443-448 [5] Yoshio Tanaka and Chuan Liu, Fiber Properties of Closed maps and weak topology, Topology Proceedings, Volume 24 Sping 1999 [6] Yoshio Tanaka, Point Countable Covers and k- networks Topology Proceedings Volume 12, 1987 [7] Pengfei Yan and Shou Lin, Point Countable k- networks cs *- networks and Spaces, Topology Proceedings Volume 24, Sping 1999 37 [...]... Vậy có p P là một cs- lới Theo mệnh đề 1.2.1 ta là cs*- lới (2) Pengfei Yan và ShouLin trong [7] đã chỉ ra rằng : 25 i)Nếu X có một cơ sở yếu điểm - đếm đợc thì X có một k- lới điểm - đếm đợc ii) X có một sn- lới điểm - đếm đợc không suy ra đợc X có một p- k- lới điểm - đếm đợc, chẳng hạn compact hoá Stone Cech N iii) X có một cs*- lới điểm - đếm đợc không suy ra đợc X có một phủ điểm đếm đợc thoả... này mâu thuẫn với xnk U nk = p'' nk với mọi nk Do đó tồn tại i N sao cho K Ui Nhng pi Là một phủ HCP nên 30 p pi Thật vậy, ta có tập compact K đợc phủ bởi một số hữu hạn pi } Giả sử mọi họ con hữu hạn của pi đều không phủ K Lấy {P : P P0 pi ,khi đó ắt tồn tại x K \ P0 và tồn tại P1 pi sao cho 1 K Ui = x1 P'1 Vì P 1 P 0 không phủ K nên tồn tại x2 K \ (P 1 P 0) và tồn tại P 2 pi... với xn P k với mọi k < n Do đó tồn tại một họ con hữu hạn p ' của P i sao cho K Vậy p ' U P là một k- lới 2.2.2 Nhận xét Chứng minh hoàn toàn tơng tự nh mệnh đề 2.2.1 (1) ta có P là một p- k lới khi và chỉ khi là p-wcs-lới và mỗi tập con compact của X là compact dãy 31 2.2.3 Hệ quả [6] Giả sử X là một không gian dãy, hoặc không gian mà mỗi điểm thuộc nó là một G - tập Khi đó một phủ điểm - đếm đợc... điểm - đếm đợc (3) Giả sử f : X Y là một ánh xạ đóng và P là một k- lới - hữu hạn địa phơng của X Vì mỗi điểm của X là G- tập nên theo mệnh đề 2.2.1 (2) và 34 mệnh đề 2.2.4 ta có f(P) là một k - lới - HCP của Y Do đó, theo k t quả (2) thì Y có một k lới điểm - đếm đợc (4) Với mỗi , đặt Y = X - {X : < } Giả sử P là một k - lới - hữu hạn địa phơng của Y và P= P Y Khi đó P = {P: } là điểm - đếm. .. [7] thì X có một cs-lới điểm đếm đợc không suy ra đợc X có một phủ điểm - đếm đợc thoả mãn (A), Chẳng hạn S Tuy nhiên điều kiện đó đợc thoả mãn nếu X là 4- không gian Cụ thể theo bổ đề 5 trong [7] ta có : 1.2.15 Mệnh đề Giả sử X là một 4 - không gian và p là một wcs - lới điểm - đếm đợc Khi đó p thoả mãn (A) Chứng minh Giả sử phủ p không thoả mãn (A) Khi đó tồn tại U mở trong X và x U sao cho với mọi... cực đại của với quá đếm đợc p 1.2.17 Định lý.[7] Đối với mỗi không gian X, các khẳng định sau đây là tơng đơng : ( 1) X có một phủ điểm - đếm đợc thoả mãn (A) (2) X có một phủ điểm - đếm đợc thoả mãn (B) 19 (3) X là một 4- không gian với một cs lới điểm - đếm đợc (4) X là một 4- không gian với một wcs lới điểm - đếm đợc Chứng minh.(2 (3) (4) là hiển nhiên (4) (1) là do mệnh đề 1.2.15 Ta chỉ cần... X là compact dãy (2) Giả sử P là một phủ của X có tính chất - HCP Khi đó P là một k- lới nếu và chỉ nếu p là một wcs- lới Chứng minh (1) Điều kiện cần : Giả sử P là một k- lới điểm - đếm đợc Theo mệnh đề 1.2.2 ta có p là một wcs- lới Theo bổ đề 1.1 trong [6] ( tơng ứng định lý 3.1 trong [2] ) thì mỗi không gian compact với một k- lới điểm - đếm đợc là khả metric và do đó nó là compact dãy Suy ra mỗi... với bất k dãy {an}, an Un đều hội tụ tới x Do đó, từ x { f 1 ( yn ):n i} , Gn là lân cận của x ta có Un = Gn {f-1(yk) : k n } Với mỗi n N, ta chọn xn Un Khi đó {xn} là dãy hội tụ tới x và f(xn)}là một dãy con của {yn} 2.2.5 Mệnh đề [6] Nếu không gian Y thoả mãn một trong các điều kiện sau thì suy ra Y có một k- lới điểm - đếm đợc (1) Y có một cơ sở yếu điểm - đếm đợc (2) Y có một k- lới... x Khi đó với mọi p thì L có giao với một phần tử nào đó của p Vì P là điểm - đếm đợc và là quá đếm đợc nên tìm đợc P tử của P sao cho L P và một số không đếm đợc các phần chứa P ( Do L đếm đợc nên L chỉ có giao với một số không quá đếm đợc các phần tử của P Mặt khác quá đếm đợc mà L có giao với mỗi p ) Do L ( R ) = và L P nên P R và có quá đếm đợc các phần tử của chứa R p R {P}... một quan hệ tơng đơng E trên X và một đẳng cấu f: X/E Y thoả mãn f = fq, trong đó q là phép chiếu tự nhiên từ X lên X/E 28 2.2 Sự tồn tại k- lới Tơng tự nh trong các mệnh đề 1.2; hệ quả 1.5 và mệnh đề 1.8 trong [6] ta có : 2.2.1 Mệnh đề (1) Giả sử P là một phủ điểm - đếm đợc của X Khi đó P là một k- lới nếu và chỉ nếu p là một wcs- lới và mỗi tập con compact của X là compact dãy (2) Giả sử P là một ... nghiên cứu phủ điểm - đếm đợc với đặc trng khác nh k- lới, cs*- lới, wcs*- lới, p -k- lới, Mục đích nghiên cứu luận văn tập trung nghiên cứu vấn đề phủ điểm - đếm đợc thông qua số k t Tanaka [6],... điểm - đếm đợc ii) X có sn- lới điểm - đếm đợc không suy đợc X có p- k- lới điểm - đếm đợc, chẳng hạn compact hoá Stone Cech N iii) X có cs*- lới điểm - đếm đợc không suy đợc X có phủ điểm đếm. .. xnk : k N } { xn } cho xnk hội tụ tới x K Khi tồn P pi cho x P Từ pi có tính chất HCP suy {xn : nk = 1, 2, } = k {xn } = { x : nk = 1,2, } n k k nk =1 Do tồn n0 N để xnk = x với nk