Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007 123 Một số kết quả về tổng trực tiếp các CS - môđun Ngô Sỹ Tùng (a) , Nguyễn Tiến Dũng (b) Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi đa ra một số kết quả về tổng trực tiếp các CS - môđun. Các kết quả chính của bài báo là: Nếu M = i I M i , trong đó M i là các môđun đều và có độ dài lớn nhất bằng 2 với mọi i I, thì M là CS - môđun nếu và chỉ nếu mọi môđun M i M j , trong đó M i và M j cùng có độ dài 2 với mọi i j I là CS - môđun. Ngoài ra nếu M = M 1 M 2 M n , trong đó M i là các môđun đều với 1 i n là sự phân tích bù hạng tử trực tiếp đều và giả thiết rằng mọi đơn cấu M i M j là đẳng cấu với mọi 1 i j n, thì môđun M là CS - môđun nếu và chỉ nếu mọi hạng tử trực tiếp M i M j là CS - môđun với mọi 1 i j n. I. Mở đầu Vấn đề đặc trng CS - môđun (tơng ứng (1 - C 1 ) môđun) qua điều kiện tổng trực tiếp các môđun đều đã đợc nhiều tác giả nghiên cứu (chẳng hạn xem [2], [3], [5], [6]). Trong [6, Theorem 11], Kamal và Muller đã chỉ ra rằng đối với một miền giao hoán xoắn tự do rút gọn R; R - môđun M là CS khi và chỉ khi M = M 1 M 2 M n là một tổng trực tiếp hữu hạn của những môđun đều U i (1 i n) sao cho U i U j là một CS - môđun với mọi 1 i j n. Tiếp đó trong [3, Theorem 3], hai tác giả Haramanci và Smith sau khi chỉ ra rằng, một R - môđun M là CS - môđun khi và chỉ khi M là một tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun con đều và mọi hạng trực tiếp của M có chiều đều 2 là một CS - môđun, đã đặt câu hỏi Cho M = M 1 M 2 M n là một tổng trực tiếp hữu hạn của những môđun đều U i (1 i n) sao cho U i U j là một CS - môđun với mọi 1 i j n khi đó M có là CS - môđun không?. Trong bài báo này chúng tôi trả lời một phần câu hỏi đặt ra ở trên. Chúng tôi chứng tỏ rằng R - môđun M = i I M i trong đó I không nhất thiết hữu hạn, M i là các môđun đều có độ dài lớn nhất bằng hai với mọi i I là CS - môđun nếu và chỉ nếu mọi môđun M i M j trong đó M i và M j cùng có độ dài hai là CS - môđun. Ngoài ra một R - môđun M = M 1 M 2 M n trong đó M i là môđun đều với mọi 1 i n và sự phân tích là bù hạng tử trực tiếp đều là CS - môđun nếu và chỉ nếu mọi môđun M i M j là CS - môđun với mọi 1 ij n. II. Định nghĩa và ký hiệu Các vành R xét trong bài này đợc giả thiết là vành kết hợp có đơn vị, mọi R - môđun là R - môđun phải unita. Các ký hiệu K M, K M, K M chỉ ra rằng K là môđun con, hạng tử trực tiếp và môđun con cốt yếu của môđun M tơng ứng, độ dài của một môđun M đợc ký hiệu là l(M). Ta xét điều kiện sau đối với một môđun M: (C 1 ): Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M. Nói . Nhận bài ngày 24/10/2005. Sửa chữa xong 12/9/2006. Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007 124 cách khác mọi môđun con đóng của M là một hạng tử trực tiếp của M . Một môđun M đợc gọi là CS - môđun nếu M thoả mãn điều kiện (C 1 ). Môđun M đợc gọi là có tính chất (U) hay (1 - C 1 ) - môđun nếu mọi môđun con đóng đều của M là hạng tử trực tiếp của M. Một sự phân tích M = i I M i các môđun con của môđun M đợc gọi là bù hạng tử trực tiếp nếu với mọi hạng tử trực tiếp U của M, tồn tại tập con J I sao cho M = U ( j J M j ). Một sự phân tích M = i I M i các môđun con của môđun M đợc gọi là bù hạng tử trực tiếp đều nếu với mọi hạng tử trực tiếp đều U của M, tồn tại tập con J I sao cho M = U ( j J M j ). Một sự phân tích bù hạng tử trực tiếp là bù hạng tử trực tiếp đều. Cho M là một môđun khác không. Một tập hợp hữu hạn n+1 môđun con của M M = M 0 >M 1 > > M n = 0 đợc gọi là một dãy hợp thành độ dài n của M với điều kiện rằng môđun M i-1 /M i là đơn (i = 1, 2, , n). Độ dài của môđun M ( l(M)) đợc định nghĩa: l(M) = III. Tổng trực tiếp các CS - môđun Bổ đề 3.1. Hạng tử trực tiếp bất kỳ của một CS ( tơng ứng (1 - C 1 )) - môđun là một CS ( tơng ứng (1 - C 1 )) - môđun. Chứng minh. Gọi K là một hạng tử trực tiếp của một môđun M và N là một môđun con đóng (tơng ứng đóng đều) trong một môđun K. Theo [2, 1.10(4)] N là môđun con đóng (tơng ứng đóng đều) trong M (vì K M nên K đóng trong M). Điều này dẫn đến N M (do M là CS (tơng ứng (1 - C 1 )), nghĩa là M = N X với X là môđun con nào đó của M. Do N K và K M nên theo luật modula ta có K = N (K X) hay K là CS - môđun (tơng ứng (1-C 1 )). Bổ đề 3.2. Cho R là một vành và M là một R - môđun sao cho M=M 1 M 2 M n là một tổng trực tiếp hữu hạn những môđun M i (1 i n) nội xạ lẫn nhau. Khi đó M là một CS - môđun nếu và chỉ nếu M i là một CS - môđun với mỗi 1 i n. Chứng minh. Xem [3, Theorem 8]. Định lý 3.3. Cho R là vành và một R - môđun phải M = M 1 M 2 M n là một tổng trực tiếp hữu hạn những môđun nội xạ lẫn nhau có độ dài 2. Khi đó M là CS - môđun. Chứng minh. Trớc hết ta sẽ chứng minh rằng môđun M i là một CS - môđun với mọi 1 i n. 0 nếu M =0 n nếu M có một dãy hợp thành độ dài n. Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007 125 Thật vậy, nếu M i (1 i n) là môđun không phân tích đợc, thì lấy bất kỳ các môđun con A M i và B M i sao cho A B = 0. Khi đó ta có dãy hợp thành: 0 A A B M i . Theo giả thiết môđun M i có l(M i ) = 2 nên ta có A = A B hay B = 0. Nh vậy . A M i và điều này dẫn đến M i là môđun đều. Vậy M là môđun CS - môđun. Nếu M i là môđun phân tích đợc thì theo [1, The Krull - Schmit Theorem 12.9] ta có sự phân tích môđun M i = M 1 i M 2 i , trong đó M 1 i và M 2 i là những môđun đơn (vì l(M) =2 dẫn đến l(M 1 i ) = l(M 2 i ) = 1). Nh vậy M i là môđun nửa đơn và dẫn đến là CS - môđun. Theo Bổ đề 3.2 ta có M là CS - môđun. Định lý 3.4. Cho R là vành và M là một R - môđun phải sao cho M = i Ii M là một tổng trực tiếp các môđun đều có độ dài lớn nhất bằng hai. Khi đó các phát biểu sau là tơng đơng: (i) M là CS - môđun; (ii) M i M j mà l(M i ) = l(M j ) = 2 là CS - môđun, i j I. Chứng minh. (i) (ii): Là hiển nhiên theo Bổ đề 3.1. (ii) (i): Giả sử A = M i M j mà l(M i ) = l(M j ) = 2 là CS - môđun với i j I. Khi đó A là (1- C 1 ) - môđun. Do M i , M j là các môđun đều, có độ dài hữu hạn nên theo . [1, Lemma 12.8], ta có End(M i ) và End(M j ) là những vành địa phơng. Từ đó áp dụng [1, Corollary 12.7], sự phân tích A = M i M j là bù hạng tử trực tiếp và dẫn đến là bù hạng tử trực tiếp đều. Từ giả thiết l(M i ) = l(M j ) suy ra M i không thể nhúng thực sự trong M j (vì nếu nh vậy thì l(M i ) l(M j )) nên áp dụng [7, Theorem 2.(ii iii)] ta có, M i là M j nội xạ. Nh vậy môđun M i (i I) với l(M i )= 2 là nội xạ lẫn nhau. Theo . [2, Lemma 8.14] ta có M là CS - môđun. Mệnh đề 3.5. Cho R là vành và một R - môđun phải M = M 1 M 2 là một tổng trực tiếp của một môđun đơn và một môđun có độ dài 2 khi đó M là CS - môđun. Chứng minh. Thật vậy, giả sử môđun M = M 1 M 2 với M 1 là môđun đơn và M 2 có độ dài 2 (khi đó M có độ dài 3). Gọi K là một môđun con đóng trong M, thì từ M 1 là môđun đơn nên hoặc K M 1 = 0 hoặc K M 1 = M 1 Trờng hợp 1. K M 1 = M 1 , thì rõ ràng K M. Trờng hợp 2. K M 1 = 0. Gọi : M 1 M 2 M 2 là phép chiếu và gọi = | K . Khi đó với phần tử bất kỳ x K: x = x 1 + x 2 với x 1 M 1 , x 2 M 2 . Cho (x) = 0 thì dẫn đến (x 1 + x 2 ) = (x 1 ) + (x 2 ) = x 2 = 0, và bởi vì K M 1 = 0 nên suy ra x 1 = 0 hay x = 0. Vậy là một đơn cấu và ta có K (K) M 2 . Do K là môđun con thực sự của M (có l(M) = 3) nên l(K) 2. Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007 126 Nếu l(K) = l(M 2 ) = 2 thì đơn cấu là một đẳng cấu và nh vậy ta có M = M 1 K. Nếu l(K) = 1 (K là môđun đơn) thì K (K) là một môđun con thực sự của M 2 . Vì l(M) = 3 nên nếu nh K M 2 = 0 thì dễ thấy M = K M 2 (vì nếu không thì từ K M 2 M hay 3 = l(K M 2 ) < l(M) = 3, mâu thuẫn), hay K M. Nếu KM 2 0 thì dễ thấy K = (K) M 2 . Do K đóng trong M nên dẫn đến K đóng trong M 2 (M 2 là CS - môđun theo chứng minh của Định lý 3.3), suy ra K M 2 M. Vậy M là CS - môđun. Ví dụ dới đây chỉ ra rằng Mệnh đề 3.5 không còn đúng trong trờng hợp M là tổng trực tiếp của một môđun đơn và một môđun có độ dài lớn hơn 2. Ví dụ 3.6. Xét ằ - môđun M = (ằ/ằp 3 ) ((ằp 2 /ằp 3 )/( ằp/ằp 3 )), trong đó (ằ/ằp 3 ) là một môđun đều (CS - môđun) có độ dài bằng 3 và (ằp 2 /ằp 3 )/(ằp/ằp 3 ) là một môđun đơn. Nhận xét rằng End(ằ/ằp 3 ) và End((ằp 2 /ằp 3 )/(ằp/ằp 3 )) là những vành tự đồng cấu địa phơng theo [1, Lemma 12.8]. Giả sử M là CS - môđun. Đặt : ằp 2 /ằp 3 (ằp 2 /ằp 3 )/(ằp/ằp 3 ) là phép chiếu tự nhiên, thì rõ ràng không đơn cấu. Từ [2, Lemma 7.3.(i)], có thể đợc mở rộng tới một đồng cấu f : ằ/ằp 3 (ằp 2 /ằp 3 )/(ằp/ằp 3 ). Do (ằp 2 /ằp 3 )/(ằp/ằp 3 ) là môđun đơn nên Imf =(ằp 2 /ằp 3 )/(ằp/ằp 3 ) hoặc Imf = 0, và điều đó dẫn đến (ằ/ằp 3 )/ker(f) (ằp 2 /ằp 3 )/(ằp/ằp 3 ) hoặc Ker(f) = ằ/ằp 3 . Khi đó Ker(f) = (ằp 2 /ằp 3 ) hoặc Ker(f) = ằ/ằp 3 , và điều này mâu thuẫn với và f là các đồng cấu khác đồng cấu không. Vậy M không là CS - môđun. Định lý 3.7. Giả sử R là một vành và M là một R - môđun phải sao cho . M = M 1 M 2 M n là tổng trực tiếp của những môđun đều M i và sự phân tích là bù hạng tử trực tiếp đều. Giả thiết rằng với mọi 1 i j n, mọi đơn cấu M i M j là một đẳng cấu. Khi đó các phát biểu sau là tơng đơng : (i) M là CS - môđun; (ii)M i M j là CS - môđun với mọi 1 i j n. Chứng minh. (i) (ii) là hiển nhiên theo Bổ đề 3.1. (ii) (i) Giả sử mọi môđun A = M i M j là CS - môđun với 1 i j n. Gọi . K M i (K là môđun đều) và f : K M j là một đồng cấu . Đặt U = {x - f(x) : x K} M i M j , thì U K (do phép chiếu tự nhiên : M i M j M i có (U) = K) là một môđun con đều của A. Lấy y U M j thì tồn tại x K sao cho y = x - f(x). Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007 127 Suy ra . x = y + f(x) M j K = 0. Do đó y = 0 và dẫn đến U M j = 0. Bởi vì A là CS - môđun (suy ra A là (1 -C 1 ) - môđun) nên tồn tại môđun con U A sao cho U U. Do sự phân tích là bù hạng tử trực tiếp đều nên chúng ta có: A = U M i hoặc A = U M j . Trờng hợp 1. A = U M i . Gọi i là phép chiếu từ U M i đến M i và gọi . = i | j M . Khi đó vì U U nên U đóng đều trong A và khi đó U M j = 0. Nh vậy là một đơn cấu, và từ giả thiết suy ra là một đẳng cấu. Điều đó có nghĩa . A = U M j . Khi đó với mọi x K, x = f(x) + (x - f(x)), trong đó f(x) M j và (x - f(x)) U. Từ đó ta có (x) = i | i M (x) = i | i M ( f(x) + (x - f(x)) = i | i M (f(x)) + i | i M (x - f(x)) = f(x), nghĩa là là một mở rộng của f, hay M j là M i nội xạ. Trờng hợp 2. A = U M j . Gọi j : U M j M j là phép chiếu và gọi = j | i M . Khi đó với mọi x M i , x = (x - f(x) + f(x) trong đó f(x) M j và x - f(x) U. Từ đó ta có: (x) = [(x - f(x)) + f(x)] = f(x) . Suy ra là một mở rộng của f, hay M j là M i nội xạ. Nh vậy, môđun M i (1 i n) là nội xạ lẫn nhau và do đó áp dụng Bổ đề 3.2 thì ta có M là CS - môđun. Hệ quả 3.8. Giả sử R là một vành và M là một R - môđun sao cho . M = M 1 M 2 M n là tổng trực tiếp hữu hạn của những môđun đều M i có cùng độ dài và sự phân tích là bù hạng tử trực tiếp đều. Khi đó M là CS - môđun nếu và chỉ nếu mọi hạng tử trực tiếp M i M j là CS - môđun với mọi 1 i j n. Chứng minh. Do các môđun M i và M j với 1 i j n có cùng độ dài nên mọi đơn cấu M i M j luôn là một đẳng cấu (vì nếu không thì l(M i ) l(M j )). Theo Định lý 3.6 ta có điều cần chứng minh. tài liệu tham khảo [1] F. W Anderson and K. R. Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer - Verlag, New York - Heidelberg - Berlin, 1974. [2] Ng. V. Dung - D. V. Huynh - P. F. Smith and R. Wisbauer, Extending Modules, Pitman, London, 1994. [3] A. Harmanci and P. F. Smith, Finite direct sum of CS - modules, Houston J. Math 19 (1993), 523 - 532. [4] D. V. Huynh - S. K. Jain and S.R. López Permouth, Rings characterized by direct sums of CS modules, Comm. Algebra, 28 (9), (2000), 4219 - 4222. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 1A-2007 128 [5] M. A. Kamal and B. J. Muller, The structure of extending modules over noetherian rings, Osaka J. Math. 25 (1988), 539 - 551. [6] M. A. Kamal and B. J. Muller, Extending modules over commutative domains, Osaka J. Math. 25 (1988), 531 - 538. [7] Ngo Sy Tung, Some results on quasi - continous modules, Acta Mathematica Vietnamica, Vol. 19. N 0 .2 (1994), 13 - 17. [8] R. Wisbauer, Foundations of Modules and Ring theory, Gordon and Breach, Reading, 1991. Summary Some results on direct sums of CS – modules In this paper, we give some results on sums of CS - modules. It shows that if . M = ⊕i∈IMi, where Mi is a uniform module of length at most 2 (for all i∈I), then M is a CS - module if and only if every direct summand Mi ⊕ Mj, where the length of both Mi and Mj are 2, is a CS - module. And if M = M1 ⊕ M2 ⊕…⊕ Mn is a decomposition such that: (i) Mi is a uniform module (1 ≤ i ≤ n); (ii) this decomposition of M complements uniform direct summands; and (iii) every monomorphsim Mi → Mj is a isomorphsim. Then M is a CS - module if and only if every direct summand Mi ⊕ Mj is a CS - module for all 1 ≤ i ≠ j ≤ n. (a) khoa to¸n, tr−êng ®¹i häc vinh (b) khoa gi¸o dôc tiÓu häc, tr−êng ®¹i häc vinh . kết quả về tổng trực tiếp các CS - môđun. Các kết quả chính của bài báo là: Nếu M = i I M i , trong đó M i là các môđun đều và có độ dài lớn nhất bằng 2 với mọi i I, thì M là CS - môđun. khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007 123 Một số kết quả về tổng trực tiếp các CS - môđun Ngô Sỹ Tùng (a) , Nguyễn Tiến Dũng (b) Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi đa ra một số kết. khi chỉ ra rằng, một R - môđun M là CS - môđun khi và chỉ khi M là một tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun con đều và mọi hạng trực tiếp của M có chiều đều 2 là một CS - môđun, đã đặt câu hỏi