Biểu diễn đại số lượng tử SU(2) theo các dao động tử đa mode biến dạng q (LV01166)

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI O NH BC BIU DIN I S LNG T SU(2) THEO CC DAO NG T A MODE BIN DNG q Chuyờn ngnh: VT L Lí THUYT V VT Lí TON Mó s: 60 44 01 03 LUN VN THC S KHOA HC VT CHT Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS L-u Thị Kim Thanh H NI 2013 LI CAM OAN Tụi xin cam oan khúa lun tt nghip: BIU DIN I S LNG T SU(2) THEO CC DAO NG T A MODE BIN DNG q l kt qu nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca cụ giỏo PGS.TS Lu Th Kim Thanh trờn c s nghiờn cu cỏc ti liu tham kho Khúa lun ny khụng trựng vi kt qu nghiờn cu ca bt k tỏc gi no ó tng cụng b Tụi cng xin cam oan rng mi s giỳp cho vic thc hin khúa lun ó c cm n v cỏc thụng tin trớch dn khúa lun ó c ch rừ ngun gc Nhng iu tụi cam oan trờn õy hon ton ỳng s tht Nu sai tụi xin chu trỏch nhim trc hi ng H Ni, thỏng 06 nm 2013 Hc viờn o Nh Bc MC LC Trang Trang ph bỡa Li cm n Li cam oan M U CHNG 1: H THNG Lí THUYT C BN V CHT LU 1.1 Cỏc tớnh cht vt lớ c bn ca cht lu 1.1.1 c im ca cht lu 1.1.2 Khi lng riờng Trng lng riờng T trng 1.1.3 Tớnh nht 1.1.4 Tớnh nộn c sut n hi K 1.1.5 Tớnh cht ca dũng chy s Rõy nụn 1.2 Tnh hc cht lu 1.2.1 Cỏc khỏi nim ỏp sut 1.2.2 Phng trỡnh cõn bng ca cht lu 1.2.3 nh lut Paxcan 10 1.2.4 nh lut Acsimet 11 1.3 ng lc hc lu cht 12 1.3.1 Mt s khỏi nim 12 1.3.2 Phng phỏp th tớch kim soỏt o hm tớch phõn 13 1.3.3 Phng trỡnh liờn tc 15 1.3.4 Phng trỡnh ng lng 17 1.3.5 Phng trỡnh nng lng 18 1.4 Chuyn ng ca vt rn cht lu 21 1.4.1 Lc cn ma sỏt 22 1.4.2 Lc cn ỏp sut 23 1.4.3 Lc nõng 25 CHNG 2: NG DNG 27 2.1 Mỏy nộn thy lc 27 2.2 Phanh a xe mỏy 28 2.3 S gi cõn bng ca tu thuyn 28 2.4 Cỏch trc tu m 29 2.5 Tu ngm, tu ln 30 2.6 Tỏc dng ca bong búng cỏ 30 2.7 Khớ cu - búng khụng 31 2.8 Cõn phõn tớch 32 2.9 Hin tng vũi phun 32 2.10 B ch hũa khớ 33 2.11 Van an ton 34 2.12 o tc dũng chy thoỏt l nh Cụng thc Torixenli 35 2.13 o tc cht lng ng Ven-tu-ri 36 2.14 o tc ca mỏy bay nh ng Pi-tụ 37 2.15 Va chm gia hai xe ụ tụ chuyn ng theo hai hng song song v gn 38 2.16 ng dng ca cụng thc Stc xỏc nh nht ca cht lng 38 2.17 Xỏc nh in tớch ca cỏc in t (thớ nghim Milikan) 39 2.18 ng cong ca qu búng b un cong hiu ng Magnus 41 2.19 Nguyờn lý hot ng v c cu iu khin mỏy bay, trc thng 43 2.20 Khớ ng hc ca ụtụ v nhng bin phỏp ci thin tớnh nng khớ ng hc 48 KT LUN 54 TI LIU THAM KHO 55 M U i xng l c tớnh ph bin nhiu h vt lớ Vic tỡm kim nhng i xng v s vi phm nú mt cỏch tun t kim soỏt c, cng nh vic tỡm kim nhng i lng bt bin vt lớ l phng phỏp ch ng ph bin cụng cuc khỏm phỏ cỏc nh lut vt lớ Ngụn ng toỏn hc ca lý thuyt i xng l lý thuyt nhúm Lý thuyt i xng lng t ly nhúm lng t lm c s l mt hng nghiờn cu thu hỳt s quan tõm ca nhiu nh vt lý thi gian gn õy Nhúm lng t l cỏc kiu bin dng ca i s Lie thụng thng m s thu li c tham s bin dng cú giỏ tr bng n v [1,2] ng dng ca nhúm lng t vt lý tr nờn ph bin vi vic a vo hỡnh thc lun dao ng t iu hũa bin dng [3,4], chng hn nh ó tỡm c biu din boson ca i s lng t SUq(2) v ng dng gii phng trỡnh Yang Baxter [5] i s lng t cũn cú nhiu ng dng cỏc ngnh vt lý khỏc, nh nghiờn cu v chui spin, cỏc anyoins, quang lng t, s quay v dao ng ca ht nhõn nguyờn t; v ng dng lý thuyt trng conformal T ú chỳng ta nhn thy rng, i s lng t cú lp i xng rng hn lp i xng Lie v bao gm i xng Lie nh trng hp c bit Nghiờn cu i s lng t SU(2) nm hng nghiờn cu trờn, v ó t c nhiu kt qu cú ý ngha vt lý ht nhõn nguyờn t, vt lý ht c bnó thu hỳt c s quan tõm nghiờncu ca nhiu nh khoa hc Vỡ vy ti cú ý ngha khoa hc; ú l lý tụi chn ti Biu din i s lng t SU(2) theo cỏc dao ng t a mode bin dng q lm lun thc s ca mỡnh di s hng dn ca cụ giỏo, PGS TS Lu Th Kim Thanh Mc ớch, nhim v nghiờn cu: - Nghiờn cu hỡnh thc lun dao ng t iu hũa bin dng - Xõy dng cỏc phõn b thng kờ bin dng - Nghiờn cu i s SU(2) - Nghiờn cu i s SU(2) bin dng tng quỏt Phng phỏp nghiờn cu: - Phng phỏp Lý thuyt trng lng t - Phng phỏp vt lý thng kờ - Phng phỏp lý thuyt nhúm Tờn ti, kt cu ca lun - Tờn ti: Biu din i s lng t SU(2) theo cỏc dao ng t a mode bin dng q - Kt cu ca lun vn: Gm phn m u v kt lun; Ni dung chớnh ca lun c trỡnh by ba chng : Chng 1: i xng ng v SU(2) ca cỏc ht tng tỏc mnh Chng 2: Biu din dao ng t ca i s SU(2) Chng 3: Biu din i s lng t SU(2) theo cỏc dao ng t a mode bin dng q Chng I XNG NG V SU(2) CA CC HT TNG TC MNH 1.1 Nhúm i xng SU(2) 1.1.1 Spin ng v Vo nm 1930, kt qu nghiờn cu thc nghim v lc ht nhõn ca proton v neutron, Heisenberg ó nhn thy rng: nu nh tỏch c in tớch ca proton thỡ khụng cú cỏch no phõn bit c proton vi neutron vỡ chỳng cú lng v cng tng tỏc mnh vi cỏc ht khỏc xp x [1], [2] Vỡ vy Heisenberg ó a gi thit xem proton p v neutron n l hai trng thỏi khỏc ca cựng mt ht gi l nucleon N din t iu ny di dng toỏn hc, Heisenberg a khỏi nim spin ng v Cng tng t nh vi spin thụng thng, ht cú spin ng v I cú th (2I+1) trng thỏi khỏc vi cỏc giỏ tr : I = I , I - 1, , - I Nh vy nucleon cú spin ng v I = , v proton l trng thỏi cú I3 = + , cũn neutron cú I = - V sau, khỏi nim spin ng v c m rng cho mi ht tng tỏc mnh khỏc Vớ d meson p + , p , p - c xem nh ba trng thỏi khỏc ca cựng mt ht p + cú spin ng v I = 1, p cú I = +1, p0 cú I = 0, p cú I = -1, tng t vi meson K, cỏc baryon S, X, 1.1.2 Nhúm i xng SU(2) nh ngha: hp tt c cỏc ma trn 2x2, Unita, cú nh thc bng tha cỏc tớnh cht nhúm to thnh nhúm i xng SU(2) gg + = I , det g = Tớnh cht ca nhúm: + Tớnh kớn: a, b ẻ G a.b = c ẻ G + Tớnh kt hp: (a.b).c = a.(b.c) + $ phn t n v I: a.I = a " a ẻ G -1 + $ phn t nghch o: a.a = I " a ẻ G Mi phn t ca nhúm SU(2) c c trng bi ba thụng s wa (a = 1, 2, 3) v u cú th vit di dng g =e i ồwa a sa e iwa sa , (1.1) õy ch s lp li c quy c l ly tng theo chỳng, a l ma trn Pauli tha h thc giao hoỏn sc ộs a s b ự , = i e , abc 2 ỳ ỷ (1.2) vi e abc hon ton phn i xng theo mi ch s v e123 = , e abc c gi l hng s cu trỳc ca nhúm SU(2) Dng tng minh ca ma trn Pauli nh sau: ổ0 s1 = ỗ ố1 1ử ữ, 0ứ ổ0 s2 = ỗ ối -i ữ, 0ứ ổ1 s3 = ỗ ữ ố -1 ứ 1.2 Nhúm bin i SU(2) i xng ng v c mụ t bng ngụn ng toỏn hc bi nhúm cỏc phộp bin i SU(2), ú l nhúm cỏc phộp bin i thc hin bi cỏc toỏn t U c trng bi ba thụng s thc a, v cú dng: U (w a ) = e i wa Ia a = e iw a I a , (1.3) ú wa l cỏc thụng s thc vụ cựng bộ; I a l cỏc vi t ca phộp bin i, cú dng ma trn 2x2, c ng nht vi toỏn t spin ng v, hermitic I a + = I a v tuõn theo cỏc h thc giao hoỏn: [ I a , I b ] = ie abc I c (1.4) Tht vy, t iwa Ia = x, khai trin quanh mt v trớ rt nh v dng li U ( w ) = e iwI a ; I + iw a I a + s hng bc nht U + ( w) = e-iwa Ia ; I - iwa I a+ + + T iu kin Unita UU + = I ị ( I + iwa I a + ) ( I - iwa I a+ + ) = I ị I - iwa I a+ + iwa I a + wa2 I a I a+ + = I Vỡ a (a = 1, 2, 3) l cỏc vụ cựng nờn ta b qua wa so vi a UU + = I - iwa ( I a - I a+ ) = I ị iwa ( I a - I a+ ) = ị I a = I a+ , Do vy Ia l hermit Ta cú: det A = eTrln A , nờn iwaIa detU = eTrlne Tr ln( I +iwaIa + ) =e Tr{iwaIa} =e Vỡ a (a = 1, 2, 3) l cỏc vụ cựng v t iu kin Tr{iwa I a } e = ta cú: = + Tr {iwa I a } = ị iwaTr { I a } = ị Tr { I a } = (1.5) Nhúm i xng SU(2) cú m = -1 = tham s thc c lp Cỏc a tuyn ca nhúm SU(2) Di tỏc dng ca phộp bin i ng v cỏc toỏn t trng bin i theo qui tc tng quỏt: j ( x) đ j '( x) = e i wa I a a j ( x)e -i wa I a a (1.6) Nu cú r ht vi cỏc trng tng ng ji ( x ) , i = 1, 2, , r , bin i theo qui lut: j ổ - i ồwaTa ữ j j ( x) , ji ( x ) = ỗ e a ỗ ữ ố ứÊi (1.7) ú Ta l cỏc ma trn r r , tuõn theo h thc giao hoỏn nh I a [Ta , Tb ] = ie abcTc , (1.8) ta núi rng r ht ny thc hin bin din r chiu ca nhúm SU(2), hoc núi rng chỳng to thnh mt a tuyn ng v r Rừ rng rng r = I + , ú I l spin ng v ca cỏc ht a tuyn Vớ d: r = 1, Ta = Lỳc ny j ( x ) đ j ' ( x ) v ta cú vụ hng ng v ( bt bin) ng vi giỏ tr I=0 r = 2, Ta = sa ổ0 1ử ổ -i ổ1 ữ ,s = ỗ ữ 0ứ ố ứ s a l cỏc ma trn Pauli, s1 = ỗ ữ ,s = ỗ ố ứ ối Lỳc ny, ổ -i ji ' = ỗ e a ỗ ố s wa a j ữ jj, ữ ứÊi (1.9) 32 biu din bt kh quy ca nhúm SU(2) khụng gian v xõy dng toỏn t Casimir tha tớnh cht giao hoỏn vi tt c cỏc vi t ca i s SU(2) Nhúm SU(2) v c th l i s SU(2) c ng dng cỏc mụ hỡnh quay t ca vt lý, nh cỏc phõn t hai nguyờn t, cỏc mụ hỡnh ca vt lý ht nhõn ; cỏc ng dng ny ó t nhiu kt qu tt, nhng phự hp vi kt qu thc nghim hn, cỏc nh khoa hc ó a nhúm lng t SU(2), m mt phn ca nú chỳng tụi s trỡnh by chng sau 33 Chng BIU DIN I S LNG T SU(2) THEO CC DAO NG T A MODE BIN DNG -q 3.1 Dao ng t boson bin dng q Dao động tử boson biến dạng q đ-ợc định nghĩa theo toán tử sinh + hạt a q , toán tử hủy hạt aq toán tử số hạt N thỏa mãn hệ thức giao hoán phụ thuộc vào tham số biến dạng q aq aq + - qaq + aq = q - N , (3.1) q=1 (3.1) trở hệ thức giao hoán thông th-ờng a a + - a + a = + Liên hệ toán tử sinh hạt a q , toán tử hủy hạt aq toán tử số hạt N đ-ợc diễn tả hệ thức a +q aq = ộở N ựỷ ; aq a q+ = ộở N + 1ựỷ q q (3.2) õy chỳng ta ó s dng q-s boson tng ng vi s thụng thng x nh sau q -q [x] = , q-q -x x q -1 vi q l mt tham s thc q = e (t l thc), nu x l mt toỏn t cng cú t nh ngha ging nh trờn, chỳng ta chỳ ý rng q s l bt bin vi phộp bin i qđq -1 Cơ sở không gian Fock đ-ợc xác định tác động liên tiếp toán tử sinh a +q lên trạng thái chân không bị hủy aq , ta có 34 aq = 0, aq n = [ n]q a +q n = [ n + 1]q n q = ( a + ) n -1 , n +1 , (3.3) n [ n]q ! + Từ đó, tìm đ-ợc biểu diễn ma trận toán tử aq , a q nh- sau: ổ0 [1]q ỗ ỗ 0 aq = ỗ ỗ ỗ0 ỗ ố ổ0 ỗ ỗ [1]q + aq = ỗ ỗ0 [ 2]q ỗ ỗ ố Các toán tử tọa độ q ữ ữ ữ, ữ [3]q ữ ữ ứ ữ ữ ữ ữ ữ ữứ [ 2]q 0 (3.4) toán tử xung p đ-ợc biểu diễn theo toán tử sinh hạt, hủy hạt có biến dạng q q = h aq+ + aq ) , ( 2mw p = mhw + ( aq - aq ) Hệ thức giao hoán p q [ p , q ] = ih {ộở N ựỷ - ộở N + 1ựỷ } q q (3.5) 35 Hamiltonian dao động tử điều hòa biến dạng q p mw 2 hw H= + q = aq a q+ + a q+ aq ) ( 2m 2 = { } hw ộ N ự + ộ N + 1ự ỷq ỷq (3.6) Ta thu đ-ợc phổ l-ợng dao động tử điều hòa biến dạng q En = hw [ n]q + [ n + 1]q { } (3.7) H thc (3.7) cho chỳng ta bit ph nng lng ca q- dao ng vi q l s thc q = e (t l thc) cú cỏc c im t + c im 1: Ph nng lng ca dao ng t iu hũa bin dng q ch cú th nhn cỏc giỏ tr giỏn on + c im 2: Cỏc mc nng lng khụng cỏch u m c gión rng hn s lng t chớnh n tng lờn + c im 3: Nng lng thp nht ca dao ng t iu hũa bin dng q ng vi n=0, c gi l nng lng khụng Mc khụng ca nng hw lng E0 = > + c im 4: Cỏc mc nng lng ca dao ng t iu hũa bin dng q khụng suy bin, hay bc suy bin ca cỏc mc nng lng g=1 + c im 5: Trong tr-ờng hợp q=1 có biểu thức ph nng lng ca dao ng iu hũa tuyn tớnh 1ử ổ En = ỗ n + ữ hw 2ứ ố 36 3.2 Biu din dao ng t ca i s SUq(2) a biu din bt kh quy ca i s lng t SUq(2) chỳng ta da vo hỡnh thc lun dao ng t iu hũa bin dng q trờn vi trng hp hai mode m cỏc dao ng t cỏc mode khỏc c lp vi Khi ú chỳng ta cú h thc giao hoỏn ca toỏn t sinh, hy dao ng t nh a i a +j - ( ( q - 1) d ij + 1) a +j a i = d ij q - N i , ộở a i , a j ựỷ = ộở a , a ựỷ = 0, + i + j sau [8], [9]: (3.13) l toỏn t s dao ng t mode i tha cỏc h thc vi i, j = 1, , N i ai+ = ộở N i ựỷ , q a i+ = ộở N i + 1ựỷ , q (3.14) v ộ , ự= , N i a j ỷ -a jd ij ộ , +ự ởN i a jỷ = a d + j (3.15) ij Khụng gian Fock vi c s l cỏc vộc t trng thỏi riờng ó chun húa ca toỏn t s dao ng t N = N + N ( a )n ( a )n + n q = n ,n = q 1 + 2 ộở n ựỷ ! ộở n ựỷ ! q q (3.16) Cng tng t nh biu din dao ng t ca i s SU(2), biu din bt kh quy ca i s lng t SUq(2) cú th thu c t trng thỏi (3.16) vi n1 = (j + m) v n2 = (j m) T ú khụng gian vi cỏc vộc t c s ca biu din bt kh quy l 37 ( a ) ( a ) j ,m = j + m , j - m = q ộ q + j+m + j -m j+m ự ộ ỷq ! j-m ự ỷq ! , (3.17) ú j = (n + n ), m = (n - n ), 2 nh vy, vi mi giỏ tr j xỏc nh thỡ m cú 2j + giỏ tr m = j , j -1 , , - j +1 , - j + Cỏc toỏn t , (i = 1, 2) tỏc dng khụng gian ny nh sau: a j , m q + = a j , m q a j , m q 2 , (3.18) q = q q q = + a j , m j + m ựỷ j - , m - , 2 ,m + ộj ự + m +1ỷ j + 2 ,m + , ộj ự -mỷ j 2 ,m - ộj ự - m +1ỷ j + 2 = ộ q i s lng t SU(2)q l mt bin dng q ca i s SU(2), c xõy dng bi ba toỏn t liờn hp J1 , J2 , J3 biu din theo cỏc toỏn t hy v sinh dao ng J = ( a a + a a ) , J = 2i ( a a - a a ) , 1ổ J = ỗố N - N ữứ + + 2 + 1 + 2 (3.19) 38 Hoc thun tin, thụng thng ngi ta s dng cỏc vi t l t hp ca cỏc vi t trờn E J+ J1 + iJ2 = a1+ a2 , F J- J1 - iJ2 = a2+ a1 , H J = N - N (3.20) Da vo cỏc h thc giao hoỏn (3.13) chỳng ta chng minh c i s SUq(2) úng kớn = ộở2 J = J ộ , ự J + J -ỷ ộ , ự J J ỷ ự , ỷ q (3.21) Hoc, i s lng t SUq(2) cú dng: ộ E , F ự = ộ H ự , ỷ ỷq ộ H , F ự = E , ỷ ộ H , F ự = -2 F ỷ (3.22) Cỏc i s lng t SUq(2) (3.21), (3.22) s cú dng ca i s SU(2) thụng thng trng hp gii hn q = Tỏc dng ca cỏc vi t J3 , J+ , J- lờn c s j , m q khụng gian ca biu din bt kh quy (biu din Jimbo) J j , m = - q ộ j + m ựỷ ộở j - m + ựỷ j , m + q J j , m = ộở j - m ựỷ ộở j + m + ựỷ j , m - J j , m = m j , m + q q q q Toỏn t Casimir cú dng: , q , (3.23) 39 ộở ựỷ ( ) C = J J + J J + ộở J q + q - - + ự 3ỷ q (3.24) Toỏn t Casimir cú giỏ tr riờng l Cq = [ j ]q [ j + 1]q 3.3.Biu din i s SUq(2) theo cỏc dao ng t a mode m cỏc dao ng thuc cỏc mode khỏc khụng c lp vi Nh trờn chỳng tụi ó trỡnh by, cỏc vi t ca i s SU(2) tha cỏc h thc giao hoỏn [9], [10] ộ J3 , J+ ự = J+ , ỷ ộ J3 , J- ự = - J- , ỷ ộ J+ , J- ự = J3 ỷ (3.25) Cỏc vi t ny c biu din theo cỏc toỏn t boson J+ = a1+ a2 , J- = a2+ a1 , ( ) J3 = N - N (3.26) õy, chỳng tụi quan tõm n mt kiu bin dng ca cỏc dao ng t a mode m cỏc dao ng thuc cỏc mode khỏc khụng c lp vi nhau, bng vic a vo tham s bin dng q gia cỏc dao ng cỏc mode khỏc thụng qua h thc giao hoỏn ca cỏc toỏn t sinh hy boson mode i v mode j a +j - qa +j = d ij q N , ộở , a j ựỷ = 0, (3.27) ộ N , ự = -ai , ỷ ú, tham s bin dng q l s thc v i j , N l toỏn t tng s dao ng t ca tt c cỏc mode khỏc k N = N i , i =1 ộ N i , a j ự = -d ija j , ỷ ộ N i , a +j ự = d ija +j ỷ (3.28) 40 i s (3.27) c thc hin khụng gian Fock cú cỏc vộct c s l cỏc vộct trng thỏi riờng ó chun húa ca toỏn t tng s dao ng t q n1 , n2 , , nk = - n ( n -1) n1 !n2 ! nk ! ( a ) ( a ) ( a ) + n1 + n2 + nk k N (3.29) Trong khụng gian ny, cỏc h thc sau c tha ai+ = q N ( N i + 1), ai+ = q N -1 N i , (3.30) v k a a = q i =1 + i i k N -1 + N a a = q ( N + k ), ii N , (3.31) i =1 õy k l s mode dao ng i vi hai mode dao ng, cỏc vi t ca i s SUq(2) c biu din theo cỏc toỏn t boson bin dng q nh sau: J+ = q1- N a1+ a2 , J- = q1- N a2+ a1 , ( J3 = N - N 2 ) (3.32) Chỳng ta cú th chng minh c cỏc vi t ny tha i s SU(2) dng ộ J3 , J+ ự = J+ , ỷ ộ J3 , J- ự = - J- , ỷ Hoc di dng E J+ J1 + iJ2 = q1- N a1+ a2 , F J- J1 - iJ2 = q1- N a2+ a1 , H J = N - N V i s lng t SU(2) cú dng quen thuc ộ J+ , J- ự = J3 ỷ 41 ộ E , F ự = H , ỷ ộ H , F ự = E , ỷ ộ H , F ự = -2 F ỷ Biu din ca i s SUq(2) trờn c s h thc (3.27) c thc hin khụng gian Fock vi c s l cỏc vect trng thỏi riờng ó chun húa ca toỏn t s dao ng t j, m = q ổ 1ử - jỗ j - ữ ố 2ứ ( j + m )!( j - m )! ( a1+ ) j +m ( a2+ ) j -m (3.33) 3.4.Biu din i s SUq(2) theo cỏc dao ng boson a mode bin dng -q ú mi mode dao ng cú mt tham s bin dng riờng Bõy gi, chỳng tụi quan tõm n mt kiu dao ng boson a mode bin dng q, ú mi mode dao ng cú mt tham s bin dng riờng v cỏc dao ng cỏc mode khỏc l khụng c lp vi nhau, th hin qua h thc [11], [12],[13] a +j - qi q j a +j = d ij qi2 N , (3.34) q -j 1ai a j - qi-1ai a j = 0, (3.35) ộ N , ự = - , ỷ (3.36) õy N l toỏn t tng s dao ng t k N = N i , i =1 ộ N i , a j ự = -d ija j , ộ N i , a +j ự = d ija +j ỷ ỷ (3.40) C s ca khụng gian Fock c xỏc nh bi s tỏc ng liờn tip ca cỏc toỏn t sinh dao ng t lờn trng thỏi chõn khụng 42 - ni n j k n1 , n2 , , nk = qi j>i ế n1 ! n2 ! nk ! i =1 ni ( ni -1) ( a1+ ) n1 ( a2+ ) ( ak+ ) n2 nk , (3.41) k l s mode dao ng Trong khụng gian ny, chỳng ta cú cỏc h thc sau ( ai+ = qi2( N -1) N i , ) ai+ = qi2 N N i + (3.42) c bit i vi h dao ng t hai mode, cỏc h thc (3.34), (3.35) cú dng ai+ - qi2 ai+ = qi2 N , i = 1, a1a2+ = q1q2 a2+ a1 , (3.43) q2-1a1a2 = q1-1a2 a1 Biu din ca i s SU(2) trng hp ny c thc hin khụng gian Fock vi cỏc vect c s sau jm = ( j + m)!( j - m)! ộ ( j + m)( j + m-1) ự - ộở( j - m)( j - m-1) ựỷ - ờ( j + m)( j - m) + ỳ ỷ 2 q q ( a ) ( a ) + j +m + j -m (3.44) Cỏc vi t ca i s SUq(2) tha ng nht thc sau J+ = q11- N q12- N a1+ a2 , J- = q11- N q12- N a2+ a1 , 2(1- N ) + 2(1- N ) + J3 = ộ q1 a1 a1 - q2 a2 a2 ự ỷỳ ởờ (3.45) 43 Hoc di dng: E = q11- N q12- N a1+ a2 , F q 1- N q1- N a + a , 2 2(1- N ) + 1 H q a a - q (3.46) 2(1- N ) + 2 a a S dng h thc (3.40), chỳng ta chng minh c cỏc vi t trờn tha i s SU(2) ộ J3 , J+ ự = J+ , ỷ ộ J3 , J- ự = - J- , ỷ ộ J+ , J- ự = J3 ỷ (3.47) Hoc ộ E , F ự = H , ỷ ộ H , F ự = E , ỷ ộ H , F ự = -2 F ỷ (3.48) 3.5 Kt lun chng Cỏc kt qu chớnh ó t c chng ny l: Kho sỏt dao ng t phi iu hũa bng lý thuyt bin dng q, t ú tỡm c biu din dao ng ca i s lng t SUq(2) c bit, chỳng tụi ó xut hai kiu kiu bin dng ca cỏc dao ng t boson a mode ú, cỏc dao ng thuc cỏc mode khỏc khụng c lp vi nhau, v kiu dao ng boson a mode ú mi mode dao ng cú mt tham s bin dng riờng Biu din cỏc vi t ca i s lng t SU(2) theo cỏc toỏn t sinh, hy boson mi kiu xut trờn 44 KT LUN ti Biu din i s lng t SU(2) theo cỏc dao ng t a mode bin dng q ó t c mt s kt qu sau: +Nghiờn cu nhng c bn ca lý thuyt i xng ng v SU(2) vt lý ht c bn , c th l trỡnh by v nhúm i xng SU(2), nhúm bin i SU(2), cỏc a tuyn ca nhúm i xng SU(2), tớnh c cỏc s lng t ca cỏc ht c bn cỏc a tuyn ú +Trờn c s hỡnh thc lun dao ng t iu hũa tuyn tớnh, vi cỏc h thc giao hoỏn ca cỏc toỏn t sinh, hy dao ng t v toỏn t s ht; chỳng tụi biu din cỏc vi t ca i s SU(2) theo cỏc toỏn t sinh, hy boson, tỡm biu din bt kh quy ca nhúm SU(2) khụng gian v xõy dng toỏn t Casimir tha tớnh cht giao hoỏn vi tt c cỏc vi t ca i s SU(2) +Kho sỏt dao ng t phi iu hũa bng lý thuyt bin dng q, t ú tỡm c biu din dao ng ca i s lng t SUq(2) c bit, chỳng tụi ó xut hai kiu kiu bin dng ca cỏc dao ng t boson a mode ú, cỏc dao ng thuc cỏc mode khỏc khụng c lp vi nhau, v kiu dao ng boson a mode ú mi mode dao ng cú mt tham s bin dng riờng Biu din cỏc vi t ca i s lng t SU(2) theo cỏc toỏn t sinh, hy boson mi kiu xut trờn ti cú th c m rng nghiờn cu ỏp dng vo mụ hỡnh rotato v cỏc phộp bin i in t vt lý ht nhõn Cụng vic ny chỳng tụi xin c tip tc thi gian tng lai gn 45 TI LIU THAM KHO [1] o Vng c (2007), Cỏc nguyờn lý c bn ca lý thuyt siờu dõy lng t, Nxb Khoa hc T nhiờn v Cụng ngh [2] Hong Ngc Long (2003), C s vt lý ht c bn, Nxb.Thng kờ H Ni [3] Hong Ngc Long (2003), Nhp mụn lý thuyt trng v mụ hỡnh thng nht in yu, Nxb.Thng kờ H Ni [4] Nguyn Vn Hiu, Nguyn Bỏ n (2003), C s lý thuyt ca vt lý lng t, Nxb HQG H Ni [5] A.J Macfarlane (1989), On q analogues of the quantum harmomic oscillator and the quantum groupe SU q(2), J Phys Agen 22, 4581 [6] L.C Biedenhar (1989), The quantum group SUq (2) and a q - analoque of the Boson operators, J Phys A: Math Gen 22, 1873 [7] M Chaichian, R Gonzalez Felipe and C Montonen (2006), Statistics of q - Oscillators, quons and relations to fractional Statistics, J Phys Lett B5,187 - 193 [8] M Chaichian, P.P Kulish (1990), quantum superalgebras, q - oscillators and application, Preprint CE RN - TH 5969/90 [9] R Chakrbarti and R, Jagarnathan (1992), On the number operators of single - mode q - oscillators, J Phys A: Math.Gen 25 , 6393 - 6398 [10] S Chartuvedi, V Srinivasan (2001), Aspects of q - oscillators quantum Mechanics, Phys Rev A44, 8020 - 8023 [11] Loan N.T.H (1996), Deformed Oscillators and Their Statistics, Communications in Physics, Volume 6, Number 46 [12] Luu Thi Kim Thanh (2009), The Average Energy for the q-Deformed Harmonic Oscillator, Com in Phys Vol 19, No 2, 124 128 [13] Tran Thai Hoa, Luu Thi Kim Thanh, Mai Thi Linh Chi, Luong Khanh Toan (2010),The Applications of Q-Deformed Statistics in Phonomenon of Bose-Einstein Condensation for the Q-Deformed Gases, The 35th national Conference on Theoretical Physics TP H Chớ Minh, 35 [...]... N + 2.2 Biu din dao ng t ca i s SU(2) 2.2.1.H dao ng t boson a mode Xột h dao ng t boson a mode, h thc (2.7) i vi cỏc dao ng t boson n mode c tng quỏt húa cho cỏc dao ng t boson a mode nh sau [4], [5], [6] ộ , +ự = , i a j ỷỳ dij ởờa ộ , ự = 0, i a j ỳỷ ờởa in N = ni n (2.14) Toỏn t s dao ng t mode i biu din theo cỏc toỏn t a v a , qua cụng + thc i = a i+ a i, N (2.15) 26 v tuõn theo cỏc h thc giao... vi mi mode i Trng thỏi cú n1 dao ng t mode 1, n2 dao ng t mode 2, v.v n c mụ t bi vect trng thỏi riờng ca toỏn t s dao ng t N = ồ Ni v i =1 cú dng: = n ( ) ( ) ( ) n n n 1+ 1 a +2 2 a +k k a 0 n1, n 2, , n k = n1!n 2 ! n k ! (2.18) i lờn vộc t trng thỏi n l: Tỏc dng ca toỏn t N in N = ni (2.19) n 2.2.2.Biu din dao ng t ca i s SU(2) Biu din dao ng t ca i s SU(2) c thc hin bi h dao ng t hai mode. .. 23 Chng 2 BIU DIN DAO NG T CA I S SU(2) 2.1 Hỡnh thc lun dao ng t iu hũa Xut phỏt t biu thc Hamiltonian ca dao ng t iu hũa tuyn tớnh [3], [4] $ 2x mw 2 P à= H + x$ 2m 2 (2.1) x = q = x l toỏn t ta , Ký hiu p x = p = - ih d l toỏn t xung lng dx Hamiltonian cú dng à = p + mw q H 2m 2 2 2 2 (2.2) Bit rng, h thc giao hoỏn gia p v q l [ p, q ] = -ih, (2.3) t: p = i mhw ( a - a ) , 2 + q = h ( a + a ) ... boson, tỡm 32 biu din bt kh quy ca nhúm SU(2) trong khụng gian con v xõy dng toỏn t Casimir tha món tớnh cht giao hoỏn vi tt c cỏc vi t ca i s SU(2) Nhúm SU(2) v c th l i s SU(2) c ng dng trong cỏc mụ hỡnh quay t ca vt lý, nh cỏc phõn t hai nguyờn t, cỏc mụ hỡnh ca vt lý ht nhõn ; cỏc ng dng ny ó t nhiu kt qu tt, nhng phự hp vi kt qu thc nghim hn, cỏc nh khoa hc ó a ra nhúm lng t SU(2), m mt phn ca nú chỳng... = i mhw ( a - a ) , 2 + q = h ( a + a ) 2mw + c biu din theo theo a v a nh sau: Khi ú, H + = hw ( aa + a a ) H 2 + + Cỏc toỏn t a v a c biu din ngc li qua p v q + (2.4) 24 m ổ wq + i p ử , ỗ ữ 2 wh ố mứ a = (2.5) m ổ wq - i p ử a ỗ ữ 2 wh ố mứ a = + (2.6) Cỏc toỏn t a v a tha món h thc giao hoỏn + ] = 1, [a,a + (2.7) v Hamiltonian ca dao ng t iu hũa cú dng à = ổ a a + 1 ử hw H ỗ ữ ố 2ứ + (2.8)... s SU(2) tỏc dng lờn vộc t trng thỏi j , m trong khụng gian con ca biu din bt kh quy theo cỏc phng trỡnh sau: J j , m = ( j + m + 1 )( j - m ) j , m J j , m = ( j - m + 1 )( j + m ) j , m J j , m = m j , m + - , , (2.42) 3 2.3.Kt lun chng 2 Trờn c s hỡnh thc lun dao ng t iu hũa tuyn tớnh, vi cỏc h thc giao hoỏn ca cỏc toỏn t sinh, hy dao ng t v toỏn t s ht; chỳng tụi biu din cỏc vi t ca i s SU(2) theo. .. theo cụng thc: Yp - = Bp - + Sp - + Lp =0+0+0 = 0 Vy siờu tớch ca ht p - l 0: Yp - =0 22 * in tớch ca ht p - ( Qp - ) Qp - = I 3 + = I3 + Bp - + Sp - + Lp 2 Yp 2 = -1 + 0 = -1 Vy in tớch ca ht p - l -e 1.5 Kt lun chng 1 Trong chng mt, chỳng tụi nghiờn cu nhng vn c bn ca lý thuyt i xng ng v SU(2) trong vt lý ht c bn , c th l trỡnh by v nhúm i xng SU(2), nhúm bin i SU(2), cỏc a tuyn ca nhúm i xng SU(2), ... notron l 0: Sn = 0 * Siờu tớch ca ht notron ( Yn ) c tớnh theo cụng thc: Yn = Bn + S n + Ln =1+ 0 + 0 = 1 Vy siờu tớch ca ht notron l 1: Yn =1 * in tớch ca ht notron ( Qn ) Bn + Sn + Ln 2 Y = I3 + n 2 1 1 = - + = 0 2 2 Qn = I 3 + Vy ht notron khụng mang in 1.4.2 Cỏc s lng t ca p -meson Nh ta ó bit 3 ht p -meson lp thnh mt biu din chớnh quy ca SU(2) ộở I a , fi + ( x) ựỷ = f+ j ( x)(Ta )ij , hm trng... Chỳng ta cú th biu din toỏn t Casimir theo toỏn t J = J ( J + 1 ) C (2.30) i vi biu din bt kh quy, toỏn t Casimir cú giỏ tr riờng xỏc nh, cho nờn t dng (2.30) chỳng ta thy rng cú th c trng cho biu din bt kh quy ca i s SU(2) bi cỏc giỏ tr riờng ca toỏn t J v t cụng thc (9.16) Theo nh ngha ca toỏn t s dao ng t N i chỳng ta cú J n = j n , ( ) 1 N1 + N 2 n = j n , 2 1 ( n1 + n2 ) n = j n 2 (2.31)... con ca khụng gian Hilbert, tc l tỡm biu din bt kh quy ca i s SU(2) ta nhn xột rng biu din ny phi c xỏc nh bi hai giỏ tr riờng (do khụng gian chung c xỏc nh bi hai s n1 v n2) Ta nhn xột rng toỏn t J 3 giao hoỏn vi 30 J nờn J 3 cú giỏ tr riờng xỏc nh, ký hiu tr riờng ny l m v t nh ngha ca J 3 (2.22), ta cú m= 1( n -n) 2 1 (2.33) 2 Vy biu din bt kh quy ca SU(2) trong khụng gian cỏc vộc t c s (2.27) cú ... -q 3.1 Dao ng t boson bin dng q Dao động tử boson biến dạng q đ-ợc định nghĩa theo toán tử sinh + hạt a q , toán tử hủy hạt aq toán tử số hạt N thỏa mãn hệ thức giao hoán phụ thuộc vào tham số. .. số biến dạng q aq aq + - qaq + aq = q - N , (3.1) q= 1 (3.1) trở hệ thức giao hoán thông th-ờng a a + - a + a = + Liên hệ toán tử sinh hạt a q , toán tử hủy hạt aq toán tử số hạt N đ-ợc diễn. .. hoán p q [ p , q ] = ih {ộở N ựỷ - ộở N + 1ựỷ } q q (3.5) 35 Hamiltonian dao động tử điều hòa biến dạng q p mw 2 hw H= + q = aq a q+ + a q+ aq ) ( 2m 2 = { } hw ộ N ự + ộ N + 1ự q q (3.6)