Luận văn thạc sĩ khoa học vật chất đại số lượng tử su

Trang 1

LOI CAM ON

Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc dén PGS.TSNguyén Thi Ha Loan,

người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho tơi những kiến thức nền tảng để tơi hồn thành bài luận văn này Cơ cũng là người đã giúp tơi ngày càng tiếp cận và cĩ niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng cơ

Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới các thầy, các cơ cơng tác tại phịng sau

Đại học, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư,

Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, tryền đạt cho tơi những kiến thứcquý báu về chuyên mơn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời g1an qua

Cuối cùng, tơi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân

trong gia đình, bạn bè đã luơn giúp đỡ, động viên tạo mọi điều kiện cho tơi trong suốt quá trình học tập và hồn thiện luận văn này

Hà Nĩi, 15 tháng 07 năm 2013 Tác giá

Trang 2

LOI CAM DOAN

Tên tơi là: Nguyễn thị Vân Anh, hoc viên cao học khĩa 2011 — 2013

chuyên ngành Vật lí lí thuyết và Vật lí tỗn — Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tơi xin cam đoan đề tài: “Đại số lượng tử SU(3)”, là kết quả nghiên cứu

và thu thập của riêng tơi Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, khơng trùng với các tác giả khác Nếu cĩ gì khơng trung thực trong luận

văn tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm trước hội đơng khoa học

Hà Nội,I5 tháng Ø7 năm 2013 Tác giả

Trang 3

MUC LUC

l9 Ẽ)7, 10001 434 ƠỎ 1

1 Lý do chọn dé taic.e.cccccceccscccescsscscscsssscsscscsesssscsssscstsssstssssssesssessssassesseesseeas 1 2 Mục đích nghiÊn CỨU - - G G9001 1 ng vn 2

S9 ¡(0408514150 001057 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cỨu + 2© 2 k+ EE£keEe£k£EeEErkerrkrreee 2 5 Phương pháp nghiÊn CỨU - - - - G G G52 0031883 91018 1 1011 19 0 1 ngờ 2

6 Câu trúc luận văn tt Sex SxSEE E111 118 1131 111kg re rke 2

NOI DUNG wu ::++£ŸÝ- 3

Chương 1: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ 3

1.1 Dao động tử điều hịa ¿5-52 Se SE EEE E1 1 113111 11 xe 3 ISDHN) a6: 0n 3 1.1.2 Dao động tử Fermion .- (Go ng rrh 8 1.2 Dao động tử biến dạng dq -. 2 k4 SE E3 v11 kg rrreở 9 1.2.1 Dao động tử Boson biến dạng q - ©- - 7< scxesexcecxd 9 1.2.1.1 Dao động tử Boson biển dạng đơn mode s-s-s5s 9 1.2.1.2 Dao động tử Boson biến dạng ẵa mode .- 5-5 55+ 16 1.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng q . 5© 2s 2 szSe£ 18 1.2.2.1 Dao động tử Fermion biến dạng đơn mode . - 18 1.2.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng ẵa mode . - 20 1.2.3 Dao động tử cĩ thống kê vơ hạn . ¿- + 5-5 5s cscc+£scse£ 22 1.3 Dao động tử biến dạng pD,d - + 52 ©<Se SE E3EEEkE E1 cv rkg 23

Chương 2: ĐẠI SỐ LƯỢNG TỬ SU(), 5c 55c55cccccsecse2 26

"8? 819067 26

Trang 4

Churong 3: DAI SO LUQNG TU SU(3)pq «-+s+sessessesssessessessessecsessesseeseesessen 34

3.1 Đại số SU(3)pq va biểu diễn đao động của đại số SU();¿ 34

3.2 Hệ thức khối lượng của tắm hạt Baryon seceseceeceeeucesceeceeusecsesaueuecesseeeees 36

Trang 5

MO DAU

1 Ly do chon dé tai

Lý thuyết đối xứng đĩng vai trị cơ bản trong vậtlý lý thuyết Ngơn ngữ tốn học của đối xứng là lý thuyết nhĩm Sau sự phát triển của mẫu quark là lý thuyết Gauge khơng abelian của tương tác mạnh và tương tác điện yếu, sự

hiểu biết những nhĩm Lie đã trở thành cân thiết cho việc nghiên cứu lý thuyết

hạt cơ bản Nhĩm Lie ngày càng trở thành cơng cụ chủ yếu của vật lý lý thuyết hiện đại như giải tích phức, phương trình vi phân riêng, lý thuyết nhĩm

vơ hạn

Đại số của nhĩm Lie xuất hiện đã lâu song gần đây do địi hỏi ứng dụng của nĩ trong nghiên cứu vật lý mà V I Drinfeld đã lượng tử hĩa đại số của

nhĩm Lie lam nay sinh cầu trúc đại số biến dạng hay cịn gọi là đại số lượng

tử Gần đây nhĩm lượng tử và đại số của chúng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết và vật lý tốn bởi vì những quan điểm ứng dụng của chúng trong các mẫu vật lý và trong mối liên quan với lời giải các phương trình vi phân phi tuyến Chúng liên quan đến những vẫn đề đa dạng như nghiên cứu nghiệm của phương trình Yang-Baxter lượng tử, lý tuyết trường comformal hữu tỷ lý tuyết trường hai chiều với những thống kê phân số Đại

số lượng tử cĩ thê được xem như sự biến dạng phụ thuộc vào một hoặc nhiều

tham số của đại số Lie thơng thường

Đại số lượng tử cĩ thé duoc xem như sự biến dạng của đại số Lie cổ

điển Trong trường hợp tổng quát sự biễn dạng này cĩ thể phụ thuộc vào một hoặc nhiều thơng số Đại số lượng tử SU(3) mơ tả đối xứng spin đồng vị của các hạt cơ bản Và từ đại số SU(3) cĩ nhu cầu mở rộng thành SU@) biến dạng

phụ thuộc một thơng số hoặc nhiều thơng số Sự biến dạng phụ thuộc vào một

Trang 6

khảo sát như sự biến dạng phụ thuộc hai thơng số (p,q) của đại số Lie thơng thường của nhĩm Unita SU(Q3), để đạt được điều này chúng tơi xây dựng dao

động điều hịa biến dạng hai thơng số (p,g) Đại số lượng tử SU(3),„ là một trường hợp đặc biệt của đại số SU(3),„ trong trường hợp giới hạn p=q Khi

thơng số biễn dạng tiến đến một gia tri gidi han nào đĩ thì đại số biễn dạng sẽ trở về đại số chưa biến dạng, và như thế đại số biến dạng sẽ tong quat hon dai

số chưa biến dạng Từ đĩ hy vọng đại số biến dạng sẽ mơ tả hiện tượng vật lý gân với thực nghiệm hơn

Từ những lý do trên, tơi chọn đề tài “đgi số lượng tử SU(3)”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài: “ đại số lượng tử SU@)” là đi nghiên cứu đại số lượng tử SU@3) biến dạng một hoặc nhiều thơng số

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đại số lượng tử SU(3), biểu diễn của đại số lượng tử SU@)

4 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

Nghiên cứu đại số SU@), đại số lượng tử SU(3), va dai số lượng tử SU(3)pq

5 Phuong pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của vật lý lý thuyết và vậy lý tốn Sử dụng các phương pháp của nhĩm đối xứng và đại số lượng tử

6 Cấu trúc luận văn

Chương 1: Hình thức luận dao động tử lượng tử

Trang 7

NOI DUNG

CHƯƠNG 1: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ

Trong chương này, chúng tơi sẽ viết tổng quan về các dao động tử

lượng tử, dao động Boson biến dạng, dao động tử Fecmion biến dạng, dao

động tử p,q và tính phố năng lượng của các dao động tử

1.1 Dao động tử điều hịa 1.1.1 Dao động tử Boson

Hệ thức giao hốn của dao động tử Boson đơn mode cĩ dạng:

|a,a* |=1 (1.1.1)

Trong do:

Trang 8

=a Nhu vay:

[Noa] = (1.1.3)

| N,a* |=a* sả

Khơng gian Fock là khơng gian mà vector cơ sở của nĩ là những trạng thái với số hạt xác định Trong khơng gian Fock, trạng thái chân khơng |0)

được định nghĩa là trạng thái thỏa mãn điều kiện:

a|0)=0 (1.1.4)

Dua vao khong gian Fock voi \n) là trạng thái riêng của tốn tử số hạt cĩ n dao động tử ứng với trị riêng n:

_(#) In) =" 0) n=0,1,2, (1.1.5) Ta chứng minh: Thật vậy: mang) ) 0) = mm la(z" }j n 0)

= Tang yr" 0) = Tal”

= nln

Bây giờ, ta hãy chứng minh răng:

Trang 9

Voin=1:

Lá, a’ | =]

Với n= 2:

la(z } =a" | a,a* | + | a,a* |a* =2a"

Nhận thấy (1.1.6) đúng với n = 1,2

Dùng phương pháp quy nạp, giả sử biểu thức (1.1.6) đúng với n = k, tức là:

Ia(a'} |=k(ø`}Ÿ"

Ta phái chứng minh biêu thức (1.1.6) đúng với n = k+1:

la(a'}” |=a'|a(ø`} |+[a«e* ]'}

=a'k(a'} +(a*)

=(k+1U)(a'}

Vậy phương trình (1.1.6) đúng với n = k+1 Suy ra (1.1.6) đúng với mọi n Trong hình thức luận dao động tử điều hịa, tốn tử tọa độ Q và tốn tử xung lượng P liên hệ với các tốn tử hủy, sinh dao động 4,” như sau:

h

oe 3

P= if - 2)

Khi ấy hệ thức giao hốn giữa tốn tử tọa độ Q và tốn tử xung lượng P là:

[Ø.P]=”, a a)(a*-a)|

hh

=", \ 4# „14 ,a |)

Trang 10

Thé (1.1.1) vao (1.1.7) suy ra:

[O,P]=ih (1.1.8)

Toan tr Hamiltonian mo ta dao động tử điều hịa được biểu diễn theo

các tốn tử sinh, hủy dao động tử 4”, znhư sau:

H=-Lp? + Lmø2Q? 2m 2 — h h — A \ “Po An ~y — đ h QT TINT Qe -) — đ h A TT “Pog 7 + aa) h -" +aa a‘a) 2\ — h + =", = +|a,a h Sy 1) (1.1.9)

Phổ năng lượng của dao động điều hịa được xác định bởi phương trình hàm riêng và trị riêng của tốn tử H:

Trang 11

Nhận xéi: Cơng thức (1.1.10) là cơng thức xác định năng lượng của dao

động tử điều hịa một chiều

Từ hệ thức (1.1.8) dẫn đến hệ thức bất định Heisenberg:

2 2\ hh h

(AQ) (APY =" ay =

That vay, ta dé dang thay

(Q) =(n|Q|n) =0

(P) =(n|P|n) =0

Do độ lệch tồn phương (A0 ý ), ((Ap}) của tọa độ và xung lượng là:

(Aø})=((ø~(ø)Ÿ)=(ø) (1.1.11) (1.1.12) h 2 “møvic *2)jj = Se 1) + (olan) (nf)

“ĐA Jn+1)+(n|a|n—1)+(n a‘a n)+(nlaa*|n))

Trang 12

" wee In) +(n|aa|n) - (n|a°a|n)—(n aa” n)) " yr e+) + (nfa|n—1) -(n]aaln) —(nlaa* |r)

=— 2 (cre +2) +(n|n—2)—(n|a"a|n) —(n|aa* n))

_! 2V a|n) + (n aa" n) =" Q2 +1|2)) en) Suy ra: h h (49) )((AP) ay ee =

1.1.2 Dao dong tw Fermion

Hệ thức phản giao hốn của dao động từ Fermion cĩ dạng:

{b,b`} =1

2 (1.1.13)

2 +

b? =(b*) =0 Trong do:

b: la toan tử hủy dao động tử b”: là tốn tử sinh dao động tử Tốn tử số đao động N co dang:

N=bPb (1.1.14)

Tương tự N thỏa mãn hệ thức giao hốn:

|N.b|= Nb—bN

=bbb—bb b

Trang 13

=—b + 2bbb* (1.1.15) =-b | N.b* |=Nb' —b*`N =b*bb* —b*b*b =b*(1-2b*b) =b* —2b*b*b =b° (1.1.16)

Đại số (1.1.13) cĩ thể thực hiện trong khoảng khơng gian Fock với cơ sở là vector da chuan hoa cua toan tử sơ dao động N:

Iz)=(P'} |0)

n=0,1 (1.1.17)

(n=0,1 vi day la hé hat Fermion nén phai thoa man nguyên lý loại trừ

Paull)

Khi ấy tác dụng của tốn tử b, b” lên trạng thái |n):

b|0) =0

b*|0)=|1)

b\1) =|0

| | (1.1.18)

b*|1)=0

1.2 Dao động tử điều hịa biến dạng q 1.2.1 Dao động tử Boson biến dạng q

1.2.1.1 Dao động tử Boson biến dạng don mode

Dao động tử Boson don mode biến dạng q được mơ tả bởi các tốn tử hủy và sinh dao động tử a,a” tuân theo hệ thức giao hốn sau:

aa' -qa'a=q (1.2.1)

Trang 14

10

Trong phuong trinh (1.2.1) néu q=1 thì trở về hệ thức dao động tử điều hịa (1.1.1):

|a,a* |=1

Tốn tử số dao động tử N thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng:

N|n) g=n\n), (1.2.2)

và thỏa mãn hệ thức giao hốn:

N,a|=—a,

| (1.2.3)

ỊN „4` | =a"

(a}

|"), = |0) (1.2.4)

Đưa vào khơng gian Fock với |n) là trạng thái riêng của tốn tử số hạt

cĩ n dao động tử ứng với trị riêng n:

Trang 15

11 Q i, (¢"" + ga°a)|0) = a"q”|0) =z'|0)=[,lì:

Suy ra: a‘a\2) = [2], |2)

Như vậy phương trình (1.2.6) đúng với n=0, 1, 2

Giả thiết phương trình (1.2.6) vẫn đúng với n=k, tức là:

Trang 16

Bây giờ ta chứng minh nĩ sẽ đúng với n=k +1 nghĩa là: 2”a|k+1) =[k+1] |k+1), + at *|k) = "Ik “Weare

Vi In), là vector riêng của N với trị riêng n:

Trang 17

13

Trong khơng gian Fock với vector cơ sở là vector trạng thái In), thì:

a*qa= IN], ,

aa* = |N HỊ (1.2.7)

Đề khử N từ phương trình (1.2.1) ta đưa vào các tốn tử sinh, hủy A”,A cĩ liên hệ với a,đ” theo cơng thức:

A — q”*a,A* — a*aq”'°

Biểu diễn a, a” thơng qua A, A”:

a= gq” A, a’ — A‘qg ”“

Tính hệ thức giao hốn của tốn tử số N với A và A”:

| N.4Ÿ2a | — gn? [Na] |A.A' | =|A.a'4*? | +_N/2 =aqd — At (1.2.8) (1.2.9) (1.2.10)

Từ hệ thức giao hốn biến dạng cơ bản (1.2.1) và cơng thức (1.2.8) ta

lam bién déi sau:

aa* —qa’'a=q",

q UÊAA'gd TTngA'q "5g “A=q `, 4`AA"~4A'4 “A=d”,

4 YAA'Tqg YA*A=q%,

AA‘ —q’A*A=1

Ta dẫn tới hệ thức giao hốn kiểu Arik — Coon [9]:

Trang 18

14

Tương ứng với các tốn tử sinh, hủy A”, A, biểu diễn khơng gian Fock

trở thành: A|0) =0 N|n)=n|n) (1.2.12) 2n

trong đĩ: [m] =4 5 = là hàm cấu trúc (ở đây ký hiệu B dành cho Boson) a?—

Trong khơng gian Fock ta cĩ: A‘A=[N] ,

(1.2.13)

AA* =[N +]]

Xét các tốn tử b, b” liên hệ với a, a” theo hệ thức:

1 N +1] \2 a= [N+] b, N+1 N+1 (1.2.14)

Qua vài biến đổi đơn giản chúng ta sẽ thu được:

| b,b* | =1,

[N,b]=-b

|M,b` |=b,

N=bb

Đây chính là đại số dao động tử Boson thơng thường Như vậy, chúng

(1.2.15)

ta cĩ thê kêt luận răng các tốn tử hủy, sinh của hệ Boson q — biên dạng và

Trang 19

15

Xét hệ thức giao hốn của tốn tử tọa độ Q và tốn tử xung lượng P:

aria Mara)

— 5 \ 7T” 1 [a*,a })

=ih (1.2.16)

=ih -[N],)

Tốn tử Hamiltonian được biểu diễn qua tốn tử tọa độ Q va tốn tử xung lượng P cĩ dạng: H=-Lp — 2m 2 =1ÿ aa` , (1.2.17)

Phổ năng lượng của dao động tử điều hịa biến đạng q được xác định

như sau: H|n), =E,|n), Ị h at t[N +1], In), =, n), 1 SE ash [»+4], (1.2.18) n=0,1,2

Khi q=1 thì phố năng lượng của dao động tử điều hịa biến dạng q sẽ trở về phố năng lượng của dao động tử điều hịa một chiều:

|

E,=_h n 5 )

Trang 20

16

1.2.1.2 Dao động tử Boson bién dang da mode

Đối với các dao động tử Boson biến dạng q với định nghĩa (1.2.1), (1.2.11) việc mở rộng cho hệ đa mode hồn tồn đơn giản

Dao động tử Boson biến dạng đa mode được mơ tả bởi các tốn tử sinh, hủy z;,a, theo hệ thức giao hốn sau:

a,a; -| (q-1)6, +1 aja, = 6,9 (1.2.19) Khi z=l thì phương trình (1.2.31) tré thanh:

aa; —a;a,=6; (1.2.20)

Khi đĩ thống kê biến dạng q trở về thống kê Bose — Einstein Tốn tử số dao động tử N,cĩ đạng:

N,.=q,a4, (1.2.21)

Ta tính các hệ thức giao hốn giữa N, và a,,đ;: |N,.a, | =| 424,4, | = 4; 4,a, — aja; a, Ta cĩ: |4,.4, | =0> 44, =4a,4, Và | 4,3; |=ỗ; —>a,a; — địa, Do đĩ: + +

| N,.a, | =a; aa, —(6, + 4G; a,)a, =4, ad, — Ơ¡g; — đ; 4,8,

(1.2.22)

=— 0;

Khi i= j thi [N;.4;]=—a;,

Hay [N,a]=-a

Trang 21

17

Khi i= jthi | N,.a7 |=a",

Hay | N,a* |=a"

Khi đĩ hệ thức giao hốn giữa tốn tử sơ N, với các tốn tử sinh, hủy a, ,a; lai tro về dao động tử Boson đơn mode thơng thường

riêng:

Tốn tử số dao động tử điều hịa thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị

N,|n) =n,|n) (1.2.24)

Và N, thỏa mãn hệ thức giao hốn:

| N,.a, |=-ổja,| N,.4? |= ổ;47 1 Jj 1 (1.2.25) Để khử N, trong phương trình (1.2.19) ta dùng các tốn tử sinh, hủy

A; ,A, được định nghĩa theo cơng thức đưa vào toan tử A;, A, cĩ liên hệ với

+

đ,,đ, theo hệ thúc:

A,=q""a,,A; =a;q" (1.2.26) Biểu diễn a;,ø, thong qua A*, A:

4=” A,a; =Ajd "ế (1.2.27)

Tính hệ thức giao hốn của tốn tử sơ N, với tốn tử A;,A Ji

|M,.A, | = |A,.4”5a, |

Trang 22

18

_ _N;/2 +

=q "0,4; = 6A;

Thay (1.2.27) vào phương trình (1.2.19) ta cĩ:

a;a; — IG — 1)6, + 1| aa; = ơng ”" ,

q 2A.Arad "2 —|(a—1)ố,+1 |4 "2A?a 7A, = 5,q™,

4 ”AA? ~[(a~1)ãi +1]Ajg "A =ưjg ”,

A,A; -| (q? -1)6, +1 | AFA, = 6) Suy Ta:

AA* -|(q°-1)6, +1] Az A, = 6, (1.2.29)

và thỏa mãn hệ thức giao hốn:

IN,.A,|=-8;A,| M,.A; |=ổ;A7: (1.2.30) 1.2.2 Dao động tứ Fermion biến dạng q

1.2.2.1 Dao động tử Fermion biến dạng đơn mode

Dao động tử Fermion biến dạng q được mơ tả bởi các tốn tử sinh, hủy b”,b như sau:

bb* + qb*b=q™

5? =(ø'Ÿ —0 (1.2.31)

và tốn tử số hạt N thỏa mãn hệ thức giao hốn: |N.,b|=—b,

| N,b* |=b"

Phương trình hàm riêng, trị riêng của tốn tử số N như sau:

Nịn), = n|n), (1.2.32)

Trang 23

19

[ny]! (1.2.33)

b|0) =0

ở đây dùng kí hiệu [n]” được cho bởi:

x4 C4 (1.2.34)

qtq

Và ta dễ dàng cĩ được (tương tự mục 1.1.13):

b*b=[N]’, (1.2.35)

bb* =[N +1]

Khi q=l ta cĩ dao động tử Fermion théng thuong bb” +b b=1 và

nguyên ly Pauli là hệ quả trực tiếp tr b’ =(b*) =0

Tốn tử Hamiltonmian được biêu diễn qua tốn tử tọa độ Q và tốn tử

xung lượng P cĩ dạng: H=_—Pˆ+_—mae?Q? 2m 2 _l, aa" ) , (1.2.36) b =.h | t[N +1]

Phố năng lượng của dao động tử điều hịa biễn dạng q được xác định

Trang 24

20

1 b

=>E,=2h [n +1] (1.2.37)

n=0,1,2,

Khi q=1 thì phố năng lượng của dao động tử điều hịa biến dạng q sẽ trở về phơ năng lượng của dao động tử điêu hịa một chiêu:

1 =—Ï

En 2 ) (1.2.38)

n=0,1,2,

1.2.2.3 Dao động tử Fermion biến dạng đa mode

Dao động tử Fermion biến dạng đa mode được mơ tả bởi các tốn tử

sinh, hủy ƒ j> ƒ,theo hệ thức giao hốn sau:

ƒ77 +|(a-=1)8¡+1|7?#=ơ", (1.2.39)

Khi g =1 thì phương trình (1.2.39) trở thành:

a,a; +d;a, =Ơ; (1.2.40)

Khi đĩ thống kê biễn dạng q trở về thống kê Fermi — Dirac Tốn tử số dao động tử N, cĩ dạng:

Ni=f, f (1.2.41)

Ta tính các hệ thức giao hốn giữa N,và ƒ}, ƒ;:

Trang 25

21

— ⁄, 1# —Ư; ƒ; cĩ LoS A;

=-6,f,, (1.2.42)

Khi i= j thi [N,.f,]=—f,, hay [Nf |=-f,

Tương tự: IMN,/ |=8;› (1.2.43)

Khi ¡= j thi IN,/'|=/,hay = [Nf =f,

Khi đĩ hệ thức giao hốn giữa tốn tử số N, với các tốn tử sinh, hủy

ƒ; › ƒ; lại trở về dao động tử fermion đơn mode thơng thường

Tốn tử số dao động tử điều hịa thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị

riêng:

N,|n) =n,|n) (1.2.44)

vàN, thỏa mãn hệ thức giao hốn:

[NF | =O, fj»

N.S; |= 6,5; (1.2.45)

Cĩ những dạng khác của hệ thức (1.2.39) khi q là số thực Để khử N,

trong phương trình (1.2.39) ta dùng các tốn tử sinh, hủy Ƒ,F, được định

nghĩa theo cơng thức đưa vào tốn tử # 7 oF co lién hé voi f > f, theo hé l

thức:

F — 4F,

Lone WD (1.2.46)

F,=ƒ,q ' Biêu diễn ƒ,, ƒ, thơng quaƑ,F;:

—N,/2

= , F,

J=4 + _ Tr+ T—N,/2 (1.2.47)

Trang 26

22

Tính hệ thức giao hốn của tốn tử số N, với tốn tử H, H:

N,/2 [W,.F, J=| NaF, | = q’?| Nf, | _ -q™? bf, =—0.F, iif i> [Ni FF | =[ Nig"? f; | =2"° [Nf] =q""6;f; (1.2.48) =6,F

Thay (1.2.47) vào phương trình (1.2.39) ta cĩ:

ff; +{(a-N 6,41 f/f = 6a qn PR Fg? +|(q-1)6, 41g Fg = 6g, 4 "E7 +[(a—1)ư;+1|F74 "F, =ðjg ", FF; +|(q?-1)6,+1|F/F, = 6, Suy Ta: EFy + | (4° -1)ð; + 1| F‘F =6, (1.2.49)

và thỏa mãn hệ thức giao hốn:

[NF | =—0,F;,

| N,.Fy |=6,F/

1.2.3 Dao động tử cĩ thơng kê vơ hạn [10]

Khải niệm vơ hạn được Greenberg định nghĩa (năm 1990) là biểu diễn

Trang 27

23

aa” =] (1.2.50)

Tốn tử số đao động tử N thỏa [N,ø]=—a cĩ dạng:

© k

N =a‘ata‘a‘aat = )(a*) a’ (1.2.51)

k=1

Trạng thái riêng chuẩn của tốn tử N:

n)=(2") 0) (1.2.52) Khi đĩ: Nị|n) =n|n) (1.2.53) œ k Rõ ràng: N|n) = > (a*) a‘ \n) -S la’) (a*)’ 0) -S 0") (0°) - >(«} 0) =n|n)

1.3 Dao động tử biến dang p,q

Xét những tốn tử z,,z, liên hợp của chúng 2;,a; được định nghĩa

Trang 28

24

O đầy N, được gọi là tốn tử số đao động được định nghĩa từ những

tốn tử a,,4; như sau:

a a, = LN Noo, ; (1.3.2) 4,4, =|No],, Từ những hệ thức này chúng ta tìm được: LNa; |= đi, (1.3.3) |N,„4; | — a; 6, aa; =[N,+1]_, (1.3.4) a,a, =[N, +1]

Cho |) „ là những trạng thái riêng của tốn tử số dao động

N, HỘ =n, HỘ (1.3.5)

Từ (1.3.3) cĩ thể chứng minh được rằng ø?,z, là những tốn tử sinh và

hủy tương ứng Tác dụng của những tốn tử đĩ lên những trạng thái riêng |), cĩ thê được chọn sao cho:

in) „„=v[[N + 1| „Ín+ 9» |2)»; =+[[n]„ Ín~1)„

a;|n),, = [N +1," +1),,

a,|n),,=(pq"') f[n],,"-1),,

Nếu định nghĩa trạng thái chân khơng tương ứng với giá trị riêng bằng 0 (1.3.5)

của tốn tử XN, thì trạng thái riêng lượng tử |n,) g g g i) pg được định nghĩa là: g

.)._ —=————|Ơ 1.3.6

Trang 29

25

Nhờ những hệ thúc:

a(at} = *(a Ÿ 4 +[e]„(á} ah

1

as(as) =a" (03) 05 +f0], (as) a"

Cĩ thê chứng minh các trạng thái riêng (1.3.7) là trực chuẩn Những (1.3.7)

trạng thái riêng được xây dựng từ những tốn tử ø,ø; cĩ thể được mơ tả bởi:

7) na — |m›n;)„„

+\” +\2

a) {e)" iy) (1.3.8)

Trang 30

26

CHUONG 2: DAI SO LUQNG TU SU(3),

Trong chương này chúng tơi sé trinh bay, dai s6 SU(3) va dai sé SU(3)q

2.1 Dai sé SU(3)

Gia sử cĩ các tốn tử Boson a, (¡=1,2,3) thỏa mãn các hệ thức giao hốn:

a4; |=ði, (2.1.1)

| a,,a, |=0

Ta hãy định nghĩa tốn tử số hạt

Trang 31

27

Trang 32

28 00 0Va, I, =s(4 a; a; ) 0 0 Ilia, 0 1 0ø, 1 = (a;a; + a;a, ) ' 0 0 0\(a L, =5(4 a; a; ) 0 0 -illa, 0 i Oa, 1 + + =—|—ia,a,+ia,a ¬ 20 + lá ») , lI 0 0 \a, I, =.( a; a; ) 0 1 0 la, 0 0 -2)\a, 1 _ + + +

= —=(a, a, +a,a, — 2a, a;)

2/3

Dựa vào các hệ thức giao hốn (2.1.1) ta tìm được các hệ thức giao hốn của 7,

[1,.1, |=1f„„1, (a,b,c =1,2, ,8) (2.1.4) Đây chính là dại số SU(3) thơng thường Như vậy ta cĩ thể biểu diễn

đại số SU(3) qua các tốn tử boson Đặt

E,=1,+ul, =a,a,, F =1,-il, =a,a,

H, =21, =a,a,-—a,a,=N,-N,,

Trang 33

29

E, =1,+il, =a,a, F, =1,—-il, =aj;a,

H, =A3I, —I,=a,a, -—a,a,=N, —N,, G, =1,+il, =a/a,,

G, =1, -il, = aj;a,

Ta sẽ tìm được các hệ thức giao hoan cua cac vi tt E,,F.,H,,F,,F,,H,, G,,G,cĩ dang sau: | E„.F; |=ổ,„„H„,(œ.8=1,2) [#,,,]=(58„ —1)# Ha Fs — -Bổ„ -1)F; 8 (2.1.6) _H„,H„ |=0, [G,,G,|=H,+H,, [G,,£, |=0, [G;.E„|= £„Fa [Gi.F„|=—£e„¿F2 [G,,F,]=0, [G,,H, |=-G, [G,,H,]=G,, | E„E; |= e„Ĩ,, | F„.F; |=—e„Ĩ;,

Ta đi chứng minh các hệ thức giao hốn a

| E„.F„ |=ổ„H„

°

Trang 34

30

=> aa; =1+a;a, | a,,a; |=1=> 4,0} — aja, =]

=> a,a, =1+a,a, Cĩ:|a,,a;|=0 => a4; =a,a,

[E,.F,]=a; (1+ aja, )a, -a} (1+ aya, )a, =a, a,+a,/a,a,a, —da a, —a,a,aa, =a; a, — a,a, =H, [E,.F,|=H, ° | H„.H„ |=0 |H,.H;|= H,H; - H,H, =(M—M,)(M;—M;)—(M,—N,)(M—N;) =N,N,—N,N.—N,N,.+N,N.—N.N.+N.N,+N.N—N.N, =0 Vi:| N,N, |=0 s„ |G.G|=H¡+H, [G,,G,]=G,G, -G,G, =a/a,a;a, —ajaa;a, =a; (1+a}a,)a,— a; (1+a/a, Ja, =) a, + a; a;a,a, — a;a, —a;a; a,a, = a) a, — a, 4,

H,+H,=N,-N,+N,—-N; =N,-N,

_ at, — pvt

Trang 35

31

2.2 Đại số SU(3)„

Đại số lượng tử SU@), cĩ các vi tử Z,, F,, H, (@=1,2) ma ching

tuân theo những hệ thức giao hốn |Eu„.fFz =6.5|H, |, | Hạ, Eạ — (36,, -1)E;, HF, | =-ổ„ -1) Fe, [H aH | =0 (2.2.1) LE„.[E„.E; |]=(!—34„,)[Ð],—2)E„E;E, LE„.[z„.f; |]=(L-35„)|[P],—2)#„zF,

Biến đạng q của hình thức luận dao động diéu hoa cho SU(3) „ được

thực hiện bằng cách đưa vào hai loại dao động a,,ø,,a, và b,,b,,b, cùng với

những liên hợp héc mít của chúng, thỏa mãn những quy tắc giao hốn aa; —q'aja,=q™ bb; — qb;b,=q™, | a,,a7 | =0,i4j bb; |=0, i#7 (2.2.2) [a,,a, |=0, a,b; |=0, ab.—q ba, =0, |4,,b, |=0 (i# j)

O day N, được gọi là tốn tử số dao động và được định nghĩa từ a,,4;

Trang 36

32

|N,], =a,a,—b,b., Na, | =-4,Ơ,,

|N,,b, |= b,ỗ;,

Đại số (2.1.6) cĩ thể được thực hiện bằng cách đặt E.=aia,—b;b, h=a¿a-bb,, H,=N,-N, E, =a,a,—b;b,, F, =a;a, —byb,, H,=N,-N; (2.2.3)

Chúng ta hãy xem xét vẫn đề về tách khối lượng cho phá vỡ đối xứng bên trong SU@) trên quan điểm của khái niệm nhĩm lượng tử, xét bài tốn về

+ +

tách khơi lượng của nhĩm tám baryon 5° nhĩm mười baryon 2” Trên quan điểm đĩ thì dạng tơng quát của tốn tử khối lượng M là:

M =a) RE + F,E, -[R„F,||E„E,]+2(H? +H}+H,H,)+H, LH, bà 1) BF + E,F, -[E.E,][F.F;]+-(H; +H} +H,H,)-H, Hy} 3

(2.2.4)

ref RE, + FE, -[E,,E,||F.F| +5 +H? HH)

rdf BR +E,F, -[R„E;||E„E,]+2(H? +H? + HyHl,)* Hy}

1° :Ả 1Ã LÀ

nhĩm tám baryon 2) được biêu diên băng

p~ n~

Trang 37

33

A~ „b, —2a,,)

Bằng những tính tốn cho kết quả như sau:

Bang 1 a b C d P 3 22] —1 22] —1 3 n 3 21, + 2| +— 1 2+— ¬ 1 3 » 3 [2],+z? 2+4” [2], +1 so [2], +1 [2], +1 1i] wi, [2], +1 2 7 @ 3 [2] " 3 [2], +1 741 1 ¢ 4 A [2], +1 [2], +1 Tra] wt, [2], +1 2% @ = | p+ | 3 Pht | Byte = 22] —1 3 3 22] —1

Từ bảng này ta tìm được hệ thức khối lượng tuyến tính

pte = Y°+A (2.2.5)

Trang 38

34

CHUONG 3: DAI SO LUQNG TU SU(3)p,

Trong chương nay chúng tơi sẽ nghiên cứu về đại số SU(3)pq va biéu

+

diễn dao động của đại số SU(3);„, hệ thức khối lượng tám hạt Baryon ;

3.1 Đại số SU(3),„ và biểu diễn dao động của đại số SU(3)„„

Tương tự đại số biến dạng một thơng số chúng tơi đưa ra khái niệm nhĩm lượng tử SU(3),„¿ mà đại số của nĩ sinh ra bởi những tốn tử E„,Ƒ,

H_(œ =1,2) tuần theo những hệ thức giao hốn [7]:

|E ? Fy Ìz-) ¬ LH, R [E,, F; Ly" — LH] [E,.F„|=0(z#) LH„,E, |=(3ð„ —1) E; | H„.F; |=—(3ð„„—1)F; (3.1.1) | H„,H„ |=0 |E„[E, E, 1x3] =([2],~pa'~I\E,E,E, mm =([2], -ap?-1) EEE, FF Fj) |= (2,9 RRR FF Fl) | = ([2], — pq ` -1)F,FF,

Hé thirc (3.1.1) ding voi p, q tong quat E,,F,,H,(a=1,2) la nhiing

hàm sinh Trong trường hợp giới hạn p=q thi [x] —>[x] và đại số lượng tử

Trang 39

35

Dao động tử điều hịa biến dạng —p, q cho đại số lượng tử $U (3)„„ là

sự mở rộng của dao động điều hịa biến dạng một tham số của đại số SỨ (3), .chúng bao gồm hai loại dao động a,,a,,a, va b,,b,,b, và liên hợp của chúng thỏa mãn hệ thức giao hốn lượng tử:

M

lai, Ie =4

b,,b; | = P”, (3.1.2)

NĐ;¡ được gọi là toan tử số dao động được định nghĩa sao cho:

Trang 40

36 RAR = aa, — qp 'b;b, [Ns] = a;a,— pq byb, | N,.a,; |=-a,6, |M,,b, |= b,ơ, (3.1.3) ¡tụ

Những vi tử của đại số lượng tử S(3),„ được biểu diễn trong những số

hạng của dao dộng lượng tử giống như trường hợp của đại số lượng tử một tham số E, =a;a, —byb, h =a;a —b bạ, H,=N,-N,, E, =a,a, —b;b, F =a;a —bÿb, H,=N,-N, (3.1.4) Sử dụng hệ thức (3.1.2) cĩ thé chứng minh được rằng các vi tử È„,,

H,(œ=1,2) được biểu diễn dưới dạng (3.1.4) sẽ thỏa mãn đại số ,$Ư (3) no dang (3.1.1)

1”

3.2 Hệ thức khơi lượng của tám hạt Baryon 2

Dựa trên khái niệm đại số biến dạng hai tham sé SU (3)„„ chúng tơi tiếp

tục xét bài tốn tách khối lượng của bát tuyến baryon 2

Giả sử khối lượng của hạt A được định nghĩa qua cơng thức :

(Alw|A)

m,=-r

(A|A)

Ở đây M là tốn tử khối lượng được xây dựng từ tơ hợp của nhứng hàm (3.2.1)