Luận văn thạc sĩ khoa học vật chất dao động tử biến dạng r(q)

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THỊ HỎNG LÊ

DAO DONG TU BIEN DANG R(Q)

Chuyên ngành: Vật lắ lắ thuyết và Vật lắ Toán Mã số: 60 44 01 03

LUAN VAN THAC SI KHOA HOC VAT CHAT Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Thị Hà Loan

Trang 2

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan,

người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền táng để tơi hồn thành bài luận văn này Cô cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng Cô

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cơ cơng tác tại phịng sau

Đại Học, Khoa Vật Lắ Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư,

Tiến sĩ đã trực tiếp giáng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua

Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân

trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Hà Nội, tháng 07 nam 2013 Tác giả

Trang 3

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là: Phạm Thị Hồng Lê, học viên cao học khóa 2011 Ở 2013 chuyên ngành Vật lắ lắ thuyết và Vật lắ toán Ở Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan đề tài: ỘDao động tử biến dạng R(q)Ợ, 1a két qua nghiên cứu và thu thập của riêng tôi Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác Nếu có gì khơng trung thực

trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đông khoa học

Hà Nội, tháng năm 2013

Tác giả

Trang 4

MỤC LỤC

98:7 00 1

1 LY do chon 46 tai eccccccccscccscscscscsscscsscssscssesssssssscsssstssssssesssassessssesssasseeas 1 Ộ\/014ã2i13i8i13i1i 00 2

3 NAI1EM VU NGNIEN CUU oe 2

4 Đối tượng và phạm vi nghién CUM osc cscs esecscsesesscscsescsscscsesesscsssesesseas 2 5 Phurong phap nghién CU cecescccsssseccessseecesescecessnsceseseecessseeseesseeeeseas 2

6 Câu trúc luận VAN oe esseeeseecseecssesseeessecseessncessecssecsncesscessceseessecseeeseeeseecseenseensees 2

)/2)8010)) c1 3 Chương 1: Dao động tử biến dạng - - 2S SeEs xxx, 3 1.1 Dao động tir Boson biến dạng - + - s43 ke 3E keErxrkrkererkrkở 3 1.1.1 Dao dOng tf BOS 3 1.1.2 Dao dong tit Boson bién dang Que.c.ccccscscsscssscsssscssscsssesescssesssesesees 8 1.2 Dao động tử Fermion biễn dạng + 2 + sEs+EặEeEặặkrkerrxrkd 17 1.2.1 Dao dong tty Fermion - (<5 5S 1 11 85 11x k, 17 1.2.2 Dao động tử Fermion biễn dạng q . 2-5 2 s+s2ặs+xzặs+x2 18 1.3 Dao động tử Paraboson biến dạng 22 + 2 s+sxzkeEsred 22 1.3.1 Dao động tử Paraboson . - - Ă S S9 vn ng re 22 1.3.2 Dao động tử Paraboson biễn dạng q . 5-2 scs+sceeesreced 27 1.4 Dao động tử biến dạng R_ - Ư5-52 6S z3 SkE ke xrkerrkd 28 Chương 2: Phân bố thống kê của các dao động tử biến dạng 32 2.1 Định nghĩa về thống kê của dao động tử Ư- - 255 2 cscsecsced 32 2.2 Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng - 33 2.3 Phân bố thống kê của dao động tử Fermion biến dạng -. 34 2.4 Phân bố thống kê của dao động tử Paraboson biến dạng 35

Trang 5

Chương 3: Dao động tử biến dạng R(q) 5- 5< 5ẹ5+cscscsee 39 3.1 Dao động tử biến dạng RR(Q) 2 - 256k S4+kEEEEEEEEEEEEEExckEErkckeeg 39

Trang 6

MỞ ĐẦU

1 Lắ do chọn đề tài

Vật lý học được xem là ngành khoa học cơ bản chi phối tất cả các

ngành khoa học tự nhiên khác, là một trong những môn khoa học tự nhiên

nghiên cứu những quy luật đơn giản nhất và tông quát nhất của các hiện tượng tự nhiên, nghiên cứu những tắnh chất, câu trúc của vật chất và những

quy luật của sự vận động của vật chất Nhìn vào lịch sử vật lý, ta thấy rang

các nhà khoa học đã nhiều lần biến dạng các quy luật vật lý cơ bản để tạo nên

các lý thuyết mới đáp ứng nhu câu nghiên cứu

Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu đại số biến dạng q đã thu

hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý Bởi cầu trúc toán học mới của

chúng liên quan đến những vấn đề đa dạng trong vật lý lý thuyết như lý thuyết tán xạ ngược lượng tử, mẫu hòa tan chắnh xác trong cơ học thống kê, lý thuyết trường Comfomail hữu tỉ, lý thuyết trường hai chiều với thống kê phân số

Đặc biệt người ta thấy nghiên cứu biến dạng lượng tử tỏ ra rất hữu hiệu khi

nghiên cứu quang lượng tử, sự rung động của hạt nhân nguyên tử, vật lý của vật chất đông đặc

Bên cạnh đó biến dạng R cũng được quan tâm Đại số Heisenberg biến dạng R đã mô tả được những hạt có spin cao Biến dạng R(g) là biến dạng tổ hợp của biến dạng R và biến dạng q

Lý thuyết nhóm đối xứng là vẫn đề cơ bản trong vật lý lý thuyết Sự

hiểu biết về nhóm Lie và đại số của nhóm Lie đã trở nên cần thiết, là công cụ

chủ yếu của vật lý lý thuyết hiện đại Gần đây trong đại số Lie người ta quan tâm đến biến dạng đại số Lie Đặc biệt là biến dạng pha trộn giữa biến dạng R và biến dạng q

Trang 7

2 Mục đắch nghiên cứu

Nghiên cứu dao động lượng tử biến dạng q, biến dạng R và bién dang R(q) 3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các dao động tử biến dạng

- Nghiên cứu dao động biến dạng R(q) 4 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

Nghiên cứu dao động lượng tử, biêu diễn của dao động lượng tử và tắnh thống kê của các dao động lượng tử biễn dạng R(Qq)

5 Phuong pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp của vật lý lý thuyết và vật lý toán - Sử dụng các phương pháp của lắ thuyết nhóm đối xứng 6 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Dao động tử biến dạng

Trang 8

NỘI DUNG

CHUONG I: DAO DONG TU BIEN DANG

Trong chương này, chúng tôi sẽ viết tông quan về các dao động tử lượng tử, dao động boson biến dạng, dao động tử fecmion biến dạng, dao động tử Paraboson biến dạng và dao động tử biễn dạng R

1.1 Dao động tử boson biến dạng 1.1.1 Dao động tw boson

Dao động tử boson đơn mode được đặc trưng bởi hệ thức giao hoán:

Il mm 7 (1.1.1)

Toán tử số dao động tử N được biểu diễn theo các toán tử hủy dao động

tử a và toán tử sinh dao động tử a' có dạng:

N= (1.1.2)

trong đó: a: là tốn tử hủy dao động tử

aỖ: 14 toán tử sinh đao động tử

Trang 9

Như vậy:

a (1.1.3)

Không gian Fock là không gian mà vector cơ sở của nó là những trạng thái với số hạt xác định Trong không gian Fock, trạng thái chân không |0)

được định nghĩa là trạng thái thỏa mãn điều kiện:

a|0) = (1.1.4)

Đưa vào cơ sở của không gian Fock In) là trạng thái riêng của tốn tử sơ dao động tử ứng với trỊ riêng n:

Trang 10

Bây giờ, ta hãy chứng minh răng: (1.1.6) Với n= : | | Voi n= ) ltd C7 Nhận thấy (1.1.6) đúng với n=

Dùng phương pháp quy nạp, giả sử biểu thức (1.1.6) đúng với n=, tức là:

| |

L 1

Ta phải chứng minh biểu thức (1.1.6) đúng với n= + :

[ở TM

= +

Vậy phương trình (1.1.6) đúng với n= + Suy ra (1.1.6) đúng với mọi n

Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ Q và toán tử

Trang 11

"h

= +

Ý zm0

P= h Ở

{ 2

và chúng thỏa mãn hệ thức giao hoán:

Q,P=h (1.1.7)

Thật vậy:

Toán tử Hamiltonian mô tả dao động tử điều hòa được biểu diễn theo

các toán tử sinh, hủy dao động tử a`, a như sau:

Trang 12

Phố của toán tử Hamiltonian được xác định bằng phương trình hàm riêng, trỊ riêng của toán tử Hamiltonian như sau:

HÌn)= Hịn) = he + 2 h^ể = + 2 Suy ra: h> E, = + 0, 1, 2, (1.1.9) 2 Từ hệ thức (1.1.7) dẫn đến được hệ thức bất định Heisenberg: Loa ` 2 2 A / \ A / =P 4 4 3h 4 (1.1.10) Thật vậy, ta dễ dàng thấy: Q)= ,= (1.1.11) (P= =

Do đó độ lệch tồn phương A a A | của tọa độ và xung

Trang 13

(A = Ở = / \ / \ i h-~~ al A 2 NI LY hể = + 2 \ 1 | f hoo = + 2 Suy ra: 2 2 (A / \ A L4 =2 4, 38 4

1.1.2 Dao động tử boson biến dạng q

1.1.2.1 Dao động tử boson bién dang don mode

Dao động tử boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử hủy và sinh dao động tử a, a` theo hệ thức giao hoán sau:

+

Ở = (1.1.12)

trong đó q là thơng số biến dạng, N là toán tử số dao động tử

Trong phương trình (1.1.12) nếu q= thì trở về hệ thức dao động tử

điều hịa (1.1.1):

Il 7

| |

Tốn tử số dao động tử N thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng:

Nịn) q p8 (1.1.13)

trong đó:

a

In), = Co 0) (1.1.14)

Trang 14

Với: L.= Ở- (1.1.15)

kƯj= L,E,E,.E

và thỏa mãn hệ thức giao hoán: N,a =Ở

ể" (1.1.16)

|

Tac dung aaỖ ,aỔa lên trạng thái riêng In) ta được:

Trang 15

Voi n= + a 4|Z/Ở Suy ra: + a a4) = 10 V za 2, \ 2 nhỉ \Z Ị Ợ q q Ẽ m a + SỐ \Z | q aaỖ + ) of J2 ro q + M 1

Như vậy phương trình (1.1.17) đúng với n=

Giả thiết phương trình (1.1.17) vẫn đúng với n= aan), =

Bây giờ ta chứng minh nó sẽ đúng với n=

Trang 16

I1 lI + + + Zể `Ở = + + M Yu Ta co: at + Ở- Ở aa [74 Ở =) V2, at = + VR! a q at ~ = + y 2 J 0 ! q q _n = + qỞ M ~nt + _ Ở qỞ |1) q ~ at = ry q- q = + M eu Vay: + Ở a ajuy, = airy + Ở aa |4 Ở + Goo

Vi In), là vector riêng của N ứng với trỊ riêng n:

Trang 17

12

Kết hợp với phương trình (1.1.15) ta có: aÌa = Xuất phát từ hệ thức (1.1.12) ta có:

+

aa = +

Ổ (1.1.18)

Để khử N từ phương trình (1.1.12) ta đưa vào các toán tử sinh, hủy

AỖ, a có liên hệ với a, a theo công thức:

A=

(1.1.19) AỔ =

Biểu diễn a, a` thông qua A, AỖ:

a =

(1.1.20)

aỖ =

Tắnh hệ thức giao hoán của toán tử số N với A và A*:

NA=| |

Trang 18

13

cd L_Ở_ L _Ở_1

| | (1.1.21)

Từ hệ thức giao hoán biến dạng cơ bản (1.1.12) và công thức (1.1.19) ta

làm biến đổi sau:

aa Ở =

q any - =

q anỖ - =

q anỖ =

AAỖ - = Ta dẫn tới hệ thức giao hoán kiểu Arik Ở Coon:

AAỖ - = (1.1.22)

Tương ứng với các toán tử sinh, hủy A", a, biéu dién khong gian Fock

trở thành:

Al0)=

Nịn)= _ (1.1.23)

Ấ2n

trong đó: n = là hàm cẫu trúc (ở đây ký hiệu B dành cho boson)

q Ở

Trong khơng gian Fock ta có:

A n=

(1.1.24)

Trang 19

14

Xét các toán tử b, bỢ liên hệ với a, a` theo hệ thức:

( l

LY ; (1.1.25)

(`

a= | |

\ )

Qua vài biến đổi đơn gián chúng ta sẽ thu được:

Il TỊ | | N, b =- - ể (1.1.26) | N=

Đây chắnh là đại số dao động tử boson thông thường Như vậy, chúng ta có thể kết luận rằng các toán tử hủy, sinh của hệ boson q Ở bién dang và

khơng biến dạng có thê biểu diễn qua nhau nhờ hệ thức (1.1.25)

Xét hệ thức giao hoán của toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P:

Ộh- ể QP= | _ h =zL 1L J =hị | (1.1.27) =h + Ở

Toán tử Hamiltonian được biểu diễn qua toán tử tọa độ Q và toán tử

Trang 20

15

Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q được xác định

như sau:

=> = ho + + = (1.1.29)

Khi q= thì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q sẽ trở về phô năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều:

E.= Ộho + = (1.1.30)

2

1.1.2.2 Dao động tử boson bién dang da mode

Đối với các dao động tử boson biến dạng q với định nghĩa (1.1.12), (1.1.22) việc mở rộng cho hệ đa mode hoàn toàn đơn giản

Dao động tử boson biến dạng đa mode được mô tả bởi các toán tử sinh,

hủy a;, a, theo hệ thức giao hoán sau:

aa, Ở) | ~ (1.1.31)

Khiq= thì phương trình (1.1.31) trở thành:

aaồỞ =ỗ, (1.1.32)

Khi đó thống kê biến dạng q trở về thống kê Bose Ở Einstein Toán tử số dao động tử N, có dạng:

N,= | (1.1.33)

Ta tinh cdc hé thc giao hodn gitta N, va a,, a;:

Trang 21

16 va ae > =ỗ + Do đó: r ể 4 - (1.1.34) = -ậ - =-8

Khii= thi N,,a, =Ở_

Hay N,a =Ở

Tương tự: L Ẽ (1.1.35)

Khii= thì An

ể

Hay L |

Khi đó hệ thức giao hoán giữa toán tử số N, với các toán tử sinh, hủy a;, a; lại trở về dao động tử boson đơn mode thông thường

Toán tử số dao động tử điều hòa thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng:

N, 1 n)= ~ (1.1.36)

và N, thỏa mãn hệ thức glao hoán:

~ ^

| | (1.1.37)

Để khử N, trong phương trình (1.1.31) ta dùng các toán tử sinh, hủy A; , ể¡ được định nghĩa theo công thức đưa vào toán tử A; , zể, CÓ liên hệ với

a;, a, theo hé thức:

A= = (1.1.38)

Biểu dién a;, a, thong qua Aj, ề,:

Trang 22

17

Tắnh hệ thức giao hoán của toán tử sơ Nứ, với tốn tử A;, ụ;:

di | J ` 3

ee ee TH

Thay (1.1.39) vao phuong trinh (1.1.31) ta co:

aay Ở, " - Đ AM TC CỔ j =ồ 1ể | Ỗ MA dc Suy ra AAS mY ` (1.141)

và thỏa mãn hệ thức giao hoán:

L | 1 1 (1.1.42)

1.2 Dao động tử fermion biến dạng 1.2.1 Dao dong tw fermion

Dao động tử Fermion thỏa mãn hệ thức phản giao hoán:

lậpỢ + (1.2.1)

b? = &* > =)

Toán tử dao động N có dạng:

N= vo (1.2.2)

Trong đó: b là toán tử hủy dao động tử

bỢ là toán tử sinh dao động tử

Tượng tự N thỏa mãn hệ thức giao hoán:

Trang 23

18 =Ỉ0bỞ bo =Ở + _ (1.2.3) kot = wr- ty = ) yb Ở VU =b" (1.2.4)

Đưa vào cơ sở của không gian Fock In) là trạng thái riêng của tốn tử sơ dao động tử ứng với trỊ riêng n

hỳ

I)= Vn .)

n=0,1 (1.2.5)

(n = 0, 1 vi day la hé Fermion nén phai thoa man nguyên lắ loại trừ

n):

Pauli) Khi ấy tác dụng của toán tử b,b' lên trạng thái

b|0)= |

(1.2.6)

b j0)=

1.2.2 Dao động tử fermion biến dạng q

1.2.2.1 Dao dong tir fermion bién dang don mode

Dao động tử fermion đơn mode được mô tả bởi các toán tử sinh, hủy

b`, u thỏa mãn các hệ thức phản giao hoán:

bb' + =

Trang 24

19

và toán tử số hạt N thỏa mãn hệ thức giao hoán: N,b =-

- 7

| |

Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử số N như sau:

Nịn) q cự 4 (1.2.8)

Các trạng thái riêng đã được chuân hóa của toán tử N được xác định theo công thúc:

J n1 (1.2.9)

b|0)=

z ` A 2 b 9ồ

trong d6 ham cau tric n duoc cho bởi:

n = ỞỞỞỞ (1.2.10) qt Và ta dễ dàng có được (tương tự mục 1.2.1): bu= (1.2.11) bb= +

Khi q= ta có dao động tử fermion thông thường bb' + = va

~

nguyên lý Pauli 1a hệ quả trực tiếp từ bỶ = =

Hamilonian được biểu diễn qua toán tử tọa độ Q và tốn tử xung lượng P có dạng:

T2 1

H= + @ (1.2.12)

2m 2

Trang 25

20 | \ b= | | V 2h | ) [eS \ b' = | | Vv 2h | )

Các toán tử tọa độ và xung lượng có thể biêu diễn ngược lại qua toán tử

sinh hủy b, b' : Íh = + 2muoỈ) Ở^h P=- Ở Y 2

Thay vao (1.2.12) ta được:

1.Ấ~ ot H=- Ở + + 4 4 1.Ấ =Ở Ở Ở + + + + + 4 4 Le = m 2 hen = + 2

Phố năng lượng của dao động tử fermion biến dạng q được xác định như sau:

Hịn) lho + = q | 1 > = ho + = ~ 2

1.2.2.2 Dao dong tir fermion bién dang da mode

Dao động tử fermion biến dạng đa mode được mô tả bởi các toán tử

sinh, hủy b;, u¡ theo hệ thức giao hoán sau:

Trang 26

+ bị, U; riêng: vàN, 21 Khiq= thì phương trình (1.2.13) trở thành: ể =6_ (1.2.14)

Khi đó thống kê biến dạng q trở về thống kê Fermi Ở Dirac Toán tử số dao động tử N, có dạng:

N.= Ở (1.2.15)

Ta tắnh các hệ thức giao hoán giữa N, và bị, U;:

Td L _]} FỞ L_Ở Ta có: L | + Ở Va L | ~ > =ỗ + Do đó: | Bot = -6 - | (1.2.16) ha , , Khii= thì N,,b, =Ở hay N,b =- Tương tự: TỔ (1.2.17)

Khi i= thi An hay mm

Khi đó hệ thức giao hoán giữa toán tử số N, với các toán tử sinh, hủy lại trở về dao động tử fermion đơn mode thông thường

Toán tử số dao động tử điều hòa thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị

N, 1 n= ~ (1.2.18)

thỏa mãn hệ thức giao hoán:

~~ ~

Trang 27

22

Có những dạng khác của hệ thức (1.2.13) khi q là số thực Để khử N,

trong phương trình (1.2.13) ta dùng các toán tử sinh, hủy B;, Ỉ, được định nghĩa theo cơng thức đưa vào tốn tử B;, ụỈ, có liên hệ với b,, u, theo hệ thức:

B= = (1.2.20)

Biéu dién b;, u¡ thông qua BẤ, Ừ;:

b,= ể (1.2.21)

Tinh hé thitc giao hodn cua toan tu so N, v6i toán tử B;, ỪẤ:

J1 | ] ` -ỗ Ấ | [ ỘTot ỘI - _ (1.2.22) L | | Ni

Thay (1.2.21) vào phương trình (1.2.13) ta có:

b,b, +ị | - qoeey to 7 | = 9) Popes | ` B,B; + L - | Ẽ Suy ra: B,B; + L " | ì (1.2.23)

và thỏa mãn hệ thức giao hoán:

1C

- ểỞ (1.2.24)

L |

1.3 Dao động tử paraboson biến dạng 1.3.1 Dao động tử paraboson

Trang 28

23

diễn trong bảng Young thì tất cả đều năm trên một hàng Các hạt có spin bán nguyên là các hạt Fermion, chúng tuân theo thống kê Fermi Ở Dirac, các hạt này nằm trong trạng thái phản đối xứng nên nếu biểu diễn trong bảng Young

thì tất cả các khối đều nằm trên một cột Một tập hợp các hạt mà có những hạt

có thể năm trong trạng thái phán đối xứng và có những hạt có thể năm trong

trạng thái đối xứng thì tuân theo thông kê para

Dao động tử paraboson đơn mode đặc trưng bởi các hệ thức giao hoán:

; | (1.3.1)

L ] 3Ừ (1.3.2)

L jo (1.3.3)

Gọi |0) là trạng thái chân không trong không gian Fock, thì nó phải

thỏa mãn các hệ thức sau:

a|0)= (1.3.4)

aa" ju; = " (1.3.5)

Toán tử sô N của dao động tử paraboson được biêu diễn qua các toán tử sinh, toán tử hủy và bậc của thống kê para như sau:

N= Ở _ (1.3.6)

2 25

Và toán tử số N thỏa mãn hệ thức giao hoán:

N,a =- (1.3.7)

Il 7

L | (1.3.8)

Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử số hạt của dao động tử

paraboson:

Trang 29

24

Với giá trỊ riêng n= , những trạng thái riêng tương ứng có thê nhận được bằng cách lặp lại tác dụng của toán tử a' lên trạng thái |0) Trạng thái riêng của toán tử số chưa chuẩn hóa có dạng:

In): (aỖy |Y/- (1.3.10)

Tác dụng các toán tử a,a' lên trạng thái riêng In) ta có:

a|n)= Ở, (1.3.11)

aỖ Ju/= + + = (1.3.12)

Từ đó ta tắnh được:

f(n)= + (n= + | | (1.3.13) 1.3.13 Tác động toán tử a" lên (1.3.11), toán tử a lên (1.3.12) ta được:

8 a|m/= ể (1.3.14)

aaỢ ju) = to (1.3.15)

Thay (1.3.13) vao (1.3.14), (1.3.15) ta được:

A 4I8/E{ | (1.3.16)

( `

aaỖ ju) = 4 | (1.3.17)

L J

Tr (1.3.13), (1.3.16), (1.3.17) ta thay trong không gian Fock với cơ sở

là các vector trạng thái riêng In) của toán tử sô N:

a a= = + aL | (1.3.18)

= + = + + 1.3.19

Trang 30

25

Từ (1.3.18) và (1.3.19) suy ra:

Hay: | Ở (1.3.20)

Đưa vào cơ sở của không gian Fock In) là trạng thái riêng của tốn tử sơ dao động tử ứng với trỊ riêng n:

jn) = vy |/ (1.3.21)

Trong đó:

(1.3.22) Như vậy dao động tử paraboson là dao động tử thỏa mãn hệ thức glao

hoán (1.3.20) với toán tử số được xác định bởi hệ thức giao hoan (1.3.7), (1.3.8)

Lưu ý khi p=_, hệ thức (1.3.20) trở thành:

I

ỘI

_Ở_~

Khi đó:

Tức là trở về thống kê Bose thơng thường

Xét tốn tử AỢ có câu trúc như sau:

NT 1

AỔ = _Ở (1.3.23)

tt N+

Trang 31

Toán tử sô N 26 " L | - fN+)UEUN AT = + Ở t N+ 1 TT L | Ở -g NEO aN ệT AT N= = I N I N I N+ (1.3.24) (1.3.25) (1.3.26)

Như vậy các toán tử a,AỢ,:v tương ứng với các toán tử hủy, sinh va toán tử số của thống kê Bose thông thường Công thức (1.3.23) cho ta mối

liên hệ giữa toán tử sinh AỢ của dao động tử boson và toán tử sinh a" của

Trang 32

27

Hệ thức giao hoán của toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P:

*h - ể QP =o |! th Ộ2L JL Ả 7 7] =h |

1.3.2 Dao động tử Paraboson biến dạng q

Ta biết răng q-số tương ứng với số thông thường x được định nghĩa:

xX q = q- (1.3.27)

Với q, c là tham số, x có thể là một số hoặc một toán tử

Thay cho các số tự nhiên, chúng tôi sử dụng q số Lý để thu được các hệ thức trong trường hợp biến dạng của các dao động tử Para-Boson là:

[L-ỈỪE-tlỪ 1 ( -_.Ở aa'in)= đè XS, 2 _ (1.3.28) + Ạ, * [ T ẠÌ a`a|n)= he + + - >Ƒ- at 1) L J trong đó: nồ voi n chan ee eee Mo InỢ _ ồ véinlé [ q P q

Từ công thức (1.3.28) chứng tỏ răng trong không gian Fock với cơ sở là

véc tơ trạng thái riêng |n) của toán tử dao động N có các biểu thức như sau:

Trang 33

28

và hệ thức giao hoán biến dạng của dao động tử Para Boson như sau:

+ + +

[a = aA Ở d

- kẻ Ệt KẾ - BS (1.3.30)

Đưa vào cơ sở của không gian Fock |n) là trạng thái riêng của tốn tử sơ

dao động tử ứng với trị riêng n:

1 ẢẤ

In) = Kas _)0) (1.3.31) I ie le be be

1.4 Dao dong tir bién dang R

Dao động tử boson biến dạng R thỏa mãn hệ thức giao hoán:

| (1.4.1)

trong do v: thông số biến dạng

R: toán tử Hermit thỏa mãn điều kiện

R=R*

RỖ=1 (1.4.2)

Bên cạnh đó R cũng thỏa mãn: R,a = tức là R phản giao hoán với toán tử hủy dao động tử a

Xét không gian Fock với cơ sở là các véctơ trạng thái riêng đã chuân hóa của tốn tử sơ dao động tử N:

VỚI n

Trang 34

29 Ta có: Rịn)= -Ở _Ấ (1.4 4) Từ (1.4.1) và (1.4.4) chứng minh: ị + 2 Vv (1.4.5) Khi n =1: [aa y= +Vv Khi n =2: [a,(aồy 1= + = +V + +V = +V + Khin =3: [a,(a ; ¡= + = +V + = +V

Nhận thấy (1.4.5) thỏa mãn khi n = 1, 2, 3 Giả sử (1.4.5) vẫn đúng khi n = k, lúc này:

[a.(a `; ¡= + Vv

2

Trang 35

30 Ta chứng minh ( Ở aỢ au) =| | (1.4.6) \ ) That vay: a aj] = =l) VD) I ay) VD) at \ = | | VD I ) 1 \ = | | AnỪ \ ) = + V ro 2 1 ( = | \ )

Trong không gian Fock toán tử a'a và R có thê viết:

R= - 1 _ aa= + Vv (1.4.7) 2 14 aa = + + Vv 2

Hệ thức giao hoán giữa toán tử Q và P có dạng:

TỊ

Q.P =mh'iaa

L J (1.4.8)

Trang 36

31

Toán tử Hamiltonian được biểu diễn qua toán tử toạ độ Q và xung lượng P có dạng: H= + @ 2m 2 h> = + 2 1 ( 8 2 = ho} mm ) | bg ay (1.4.9) 2 H|n) = ho > ỞỞ ẤINẨ+ +V = 2 ho > Ở zu+ +V = 2 Vay: h> E, = + +V (1.4.10) 2

Đặc biệt khi v-> thì phố năng lượng của dao động tử biến dạng R sé trở về phô năng lượng của đao động tử điều hòa một chiều

Trang 37

32

CHUONG 2: THONG KE CUA CAC DAO DONG BIEN DANG

Trong chương này, chúng tơi sẽ trình bày về định nghĩa thống kê của dao động tử, thống kê của dao động tử boson biến dạng, thống kê của dao động tử fecmion biến dạng, thống kê của dao động tử para biến dạng, thống kê của dao động tử biến dạng R và nhận thấy rằng khi thông số biến dạng tiến đến một giá trị nào đó thì phân bố thống kê của dao động tử biến dạng trở thành thống kê thông thường khi chưa biến dạng

2.1 Định nghĩa về thống kê của dao động tử

Phân bố thống kê của toán tử E được định nghĩa qua công thức:

(F)= Ấ " (2.1.1)

trong đó Z là tơng thống kê, xác định tắnh chất nhiệt động của hệ, phản ánh

trạng thái nội tại của hệ, Z còn gọi là hàm trạng thái (hay hàm phân bố) và có dang:

Z=3xẠ '! (2.1.2)

với : = k la hang số Bolzmamn, T là nhiệt độ của hệ H 14 Hamiltonian

kK

của hệ, trong đó vết lẫy theo đây đủ các trạng thái của hệ, trường hợp đơn giản nhất ta có

H= Ỉ (2.1.3)

Trang 38

=>e on n=0 =+: 9+, P9+y + 9+ 1Ởe 9 = lim , n> J-e Ợ _ 1 I-e ồ _ 1 Ộ1 1Ở - ef Bo e = ẹ _ cựo Ở (2.1.4)

2.2 Thống kê của dao động tử boson biến dạng

Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng q là phân bố thông kê của aỢa:

= Ở le T1 ZỘn=0 q-q = L I ( a ong Se ong | Zq- _ n=0 lo ( LỘ 1 ` Zq-q'\l-qe ồ 1-q*e ồJ

Trang 39

(ef -1) eồ Le jJ-ba s+ye?Ợ 1 Lee -1) ee am e5 Ih (ta 1) Zo + Spo eae 200 Ộ(dj PGP ee cŨo Ở (2.2.1)

Khi giới hạn q tiến tới 1 thì

(aỔa)= er

trở về phân bố Bose - Einstein thông thường

2.3 Thống kê của dao động tử fermion biến dạng

Phân bố thông kê của dao động tử Fermion biến dạng q là phân bố

thống kê của b0

(b'v) = otk Ạồ 'bho,

Trang 40

35 Zqt \n=0 n=0 tuft 1) Zq+g1\1 e ồq! Ite ỢqJ 1 1 cđắỀg!,Ợ Zqtqii+e ồG-q!-e* 1 _l e9 _z Ở Ộ+44 Ấ ah e e Po _ 1 e2Bo eo eho ho FF ee fo _ = Ở ể ỞỞỞ (2.3.1) c9 + {- - ef -

Khi giới hạn q =l thì (bo) =- I phân bố thống kê (2.3.1) trở về

ef 4

phân bố thống kê của dao động tử Fermion thông thường

2.4 Thống kê của dao động tử Paraboson biến dạng Từ định nghĩa ta có phân bố thống kê của toán tử a'a

(a*a)= otk Ạ ồ lata =