Đại số lượng tử Su(3) Luận văn thạc sĩ khoa học vật chất

LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TSNguyễn Thị Hà Loan, người tận tình giúp đỡ bảo cung cấp cho kiến thức tảng để hoàn thành luận văn Cô người giúp ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc cô Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cô công tác phòng sau Đại học, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội Giáo sư, Tiến sĩ trực tiếp giảng dạy, tryền đạt cho kiến thứcquý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua Cuối cùng, xin chân thành gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện cho suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Hà Nội, 15 tháng 07 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Vân Anh LỜI CAM ĐOAN Tên là: Nguyễn thị Vân Anh, học viên cao học khóa 2011 – 2013 chuyên ngành Vật lí lí thuyết Vật lí toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin cam đoan đề tài: “Đại số lượng tử SU(3)”, kết nghiên cứu thu thập riêng Các luận cứ, kết thu đề tài trung thực, không trùng với tác giả khác Nếu có không trung thực luận văn xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học Hà Nội,15 tháng 07 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Vân Anh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn NỘI DUNG Chương 1: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ 1.1 Dao động tử điều hòa 1.1.1 Dao động tử Boson 1.1.2 Dao động tử Fermion 1.2 Dao động tử biến dạng q 1.2.1 Dao động tử Boson biến dạng q 1.2.1.1 Dao động tử Boson biến dạng đơn mode 1.2.1.2 Dao động tử Boson biến dạng đa mode 16 1.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng q 18 1.2.2.1 Dao động tử Fermion biến dạng đơn mode 18 1.2.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng đa mode 20 1.2.3 Dao động tử có thống kê vô hạn 22 1.3 Dao động tử biến dạng p,q 23 Chương 2: ĐẠI SỐ LƯỢNG TỬ SU(3)q 26 2.1 Đại số SU(3) 26 2.2 Đại số SU(3)q 31 Chương 3: ĐẠI SỐ LƯỢNG TỬ SU(3)pq 34 3.1 Đại số SU(3)pq biểu diễn dao động đại số SU(3)pq 34  3.2 Hệ thức khối lượng tám hạt Baryon 36 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết đối xứng đóng vai trò vậtlý lý thuyết Ngôn ngữ toán học đối xứng lý thuyết nhóm Sau phát triển mẫu quark lý thuyết Gauge không abelian tương tác mạnh tương tác điện yếu, hiểu biết nhóm Lie trở thành cần thiết cho việc nghiên cứu lý thuyết hạt Nhóm Lie ngày trở thành công cụ chủ yếu vật lý lý thuyết đại giải tích phức, phương trình vi phân riêng, lý thuyết nhóm vô hạn… Đại số nhóm Lie xuất lâu song gần đòi hỏi ứng dụng nghiên cứu vật lý mà V I Drinfeld lượng tử hóa đại số nhóm Lie làm nảy sinh cấu trúc đại số biến dạng hay gọi đại số lượng tử Gần nhóm lượng tử đại số chúng thu hút quan tâm nhiều nhà vật lý lý thuyết vật lý toán quan điểm ứng dụng chúng mẫu vật lý mối liên quan với lời giải phương trình vi phân phi tuyến Chúng liên quan đến vấn đề đa dạng nghiên cứu nghiệm phương trình Yang-Baxter lượng tử, lý tuyết trường comformal hữu tỷ lý tuyết trường hai chiều với thống kê phân số Đại số lượng tử xem biến dạng phụ thuộc vào nhiều tham số đại số Lie thông thường Đại số lượng tử xem biến dạng đại số Lie cổ điển Trong trường hợp tổng quát biến dạng phụ thuộc vào nhiều thông số Đại số lượng tử SU(3) mô tả đối xứng spin đồng vị hạt Và từ đại số SU(3) có nhu cầu mở rộng thành SU(3) biến dạng phụ thuộc thông số nhiều thông số Sự biến dạng phụ thuộc vào thông số q đưa đến đại số biến dạng SU(3)q Đại số lượng tử SU(3)pq khảo sát biến dạng phụ thuộc hai thông số (p,q) đại số Lie thông thường nhóm Unita SU(3), để đạt điều xây dựng dao động điều hòa biến dạng hai thông số (p,q) Đại số lượng tử SU(3) q trường hợp đặc biệt đại số SU(3)pq trường hợp giới hạn p  q Khi thông số biến dạng tiến đến giá trị giới hạn đại số biến dạng trở đại số chưa biến dạng, đại số biến dạng tổng quát đại số chưa biến dạng Từ hy vọng đại số biến dạng mô tả tượng vật lý gần với thực nghiệm Từ lý trên, chọn đề tài “đại số lượng tử SU(3)” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài: “ đại số lượng tử SU(3)” nghiên cứu đại số lượng tử SU(3) biến dạng nhiều thông số Nhiệm vụ nghiên cứu Đại số lượng tử SU(3), biểu diễn đại số lượng tử SU(3) Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu đại số SU(3), đại số lượng tử SU(3)q đại số lượng tử SU(3)pq Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp vật lý lý thuyết lý toán Sử dụng phương pháp nhóm đối xứng đại số lượng tử Cấu trúc luận văn Chương 1: Hình thức luận dao động tử lượng tử Chương 2: Đại số lượng tử SU(3)q Chương 3: Đại số lượng tử SU(3)pq NỘI DUNG CHƯƠNG 1: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ Trong chương này, viết tổng quan dao động tử lượng tử, dao động Boson biến dạng, dao động tử Fecmion biến dạng, dao động tử p,q tính phổ lượng dao động tử 1.1 Dao động tử điều hòa 1.1.1 Dao động tử Boson Hệ thức giao hoán dao động tử Boson đơn mode có dạng:  a, a    (1.1.1) Trong đó: a : toán tử hủy dao động tử a  : toán tử sinh dao động tử Toán tử số dao động N có dạng: N  aa kết hợp (1.1.1) với (1.1.2) ta có:  N , a  a a, a   a  aa  aa  a    aa   a  a  a    a, a   a  a  N , a     a  a, a    a  aa   a  a  a  a   aa   a  a  (1.1.2)  a   a, a    a Như vậy:  N , a   a  N , a    a  (1.1.3) Không gian Fock không gian mà vector sở trạng thái với số hạt xác định Trong không gian Fock, trạng thái chân không định nghĩa trạng thái thỏa mãn điều kiện: a 0 (1.1.4) Đưa vào không gian Fock với n trạng thái riêng toán tử số hạt có n dao động tử ứng với trị riêng n: a    n n n! n=0,1,2,… (1.1.5) Ta chứng minh: N n n n Thật vậy: N n  aa n  aa n a   n! n n   a a  a   a a,  a     n! n!  n 1 n  n  a n  a   a   n! n! n n  Bây giờ, ta chứng minh rằng:  a,  a  n   n  a  n1   (1.1.6) Với n = 1:  a, a    Với n = 2:  a,  a  2   a  a, a    a, a   a   2a        Nhận thấy (1.1.6) với n = 1,2 Dùng phương pháp quy nạp, giả sử biểu thức (1.1.6) với n = k, tức là:  a,  a  k   k  a  k 1   Ta phải chứng minh biểu thức (1.1.6) với n = k+1:  a,  a  k 1   a   a,  a  k   a, a    a  k        ak  a  k 1   k  1  a     a  k k Vậy phương trình (1.1.6) với n = k+1 Suy (1.1.6) với n Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ Q toán tử xung lượng P liên hệ với toán tử hủy, sinh dao động a, a  sau: Q a 2m Pi m   a  a   a Khi hệ thức giao hoán toán tử tọa độ Q toán tử xung lượng P là: Q, P   i    a  a a  a      i  a, a     a  , a   i  a, a    (1.1.7) Thế (1.1.1) vào (1.1.7) suy : Q, P  i (1.1.8) Toán tử Hamiltonian mô tả dao động tử điều hòa biểu diễn theo toán tử sinh, hủy dao động tử a  , a sau: H P  m 2Q 2m            a  a  a   a  a   a   a a    a    a  a   a  a  aa   aa    a  a   a   a a    a  a  aa   aa   a a  aa     2a a  aa    aa    2a a  a, a      N  1   (1.1.9) Phổ lượng dao động điều hòa xác định phương trình hàm riêng trị riêng toán tử H: H n  En n H n      N  1 n  2n  1 n Suy ra: En    2n  1 n = 0,1,2,… (1.1.10) 30  a1a1   a1 a1 a2 , a2    a2a2  a2 a2   a2a2   a2 a2 Có:  a1, a2    a1a2  a2a1  E1, F1   a1 1  a2a2  a1  a2 1  a1a1  a2  a1 a1  a1 a2 a2a1  a2a2  a2a1a1a2  a1 a1  a2 a2  H1  E1, F1   H1 H , H        H1, H   H1H  H H1   N1  N2   N2  N3    N2  N3   N1  N2   N1N2  N1N3  N2 N2  N2 N3  N2 N1  N2 N2  N3 N1  N3 N2 0 Vì:  Ni , N j    G1, G2   H1  H G1, G2   G1G2  G2G1  a1a3a3a1  a3a1a1a3  a1 1  a3 a3  a1  a3 1  a1 a1  a3  a1 a1  a1 a3 a3a1  a3 a3  a3 a1 a1a3  a1 a1  a3 a3 H1  H  N1  N2  N2  N3  N1  N3  a1 a1  a3 a3 31 2.2 Đại số SU(3)q Đại số lượng tử SU(3)q có vi tử E , F , H (  1,2) mà chúng tuân theo hệ thức giao hoán  E , F     H q ,  H , E    3  1 E , (2.2.1)  H , F     3  1 F ,  H , H       2   2 F F F  E ,  E , E    1  3   2q  E E E    F ,  F , F    1  3   q    Biến dạng q hình thức luận dao động điều hòa cho SU (3)q thực cách đưa vào hai loại dao động a1, a2 , a3 b1 , b2 , b3 với liên hợp héc mít chúng, thỏa mãn quy tắc giao hoán ai  q 1ai  q Ni Ni   bb i i  qbi bi  q ,  , a j   0, i  j bi , bj   , i j (2.2.2)  , a j   0,  , b j   0, aibi  q 1bi  0,  , b j   (i  j ) Ỏ N i gọi toán tử số dao động định nghĩa từ , ai , bi , bi sau 32  Ni q  ai  bibi ,  N i , a j   ai ij ,  N i , b j   bi ij Đại số (2.1.6) thực cách đặt E1  a1 a2  b2b1 , F1  a2 a1  b1b2 , H1  N1  N E2  a2 a3  b3b2 , (2.2.3) F2  a3 a2  b2b3 , H  N  N3 Chúng ta xem xét vấn đề tách khối lượng cho phá vỡ đối xứng bên SU(3) quan điểm khái niệm nhóm lượng tử, xét toán  tách khối lượng nhóm tám baryon  , nhóm mười baryon Trên 2 quan điểm dạng tổng quát toán tử khối lượng M là:   M  a  F1E1  F2 E2   F1 , F2  E1 , E2    H12  H 22  H1H   H1  H       b  E1F1  E2 F2   E1 , E2  F1 , F2    H12  H 22  H1H   H1  H       c  F1E1  F2 E2   E1 , E2  F1 , F2    H12  H 22  H1H         d  E1F1  E2 F2   F1 , F2  E1 , E2    H12  H 22  H1H   H     nhóm tám baryon , biểu diễn p  a1b3 n a2b3 a1b2 , 0  a1b1  a2b2  ,  a2b1 (2.2.4) 33  a1b1  a2b2  2a3b3   0 a3b2 ,  a3b1 Bằng tính toán cho kết sau: Bảng a b c d P 2 2q  2 2q  n  2q    2q  q 0  2q   2q    2q  q2 q2 2 q2  q2 1  2q   q  2q   2q   2q  2 q2   2q   2q  0  2q  q  2q   2q  q  2 2q  3 2 2q  1  2q   q  2q  Từ bảng ta tìm hệ thức khối lượng tuyến tính p    0  (2.2.5) Hệ thức phù hợp với số liệu thực nghiệm với độ xác 2,5% 34 CHƯƠNG 3: ĐẠI SỐ LƯỢNG TỬ SU(3)pq Trong chương nghiên cứu đại số SU(3)pq biểu diễn dao động đại số SU(3)pq, hệ thức khối lượng tám hạt Baryon  3.1 Đại số SU(3)pq biểu diễn dao động đại số SU(3)pq Tương tự đại số biến dạng thông số đưa khái niệm nhóm lượng tử SU(3)pq mà đại số sinh toán tử E , F , H (   1,2 ) tuân theo hệ thức giao hoán [7]:  E1, F1  pq    H1  pq 1  E2 , F2  qp    H qp 1  E , F        H , E    3 1 E  H , F     3 1 F (3.1.1)  H , H     2  2  2  2 E , E , E     pq1   E , E , E     qp1   F , F , F     qp1   F , F , F     pq1   qp   qp 1 E E E  qp 1 F F F  pq 1 F F F  pq 1 1 E1E2 E1 1 pq pq qp 1 1 2 Hệ thức (3.1.1) với p, q tổng quát E , F , H (   1,2 ) hàm sinh Trong trường hợp giới hạn p=q  x pq   x q đại số lượng tử SU (3) pq (3.1.1) trở đại số lượng tử SU (3)q (2.1.6) 35 Dao động tử điều hòa biến dạng –p, q cho đại số lượng tử SU (3) pq mở rộng dao động điều hòa biến dạng tham số đại số SU (3)q chúng bao gồm hai loại dao động a1, a2 , a3 b1 , b2 , b3 liên hợp chúng thỏa mãn hệ thức giao hoán lượng tử:  a1 , a1  1  q N1 , p   a2 , a2  1  p N2 , q   a3 , a3  1  q N3 , p   , a j   0, i  j ,  , a j   0, b1 , b1   q N1 ,  p b2 , b2   p N2 , q b3 , b3   q N3 ,  p bi , b j   0, i  j , bi , b j   0,  , b j   0, i  j ,  , b j    a1, b1  p 1  a2 , b2  q  a3 , b3  p   0, 1  0 1  0 Ni gọi toán tử số dao động định nghĩa cho:  N1  pq  a1a1  pq 1b1b1 (3.1.2) 36  N qp  a2 a2  qp 1b2b2  N3  pq  a3 a3  pq 1b3b3 (3.1.3)  N i , a j   ai ij  N i , b j   bi ij Những vi tử đại số lượng tử SU (3) pq biểu diễn số hạng dao dộng lượng tử giống trường hợp đại số lượng tử tham số E1  a1 a2  b2b1 F1  a2 a1  b1b2 , H1  N1  N , (3.1.4) E2  a2 a3  b3b2 F2  a3 a1  b2b3 H  N  N3 Sử dụng hệ thức (3.1.2) chứng minh vi tử E , F , H (   1,2 ) biểu diễn dạng (3.1.4) thỏa mãn đại số SU (3) pq dạng (3.1.1) 3.2 Hệ thức khối lượng tám hạt Baryon  Dựa khái niệm đại số biến dạng hai tham số SU (3) pq tiếp tục xét toán tách khối lượng bát tuyến baryon  Giả sử khối lượng hạt A định nghĩa qua công thức : mA  AM A AA (3.2.1) Ở M toán tử khối lượng xây dựng từ tổ hợp nhứng hàm sinh E , F , H mà giới hạn cổ điển p, q  tự xuất 37 toán tử casimir bậc nhóm SU(3) Dạng tổng quát toán tử là:   M  a  F1E1  F2 E2   F1 , F2  E1 , E2    H12  H 22  H1H   H1  H       b  E1F1  E2 F2   E1 , E2  F1 , F2    H12  H 22  H1H   H1  H      c  F1E1  F2 E2   E1 , E2  F1 , F2    H12  H 22  H1H       d  E1F1  E2 F2   F1 , F2  E1 , E2    H12  H 22  H1H   H    (3.2.2) Công thức (3.2.1) (3.2.2) cho phép diễn đạt khối lượng hạt theo thông số a, b, c, d thông số biến dạng p, q Trong đối xứng hai thông số biểu thức khối lượng có dạng đối xứng thông số Chúng chứng minh biểu thức khối lượng tổng quát đối xứng SU(3) lượng tử có thông số  Nhóm tám baryon biểu diễn p   0 a1b3 , n a2b3 a1b2 , 0  a1b1  a2b2  ,  a2b1  a1b1  a2b2  2a3b3  a3b2 ,  a3b1 a, Đối với p, q tính toán cho kết sau 38 Bảng a b c d p  2qp   2 pq   2qp   2 pq  n  2qp    2 pq  q 2  q2  2 pq  0 p 2  2q 2  p 1q 1  2q 1  p 1  p 1  p 1 2q  2q 1  p 1  q 1 2q 2  p 2  p 1  p 1  q 1 p 2  3q 2  2q 1 p 1  p 1  p 1  q 1  2qp    2qp  q2  p 2  2q 2  p 1q 1  p 1  p 1  p 1 0  2 pq  q  2 pq   2qp   q2 2q 2  p 2  p 1q 1  6q 1  12 p 1  p 1  q 1 2 2 q 2 2 1 1 2 1 2q  p  p q  p  p 1  q 1  2 pq  3 q2 p 2  3q 2  2q 1 p 1  p 1  p 1  p 1  q 1  2 pq  q  2 pq   2qp  39 Đối với p, q bất lỳ kết tính toán không cho biểu thức tính toán Mặc dù kết thu p  q có kết hoàn toàn trùng với kết thu SU (3)q b, Đối với trường hợp p, q gần tức q  p  bé Kết tính toán cho bảng 40 Bảng A b c d p 2 2 p   1  p   2 2 p   1  p   n  2 p  p2    p2  p3    p 2  p 3    2 p  p2   p  1   p2  p   2 p  1   0  2 p     p  p 1  1   2 p  q2   2 p3  p2     2 p    5 p 2  p 1  1 0  2 p  p2   p  1   2 2 p   1  p     2 p    3 p 2  p 1  1   2 p   p2   2 p    p 2  p 1  1   2 p  p 1     p 2  p 1   22     2 p  p    p 2  p 1  3 12  2 p    3 p 2  p 1  1  2  q 2  p 3   2 p    7 p 2  p 1  1  2 p  1   2 p  p2   p  1  3 2 2 p   1  p 2    41 Trường hợp p, q gần kết tính toán không cho biểu thức tính toán c, Đối với trường hợp p, q gần p 1  , q 1  , ,  Bảng tính toán ta nhận kết sau: Bảng a b c d P 3 3 n 3  3a  b  3a  3  3a  b  3a 3 a b 0 3 3 a  b 2 3 3 a  b 2 1 3 a  b 2 1 3 a  b 2   3a  b 3 a b  2a  3 3 a  b 2 3 3 a  b 2 1 3 a  b 2 3 3 a  b 2 0  3a  b 3 a b  3a  b  3 3 Từ kết tính toán bảng tìm bốn hệ thức khối lượng tuyến tính p   n     0 n    0     0  p 2(n   )  0   p (3.2.3) 42 Bốn hệ thức khối lượng có độ xác thấp  Sau xét toán tách khối lượng nhóm tám baryon quan điểm nhóm đối xứng lượng tử hai tham số SU (3) pq có vài nhận xét sau đây:  Cơ chế tách khối lượng cần phải xem xét kỹ hơn, suy trực tiếp từ đại số tham số cho hai tham số  Trong khuôn khổ cách tiếp cận trình bày p, q xem gần 43 KẾT LUẬN Trong luận văn xét đến đại số biến dạng mở rộng đại số biến dạng thông thường thông số Đã triển khai tính toán chi tiết làm sở cho ứng dụng sau để nghiên cứu vấn đề vật lý cụ thể Các nội dung luận văn sử dụng để nghiên cứu quy luật phân bố thống kê hạt mô hình cụ thể Những kết chủ yếu luận văn tóm tắt sau:  Trình bày nét tổng quan đại số biến dạng  Triển khai tính toán chi tiết số trường hợp ứng dụng cụ thể  Thu số kết cho trường hợp tổng quát hơn, kết ứng dụng xét đến toán vật lý cụ thể tương lai Đây vấn đề có tính thời đặc biết ứng dụng để xây dựng mô hình lý thuyết đại thống tương tác 44 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Đào Vọng Đức, Phù Chí Hòa [2001] “Bài giảng lý thuyết hại bản”, nxb Khoa học kĩ thuật, Biedenham L.C [1989] ,“The quantum groupSU(2)q and a q-analogue of the Boson operators”, J.Phys.A22(18), p.L873, Chaiturvedi S and Srinisavan V [1991], “Para-Bose oscilaltor as deformed bose oscilaltor”, Phys.Rev A44(12), p.8024 Chaturvedi S and Srinisavan V [1991], “Aspect of q-oscillator quantum mechanics”, phys.Rev.A44(12), p.8020 Finkelstein R.J [1995], “q-field theory”, Lett.Math,phys.34(2), p.169 Finkelstein R.J [1996] ,“q-gauge theory”, Int.J.Mod.phys.A11(14), p.733, L.V.Dung and N.T.H Loan, “The p,q-oscillators representation of quantum algebra SU(3)”, Mod.phys.Let.A vol 10 No4(1995) p3083-3086 L.V.Dung and N.T.H.Loan, “The mass relation of octet of (1/2)+ baryons in the quantum group SU(3)pq”, com in phys.Vol No2 June (1997), P29-34 Chaichian M Gonzalez F.R and Montenen C (1993), “Statistics of q – oscillators quons and relation to fractional Statistics” , J.phys A26(16), pp.4017-4034 10 Nguyen Thi Ha Loan, Deformed oscillators and Their Statistics vol 6, N0 2, June (1996), P 18-22