Biểu diễn các trạng thái lượng tử

Trờng đại học vinh Khoa vật lý - - Đề tài: Biểu diễn trạng thái lợng tử Giáo viên hớng dẫn Sinh viên thực Lớp : : : Đinh Phan Khôi Vũ Văn Tới 45A Vật lý Vinh - 2008 mở đầu Trong học lợng tử, để mô tả biến đổi hệ vật lý theo thời gian, ngời ta diễn đạt công cụ toán học dới số dạng, khác đôi chút nhng tơng đơng, hay nói cách khác, số phép biểu diễn tơng đơng Phép biểu diễn mà thờng dùng phép biểu diễn Schrodinger Ngoài phép biểu diễn Schrodinger, học lợng tử dùng phép biểu diễn Heisenberg, phép biểu diễn tơng tác, phép biểu diễn số lấp đầyĐồng thời, ta để ý phép biến Khoá luận tốt nghiệp đổi unita làm bất biến hệ thức giao hoán, dạng phơng trình đại số, tính chất toán tửSự bất biến chứng tỏ sơ đồ toán học sau phép biến đổi unita chứa đựng đầy đủ thông tin nh sơ đồ toán học ban đầu Ngợc lại, hai tập hợp toán tử mô tả hệ vật lý với Hamiltonian hệ thức giao hoán, chúng có liên hệ với phép biến đổi unita Phù hợp với nguyên lý tổng quát đó, phép biểu diễn Schrodinger, phép biểu diễn Heisenberg, phép biểu diễn tơng tác có liên hệ với phép biến đổi unita Trạng thái hạt hay hệ hạt thời điểm t đợc biểu diễn hàm sóng Trong không gian Hilbert trạng thái dùng sở khác để xét toán, với sở ta có biểu diễn Ví dụ, ta chọn hệ sở vectơ riêng toán tử àX ta có biểu diễn toạ độ, ta chọn hệ sở vectơ riêng toán tử Pà ta có biểu diễn xung lợng, ta có biểu diễn lợng ta chọn hệ sở vectơ riêng toán tử H Các hệ sở bình đẳng nên tất biểu diễn tơng đơng Vì vậy, việc chọn biểu diễn hay biểu diễn khác xuất phát từ toán cụ thể cho thuận tiện việc tính toán, giống nh việc chọn hệ trục toạ độ khác toán học Để giải toán mô tả trạng thái hạt hay hệ hạt cách dễ dàng đòi hỏi cần phải nắm vững sở với biểu diễn cụ thể tơng ứng Từ nhu cầu đó, khoá luận tìm hiểu cách để biểu diễn trạng thái lợng tử, dựa sở ký hiệu Dirac, đợc khảo sát không gian Hilbert Khóa luận đợc hoàn thành với giúp đỡ thầy cô bạn bè Đặc biệt giúp đỡ tận tình thầy giáo hớng dẫn Đinh Phan Khôi Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo hớng dẫn, nh thầy cô bạn bè giúp đỡ em thời gian làm khoá luận Vũ Văn Tới Vinh, 05/2008 Biểu diễn trạng thái lợng tử Khoá luận tốt nghiệp Chơng 1: Ký hiệu Dirac Không gian Hilbert 1.1 Ký hiệu Dirac 1.1.1 Ký hiệu Dirac Để mô tả trạng thái hệ lợng tử, ta dùng hàm sóng a (t ) Xét thời điểm xác định biểu diễn toạ độ hàm sóng có dạng a ( x) Hàm đợc Dirac ký hiệu , gọi ket vectơ, hay a = = n (1) Ví dụ: Hàm sóng klmn mô tả trạng thái hạt đợc ký hiệu ket vectơ klmn Hàm sóng liên hợp phức với hàm đợc ký hiệu bra vectơ = = [ n ] (2) Ket vectơ bra vectơ liên hệ với hệ thức: = Biểu diễn trạng thái lợng tử (3a) Khoá luận tốt nghiệp = (3b) Do đó, trạng thái hệ đợc mô tả ket vectơ bra vectơ Chuẩn vectơ đợc viết dới dạng: = (4) Tích vô hớng bra vectơ b = b ket vectơ a = a đợc ký hiệu b a , số phức thoả mãn đẳng thức: ba = ab Nghĩa là: b (5) ( x ) a ( x)dx = b a (6) Tích vô hớng đợc hiểu nh hàm sóng a biểu diễn b Thật vậy, ta khai triển: a ( x) = Ca (b) b ( x)db (7) Ca (b) hàm sóng trạng thái a biểu diễn b Ca (b) = b ( x) a ( x) dx = b a (8) Một cách tơng ứng, hàm sóng trạng thái a biểu diễn x ký hiệu Dirac có dạng: a ( x) = x a (9) Trong ký hiệu này, khai triển (7) đợc viết lại: x a = b a x b db b = x b b a db (10) b Ta thừa nhận b b b db = (11) Tích phân đợc lấy theo toàn phổ liên tục hàm riêng Trờng hợp phổ gián đoạn: b b =1 b (12) Nh vậy, cách tơng tự (6) ta có đợc: Hàm sóng trạng thái a L biểu diễn: L a Hàm sóng trạng thái a E biểu diễn: En a Hàm sóng trạng thái a P biểu diễn: P a Biểu diễn trạng thái lợng tử Khoá luận tốt nghiệp Ta chuyển từ hàm sóng m a xác định trạng thái biểu diễn m sang biểu diễn khác đó, biểu diễn q chẳng hạn q a = q m m a (13) m a = m q q a (14) m Hay ngợc lại: q Trong đó, hàm biến đổi m q = q m hàm riêng toán tử tơng ứng với đại lợng vật lý q biểu diễn m Trờng hợp phổ liên tục: q a = q p p a dp (15) Các vectơ khai triển theo hệ sở mình: n = j j j =1 j = j n = j j j =1 n I = j j j =1 n = j j j =1 j = j = j n = j j (16) j =1 Ma trận đơn vị: n I = j (17) j j =1 Hệ thức điều kiện đủ sở trực chuẩn Sử dụng điều kiện đủ ta viết: = = I n = j j j =1 n n = j = j j =1 j (18) j =1 Các phần tử ma trận toán tử Fà ký hiệu Dirac: Biểu diễn trạng thái lợng tử Khoá luận tốt nghiệp = ' F (19) Nhân hai vế với j sử dụng điều kiện đủ ta có: = j FI j ' = j F n n k =1 k =1 k k = = j F j Fà k k n k j ' = 'j = j F k Vậy (20) k =1 k a jk = j F Nghĩa là: (21) 1.1.2 Một số tính chất ký hiệu Dirac Nếu a phức, , hai hàm cho: + dx < Ta có: a = a (22) a = a (23) = (24) + = + (25) ( + ) (1 + )dx = + + = ( + )( + ) = 1 + + + (26) 1.1.3 Nhận xét Cách ký hiệu Dirac có vai trò quan trọng tính toán vật lý làm đơn giản hoá nhiều cách viết chứng minh khẳng định toán học Ví dụ: Chứng minh tính chất toán tử Hermite + Tính chất 1: Các trị riêng toán tử Hermite số thực Chứng minh: Do àA toán tử écmít nên ta có: ( x) àA ( x) = àA ( x) ( x) Ta chọn ( x) = ( x) = un ( x) Biểu diễn trạng thái lợng tử Khoá luận tốt nghiệp Khi ta đợc: un ( x) àAun ( x ) = àAun ( x) un ( x) Mà àAun ( x) = an un ( x) un ( x) anun ( x) = an un ( x ) un ( x) an un ( x ) un ( x) = an un ( x) un ( x) (an an ) un ( x) un ( x) = Do un ( x) un ( x) nên an = an (đpcm) + Tính chất 2: Các hàm riêng toán tử Hermite trực giao với Chứng minh: Do àA toán tử Hermite nên ta có: ( x) àA ( x) = àA ( x) ( x) Chọn ( x) = un ( x) , ( x) = um ( x) Khi ta có: un ( x) àAum ( x ) = àAun ( x) um ( x) Mà àAun ( x) = an un ( x) , àAum ( x) = am um ( x) un ( x) amum ( x) = an un ( x ) um ( x) am un ( x ) um ( x) = an un ( x) um ( x) Do an số thực nên an = an (am an ) un ( x) um ( x) = Trong trờng hợp không suy biến: am an (các trị riêng ứng với hàm khác khác nhau) u n ( x ) um ( x ) = Chuẩn hoá: un ( x ) u m ( x ) = Tổng quát ta có: un ( x) um ( x) = nm (đpcm) 1.2 Không gian Hilbert Trong học lợng tử, đa vào khái niệm trạng thái hạt hay hệ hạt Mỗi trạng thái đợc đối ứng với vectơ không gian Hilbert Các biến số động lực đợc đối ứng với toán tử tác dụng lên vectơ không Biểu diễn trạng thái lợng tử Khoá luận tốt nghiệp gian Các vectơ hàm số toạ độ không thời gian toạ độ nội Sau ta tìm hiểu khái niệm không gian Hilbert Trớc hết ta điểm lại yếu tố đại số vectơ không gian Euclide ba chiều Sau tiến hành tổng quát hoá đến không gian Hilbert từ khái niệm tập hợp theo sơ đồ sau: Tập hợp Không gian tuyến tính n chiều Không gian Euclide Không gian Hilbert 1.2.1 Không gian tuyến tính n chiều (không gian vectơ n chiều) Không gian tuyến tính tập hợp X xác định phép toán cộng hai phần tử với nhân phần tử với số Các phép toán thoả mãn tất tính chất sau: r r r r a+b=b+a r r r r r r + Tính kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c) r r r r + Tồn vectơ không : a+0=a r r r + Với vectơ tồn vectơ đối: a + (a) = r r + Với cặp ,a số thuộc trờng số thực, a vectơ, tích tr ơng ứng a vectơ Phép nhân có tính chất kết hợp: r r ( a ) = ( )a r r 1.a = a + Tính giao hoán: + Tính chất phân phối phép nhân phép cộng: r r r r ( a + b) = a + b r r r ( + )a = a + a Ví dụ: Tập hợp n số phức đợc xếp theo thứ tự định = { , , , , n } , = { ,2 , , , n } với phép cộng phép nhân với số đợc xác định theo định nghĩa nh sau: + = { + , + , , n + n } Vectơ không: = { , , , n } r = { 0,0, ,0} Vectơ đối: = { , , , n } Biểu diễn trạng thái lợng tử Khoá luận tốt nghiệp Nếu không gian tồn tối đa n vectơ độc lập tuyến tính, ta nói ur uu r ur uu r không gian n chiều Gọi tập hợp n vectơ độc lập tuyến tính { e1 , e2 , e3 , , en } hệ vectơ sở không gian tuyến tính, vectơ không gian đợc biểu thị qua hệ vectơ cách nhất: ur uu r ur uu r = e1 + e2 + e3 + + n en n uu r = j e j j =1 1.2.2 Không gian Euclide n chiều Tích vô hớng hai phần tử không gian tuyến tính (thực hay phức) đợc gọi hàm số hai vectơ đợc ký hiệu ( , ) thoả mãn tính chất sau: + Tính tuyến tính theo thừa số thứ hai: ( , + ) = ( , ) + ( , ) + Tính Hermite: ( , ) = ( , ) - không gian thực, ( , ) hàm thực ( , ) = ( , ) - không gian phức, ( , ) hàm phức + Tính xác định dơng: ( , ) Không gian tuyến tính n chiều mà xác định tích vô hớng đợc gọi không gian Euclide n chiều Ví dụ: Nh không gian tuyến tính xét trên, với vectơ = { , , , , n } , = { ,2 , , , n } tích vô hớng đợc viết dới dạng: ( , ) = 1 + 2 + 3 + + n n n = j j j =1 1.2.3 Không gian Hilbert Khái niệm không gian Hilbert: Tập hợp vectơ , , X , đợc gọi không gian Hilbert tập hợp không gian tuyến tính nh định nghĩa trên, vô hạn chiều, chứa vô hạn vectơ độc lập tuyến tính Các yếu tố không gian Hilbert hàm (thay cho vectơ không gian Euclide chiều), hàm đợc gọi vectơ Tính chất không gian Hilbert: + Tuyến tính + Tồn tích yếu tố không gian Biểu diễn trạng thái lợng tử Khoá luận tốt nghiệp + Mọi yếu tố không gian Hilbert có độ dài liên hệ với tích theo công thức: = + Không gian Hilbert đủ, có nghĩa không gian Hilbert chứa tất điểm giới hạn Ví dụ không gian Hilbert: + Ví dụ 1: Tập hợp hàm xác định khoảng x L với L = dx < (H1) + Ví dụ 2: Không gian hàm L hàm bình phơng khả tích xác định toàn trục số: = dx < + Ví dụ 3: Không gian Hilbert H1 đợc khai triển chuỗi hay tập hợp hàm { n } , hàm riêng toán tử lợng tơng ứng với trờng hợp hố chiều: n = nx Sin( ) d L ( x) không gian Hilbert đợc khai triển theo chuỗi hàm { n } ( x) = ann ( x) n =1 Trong hệ số an hình chiếu vectơ ( x) lên n ( x) Chứng minh: Ta có: = ann n n' = n' an n n = an n' n n = an nn' n = an' an' tích vectơ sở n' vectơ Vì n' vectơ đơn vị nên an hình chiếu lên n (điều phải chứng minh) ' ' Biểu diễn trạng thái lợng tử 10 Khoá luận tốt nghiệp Từ thấy rằng, lợng dao động tử điều hoà nhỏ h0 Trạng thái với lợng nhỏ E0 ứng với n = hàm sóng tơng ứng với trạng thái Các trạng thái với lợng nhỏ không tồn Do đó, tất k không âm, hàm k Đặc biệt = Và a$ n = n n viết cho n = 0: a$ = C (59) Thay (59) vào (58), ta tìm đợc cho E0 = H giá trị h Khoảng cách hai mức h0 Do đó: En = h0 (n + ) (60) + Ta xác định toán tử toạ độ toán tử xung lợng biểu diễn biểu diễn lợng Ta có: a$ n = n n 1 + a$ n = (n + 1) n + Từ (52) (53) ta rút đợc: àX = ( ) ( ) $ à+ a+a = m a$ aà+ P 2i - Tính biểu diễn ma trận toán tử toạ độ àX dao động tử điều hoà biểu diễn lợng Với k n số nguyên không âm, ta có: n àX k = n a$ + aà+ k = $ n a k + n aà+ k = 12 k n k + ( k + 1) n k +1 = 12 k + ( k + 1) n, k +1 n , k Biểu diễn trạng thái lợng tử 21 Khoá luận tốt nghiệp X= 0 0 0 0 0 0 0 (61) - Tính biểu diễn ma trận toán tử xung lợng Pà dao động tử điều hoà biểu diễn lợng k = m n a$ aà+ k nP 2i = m $ n a k n aà+ k 2i = m 2i 12 k n k ( k + 1) n k +1 = m 2i 12 k ( k + 1) n, k +1 n , k m P= 0 2i 0 0 0 (62) 2.4 Biểu diễn toạ độ 2.4.1 Khái quát biểu diễn tọa độ Để đơn giản, xét chuyển động hạt dọc theo trục 0x Vậy vị trí hoàn toàn đợc xác định theo toạ độ x Toạ độ đợc đối ứng với toán tử tuyến tính àX đây, Fà = àX Phơng trình trị riêng: àX x = x x (63) Phơng trình có nghiệm với giá trị x Các vectơ x chọn làm hệ vectơ sở biểu diễn toạ độ Các điều kiện trực chuẩn điều kiện đủ đợc xác định nh sau: Biểu diễn trạng thái lợng tử 22 Khoá luận tốt nghiệp x ' x '' = ( x ' x '' ) x x dx = I (64) (65) Hàm sóng biểu diễn toạ độ Trạng thái biểu diễn toạ độ đợc mô tả tập hợp liên tục thành phần x: = x x (66) x = x = ( x) (67) x Trong đó, hàm ( x) đợc gọi hàm sóng biểu diễn toạ độ Dạng toán tử biểu diễn toạ độ + Một toán tử tơng ứng với ma trận liên tục: x '' Qx' x'' = x ' Q (68) Ma trận chuyển thành phần vectơ sang thành phần vectơ : x = ( x) = Qx' x'' x' dx ' = Qx' x'' ( x ' )dx ' (69) + Toán tử àX biểu diễn toạ độ có ma trận dạng chéo: X x' x'' = x ' àX x '' = x '' ( x ' x '' ) = x ' ( x ' x '' ) (70) Toán tử toạ độ tác dụng lên hàm sóng theo cách sau: x = X xx' x' = x ' ( x x ' ) x' = x x (71) Điều có nghĩa: Tác dụng toạ độ lên hàm sóng phụ thuộc vào toạ độ nhân hàm sóng với trị số x Kết đợc tổng quát hoá lên hàm toạ độ Uà ( x) = U ( x) + Toán tử xung lợng biểu diễn toạ độ Để tìm ma trận toán tử xung lợng X biểu diễn sử dụng hệ thức giao hoán: Biểu diễn trạng thái lợng tử 23 Khoá luận tốt nghiệp (72) àX P P àX = ihI x '' x ' P àX x '' = i h x ' x '' (73) x ' àX P Sử dụng phơng trình liên hợp x X = x x ta có: x '' = ih ( x ' x '' ) ( x ' x '' ) x ' P (74) Sử dụng tính chất hàm Delta: xf ( x) = ( x ) f ( x) = ' ( x) (75) Ta đợc kết quả: x '' Px' x'' = x ' P (76) = ih ' ( x ' x '' ) Từ rút quy luật sau toán tử xung lợng tác dụng lên hàm sóng: x = ( x) = Pxx' x' dx ' = ih ' ( x ' x '' )dx ' = ih d ( x) dx (77) Điều có nghĩa: Tác dụng toán tử xung lợng lên hàm sóng phụ thuộc vào toạ độ biểu diễn toạ độ tơng đơng việc lấy đạo hàm hàm sóng theo toạ độ Ma trận toán tử xung lợng viết dới dạng: Px' x'' = ih ( x ' x '' ) d dx ' (78) + Kết luận Từ kết (71) (77) suy ra: àX = x (79) = i h P x x (80) Các biểu thức cụ thể cho toán tử toạ độ xung lợng tác dụng không gian Hilbert hàm phù hợp với biểu thức suy đợc từ vật lý cổ điển theo luật tơng ứng mà ta biết Các hàm riêng toán tử toạ độ toán tử xung lợng biểu diễn toạ độ Xuất phát từ toán trị riêng: àX ( x) = x ( x) x0 x0 ( x x0 ) x0 ( x) = = ( x x0 ) ( x x0 ) Biểu diễn trạng thái lợng tử 24 Khoá luận tốt nghiệp Do vậy, ta đợc: x0 ( x) = ( x x0 ) (81) Phơng trình trị riêng toán tử xung lợng biểu diễn toạ độ có dạng: i h p ( x) x (82) = p p ( x) Với số thực p ta có nghiệm dới dạng sóng phẳng: i p ( x) = A exp( px) == x p h (83) Xác định A từ điều kiện chuẩn hoá: p ' p '' = p ' x x p '' dx = p' ( x) p '' ( x)dx = A i exp[ h ( p '' p ' ) x]dx = A h ( p '' p ' ) = ( p '' p ' ) A h = Kết ta có: A = h A= h (84) Hàm riêng toán tử xung lợng ứng với trị riêng p biểu diễn dới dạng: p ( x) = i exp( px) h h 2.4.2 Một số toán biểu diễn toạ độ Hạt giếng chiều sâu vô hạn: Giếng đợc mô tả hàm U(x): U ( x) = x < U ( x) = < x < a (85) (I) (II) U ( x) = x > a (III) Phơng trình Schrodinger trờng hợp có dạng: d ( x) 2m + ( E U ) ( x) = dx h (86) Trong miền (I) (III), U ( x) = ( x) = , tức tờng cao vô hạn loại bỏ khả tìm thấy hạt giếng thế, hay nói cách khác điểm Biểu diễn trạng thái lợng tử 25 Khoá luận tốt nghiệp x = x = a có thành cứng tuyệt đối không để hạt qua, hạt chuyển động đoạn có chiều dài a Từ đó, ta có điều kiện biên: (0) = (a) = (87) Trong miền < x < a phơng trình d (2x) + 2m2 ( E U ) ( x) = viết dới dạng: h dx d ( x) + k ( x) = dx Trong đó: k = 2mE h2 Giải phơng trình ta tìm đợc nghiệm: ( x) = ASin(kx) + BCos (kx ) Từ điều kiện biên (0) = B = , ( x) = ASin(kx) Từ điều kiện (a) = ta có (a) = ASin(ka) = , ta thu đợc ka = n , n số nguyên dơng Kết ta có: En = h2 k h2 2 = n 2m 2ma (88) Công thức có nghĩa lợng En bị lợng tử hoá Các hàm sóng tơng ứng với mức lợng có dạng: n ( x) = ASin( n x) a (89) Hằng số chuẩn hoá A đợc xác định từ điều kiện chuẩn hoá: n ( x )dx = A2 Sin ( A= n x)dx = a d (90) Vậy hệ hàm riêng trị riêng tơng ứng toán là: n ( x) = n Sin( x) a a (91) Dao động tử điều hoà Phơng trình Schrodinger cho toán dao động tử điều hoà có dạng: d ( x) 2m m x + ( E ) ( x) = dx h2 (92) + Hàm sóng lợng dao động tử điều hoà Hàm ( x) thoả mãn điều kiện liên tục, đơn trị, hữu hạn ( x) = x Biểu diễn trạng thái lợng tử 26 Khoá luận tốt nghiệp Chúng ta đa vào biến số không thứ nguyên cách đặt: m x h = = 2E h 2 Biểu diễn phơng trình d (2 x) + 2m2 ( E m x ) ( x) = qua biến không thứ h dx nguyên ta đợc: d ( ) + ( ) ( ) = d (93) Nghiệm tổng quát hàm sóng thoả mãn phơng trình tìm dới dạng: ( ) = v( ) = exp( )v( ) (94) Với = exp( ) Thay (94) vào phơng trình (93): ' = + exp( )v ' ( ) 1 '' = [ + exp( )v ' ] exp( )v ' + exp( )v '' 2 Ta có phơng trình sau: v '' v ' + ( 1)v = Nghiệm phơng trình đợc tìm dới dạng: v = bk k (95) k =0 Thay (95) vào phơng trình (93), tìm đợc: b [k (k 1) k =0 b k (k 1) k =0 k [ b k =0 k k k k +2 k (2k + ) k ] = bk (2k + ) k = k =0 (k + 2)(k + 1) bk (2k + ) ] = Cho hệ số biến k không, ta tìm đợc hệ thức truy hồi cho hệ số bk : bk + = bk 2k + (k + 2)(k + 1) Biểu diễn trạng thái lợng tử (96) 27 Khoá luận tốt nghiệp Công thức (96) cho phép tính đựơc số hạng chuỗi qua vài số hạng đầu Vì chuỗi bậc k = hay k = 1, công thức truy hồi cho ta hai chuỗi, chuỗi gồm số hạng luỹ thừa chẵn: 2k k =0 k ! b0 + b2 + b4 + b0 (97) Và chuỗi gồm số hạng luỹ thừa lẻ: k k = (2k 1)! b1 + b3 + b5 + b1 (98) Các chuỗi (97) (98) nghiệm riêng phơng trình v '' v ' + ( 1)v = Khi chuỗi v( ) có dạng e trờng hợp giá trị k lớn quan trọng, công thức (97) cho ta: bk + bk k +2 (99) Thay (99) (95) vào (94) ta có hàm số: ( ) = e 2 v( ) Hàm tăng lên vô hạn Những nghiệm nh cần loại bỏ Do đó, ta chấp nhận nghiệm thoả mãn điều kiện hữu hạn : ( ) = e 2 b k =0 = bk e 2 k k k k =0 Nếu tổng bị cắt số hạng tổng vô tận, v( ) đa thức bậc k = n Điều có nghĩa bn 0, bn + Từ (97) ta đợc: 2n + = = 2n + = 2E h Kết cuối cùng: En = h ( n + ) (100) Năng lợng dao động tử điều hoà (100) nhận giá trị gián đoạn, hiệu hai mức lợng liên tiếp cách lợng h Trong trờng n hợp này, ( ) = H n ( ) , đa thức Hermite H n ( ) = (1) e d e n d n Biểu diễn trạng thái lợng tử 28 Khoá luận tốt nghiệp Cuối nhận đợc nghiệm phơng trình Schrodinger cho dao động tử điều hoà: n ( ) = Cn exp( ) H n ( ) (101) Từ điều kiện chuẩn hoá ta tính đợc Cn n ( ) : n ( x) = 1 x x exp[ ( ) ]H n ( ) (102) x0 x0 n ! x0 n Trong đó: h m x0 = = x x0 + Dạng số hàm riêng: ( x) = x exp[ ( ) ] x0 ( x) = x x x0 x0 (103) x exp[ ( ) ] x0 (104) + Nhận xét Công thức (100) cho ta tính giá trị mức lợng dao động tử điều hoà, biểu thức quan trọng học lợng tử Kết khẳng định cách giải thích Planck tơng tác xạ với vật chất, coi vật chất nh tập hợp dao động tử, dao động tử phát xạ tần số Năng lợng dao động tử điều hoà nhận đợc lợng bội lần h Năng lợng tối thiểu dao động tử điều hoà (100) n = khác không 2.5 Biểu diễn xung lợng 2.5.1 Khái quát biểu diễn xung lợng Khi giải toán cụ thể ngời ta dùng biểu diễn xung lợng, hay P biểu diễn mà hệ sở hàm riêng p toán tử xung lợng: p =p p P p ' p '' = ( p ' p '' ) Biểu diễn trạng thái lợng tử (105) (106) 29 Khoá luận tốt nghiệp (107) p p dp = I Hàm sóng biểu diễn xung lợng Trong biểu diễn xung lợng, trạng thái đợc mô tả hàm sóng: p = p (108) Bình phơng môđun hàm p xác định mật độ xác xuất nhận giá trị p đo xung lợng hạt trạng thái cho ( p) = a ( p) Toán tử toạ độ toán tử xung lợng biểu diễn xung lợng + Trong biểu diễn xung lợng ta có: =p P (109) àX p = ih p (110) p = p (111) + Chứng minh toán tử àX P biểu diễn đợc biểu diễn dới dạng ma trận dới dạng toán tử vi phân ih p Theo định nghĩa phần tử ma trận ta viết đợc: x p' p'' = p x p dx = ip ' x ipx exp( )x exp( ) dx h h h = h i( p ' p) x exp( )dx i p h h = ih ( p ' p) p ( x)dx biểu diễn tác dụng áp dụng công thức bm = RmnCn với Rmn = m ( x) R n n toán tử Rà lên hàm sóng dới dạng ma trận: b( p ' ) = x p' pC ( p )dp = ih ( p ' p )C ( p )dp p Lấy tích phân phần ta đợc: Biểu diễn trạng thái lợng tử 30 Khoá luận tốt nghiệp b( p ' ) = [ih ( p ' p )C ( p )] + ih ( p ' p) + C p p dp Từ rút ra: b( p ) = ih C p p Vậy toán tử àX p biểu diễn đợc biểu diễn dới dạng ma trận dới dạng toán tử vi phân ih p 2.5.2 Xét toán cụ thể biểu diễn xung lợng Lấy biểu diễn xung lợng mà hệ hàm riêng là: p = i exp( pr ) h ( h) p p' = ( p p' ) Trong sở hàm nói trên, ma trận toán tử xung lợng tất nhiên ma trận chéo: p àp p ' = p ( p p ' ) (112) Mặt khác, cho toán tử àAr Biểu diễn toán tử có dạng: p àAr p ' = ( h) i ( p p' ) r exp h A ( r ) dr (113) Đặt A( q) = ( h) iqr ữdr h A ( r ) exp biến đổi Fourier hàm A ( r ) , từ (113) thay q p p ' , ta đợc ngay: p àA(r ) p ' = A ( p p ' ) (114) Với kết (110) (112) ta thấy biểu diễn xung lợng toán tử Hamiltonian: ảp à ( r) H= +U 2m Có dạng: p' = p ( p p' ) + U ( p p' ) p H 2m (115) Tơng tự nh thế, ký hiệu: Biểu diễn trạng thái lợng tử 31 Khoá luận tốt nghiệp ( p, t ) = p ( r , t ) thành phần Fourier hàm sóng ( r , t ) sở hàm p , ta viết phơng trình Schrodinger ih = H theo biểu diễn xung lợng Nhân trái pht ơng trình với p , ta đợc: ih p ( r, t ) = p p ( r, t ) + p U ( r, t ) ( r, t ) t 2m Vế trái bằng: ih p ( r , t ) = ih ( p, t ) t t Tơng tự nh thế, so với biểu diễn xung lợng, toán tử àp tác dụng nh phép nhân thông thờng với p, số hạng thứ vế phải viết dới dạng: ả2 ả2 p p ( r, t ) = p ( p, t ) 2m 2m Với số hạng thứ hai vế phải , ta khai triển: i ( r , t ) = ( p ' , t ) exp p 'r ữdp ' h i U ( r , t ) = U ( p '' , t ) exp p ''r ữdp '' h Thành thử số hạng có dạng: i exp h pr ữU ( r , t ) dr i = exp ( p '' + p ' p ) U ( p '' , t ) ( p ' , t ) dp ' dp '' dr h Từ đó, xuất hàm Dirac dạng: ( p '' + p ' p ) lấy tích phân theo r Tiếp theo, lấy tích phân theo p '' lu ý đến tính chất F ( r ) ( r r0 ) dr = F ( r0 ) hàm Dirac, ta thấy số hạng xét có dạng: U ( p p , t ) ( p , t ) dp ' ' ' Cuối cùng, phơng trình Schrodinger theo biểu diễn xung lợng có dạng: ih ( p, t ) = p ( p, t ) + U ( p p ' , t ) ( p ' , t ) dp ' t 2m (116) Đó phơng trình tích phân ( p, t ) Biểu diễn trạng thái lợng tử 32 Khoá luận tốt nghiệp Bây giờ, ta nói đến cách biểu diễn toán tử xung lợng vị trí theo biểu diễn xung lợng Điều giải dựa vào tính chất đối xứng đại lợng vị trí xung lợng hệ hình thức Hamiltonian Quả vậy, học cổ điển, ta có móc Poisson sau: { q ,q } = i j { p,p } =0 i j {q , p } = i j ij Các móc đối xứng qi p j Và tất nhiên, chuyển sang học lợng tử , tính chất đối xứng đợc bảo toàn Do vậy, từ dạng cụ thể toán tử vị trí xung lợng biểu diễn toạ độ: r$= r àp = ih r Ta thu đợc P - biểu diễn dạng toán tử toạ độ toán tử xung lợng àp = p (117) r$= ih p (118) Kết luận Khoá luận với đề tài biểu diễn trạng thái lợng tử tìm hiểu số vấn đề sau: Không gian Hilbert ký hiệu Dirac Biểu diễn trạng thái lợng tử Một số biểu diễn cụ thể trạng thái lợng tử Trong biểu diễn cụ thể trạng thái lợng tử nh ta tìm hiểu số vấn đề nh sau: Dạng hàm sóng biểu diễn Dạng số toán tử biểu diễn Xét toán cụ thể Qua tìm hiểu số vấn đề ta đa đợc số kết luận: Việc dùng ký hiệu Dirac giúp đơn giản hoá đợc nhiều cách viết chứng minh khẳng định toán học Với sở mà ta chọn ta đợc biểu diễn biểu diễn lợng, biểu diễn toạ độ, biểu diễn xung lợng, Dù ta dùng biểu diễn hay biểu diễn khác để mô tả biến đổi hệ lợng tử kết tơng đơng Việc ta Biểu diễn trạng thái lợng tử 33 Khoá luận tốt nghiệp chọn biểu diễn xuất phát từ toán cụ thể, để thuận tiện việc tính toán Vinh, 05/2008 Tài liệu tham khảo Cơ học lợng tử Phạm Quý T, Đỗ Đình Thanh Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 2005 Cơ học lợng tử Nguyễn Xuân Hãn Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 1998 Nhập môn học lợng tử: Cơ sở phơng pháp Nguyễn Hoàng Phơng Nhà xuất giáo dục, 1998 Cơ học lợng tử - Đặng Quang Khang Nhà xuất khoa học kỹ thuật Hà Nội, 1996 Bài tập vật lý lý thuyết (Tập Cơ học lợng tử Vật lý thống kê) Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tờng Nhà xuất giáo dục, 2007 Giáo trình vật lý lý thuyết (Tập 1: Các định luật bản) A.X Kompanheetx Nhà xuất Đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội Nhà xuất Mir Maxcơva Biểu diễn trạng thái lợng tử 34 Khoá luận tốt nghiệp Mục lục Trang Mở đầu Chơng Ký hiệu Dirac không gian Hilbert 1.1 Ký hiệu Dirac 1.1.1 Ký hiệu Dirac 1.1.2 Một số tính chất ký hiệu Dirac 1.1.3 Nhận xét 1.2 Không gian Hilbert 1.2.1 Không gian tuyến tính n chiều 1.2.2 Không gian Euclide n chiều 1.2.3 Không gian Hilbert Chơng Biểu diễn trạng thái lợng tử 2.1 Khái niệm biểu diễn trạng thái lợng tử 12 2.1.1 Khái niệm biểu diễn trạng thái lợng tử 12 2.1.2 Các cách biểu diễn khác trạng thái lợng tử 2.2 Cơ học lợng tử F biểu diễn 14 2.3.Biểu diễn lợng 16 2.3.1 Khái quát biểu diễn lợng 16 2.3.2 Một số toán cụ thể biểu diễn lợng 2.4 Biểu diễn toạ độ 24 2.4.1 Khái quát biểu diễn toạ độ 24 2.4.2 Một số toán biểu diễn toạ độ 27 2.5 Biểu diễn xung lợng 32 2.5.1 Khái quát biểu diễn xung lợng 32 2.5.2 Xét toán cụ thể biểu diễn xung lợng .33 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Biểu diễn trạng thái lợng tử 12 12 18 35 [...]... Hilbert 9 Chơng 2 Biểu diễn các trạng thái lợng tử 2.1 Khái niệm về biểu diễn các trạng thái lợng tử 12 2.1.1 Khái niệm biểu diễn các trạng thái lợng tử 12 2.1.2 Các cách biểu diễn khác nhau các trạng thái lợng tử 2.2 Cơ học lợng tử trong F biểu diễn 14 2.3 .Biểu diễn năng lợng 16 2.3.1 Khái quát về biểu diễn năng lợng 16 2.3.2 Một số bài toán cụ thể trong biểu diễn năng lợng 2.4 Biểu diễn toạ độ ... luận với đề tài biểu diễn các trạng thái lợng tử đã tìm hiểu một số vấn đề sau: 1 Không gian Hilbert và ký hiệu Dirac 2 Biểu diễn các trạng thái lợng tử 3 Một số biểu diễn cụ thể các trạng thái lợng tử Trong mỗi biểu diễn cụ thể các trạng thái lợng tử nh vậy ta đi tìm hiểu một số vấn đề nh sau: 1 Dạng của hàm sóng trong biểu diễn đó 2 Dạng của một số toán tử trong biểu diễn đó 3 Xét các bài toán cụ... gian Hilbert Định nghĩa toán tử tuyến tính và các phép toán đại số cơ bản cho các toán tử liên hợp, liên hợp écmit và định luật đối ứng ma trận với toán tử, đều đợc áp dụng trong không gian Hilbert Chơng 2: biểu diễn các trạng thái lợng tử 2.1 Khái niệm về biểu diễn các trạng thái lợng tử 2.1.1 Khái niệm biểu diễn các trạng thái lợng tử Ta biết rằng, trong cơ học lợng tử trạng thái của một hạt hay hệ hạt... thể đơn giản hoá đợc nhiều cách viết và chứng minh các khẳng định toán học 2 Với mỗi cơ sở mà ta chọn ta đợc một biểu diễn biểu diễn năng lợng, biểu diễn toạ độ, biểu diễn xung lợng, Dù ta dùng biểu diễn này hay biểu diễn khác để mô tả sự biến đổi của hệ lợng tử thì các kết quả là tơng đơng nhau Việc ta Biểu diễn các trạng thái lợng tử 33 Khoá luận tốt nghiệp chọn biểu diễn nào là xuất phát từ bài... ta có hai biểu diễn: F - biểu diễn và G - biểu diễn Khi đó, ta có: - Trong F - biểu diễn: à f = f f F = f f f f = j à nào đó: Với toán tử Q à f '' Q f ' f '' = f ' Q - Trong G - biểu diễn: Biểu diễn các trạng thái lợng tử 14 Khoá luận tốt nghiệp à g =g g G = g g g g = g à g '' Qg ' g '' = g ' Q à : Với toán tử Q Vấn đề là biểu diễn g và Qg g qua hệ hàm riêng của toán tử Fà ' '' Ta có: g = g... F - biểu diễn sang G - biểu diễn ta phải biết đợc hàm sóng gf = f g = g f trong F biểu diễn, tức là hàm sóng mô tả trạng thái tơng à ứng với vectơ riêng của toán tử Q 2.3 Biểu diễn năng lợng 2.3.1 Khái quát về biểu diễn năng lợng Trong biểu diễn năng lợng, hệ cơ sở của nó là các hàm riêng của toán tử Hamiltonian Phơng trình Schrodinger có dạng: ih (t ) à = H (t ) t (38) Hàm sóng trong biểu diễn. .. xác định nh sau: Biểu diễn các trạng thái lợng tử 22 Khoá luận tốt nghiệp x ' x '' = ( x ' x '' ) x x dx = I (64) (65) Hàm sóng trong biểu diễn toạ độ Trạng thái trong biểu diễn toạ độ đợc mô tả bằng tập hợp liên tục các thành phần x: = x x (66) x = x = ( x) (67) x Trong đó, hàm ( x) đợc gọi là hàm sóng trong biểu diễn toạ độ Dạng của toán tử trong biểu diễn toạ độ + Một toán tử bất kỳ tơng... dao động tử điều hoà (100) khi n = 0 khác không 2.5 Biểu diễn xung lợng 2.5.1 Khái quát về biểu diễn xung lợng Khi giải bài toán cụ thể đôi khi ngời ta dùng biểu diễn xung lợng, hay P biểu diễn mà hệ cơ sở là các hàm riêng p của toán tử xung lợng: à p =p p P p ' p '' = ( p ' p '' ) Biểu diễn các trạng thái lợng tử (105) (106) 29 Khoá luận tốt nghiệp (107) p p dp = I Hàm sóng trong biểu diễn xung... diễn 2.1.2 Các cách biểu diễn khác nhau các trạng thái lợng tử Trong cơ học lợng tử trạng thái của vi hạt đợc mô tả bằng hàm sóng hay là vectơ trạng thái là vectơ trong không gian Hilbert Nhng ta biết rằng trong không gian Hilbert các trạng thái này chúng ta có thể dùng các cơ sở khác nhau để xét bài toán Thông thờng ngời ta chọn các cơ sở này là hệ các hàm riêng trực chuẩn của toán tử Hermite Với... không gian, ta có biểu diễn năng lợng, hay các vectơ riêng của H E biểu diễn + Nếu ta chọn cơ sở trực chuẩn là hệ Yl m ( , ) - các hàm riêng của toán tử momen xung lợng thì cách mô tả này của hàm sóng và toán tử động lực đợc gọi là biểu diễn momen xung lợng Tuy nhiên, do các hệ cơ sở là bình đẳng nên tất cả các biểu diễn đều tơng đơng nhau Vì vậy, việc chọn biểu diễn này hay biểu diễn khác chỉ xuất ... Hilbert Chơng Biểu diễn trạng thái lợng tử 2.1 Khái niệm biểu diễn trạng thái lợng tử 12 2.1.1 Khái niệm biểu diễn trạng thái lợng tử 12 2.1.2 Các cách biểu diễn khác trạng thái lợng tử 2.2 Cơ... Dirac Biểu diễn trạng thái lợng tử Một số biểu diễn cụ thể trạng thái lợng tử Trong biểu diễn cụ thể trạng thái lợng tử nh ta tìm hiểu số vấn đề nh sau: Dạng hàm sóng biểu diễn Dạng số toán tử biểu. .. Nh vậy, cách tơng tự (6) ta có đợc: Hàm sóng trạng thái a L biểu diễn: L a Hàm sóng trạng thái a E biểu diễn: En a Hàm sóng trạng thái a P biểu diễn: P a Biểu diễn trạng thái lợng tử Khoá