Biểu diễn số nguyên tố

Riemann giới thiệu Giải tích phức thành lý thuyết về hàm zeta Riemann và dẫn đến mối quan hệ giữa các không điểm của hàm zeta và sự phân bố số nguyên tố.. Vì vậy, bài toán tìm các thuật

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại Học Vinh -

Lê nguyệt nga

bIểU DIễN Số NGUYÊN Tố

luận văn thạc sĩ toán học

Vinh - 2010

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại Học Vinh -

Lê nguyệt nga bIểU DIễN Số NGUYÊN Tố

luận văn thạc sĩ toán học

Chuyên ngành: Đại số Mã số: 60.46.05

Ngời hớng dẫn khoa học:

PGS.TS Nguyễn Thành Quang

Vinh - 2010

1.3 ThuËt to¸n nguyªn tè

9

Ch¬ng 2 BiÓu diÔn sè nguyªn tè 16

2.2 BiÓu diÔn sè nguyªn tè díi d¹ng tæng c¸c b×nh ph¬ng

1.3 ThuËt to¸n nguyªn tè

9

Ch¬ng 2 BiÓu diÔn sè nguyªn tè 16

2.2 BiÓu diÔn sè nguyªn tè díi d¹ng tæng c¸c b×nh ph¬ng

Một vấn đề cơ bản trong Số học đó là các nghiên cứu về số nguyên tố

Có thể nói “Tập hợp số nguyên tố là mỏ vàng của Số học” Đề tài về số

nguyên tố vẫn tiếp tục phát triển và ngày càng hấp dẫn đối với các nhà toán

học Carl Fiedrich Gauss đã dự đoán kết quả của định lý số nguyên tố khi còn

là học sinh trung học Chebyshev (1850) đưa ra các chặn cho số số nguyên tố giữa hai giới hạn cho trước Riemann giới thiệu Giải tích phức thành lý thuyết

về hàm zeta Riemann và dẫn đến mối quan hệ giữa các không điểm của hàm

zeta và sự phân bố số nguyên tố A Wiles chứng minh Định lý lớn Fermat có

sử dụng công cụ biểu diễn L- hàm p –adic, với p là số nguyên tố

Ngày nay, các kết quả của số nguyên tố có nhiều ứng dụng trực tiếptrong lý thuyết mật mã, tin học

Vì vậy, bài toán tìm các thuật toán và dạng biểu diễn của số nguyên tố

có ý nghĩa trong thực tiễn giảng dạy và nghiên cứu Toán – Tin học

Hiện nay, trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán – Tin học Quốc gia vàQuốc tế các bài toán về biểu diễn số nguyên tố là một mảng kiến thức quantrọng trong cấu trúc của đề thi và để giải được các bài toán đó luôn là trăn trở

của mỗi học sinh cũng như các thầy cô giáo đang trực tiếp giảng dạy ở cáctrường THPT, các trường THPT Chuyên trong cả nước Tất cả điều trên là lý

do để chúng tôi lựa chọn đề tài “Biểu diễn số nguyên tố” Mục đích chính

của luận văn là tìm các dạng biểu diễn của số nguyên tố

Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận vàdanh mục các tài liệu tham khảo

Trong chương 1, chúng tôi trình bày các thuật toán kiểm tra nguyên tố

và chương trình kiểm tra hai số nguyên tố tương đương và giới thiệu một sốloại số nguyên tố

Trong chương 2, chúng tôi trình bày các dạng biểu diễn của số nguyên

tố gồm: Biểu diễn số nguyên tố dưới dạng tổng các bình phương, Biểu diễn sốnguyên tố dưới dạng tổng các bình phương mở rộng từ đó đưa ra một số ứngdụng của bài toán biểu diễn số nguyên tố

Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn nghiêm túc và chu đáo củaPGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng kínhtrọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Nguyễn ThànhQuang

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS Ngô Sỹ Tùng,PGS.TS Lê Quốc Hán, TS Mai Văn Tư, TS Nguyễn Thị Hồng Loan và cácthầy cô giáo trong Bộ môn Đại số và Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau Đại học

đã tận tâm dạy bảo chúng em trong thời gian học tập vừa qua

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người bạn học viên caohọc khoá 16 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số đã tận tình giúp đỡ trongquá trình học tập và hoàn thành luận văn

Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận được

sự chỉ bảo của các thầy cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp

Tác giả

CHƯƠNG 1 THUẬT TOÁN NGUYÊN TỐ

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kết quả về số nguyên tố;giới thiệu một số loại số nguyên tố và thuật toán kiểm tra nguyên tố và thuậttoán kiểm các số nguyên tố tương đương

1.1 Số nguyên tố

1.1.1 Định nghĩa Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn 1, không chia hết cho

số nguyên dương nào ngoài 1 và chính nó (không có ước thực sự) Một số

nguyên lớn hơn 1 và không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số.

Các số nguyên tố từ 2 đến 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,

41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

1.1.2 Định lý Ước nhỏ nhất khác 1 của số tự nhiên lớn hơn 1 là số nguyên

tố.

Chứng minh Giả sử a là một số tự nhiên lớn hơn 1 và p là ước nhỏ nhất

khác 1 của a Nếu p là hợp số, khi đó p có một ước thực sự q sao cho

p

q<

<

1 Vì p là ước của a nên q cũng là ước của a , điều này mâu thuẫn

với giả thiết p là ước nhỏ nhất khác 1 của a g

1.1.3 Định lý Có vô hạn số nguyên tố.

Chứng minh Giả sử chỉ có hữu hạn các số nguyên tố p , ,p (k 1)1 k ≥ , ta đặt

1 2 k

a p p p= +1

Theo Định lý 1.1.2, ước nhỏ nhất p khác 1 của a là số nguyên tố Vì

chỉ có hữu hạn các số nguyên tố ở trên, cho nênp= p j nào đó Từ đó suy ra,

số nguyên tố p là ước của 1 Ta gặp phải một mâu thuẫn g

Ngay từ thời cổ đại, người ta đã biết rằng tập hợp các số nguyên tố là

vô hạn Có rất nhiều chứng minh khác nhau của sự kiện đó Không chỉ quantâm đến tập hợp các số nguyên tố, trong nhiều vấn đề của lý thuyết và ứng

dụng, người ta còn cần biết có hữu hạn hay vô hạn số nguyên tố biểu thị trong

một dạng nào đó Chẳng hạn, cho số n lấy các giá trị nguyên dương, có Giả thuyết: Tập hợp các số nguyên tố dạng n2 +1 là vô hạn

1.1.4 Giả thuyết Goldbach Mọi số nguyên chẵn lớn hơn 2 đều có thể viết

dưới dạng tổng của hai số nguyên tố.

Biểu diễn một số nguyên dưới dạng nào đó luôn luôn là bài toán thu hút

sự quan tâm của nhiều người Hơn nữa, nhiều khi cần trả lời câu hỏi: có baonhiêu cách Một câu hỏi thuộc hướng trên là một giả thuyết lớn

Giả thuyết Goldbach là một trong những giả thuyết nổi tiếng nhất củaToán học Giả thuyết này được C Goldbach phát biểu trong bức thư gửi Eulernăm 1742 Người ta đã kiểm tra được rằng giả thuyết đúng với các số nguyênchẵn không quá 1000000, thế nhưng câu trả lời cho trường hợp tổng quát vẫn

là một bài toán mở

Bài toán xác định một số cho trước có phải là số nguyên tố hay không,

có nhiều ứng dụng trong thực tiễn Đối với những số nhỏ, bài toán đó là đơngiản Tuy nhiên khi làm việc với số lớn (có khoảng 100 chữ số thập phân trởlên) ta cần phải tìm ra một thuật toán hữu hiệu để có thể thực hiện trên máytính trong khoảng thời gian chấp nhận được Định lý sau đây cho một thuậttoán đơn giản để xác định các số nguyên tố

1.1.5 Định lý Mọi hợp số n đều có ước nguyên tố không vượt quá n

Chứng minh Vì n là hợp số nên ta có thể viết n=ab,trong đó b a, là các số

nguyên với 1<a≤b<n. Rõ ràng ta phải có a hoặc b không vượt quá n.Giả sử đó là a , khi đó ước nguyên tố của a cũng chính là ước nguyên tố của

n

Từ định lý trên, ta có thuật toán sau đây để tìm ra các số nguyên tố nhỏhơn hoặc bằng số n>1 cho trước

1.1.6 Sàng Eratosthenes Trước tiên, ta viết dãy số từ 1 đến n Trong dãy đó

gạch đi số 1, vì nó không phải là số nguyên tố Số nguyên tố đầu tiên là 2.Tiếp đến ta gạch tất cả những số trong dãy chia hết cho 2 Số đầu tiên khôngchia hết cho 2 là 3 Số 3 là số nguyên tố Ta lại gạch các số chia hết cho 3 cònlại trong dãy Tiếp tục như thế, ta gạch khỏi dãy những số chia hết cho mộttrong các số nguyên tố bé hơn hoặc bằng n Theo định lý trên, những số còn.lại của dãy không bị gạch là tất cả các số nguyên tố không vượt quá n Thật

vậy, những số này không có ước nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng căn bậc haicủa nó, cho nên phải là số nguyên tố

Sàng Eratosthenes cho ta một thuật toán xác định mọi số nguyên tốkhông vượt quá một số cho trước Tuy nhiên sẽ rất khó khăn khi ta phải làmviệc với các số lớn Nguyên nhân là vì thuật toán có độ phức tạp quá lớn: taphải thực hiện phép chia cho tất cả các số nguyên tố không vượt quá căn n

1.1.7 Định lý cơ bản của Số học Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 có thể viết một

cách duy nhất (không kể sự sai khác về thứ tự các thừa số) thành tích các thừa số nguyên tố.

Chứng minh * Phân tích các số: Trước hết, mỗi số nguyên tố là tích của một

thừa số là chính nó Giả sử rằng có các số nguyên dương lớn hơn 1 không biểu diễn được thành tích các số nguyên tố Khi đó, gọi n là số nhỏ nhất trong các số đó Số n này khác 1 và là hợp số Do đó n = ab, trong đó cả a và b là

các số nguyên dương nhỏ hơn n Vì n là số nhỏ nhất không thể phân tíchthành tích các số nguyên tố nên cả a và b phân tích được thành tích các sốnguyên tố Nhưng khi đó n = a.b lại phân tích được Điều này mâu thuẫn vớigiả thiết

* Chứng minh cách biểu diễn trên là duy nhất: Ta giả sử rằng tồn tại sốnguyên lớn hơn 1 mà có hai cách biểu diễn dưới dạng tích các thừa số nguyên

tố Khi đó giả sử s là số nhỏ nhất trong các số như vậy, tức là s=

1 2 m 1 2 n

p p p =q q q với p ,q là các số nguyên tố Do i j p chia hết cho 1 q q q1 2 n

suy ra tồn tại q mà j p chia hết 1 q Từ đó ta có j p1 =qj, giản ước 2 số nguyên

tố ra khỏi đẳng thức ta được 2 vế là 2 khai triển khác nhau của số s chia cho

1

p , mà theo giả thuyết s là số nhỏ nhất như vậy, mâu thuẩn này chứng tỏ giảthiết là sai Vậy mỗi số nguyên lớn hơn 1 chỉ có một biểu diễn duy nhất dướidạng tích các thừa số nguyên tố (không kể đến thứ tự các thừa số).g

1.2 Giới thiệu một số loại số nguyên tố

13, 37, 73, 181, 337, 433, 541, 661, 937, 1093, 2053, 2281, 2521, 30373313.

25 Số nguyên tố Wolstenholme: 16843, 2124679.

26 Số nguyên tố đối xứng: Là một số nguyên tố bằng trung bình cộng của 2

số nguyên tố liền trước và liền sau nó.Với P là số nguyên tố thứ n, một sốn

nguyên tố là đối xứng khi thỏa mãn

n 1 n 1 n

27 Số nguyên tố mạnh (yếu) Khi một số nguyên tố lớn hơn trung bình cộng

hai số nguyên tố nằm cạnh nó, nó được gọi là số nguyên tố mạnh, nếu nhỏhơn là số nguyên tố yếu

28 Số nửa nguyên tố Là số tự nhiên được tạo thành từ tích của hai số

nguyên tố (không nhất thiết phân biệt) Một vài số nửa nguyên tố đầu tiên là:

đề này đã thu hút sự quan tâm của nhiều người trong một thời gian dài Thuậttoán AKS sử dụng những kiến thức sơ cấp với ý tưởng rất rõ ràng Thuật toánxuất phát từ ý tưởng sau đây:

Số nguyên p là số nguyên tố khi và chỉ khi đẳng thức sau đúng với một

số nguyên nào đó nguyên tố cùng nhau với p:

p p

(x a)− ≡x −a (mod p).Việc kiểm tra đồng dư thức trên không phải đơn giản (khi p đủ lớn),cho nên người ta cho rút gọn hai vế của đẳng thức trên theo môđun đa thức:

r

x −a với r là một số nguyên tố có tính chất đặc biệt sẽ được mô tả trong

thuật toán và sau đó lại rút gọn các hệ số của kết quả thu được hai đa thứctheo môđun p Tức là

(x a)− ≡x −a(mod x −1,p)

Đồng dư thức sau có thể xảy ra trong một số trường hợp p là hợp số nhưng

người ta đã chứng minh được rằng không hợp số p nào thoả mãn với mọi anằm trong khoảng 1< <a 2 rlogp Như vậy, kiểm tra đồng dư thức trên đối

với a sẽ tương đương với kiểm tra tính nguyên tố của p và có độ phức tạp đa

Buớc 2 Kiểm tra r n< Nếu đúng thực hiện tiếp bước 3.

Bước 3 Kiểm tra gcd (n, r) nếu r khác 1 thì kết thúc và cho in ra “hợp số”

Nếu r là 1 thì kiểm tra tính nguyên tố của r Khi r là nguyên tố ta thực hiện tiếp bước 4 Nếu không ta tăng r lên 1 đơn vị rồi quay trở lại bước 2

Bước 4 Gọi q là ước nguyên tố nhỏ nhất của r – 1, tiến hành kiểm tra nếu

1 2

Bước 5 Kiểm tra a≤2 rlogn Nếu đúng ta thực hiện tiếp bước 6, nếu sai takết thúc và cho in ra “nguyên tố”.

Bước 6 Nếu (x a− )n ≡x n −a(modx r −1, )n ta kết thúc và in ra hợp số, ngượclại ta tăng a lên 1 rồi quay trở lại bước 5

1.3.2 Thuật toán kiểm tra số nguyên tố trong Maple

Muốn kiểm tra một số có phải nguyên tố không ta dùng lệnh :

Tìm số nguyên tố thứ k trong dãy các số nguyên tố bằng lệnh :

[> ithprime ( k )

Ví dụ Tìm số nguyên tố thứ một triệu như sau:

[> ithprime(1000000);

15485863

1.3.3 Phân tích một số nguyên ra thừa số nguyên tố

Muốn phân tích một số nguyên ra thừa số nguyên tố cho kết quả một cách thông thường ta dùng lệnh:

Trong đó thành phần thứ nhất là 1 hoặc -1 tuỳ theo số a là âm hay dương, a[i]

là các thừa số nguyên tố, còn b[i] là luỹ thừa của nó trong khai triển

Ví dụ.

[> ifactors(-467112123);

-1, 3, 3 [ [ ], 31, 1 [ ], 313, 1 [ ], 1783, 1 [ ] ]

1.3.4 Định nghĩa Hai số nguyên dương được gọi là nguyên tố tương đương

nếu chúng có cùng các ước số nguyên tố Khái niệm này có thể mở rộng với n

số nguyên tố tương đương

Ví dụ 15 và 75 là các số nguyên tố tương đương Bởi vì 15 = 3.5 trong khi 75

=3.5.5, có cùng ước số nguyên tố là 3 và 5 Tuy nhiên 12 và 60 không nguyên

tố tương đương Hãy viết chương trình kiểm tra 2 số có nguyên tố tươngđương hay không Mở rộng với n số nguyên tố tương đương Dữ liệu của cảhai bài toán này có thể nhập từ bàn phím hay file đều được

1.3.5 Chương trình kiểm tra hai số nguyên tố tương đương

1 Phương pháp dùng mảng và dùng mảng trung gian để lưu trữ thừa số nguyên tố của 2 số

Phân tích M và N ra thừa số nguyên tố Lưu các thừa số khác nhau vàomảng Duyệt 2 mảng Nếu có phần tử khác nhau thì không tương đương

Code chương trình 1:

Program nttd; Var m,n,d,i:integer; function USCLN(m,n:integer):integer; Varr:integer; Begin While n0 do Begin r:=m mod n; m:=n; n:=r; End;USCLN:=m; end; Begin write(' Nhap M,N:'); Readln(M,N);d:=USCLN(M,N); i:=2; while d1 do Begin if d mod i =0 then Begin While dmod i =0 do d:=d div i; While M mod i =0 do M:= M div i; While N mod i =0

do N:=N div i; End; inc(i); End; if M*N=1 then write('M va N la nguyen totuong duong') else write('M va N khong nguyen to tuong duong'); Readln End

2 Phương pháp phân tích Gọi 2 số nhập vào là k và l Với mọi số i mà k

chia hết cho i, ta sẽ rút hết thừa số i trong k ra, đồng thời nếu l chi hết cho i thì

ta cũng rút hết thừa số i trong l ra Ta sẽ tiếp tục như thế cho đến khi k = 1.Khi đó nếu l = 1 thì hai số k va l nguyên tố tương đương, ngược lại nếu l>1thì hai số trên không nguyên tố tương đương

Code của chương trình 2

clrscr;

write('nhap vao so thu nhat: ');readln(k);

write('nhap vao so thu hai : ');readln(l);

while k mod i<>0 do inc(i);

while k mod i=0 do k:=k div i;

while l mod i=0 do l:=l div i;

1.3.6 Chương trình kiểm tra n số nguyên tố tương đương

while k mod i<>0 do inc(i);

while k mod i=0 do k:=k div i;

for j:=1 to n do

while a[j] mod i=0 do a[j]:=a[j] div i;

end;

CHƯƠNG 2 BIỂU DIỄN SỐ NGUYÊN TỐ 2.1 Biểu diễn số nguyên tố dưới dạng tổng các bình phương

2.1.1 Mệnh đề Cho p là số nguyên tố Khi đó, phương trình x2 +y2 = p có nghiệm nguyên không âm khi và chỉ khi p không có dạng 4k + 3.

Chứng minh a) Xét điều kiện cần:

Giả sử phương trình x2 +y2 =p, (1)

có nghiệm nguyên không âm (x, y) với p = 4k + 3 Trước hết từ đẳng thức

x2 +y2 =p , (2)

ta suy ra p 3≠

Do p = 4k + 3 mà p 3≠ , nên p = 4k + 3, với k nguyên dương Dùng kết

quả: “Giả sử p là số nguyên tố có dạng 4k + 3, với k nguyên dương Nếu a,b

là các số nguyên mà (a2 +b2 ) Mp thì a p M và b p M ” từ (1) ta suy ra, y pM từ đó

2 2 2

)

(x +y pM , do vậy p pM Điều này mâu thuẫn với p > 1.2

b) Xét điều kiện đủ:

Giả sử p là số nguyên tố và không có dạng 4k + 3 Xét các khả năng sau:

- Nếu p = 2, thì rõ ràng phương trình x2 +y2 =2 nhận (1,1) làm nghiệm.

(−1) − = (−1) ≡1 (mod p), vậy -1 là số chínhphương modp Theo định nghĩa của số chính phương modp, suy ra tồn tại

a∈ ¥ sao cho a 2 ≡−1(mod p) Đặt q=   p, ở đây qua p  để chỉ phầnnguyên của số p Xét (q 1+ ) 2 số sau :

{x + ay}, x = 0, 1, …, q ; y = 0, 1,…, q

- Mọi số nguyên tố p có dạng 4k+3, không thể biểu diễn được thành

tổng của hai bình phương.

2.1.2 Bổ đề Giả sử các phương trình x 2 + y 2 = m; x 2 + y 2 = n đều có nghiệm nguyên không âm, ở đây m và n là các số nguyên dương Khi đó phương trình

x 2 + y 2 = mn cũng có nghiệm nguyên không âm.