Khái quát về trạng thái lượng tử rời rạc và các biến số liên tục

LỜI CẢM ƠN Lần làm quen với công việc nghiên cứu khoa học em không tránh khỏi bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên giúp đỡ, động viên nhiệt tình thầy, giáo khoa em hồn thành đề tài Qua em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn ThS Nguyễn Minh Vương người tận tình giúp đỡ bảo em suốt q trình hồn thành đề tài Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô khoa Vật lý giúp đỡ em nhiều trình làm việc nghiên cứu khoa học Cuối em muốn gửi lời cảm ơn tới người thân ln ln bên cạnh động viên em trình học tập, tìm hiểu, nghiên cứu khoa học Sinh viên thực NGUYỄN THỊ NHUNG A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong hai thập kỉ qua, khoa học thông tin lượng tử trở thành lĩnh vực thu hút nhiều quan tâm nhà khoa học Nó xem lĩnh vực có khả tạo đột phá mạnh mẽ lĩnh vực khoa học kỹ thuật có liên quan đến tính tốn, thơng tin liên lạc, phép đo xác khoa học lượng tử Claude Shannon đặt móng lý thuyết thông tin năm 1948 Cuốn sách ông “A Maththemathical Theroy of Communication ” (Một lý thuyết toán học truyền thơng tin) xuất Tạp chí Bell System Technical sở cho phát triển tồn viễn thơng diễn suốt năm thập kỷ qua Lý thuyết thông tin cổ điển Claude Shanon phát minh cách 50 năm phát triển trở thành nhánh sai đẹp ngành toán học Hiện nay, thật lý thuyết khơng thể thiếu lĩnh vực công nghệ thông tin, đâu mà thông tin lưu trữ xử lý Mặc dù có thành cơng khơng thể phủ nhận song thông tin cổ điển cịn tồn nhiều hạn chế bám rễ phạm vi vật lý cổ điển Chính vậy, việc nghiên cứu áp dụng lý thuyết lượng tử vào việc xử lý thông tin thơi thúc nhà khoa học,và gần đây, mang lại nhiều thành công đáng kinh ngạc Kể từ năm 1990, Khi Max Planck đề xuất giả thuyết tính gián đoạn xạ điện từ phát từ vật - giả thuyết lượng tử - để giải thích kết thực nghiệm xạ nhiệt vật đen vật lý học lượng tử đời Sự xuất vật lý lượng tử thuyết tương đối lả cách mạng ngành vật lý học vào cuối kỷ 19 đầu kỷ 20 sở khoa học nhiều ngành Chính vậy, việc nghiên cứu áp dụng lý thuyết lượng tử vào việc xử lý thông tin thúc nhà khoa học,và gần đây, mang lại nhiều thành cơng đáng kinh ngạc Vì thế, việc tìm hiểu nghiên cứu khoa học thông tin lượng tử việc làm hợp thời đại Đó lý để chọn đề tài “ Khái quát trạng thái lượng tử rời rạc biến số liên tục” Nó giúp thân em có nhìn sâu sắc vật lý lượng tử Mục đích nghiên cứu Khái quát trạng thái lượng tử rời rạc biến số liên tục Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu sở lý thuyết thông tin lượng tử Đối tượng nghiên cứu Cơ sở lý thuyết thông tin lượng tử Phương pháp nghiên cứu Đọc nghiên cứu tài liệu Các phương pháp vật lý lý thuyết Cấu trúc đề tài Chương 1: Khái quát thông tin lượng tử 1.1 Giới thiệu 1.2 Các khái niệm 1.2.1 Bit lượng tử 1.2.2 Rối lượng tử Chương 2: Trạng thái lượng tử rời rạc biến số liên tục 2.1 Giới thiệu 2.2 Hệ thống lượng tử hữu hạn chiều 2.2.1 Trạng thái lượng tử 2.2.2 Hoạt động lượng tử 2.3 Các biến số liên tục 2.3.1 Giai đoạn không gian 2.3.2 Trạng thái Gaussian 2.3.3 Gaussian unitaries 2.3.4 Kênh Gaussian 2.3.5 Các phép đo Gaussian 2.3.6 Hoạt động không Gaussian TÀI LIỆU THAM KHẢO B NỘI DUNG CHƯƠNG GIỚI THIỆU VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THÔNG TIN LƯỢNG TỬ 1.1 Giới thiệu Những nghiên cứu học lượng tử thời gian gần hướng đến lĩnh vực Khoa học thông tin lượng tử Việc áp dụng vật lý lượng tử công nghệ thơng tin làm thay đổi hẳn cách giao tiếp xử lý thông tin Điều mấu chốt tìm hiểu lĩnh vực tách biệt rõ ràng dấu hiệu hàng ngày thông tin cổ điển đối ứng lượng tử trực giác Thơng tin cổ điển bị đọc chép lại y nguyên mà không để lại dấu vết đọc trộm chép Trong đó, thơng tin lượng tử chép nguyên vẹn đọc trộm bị phát Đây đặc điểm quan trọng học lượng tử mà tận dụng để trao đổi thông tin cách hoàn toàn tuyệt mật Các trạng thái rối lượng tử cịn tạo mức độ song song tính tốn cao hẳn máy tính có kích thước vũ trụ Đó tính tốn thực cách hồn tồn mới, gọi tính tốn lượng tử Năm 1985, David Deutsch giới thiệu máy tính lượng tử cho thấy lý thuyết lượng tử giúp máy tính thực cơng việc nhanh nhiều Trong máy tính số ngày xử lý thơng tin cổ điển mã hố theo bit máy tính lượng tử lại xử lý thơng tin lượng tử theo qubit Máy tính lượng tử sử dụng để thực thi nhiệm vụ khó thực máy tính số thơng thường Ví dụ, siêu máy tính số ngày phải thời gian dài tuổi thọ vũ trụ để tìm thừa số nguyên tố số nguyên lớn có khoảng vài trăm chữ số, khí máy tính lượng tử thực nhiệm vụ khoảng chưa đầy giây Những phát triển gần lý thuyết thông tin lượng tử đem lại nhiều tiến hiểu biết học lượng tử khả ứng dụng rộng rãi vào cơng nghệ tương lai.Những ý tưởng tính tốn lượng tử xuất phát từ việc cho máy tính thực chất hệ vật lý q trình tính tốn q trình vật lý Đến thời điểm việc áp dụng quy luật học lượng tử để xử lý thơng tin tính tốn khơng thể tránh khỏi 1.2 Các khái niệm 1.2.1 Bit lượng tử Đơn vị thông tin cổ điển bit Một bit nhận hai giá trị chứa lượng thông tin nhỏ Một bit thực hố hệ vật lý đơn giản ví dụ tín hiệu điện “tắt’ “mở” Q trình sử lý thông tin cổ điển liên quan đến việc làm để lập mã, giải mã, lưu trữ, truyền bảo mật thơng tin cổ điển mà mơ tả bit theo cách có hiệu Shannon, cơng trình mình, giải vấn đề để giải nén truyền cách đáng tin cậy thông tin cổ điển Về ngun tắc, thơng tin mã hố bit đọc trộm mà khơng biết chép mà không để lại dấu vết nguyên Cơ học lượng tử sử dụng hai công cụ chủ yếu để mô tả tự nhiên: đại lượng vật lý quan sát véctơ trạng thái Mỗi đại lượng vật lý ứng với toán tử Hermitic Giá trị đo đại lượng vật lý tuỳ thuộc vào việc đo véctơ trạng thái Khác với vật lý cổ điển, vật lý lượng tử cho phép chồng chập tuyến tính (hay tổ hợp tuyến tính) nhiều trạng thái khác Chúng ta xét hạt lượng tử A giả sử x1 biểu diễn trạng thái hạt xung quanh vị trí x 1, x biểu diễn trạng thái hạt xung quanh vị trí x2 Ví dụ, giả sử hai giếng hệ riêng biệt hình vẽ hình 1.1 Trong đó, trạng thái x1 x xem bó sóng Gauss Trong hạt cổ điển giếng giếng hạt lượng tử trạng thái chồng chập hai trạng thái lúc phép đo thực để tìm vị trí Một trạng thái chồng chập tuyến tính nơi mà hạt A ( x + e iφ x , (1.2) / thừa số chuẩn hoá φ thừa số pha Mỗi lần đo toạ độ hạt A xem thật đâu trạng thái (1.2) xẹp xuống hạt A tìm thấy xung quanh x1 x2 với xác suất bằn 1/2 Hình 1.1: Sơ đồ chồng chập tuyến tính hai bó sóng Gauss giếng kép Một hạt cổ điển phải hai giếng vào thời điểm hạt lượng tử chồng chập hai trạng thái khác giống (c) Một điểm đáng ý trạng thái chồng chập (1.2) giao thoa trạng thái x1 x ảnh hưởng đến phân bố xác suất phép đo toạ độ lên trạng thái (1.2) Mức độ giao thoa thay đổi tuỳ theo giá trị φ Biểu thức (1.2) khơng có nghĩa hạt A xung quanh x1 xung quanh x2 xác suất chúng trường hợp hỗn hợp thống kê: Một trạng thái tương ứng với trạng thái trộn x1 x với xác suất mơ tả tốn tử mật độ 1/2 ( x1 x1 + x x ) , hạt A khơng nơi x x2 Cũng thật nguy hiểm nói hạt A đồng thời xung quanh x x2 thời điểm Nó thật rộng chẳng xác minh khơng tiến hành phép đo trực tiếp Đã có số ví dụ nghịch lý để minh hoạ tính chất kỳ lạ Nghịch lý mèo Schrưdinger cho thấy mơ tả học lượng tử tự nhiên kỳ lạ áp dụng vào hệ vât lý vĩ mơ Thí nghiệm hai khe hẹp giải thích hiệu ứng giao thoa hạt lượng tử đơn trạng thái chồng chập Nghịch lý Hardy minh hoạ cách mà chồng chập lượng tử tạo kết vô nghĩa kể đến tương tác vật chất phản vật chất Những ví dụ cho thấy làm mà chồng chập lượng tử hai trạng thái A B dẫn đến kết thực nghiệm thứ ba giao thoa lượng tử mà không bao giowd thu từ A , B giống từ hỗn hợp cổ điển A B Những hiệu ứng (ví dụ vân giao thoa thí nghiệm hai khe hẹp) biến phép đo thực để theo dõi tiến trình tượng lượng tử Vẫn nhiều tranh luận nguồn gốc kỳ lạ bao gồm nỗ lực thực nghiệm để chấm dứt tranh luận Nguyên tắc chủ yếu vật lý lượng tử gợi mở việc đưa khái niệm đơn vị thông tin lượng tử, gọi bit lượng tử (tức “quantum bit” hay viết tắt qubit) Một qubit định nghĩa chồng chập hai trạng thái giá trị, cho giá trị cho giá trị Nó khơng phải trường hợp hỗn hợp thống kê 1, giá trị trung gian hai trạng thái Qubit định nghĩa không gian Hilbert hai chiều H có véctơ sở trực chuẩn: { ,1} , i j = δij (1.3) Một trạng thái qubit biểu diễn sau Ψ =a +b1 (1.4) chồng chập tuyến tính hai trạng thái với số phức a b Hình 1.2: Sơ đồ bit bit lượng tử Trong bit chiếm hai cực tương ứng với bit lượng tử lại điểm bề mặt cầu Bloch trạng thái chồng chập khác Nói chung, bit lượng tử đặt điểm bên cầu trạng thái hỗn hợp 2 2 Thoả mãn điều kiện chuẩn hố, a + b = , a ( b ) tương ứng với xác suất mà qubit đo có giá trị “0” (“1”) Chú ý trạng thái sở chọn cách tuỳ ý Ví dụ ( + ) / ( − ) / hệ sở trực chuẩn khác Dạng tổng quát ma trận mật độ qubit r ur ρqubit = (I + r + σ) 10 (1.5) Vì vậy, trạng thái qubit đặc trưng vectơ (x1, x2, x3)∈ R3 lấy từ đơn vị hình cầu, véctơ Bloch Nói chung, khơng gian trạng thái hệ lượng tử d-chiều (d2 -1) chiều lồi thiết lập: ρ1 ρ2 hợp lệ trạng thái lượng tử , sau kết hợp mặt lồi λρ1 + (1 -λ) ρ2 với bước sóng λ ∈ [0, 1] trạng thái lượng tử Một thủ thuật phản ánh pha trộn trạng thái lượng tử Tập hợp mặt lồi có điểm đặc biệt, phần tử kết hợp không lồi hai phần tử khác tập hợp Các điểm đặc biệt không gian trạng thái trạng thái lượng tử túy Hãy để kết thúc phần với nhận xét thành phần hệ thống lượng tử, mà có liên quan quan trọng nói rối Các thành phần hệ thống lượng tử kết hợp khái niệm trạng thái thông qua sản phẩm tensor: không gian Hilbert hỗn hợp hệ thống bao gồm phận với không gian Hilbert H1 H2 xác định H = H1 ⊗ H2 Các sở H sau xác định là: {|i ⊗ |j : i = 1, , d1; j = 1, , d2}, {| | d1} {| , | d2} sở H1 H2, tương ứng 2.2.2 Hoạt động lượng tử Một hoạt động học lượng tử kênh lượng tử phản ánh xử lý thông tin lượng tử, cách trạng thái thao tác thiết bị vật lý thực tế Khi nắm bắt khái niệm hoạt động học lượng tử, hai cách tiếp cận xuất để đặc biệt tự nhiên: mặt, liệt kê hoạt động mà biết đến từ sách giáo trình học lượng tử, tưởng tượng hoạt động học lượng tử nói chung chuỗi nối tiếp thành phần Mặt khác, cách tiếp cận tiên đề xây dựng yêu cầu tối thiểu hoạt động học lượng tử có ý nghĩa để thực phù hợp với khung 18 thống kê giải thích học lượng tử May mắn thay, hai cách tiếp cận phù hợp ý nghĩa họ cung cấp cho tăng khái niệm hoạt động học lượng tử Chúng đề cập vấn đề này, điều thảo luận chi tiết chương kênh lượng tử Để bắt đầu với cách tiếp cận trước đây, hoạt động học lượng tử ρ → T (ρ) coi hệ việc áp dụng hoạt động sau đây: • Unita động lực học: Thời gian tiến hóa theo Schodinger động lực đưa đến thể hoạt động ρ → U ρU † • Thành phần hệ thống: Đối với trạng thái ω, ρ → ρ ⊗ ω Đây thành phần với hệ thống bổ sung khơng tương quan • Một phần dấu vết: điều để ρ → trE[ρ] hệ thống lượng tử phức hợp • Đo Von-Neumann: Đây phép đo liên quan với tập hợp trực giao dự đoán, π1, , Πk Bây giờ, để đề cập đến cách tiếp cận thứ hai T phù hợp hoạt động học lượng tử với việc giải thích thống kê học lượng tử phải chắn tuyến tính tích cực mật độ tốn tử phải ánh xạ vào toán tử mật độ Theo dõi giữ gìn đồ kết hợp dấu vết tốn tử mật độ cịn để đưa thống 2.3 Các biến số liên tục Vì vậy, nhiều hệ thống lượng tử hữu hạn chiều Những chúng tơi nói hệ thống hệ thống lượng tử vô hạn chiều [4-6], chẳng hạn hệ thống bao gồm lĩnh vực chế độ ánh sáng [9-12] 19 tập quay số bậc tự [13, 14]? Như đề cập trước đây, thuật ngữ " Hệ thống lượng tử vô hạn chiều " đề cập đến thực tế mà không gian Hilbert H vơ hạn chiều Ví dụ ngun mẫu hệ thống chế độ nhất, gọi lượng tử dao động điều hòa Tọa độ kinh điển vị trí động lực X = ( a + a †) / , P = − i ( a − a †) / Một sở không gian Hilbert dày đặc cho thiết lập trạng thái vectơ {|n : n ∈ N} Đối với hệ thống vô hạn chiều với số hữu hạn bậc tự do, khái niệm trạng thái nhà khai thác mật độ tương tự trước, ngoại trừ phải yêu cầu toán tử mật độ lớp dấu vết Khơng cần phải nói, sóng mang trạng thái khơng phải hữu hạn Ví dụ, trạng thái kết hợp quen thuộc quan trọng quang học lượng tử có trạng thái vector α =e- α 2 ∞ n=0 αn n, (2.1) n! α ∈ C, thỏa mãn a|α = α|α 2.3.1 Giai đoạn không gian Vật lý N kinh điển (boson) bậc tự ─ phương thức cho vấn đề ─ N dao động điều hòa Như hệ lượng tử mô tả không gian pha Các không gian pha hệ thống N mức độ tự R2N , trang bị với hình thức kháng đối xứng song tuyến tính [3, 6, 15, 16] Sau bắt nguồn từ mạch đảo kinh điển mối quan hệ tọa độ kinh điển Viết tọa độ kinh điển (R1, , R2N ) = (X1, P1, , XN, PN ), mối quan hệ mạch đảo kinh điển thể 20 [Rk, Rl] = iσk,lI , góc nghiêng đối xứng 2N × 2N-ma trận σ cho σ=  1  ÷ i =  −1  N Ma trận block chéo, quan sát mức độ khác tự chắn lại với Ở đây, đơn vị chọn cho Một công cụ thuận tiện cho mô tả trạng thái giai đoạn không gian nhà điều hành dịch chuyển ─ hoặc, tùy thuộc vào giới khoa học, nhà điều hành Weyl Định nghĩa là: Wξ = eiξTσR Cho ξ ∈ R2N, đơn giản để thấy nhà điều hành thực tạo dịch không gian pha Đối với mức độ tự toán tử dịch chuyển trở W(x,p) = eixP1−ipX1 thành: Các mối quan hệ đảo mạch kinh điển thể cho nhà điều hành Weyl: WξWη = e−iξTσηWξ+η Tương đương với đề cập đến trạng thái, tốn tử mật độ người ta xác định trạng thái hệ thống với tọa độ kinh điển phương tiện chức thích hợp khơng gian pha Trong tài liệu tìm thấy nhiều chức khơng gian pha, số trang bị với giải thích vật lý định Một số hàm đặc trưng [6, 17, 18] Nó định nghĩa giá trị kỳ vọng nhà điều hành Weyl, đó: χ(ξ) = tr[Wξ ρ] Điều nói chung hàm phức, có giá trị khơng gian pha Nó xác định trạng thái lượng tử, mà thu thơng qua ρ = d2N ξχ(ξ)Wξ†/(2π)N Các hàm đặc trưng biến đổi Fourier hàm Wigner, quen thuộc quang học lượng tử: 21 Wρ ( ξ ) = ( 2π ) N d N η eiξ T σηχ ( η ) Hàm Wigner hàm thực giá trị khơng gian pha Nó chuẩn hóa, chế độ tích hợp khơng gian pha cung cấp giá trị Tuy nhiên, nói chung khơng phải phân bố xác suất, giá trị âm Một tính chất hữu ích gọi thuộc tính trùng lặp [17, 18] Nếu định nghĩa hàm Wigner nhà điều hành A1 A2 Fourier biến đổi ξ →tr [A1Wξ] ξ → tr [A2Wξ], tương ứng,và ký hiệu với WA1 WA2, có: tr[A1A2] = (2π)Nd2N ξWA1(ξ)WA2(ξ) Điều thẳng thắn sử dụng để xác định khoảnh khắc tọa độ kinh điển Ví dụ, giả sử biết hàm Wigner Làm xác định từ giây phút quan sát vị trí? Điều dễ dàng tìm thấy là: Xρ= ∞ dxdp xWρ ( x, p ) −∞ Tương tự vậy, giá trị kỳ vọng toán tử động lực thu là: ∞ Ρ ρ = dxdp p Wρ ( x, p ) −∞ Khơng cần phải nói, từ tương tự tìm thấy để tích hợp theo hướng không gian pha Thông thường, thuận tiện để mơ tả trạng thái khoảnh khắc họ [3, 6] Những khoảnh khắc giá trị kỳ vọng tọa độ kinh điển, để dk = Rkρ = tr [Rkρ] Những khoảnh khắc thứ hai, lần lượt, có 22 thể thể thực tế đối xứng 2N × 2N - ma trận γ Các mục cho bởi: γj,k j, k = 2Re (Rj – dj)(Rk − dk) ρ, = 1, , N Ma trận thường gọi ma trận hiệp biến trạng thái Tương tự vậy, khoảnh khắc cao xác định 2.3.2 Trạng thái Gaussian Như đề cập trước đây, trạng thái Gaussian đóng vai trị quan trọng hệ thống biến liên tục, hệ thống lượng tử có tọa độ kinh điển Trạng thái lượng tử hệ thống gồm N bậc tự gọi Gaussian (hoặc gần tự do) hàm đặc trưng hàm Gaussian giai đoạn khơng gian [3, 5, 6, 16], có nghĩa là, χ có dạng: χ(ρ) = exp iξTσd − ξTσTγσξ/4 Như Gaussians xác định khoảnh khắc thứ hai, trạng thái Gaussian Véctơ d ma trận γ sau xác định dịch chuyển ma trận hiệp biến theo ý nghĩa Bây trạng thái Gaussian có ý nghĩa nào? Trạng thái kết hợp với véctơ trạng thái Eq (2.1) tạo thành ví dụ quan trọng trạng thái Gaussian, có ma trận hiệp biến γ = I2: trạng thái kết hợp trạng thái chân khơng, di dời không gian pha Ma trận hiệp biến trạng thái chân không ép cho γ = diag (d, / d) cho d ˃ (và quay chúng ), − log d tham số nén Trạng thái nhiệt Gibbs trạng thái Gaussian, sở thể như: ρ= ∞ n=0 +1 23 − +1 n n n, Nơi ¯ = (eβ − 1) −1 số photon trung bình trạng thái nhiệt nhiệt độ nghịch đảo β> Các trạng thái hỗn hợp, với ma trận hiệp biến γ = (2¯n + 1)I2 2.3.3 Gaussian unitaries Tầm quan trọng trạng thái Gaussian, Khơng cần phải nói, bắt nguồn phần từ ý nghĩa hoạt động Gaussian Gaussian unita tạo Hamiltonians bậc tọa độ kinh điển: chẳng hạn Hamiltonians, chưa phổ biến vật lý [6] Vì vậy, tốn tử unita Gauss có dạng: W W ρ → U ρU †, U = exp W i H k ,l Rk Rl W, k,l H thực đối xứng, tương ứng với boson Hamilton bậc hai Unitaries tương ứng với đại diện Symplectic nhóm Sp(2N, R) Nó hình thành ma trận thực mà: SσST= σ Trong đó, kết nối từ S Hamilton xác định S = eHσ Đó thuận lợi để theo dõi hành động unitaries Gaussian mức độ khoảnh khắc thứ hai [5, 6, 15, 16], tức là, ma trận hiệp biến, như: γ → SγST Những unitaries Gaussian lượng bảo toàn thường gọi thụ động Trong bối cảnh quang học, unitaries bảo vệ tổng số photon Chùm chia số chuyển đổi thay đổi pha, ví dụ, có thuộc tính Chúng tương ứng quy ước chọn chương này: − S BS = tI − − tI to −tI tI 24 t ∈ [0,1], S PS = cos ( ϕ ) − sin ( ϕ ) sin ( ϕ ) cos ( ϕ ) ϕ ∈ [0,2π ) Cho dù chuyển đổi thụ động khơng dễ dàng đọc từ ma trận S: ma trận S tương ứng với hoạt động thụ động xác trực giao, S ∈ SO ( N ) Những biến đổi lần tạo thành nhóm, Sp (2N, R) ∩ O (2N) Nhóm đại diện U (N), thuộc tính mà thuận tiện khai thác đánh giá nhiệm vụ thơng tin lượng tử truy cập sử dụng quang học thụ động (xem, ví dụ., Tài liệu tham khảo [10]) Chuyển đổi hoạt động, ngược lại, khơng bảo tồn tổng số photon Hoạt động gây ép hệ thống quang học chuyển đổi hoạt động Ví dụ bật unita ép trạng thái lượng tử chế độ nhất, U = expx (a2 − (a†)2) , số lượng x > mô tả cường độ đè ép Chúng ta thấy rằng: S = diag (e−x, ex) ; ma trận xác định chuyển đổi vào mức độ ma trận hiệp biến Có vẻ thời điểm thích hợp để có trở lại để hạn chế ma trận hiệp biến thực để thỏa mãn Bất đối xứng 2N × 2N-ma trận ma trận hiệp biến hợp pháp? Câu trả lời "không"; nguyên lý bất định Heisenberg hạn chế khoảnh khắc thứ hai trạng thái lượng tử Các nguyên tắc Heisenberg bất định diễn tả hạn chế: γ + iσ ≥ ( 2 ) Đổi lại, ma trận đối xứng thực có tồn trạng thái ρ có khoảnh khắc thứ hai [3,6] Đó thực gì, ngun lý bất định Heisenberg quen thuộc có 25 thể nhìn thấy sau: Đối với γ ma trận hiệp biến hệ thống với mức độ tự N, có tồn S ∈ Sp (2N, R) mà: Sγ S T = N i =1 si Ι ( 2.3 ) Các số s1, ., sN xác định phần dương cực quang phổ iσγ Đây phân rã chế độ bình thường, kết từ trình quen thuộc phép tách hệ thống kết hợp dao động điều hòa Ma trận hiệp biến Eq (2.3) sau ma trận hiệp biến hệ thống N chế độ đồng đều, số trạng thái nhiệt "số photon" có nghĩa ¯i= (s − 1)/2 [15, 16] Bây giờ, có điều ghi nhớ, giảm (2.2) đến vấn đề chế độ, cho ma trận hiệp biến mẫu γ = diag (s, s) Đối với ma trận hiệp biến chế độ đồng đều, nguyên lý bất định Heisenberg trở thành: ∆Χ∆Ρ ≥ 2, Mà: ∆X = (X − X ρ )2 ρ ∆P = (P − P ρ)2 ρ Phân rã chế độ bình thường cơng cụ hữu ích đánh giá số lượng phụ thuộc vào trạng thái lượng tử unitarily bất biến Ví dụ, để tính tốn (Von Neu- Mann) entropy S (ρ) = −tr [ρ log ρ] trạng thái Gaussian trở thành đơn giản, vấn đề giảm đến vấn đề chế độ cách sử dụng mẫu đơn Williamson bình thường Cuối cùng, phần phụ này, chúng khơng phải trạng thái Gaussian đặc trưng biểu thức entropy: Cụ thể, Gaussian trạng thái lượng tử cố định thứ thứ hai khoảnh khắc có entropy lớn Nếu σ trạng thái lượng tử có tương tự thứ hai khoảnh khắc trạng thái Gaussian ρ, sau đó: S(ρ) − S(σ) = S (ρ, σ) + tr[(σ − ρ) log ρ], biểu tượng phía bên phải biểu thị liệu ngẫu nhiên lượng tử tương đối Lập luận cho thấy thực tế, Gaussians có entropy 26 lớn Von-Neumann Điều coi biểu Jaynes thông tin nguyên tắc tối thiểu 2.3.4 Kênh Gaussian Một lớp chung hoạt động Gaussian đưa kênh Gaussian [20-22] Như kênh Gaussian đóng vai trị trung tâm thông tin lượng tử với biến liên tục Nổi bật nhất, chúng mơ hình cho sợi quang học đường truyền ồn liệu Một kênh Gaussian lần hình thức: ρ = T (ρ) = trE[U (ρ ⊗ ρE)U †], (2.4) Mà U unita Gaussian ρE trạng thái Gaussian số số bậc tự Các kênh xuất gặp kết hợp mà bậc tọa độ kinh điển, số mức độ bên tự điều chỉnh số quadratic bậc hai boson Hamilton Khơng cần phải nói, tình phổ biến Bất bắt gặp một, nói, kết hợp yếu mức độ kinh điển tự số nhiệt boson, mang lại cho kênh Gaussian ý nghĩa Làm kênh mô tả ngắn gọn? Kể từ họ đồ Gaussian thành trạng thái Gaussian, chúng chuyển vị hoàn toàn đặc trưng hành động họ khoảnh khắc thứ hai Hành động đúc thành dạng: γ → γ = FTγF + G, ( 2.5 ) G đối xứng thực 2N × 2N-ma trận, F tùy ý thực 2N × 2N-ma trận [20, 21] Ở cấp độ nhà khai thác dịch chuyển Weyl, điều hiểu Wξ → WFξ exp(−ξTGξ/2) Một ví dụ quan trọng kênh Gaussian thực tế kênh liệu Kênh làm tên cho thấy: photon Nó mô tách chùm chuyển đổi t ∈ [0, 1] với cổng 27 trống rỗng chân không kết hợp Trong ngôn ngữ trên, điều trở thành: F= G = ( t − 1) I tI , Sau đó, kênh gây tạp âm Gaussian cổ điển kênh Gaussian lượng tử [23, 24] Kênh hình thành kết từ chuyển vị ngẫu nhiên không gian pha với trọng lượng Gaussian: T T (ρ) =4π det[G]1/2 phản ánh đồ: d 2ξWξρWξ†e−iξ G −1 ξ γ → γ = γ + G, với ma trận dương G Kênh tạp âm cổ điển thực kênh liệu, sau cách khuếch đại, mà giống hệt để kênh liệu, với t > Trong ngơn ngữ này, người ta thuận tiện đọc tốt hoạt động bất khả thi xấp xỉ cách gây tiếng ồn nhỏ Ví dụ, pha liên hợp quang học hoạt động bất khả thi, khơng có thiết bị mà hồn tồn thực hoạt động với âm có độ trung thực hồn hảo Điều tương ứng với kênh hình thức với : F = diag(1, −1) Tuy nhiên, cho phép G = (2, 2), sau đồ γ → FTγF + G tương ứng với kênh, hồn tồn dương hợp pháp đồ Ta nói thực xác số merit trạng thái Gaussian cách xa từ bất định tối thiểu, điều Y bổ sung bù lại không quan trọng Gần bất định tối thiểu, tiếng ồn bổ sung dẫn đến độ lệch đáng kể từ pha liên hợp thực tế 28 2.3.5 Phép đo Gaussian Nếu dự báo phần hệ thống trạng thái Gaussian vào trạng thái chế độ Gaussian, làm để mô tả trạng thái Gaussian kết quả? Đây gì, kênh khơng dấu vết, bảo toàn Trong thực tế, điều xảy phép đo biến nhị phân liên kết với nhà khai thác Kraus: K0 = |0 0|, K1 = ∞ n =1 |n n| diode tách sóng quang sạt lở hồn tồn mơ tả phép đo dạng này: K0 tương ứng với kết mà khơng có photon phát hiện, K1 photon phát hiện, độ phân giải tốt số lượng photon Im- hồn hảo phát thuận tiện mơ tả xác phương tiện kênh liệu, phép đo dạng Trong hệ thống gồm N +1 nút ρ trạng thái Gaussian, điều ma trận hiệp biến: ρ = trN + 0ρ0 ? tr | 0 | ρ Ma trận hiệp biến ρ viết là: γ = AC CT B Trong A 2N x 2N-ma trận B × 2- ma trận Nó ma trận hiệp biến (vô hạn) kết chế độ N cho [28]: γ = A − C(B + I2)−1CT Biểu thức xác định bổ sung Schur ma trận γ + 0N ⊕ I2 Công thức cung cấp mô tả hữu ích trạng thái sau phóng chiếu chân không, mà không cần thực xác định trạng thái lượng tử kết cách rõ ràng 29 Trong đó, phát homodyne dẫn đến ma trận hiệp biến mẫu [28]: γ = A − C(πBπ)−1CT , nơi π × ma trận rank Điều ngược lại có hiểu giá trị nghịch đảo giả Hầu hết hoạt động Gaussian nói chung, bao gồm phép đo Gaussian, kết từ nối hoạt động [28-30], đưa đến phép biến đổi mức độ ma trận hiệp biến: γ → γ = ˜Γ1 − ˜1,2(˜2 + γ)−1Γ˜T1,2 Ở đây, Γ ma trận hiệp biến chế độ 2N, Γ = Γ1 Γ1,2 ΓΤ1, Γ Và Γ =˜P ΓP, mà: P = I2N ⊕ IN ⊕ (−IN) ma trận hiệp biến chuyển vị phần trạng thái Gaussian mô tả Γ Đây quy luật chuyển đổi cho đồ hoàn toàn dương trạng thái Gaussian mà đồ vào trạng thái Gaussian Phương pháp hiểu đẳng cấu đồ hoàn tồn tích cực nhà khai thác tích cực [29-31] Nếu yêu cầu câu hỏi hoạt động truy cập thiết lập Gaussian, điểm khởi đầu tự nhiên 2.3.6 Hoạt động khơng Gaussian Nó xuất vơ lý để nghĩ hình thức trạng thái Gaussian hoạt động Gaussian có điều để đóng góp lần chúng tơi rời khỏi khuôn khổ nghiêm ngặt thiết lập Gaussian Sau tất cả, với hoạt động lượng tử nói chung, làm giảm phần mơ tả khoảnh khắc thứ thứ hai trở nên không phù hợp Tuy nhiên, để Gaussian quan trọng hoạt động từ quan điểm quang học lượng tử, ngôn ngữ cịn có giá trị 30 Phép đo lại tương ứng với dichotomic phép đo phân biệt có mặt khơng có diện photon, thực với máy dò photon sạt lở hoàn toàn Ngược lại trường hợp kết liên quan K0 = |0 0| , kết K1 = ∞n = 1|n n| không tương ứng với hoạt động Gaussian Tuy nhiên, rõ ràng làm người ta mơ tả ρ trạng thái sau phép đo chế độ có nhãn N +1 ─ tương ứng với "click" máy dị ─ vướng víu nút N: ρ = trN+1[ρ − 0|ρ|0 ] Đây kết hợp lồi trạng thái Gaussian, nhiên tổng hai Gaussians, số đặc trưng khoảnh khắc Vì vậy, mạng lưới bao gồm Gaussian unita k có-khơng có máy dị, trạng thái kết khoản đóng góp 2k, số có mơ tả khoảnh khắc thứ thứ hai, thu từ Schur bổ sung TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] I.L Chuang and M.A Nielsen, Quantum information and computation (Cambridge Uni - versity Press, Cambridge, 2000) [2] Edited by Dagmar Bruß and Gerd Leuchs, Lectures on Quantum Information (Wiley-VCH, 2007 ) [3] J Eisert, C Simon, and M.B Plenio, J Phys A: Math Gen 35, 3911 (2002) [4] A.S Holevo, Probabilistic and statistical aspects of quantum theory (North Holland, Amsterdam, 1982) [5] W Schleich, Quantum optics in phase space (Wiley-VCH, Weinheim, 2001) [6] M.E Shirokov, Preprint, quant-ph/0408009, 2004 31 [7] Ch Silberhorn, P.K Lam, O Weiss, F Koenig, N Korolkova, and G Leuchs, Phys Rev Lett 86, 4267 (2001) [8] R.F Werner, Quantum information theory—an invitation, in Quantum information—an introduction to basic theoretical concepts and experiments (Springer, Heidelberg, 2000) [9] D.F Walls and G.J Milburn, Quantum optics (Springer, Berlin, 1994) [10] M.M Wolf, J Eisert, and M.B Plenio, Phys Rev Lett 90, 047904 (2003) 32 ... đề tài “ Khái quát trạng thái lượng tử rời rạc biến số liên tục? ?? Nó giúp thân em có nhìn sâu sắc vật lý lượng tử Mục đích nghiên cứu Khái quát trạng thái lượng tử rời rạc biến số liên tục Nhiệm... quát thông tin lượng tử 1.1 Giới thiệu 1.2 Các khái niệm 1.2.1 Bit lượng tử 1.2.2 Rối lượng tử Chương 2: Trạng thái lượng tử rời rạc biến số liên tục 2.1 Giới thiệu 2.2 Hệ thống lượng tử hữu hạn... CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI LƯỢNG TỬ RỜI RẠC VÀ CÁC BIẾN SỐ LIÊN TỤC 2.1 Giới Thiệu Phần lớn lý thuyết khoa học thông tin lượng tử ban đầu phát triển lĩnh vực bit lượng tử trits, cho hệ thống lượng tử hữu