0

tìm hiểu về biến đổi fourier cho tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục

23 906 0
  • tìm hiểu về biến đổi fourier cho tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 12/11/2015, 17:17

tìm hiểu về biến đổi fourier cho tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục Page Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC CỦA NHÓM Báo cáo , Slide Nguyễn Xuân Chiến, Bùi Tuấn Anh Chỉnh sửa Trần Mạnh Hà Tìm tài liệu Cả nhóm Code Matlab Nguyễn Mạnh Cường, Phan Đình Điệp Làm video Cả nhóm Page Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục I BIẾN ĐỔI FOURIER LÀ GÌ ? Biến đổi Fourier hay chuyển hóa Fourier, đặt tên theo nhà toán học người Pháp Joseph Fourier , biến đổi tích phân dùng để khai triển hàm số theo hàm số sin sở, có nghĩa dạng tổng hay tích phân hàm số sin nhân với số khác (hay gọi biên độ) Biến đổi Fourier có nhiều dạng khác nhau, chúng phụ thuộc vào dạng hàm khai triển Biến đổi Fourier có nhiều ứng dụng khoa học, ví dụ vật lý, số học, xử lý tín hiệu, xác suất, thống kê, mật mã, âm học, hải dương học, quang học, hình học nhiều lĩnh vực khác Trong xử lý tín hiệu ngành liên quan, biến đổi Fourier thường nghĩ đến chuyển đổi tín hiệu thành thành phần biên độ tần số Ở tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục Hình - Mối quan hệ phép biến đổi Page Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục II CƠ SỞ NGHIÊN CỨU BIẾN ĐỔI FOURIER CHO TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ LIỀN TỤC Tổng quan biến đổi Foiurier nghiên cứu để chuyển biểu diễn tín hiệu hệ thống rời rạc từ miền biến số độc lập n sang miền tần số liên tục ω Biến đổi Fourier thuận 1.1 Định nghĩa Nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện ∞ ∑ x(n) < ∞ n=−∞ [1] tồn phép biến đổi Fourier sau: ∞ X(e ) = ∑ x( n) e − jωn jω n=−∞ [2] Biến đổi Fourier chuyển dãy số x(n) thành hàm phức X(ejω), [2] biểu thức biến đổi Fourier thuận ký hiệu sau : FT [ x( n)] = X (e jωn ) hay : FT x (n)  → X (e jωn ) [3] [4] (FT chữ viết tắt thuật ngữ tiếng Anh Fourier Transform) 1.2 Sự tồn biến đổi Fourier Theo định nghĩa, biến đổi Fourier thuận [2] tồn dãy x(n) thoả mãn điều kiện khả tổng tuyệt đối [1] Điều có nghĩa là, dãy x(n) Page Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục thoả mãn điều kiện [1] chuỗi [2] hội tụ hàm X(ejω), nên x(n) tồn biến đổi Fourier Ngược lại, dãy x(n) không thoả mãn điều kiện [1] chuỗi [2] phân kỳ, hàm X(ejω) không tồn x(n) biến đổi Fourier Các tín hiệu số x(n) có lượng hữu hạn : Ex = ∞ ∑ x ( n) < ∞ n =−∞ [5] thỏa mãn điều kiện [1] , tồn biến đổi Fourier Ví dụ : Hãy xét tồn tìm biến đổi Fourier dãy sau: a u ( n) b n u ( n) c rectN (n) Giải: ∞ ∞ n =−∞ n=0 ∑ u(n) = ∑1 = ∞ a Hàm u(n) không thoả mãn [1] nên không tồn biến đổi Fourier ∞ ∑ b n =−∞ ∞ u ( n) = ∑ n = ∞ n n =0 Hàm 2nu(n) không thoả mãn [1] nên không tồn biến đổi Fourier ∞ ∑ c n =−∞ N −1 rect N (n) = ∑1 = N < ∞ n =0 Hàm rect N(n) thoả mãn [1] nên tồn biến đổi Fourier, : Page Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục FT [rect N (n)] = ∞ ∑ rect (n).e − jω n = N n =−∞ N −1 ∑ (e ) − jω n n =0 − e − jω = − e − jω N [8] Có thể thấy rằng, dãy có độ dài hữu hạn tồn biến đổi Fourier, dãy có độ dài vô hạn tồn biến đổi Fourier chuỗi [1] hội tụ 1.3 Các dạng biểu diễn hàm X() 1.3.1 Dạng phần thực phần ảo X(e jω ) = X R (ω ) + j X I (ω ) [9] Theo công thức Euler có : ∞ X(e ) = ∑ x(n) e jω − jω n n =−∞ ∞ = ∑ x(n) [ cos(n ω ) − j sin(n ω ) ] n =−∞ [10] jω X R (ω ) = Re[X(e )] = Hàm phần thực : ∞ ∑ x(n).cos(nω ) n =−∞ [11] jω X I (ω ) = Im[X(e )] = − Hàm phần ảo : ∞ ∑ x(n).sin(nω ) n =−∞ [12] 1.3.2 Dạng mô đun argumen X(e jω ) = X(e jω ) e jφ (ω ) Mô đun : X(e jω ) = X R2 (ω ) + X I2 (ω ) Page [13] [14] Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục  X (ω )  φ (ω ) = Arg  X(e jω )  = arctg  I  X ( ω )  R  Argumen : [15] j - X(e ω) gọi hàm biên độ tần số, hàm chẵn đối xứng qua trục tung : X(ejω)=X(e- jω) - ϕ(ω) gọi hàm pha tần số, hàm lẻ phản đối xứng qua gốc toạ độ : ϕ(ω) = - ϕ(-ω) 1.3.3Dạng độ lớn pha X(e jω ) = A(e jω ).e jθ (ω ) = A(e jω ) e jφ (ω ) [16] Hàm độ lớn A(ejω) nhận giá trị dương âm, : A(e jω ) = X(e jω ) Arg[A(e jω )] + θ (ω ) = φ (ω ) Còn : [18] θ (ω ) = φ (ω ) − Arg[A(e jω )] Hàm pha : Với [17] Arg[A(e jω )] phụ thuộc vào dấu hàm  jω Arg[A(e )] =   π [19] A(e jω ) sau : Khi A(e jω ) ≥ Khi A(e jω ) < Một cách tổng quát, viết : jω Arg[A(e )] = π   A( e jω )  1− jω   A( e ) Page   =   π {  1− Sign A( e jω )  } Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục Theo [19] , biểu diễn hàm pha θ(ω) dạng sau : θ (ω ) = φ (ω ) − π  A( e jω )  1− jω   A( e )  Ví dụ : Hãy xác định hàm phần thực phần ảo, mô đun argumen, độ lớn pha hàm tần số X(e jω ) = cos(2ω ).e − jω Giải: Theo [11] có : X(e jω ) = cos(2ω ).cos(ω ) − j cos(2ω ).sin(ω ) Hàm phần thực : Hàm phần ảo : X R (ω ) = cos(2ω ).cos(ω ) X I (ω ) = − cos(2ω ).sin(ω ) Môđun: X(e jω ) = cos (2ω ).cos (ω ) + cos (2ω ).cos (ω ) = cos(2ω ) Argumen : Hàm độ lớn :  cos(2ω ).sin(ω )  φ (ω ) = − arctan   = −ω cos(2 ω ).cos( ω )   A(e jω ) = cos(2ω ) θ (ω ) = − ω − Hàm pha : π 1− cos( 2ω )   cos( 2ω )  Page Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục Biến đổi Fourier ngược Biến đổi Fourier ngược cho phép tìm dãy x(n) từ hàm ảnh X(ejω) Để tìm biểu thức phép biến đổi Fourier ngược, xuất phát từ biểu thức Fourier thuận [2] : ∞ X(e ) = ∑ x(n) e − jωn jω n =−∞ [20] Nhân hai vế [20] với ejωm lấy tích phân khoảng (-π , π ) , nhận : π ∫π X(e jω ).e jωm dω = − π ∫e Vì : π ∞ − n =−∞ ∫π ∑ x(n).e jω ( m − n ) −π 2π dω =  0 π Nên : − jω n ∫π X(e jω ∞ π n =−∞ −π e jωm dω = ∑ x ( n) ∫ e ω m = n m ≠ n ).e jω n dω = 2π x (n) − Từ suy biểu thức phép biến đổi Fourier ngược : x(n) = 2π π jω jω n X( e ) e dω ∫ −π [21] Phép biến đổi Fourier ngược ký hiệu sau : IFT[X(e jω )] = x(n) Hay : [22] IFT X(e jω ) → x ( n) Page [23] j ( m−n ) dω Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục (IFT chữ viết tắt thuật ngữ tiếng Anh Inverse Fourier Transform) Biểu thức biến đổi Fourier thuận [20] biểu thức biến đổi Fourier ngược [21] hợp thành cặp biến đổi Fourier dãy số x(n) Ví dụ : Hãy tìm tín hiệu số x(n) có hàm phổ X(e jω ) = cos(ω ).e − j 2ω Giải: Ta có : x ( n) = 2π x ( n) = 2π π ∫ −π π − j 2ω jω n cos( ω ) e e dω ∫ −π (e jω + e − jω ) − j 2ω jωn e e dω = 4π π ∫ −π e j ( n −1)ω + e j ( n −3)ω  d ω π π   1 j ( n −1) ω j ( n −3) ω x ( n) = e | + e |  4π  j (n − 3) j (n − 3) −π −π   e j ( n −1)π − e − j ( n −1)π e j ( n −3)π − e − j ( n −3)π  x ( n) = +   4π  j ( n − 1) j (n − 3)  [e j ( n −1)π − e − j ( n−1)π ] [e j ( n −3)π − e − j ( n−3)π ] x (n) = + 2(n − 1)π j2 2(n − 3)π j2 x ( n) = sin[( n − 1)π ] sin[(n − 3)π ] + ( n − 1)π (n − 3)π Vì : sin[(n − k )π ]  = (n − k )π 0 n = k n ≠ k Page 10 ⇒ sin[( n − k )π ] = δ (n − k ) (n − k )π Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục 1 x(n) = δ (n − 1) + δ (n − 2) 2 Nên : X(e jω ) = X ( z ) z =e jω Vì , nên để lập bảng biến đổi Fourier cần sử dụng bảng biến đổi z thay z = ejω , để tìm biến đổi Fourier ngược, cách tính trực tiếp tích phân [21], sử dụng phương pháp giống tìm biến đổi Z ngược Các tính chất biến đổi Fourier Do biến đổi Fourier trường hợp riêng biến đổi Z nên, biến đổi Fourier có tính chất giống biến đổi Z Dưới trình bầy tính chất thường sử dụng phân tích phổ tín hiệu số đặc tính tần số hệ xử lý số 3.1 Tính chất tuyến tính Hàm tần số tổ hợp tuyến tính dãy tổ hợp tuyến tính hàm tần số thành phần Nếu : FT [ xi (n)] = X i (e jω ) ∞   ∞ Y (e ) = FT  y (n) = ∑ Ai xi (n)  = ∑ Ai X i (e jω ) i =∞   i =∞ jω Thì : [24] Trong hệ số Ai số Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [2] có : ∞   ∞ − jω n Y (e ) = FT  ∑ Ai xi (n)  = ∑ ∑ Ai xi (n).e = ∑ Ai ∑ xi (n).e − jω n i n =−∞  i  n =−∞ i jω Page 11 Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục ∞ ∑ x (n).e Vì n =−∞ i − jω n = FT [ xi (n)] = X i (e jω ) , nên nhận [24] Ví dụ : Hãy tìm hàm phổ tín hiệu số 1 x(n) = δ (n − 1) + δ ( n − 3) 2 Giải: Theo tính chất tuyến tính biến đổi Fourier có : ∞ X (e ) = ∑ δ ( n − 1).e − jω n + n =−∞ jω ∞ 1 − jω − j 3ω − jω n δ ( n − 3) e = e + e ∑ 2 n =−∞ (e jω + e − jω ) − j 2ω X (e ) = e = cos(ω ).e − j 2ω jω 3.2 Tính chất trễ Khi dịch trễ dãy x(n) k mẫu hàm biên độ tần sốX(ejω) không thay đổi, có hàm pha tần số ϕ(ω) bị dịch lượng kω Nếu : Thì : FT [ x (n)] = X (e jω ) = X(e jω ) e jφ (ω ) FT [ x (n − k )] = e − jkω X(e jω ) = X(e jω ) e j [φ (ω ) − kω ] [25] Nếu k > x(n) bị giữ trễ k mẫu, k < x(n) đẩy sớm k mẫu Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [2] có : Page 12 Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục FT [ x(n − k )] = ∞ ∑ x(n − k ).e =e − jω k n =−∞ Ví dụ : Hãy tìm : Giải: − jω n ∞ ∑ x(n − k ).e − jω ( n − k ) = e − jω k X(e jω ) n =−∞ X(e jω ) = FT [2− n rect (n)] N 2− n rect (n) = 2− n u (n) − 2− n u (n − N ) N Có X (e jω ) = FT [2 − n u (n)] − FT [2 − N − ( n − N ) u ( n − N )] Nên : Theo biểu thức [6] tính chất dịch biến đổi Fourier nhận : X(e jω ) = 1 − N − jω N − e − jω − jω − 0,5e − 0,5e − (0,5.e − jω ) N X(e ) = FT [2 rect ( n)] = − 0,5e − jω jω −n N Vậy : [26] 3.3 Tính chất trễ hàm tần số e jω n Khi nhân dãy x(n) với , ω0 số, hàm tần số X(ejω) không bị biến dạng mà tịnh tiến trục tần số khoảng ω0 , theo chiều ngược với dấu ω0 Nếu : FT [ x (n)] = X (e jω ) FT e jω0 n x (n)  = X (e j (ω −ω0 ) ) Thì : [27] Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [2] có : FT e jω0 n x (n)  = ∞ ∑ x(n).e jω0 n e − jω n n =−∞ Page 13 = ∞ ∑ x(n).e n =−∞ − j (ω −ω0 ) n = X(e j (ω −ω0 ) ) Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục Ví dụ : Tín hiệu số x(n) có phổ tần số phổ tần số tín hiệu điều biên X(e jω ) = FT [ x (n)] Y(n) = x( n).cos(ω0 n) , tìm Giải: e jω0n + e − jω0 n cos(ω0 n) = Có : Do : 1  1  FT [ x( n).cos(ω0 n)] = FT  x(n).e jω0 n  + FT  x(n).e − jω0 n  2  2  Theo tính chất dịch hàm tần số nhận : FT [ x (n).cos(ω0 n)] = 1 X(e j (ω −ω0 ) ) + X(e j (ω +ω0 ) ) 2 [28] 3.4 Tính chất đối xứng Biến đổi Fourier dãy thực có biến đảo x(n) x(-n) hai hàm liên hợp phức Nếu : Thì : FT [ x(n)] = X (e jω ) = X(e jω ) e jφ (ω ) FT [ x(−n) ] = X (e − jω ) = X * (e jω ) = X(e jω ) e − jφ (ω ) [29] Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [2] có : FT [ x (−n) ] = ∞ ∑ x(−n).e − jω n n =−∞ Page 14 = ∞ ∑ x(−n).e n =−∞ − j ( − ω ).( − n ) = X (e − jω ) Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục Vì x(-n) dãy thực nên X(e − jω ) = X * (e jω ) , nhận [29] Như vậy, dãy thực nhân phản nhân tương ứng có hàm biên độ tần số giống nhau, hàm pha tần số ngược dấu Ví dụ : Hãy tìm Giải: X (e jω ) = FT[ 2nu ( −n)] Theo biểu thức [6] tính chất biến đảo có : FT [ 2n u ( − n)] = 1 − 0,5.e jω 3.5 Hàm tần số tích chập hai dãy Hàm tần số tích chập hai dãy tích hai hàm tần số thành phần Nếu : Thì : FT [ x1 (n)] = X (e jω ) FT [ x2 (n)] = X (e jω ) Y (e jω ) = FT [ x1 (n) * x2 ( n) ] = X (e jω ).X (e jω ) [30] Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [2] có :  ∞  Y(e ) = FT [ x1 (n) * x2 (n) ] = ∑  ∑ x1 (k ).x2 (n − k ) .e − jω n n =−∞  k =−∞  ∞ jω jω Y(e ) = ∞ ∞ ∑ ∑ x (k ).x (n − k )e n =−∞ k =−∞ − jω n e jω k e − jω k Hay : jω Y(e ) = ∞ ∑ k =−∞ X (k ).e − jω k ∞ ∑ n =−∞ x2 (n − k )e − jω ( n− k ) = X (e jω ).X (e jω ) Page 15 Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục Ví dụ : Hãy tìm Giải: Sử dụng biểu thức [6] , [7] với k = , [3] , tìm : FT [2− n u ( n)] = X (e Vậy : X (e jω ) = FT[ 2− nu ( n) * δ (n − 1)] jω 1 − 0,5e − jω FT [δ (n − 1)] = e − jω e − jω − jω ) = e = − 0,5e − jω − 0,5e − jω 3.6 Hàm tần số tích hai dãy Hàm tần số tích hai dãy tích chập hai hàm tần số thành phần chia cho 2π Nếu : Thì : FT [ x1 (n)] = X (e jω ) π FT [ x1 (n).x2 ( n) ] = 2π FT [ x1 (n).x2 (n) ] = Hay : ∫ FT [ x2 (n)] = X (e jω ) X (e jω ′ ).X (e j (ω −ω ′) )d ω ′ −π [31] X (e jω ) * X (e jω ) 2π [32] Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [2] có : FT [ x1 (n).x2 (n) ] = ∞ ∑ [ x (n).x (n)] e n =−∞ − jω n Khi thay x1(n) biểu thức biến đổi Fourier ngược : x1 (n) = 2π π ∫π X (e jω ′ − Page 16 ).e jω ′.n d ω ′ Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục Thì :  FT [ x1 (n).x2 (n) ] = ∑  n =−∞  2π π ∞ FT [ x1 (n).x2 (n) ] = 2π FT [ x1 (n).x2 (n) ] = 2π π ∫ −π π ∫ ∫ X (e jω ' ).e jω ' n −π  d ω ' x2 (n).e − jωn  [33] ∞ X (e ) ∑  x2 (n).e − j (ω −ω ') n  d ω ' jω ' n =−∞ X (e jω ′ ).X (e j (ω −ω ′ ) ).d ω ′ = = −π X (e jω ) * X (e jω ) 2π 3.7 Công thức Parseval Công thức tính lượng tín hiệu theo hàm phổ ∞ E x = ∑ x (n) = n =−∞ π ∫ 2π −π X(e jω ) d ω [34] Chứng minh: Viết lại biểu thức [33] dạng : ∞ ∑ n =−∞ x1 (n).x2 ( n).e  = ∑  x1 (n) 2π n =−∞  ∞ − jω n Chia hai vế biểu thức cho ∞ x1 (n).x2 (n) = ∑ 2π n =−∞ π e − jω n ∞ , nhận : ω  x ( n ) e ∑ ∫π  − n =−∞ Page 17  − jωn jω ' jω ' n X ( e ) e d ω '  e ∫−π  j 'n π .X (e jω ' ) d ω ' Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục ∞ x ( n ) x ( n ) = ∑ 2π n =−∞ Hay : π ∫ X (e − jω ' ).X (e jω ' ) dω ' −π Khi cho x1(n) = x2(n) = x(n) theo [2.3-5], vế trái biểu thức lượng ∞ Ex = ∑ n =−∞ Ex tín hiệu số x(n) : x ( n) = 2π ∞ Ex = ∑ ∫ X(e − jω −π x (n) = 2π n =−∞ Hay : π S x (ω ) = X(e jω ) Trong : ).X(e ).dω = 2π jω π ∫ X(e jω ) dω −π π ∫π S (ω ).dω x − [35] [36] S x (ω ) gọi hàm mật độ phổ lượng tín hiệu số x(n), hàm chẵn đối xứng qua trục tung Về chất vật lý, hàm mật độ phổ lượng tần số S x (ω ) hàm phân bố lượng tín hiệu trục x ( n) = − n u ( n) Ví dụ : Hãy xác định lượng tín hiệu số hàm thời gian hàm phổ, so sánh hai kết nhận Giải: theo Theo hàm thời gian có : ∞ ∞ ∞ E x = ∑ u (n) = ∑ (2 ) = ∑ − n = n =−∞ −n −n n=0 n =0 = (1 − 4−1 ) Để xác định lượng theo hàm phổ, trước hết tìm : Page 18 Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục jω X(e ) = ∞ ∑ 2− n u (n).e− jωn = n =−∞ X(e jω ) = Vậy : 1 = − 0,5e − jω − 0,5 cos ω + j 0,5 sin ω (1− 0,5 cos ω )2 + ( 0,5 sin ω )2 = 1,25 − cos ω Tính lượng x(n) công thức Parseval [38] : Ex = 2π Ex = π ∫π −  (1, 25 + 1).tg ( ω )  π 1 2 dω = arctg   | 1, 25 − cos ω 2π 1, 25 − 1, 25 −   −π   π −π arctg3. tg − tg 0,75π   2 π  arctg(0) = =  = 0,75π   0,75π Kết tính lượng theo hai cách giống ( đây, lấy artg (0) = Ex = artg(0) = π , nên phải lấy ) III THỰC HÀNH TRÊN MATLAB R2009a Đề ra: Cho đầu vào x = [ -1 -5] , n= -2:7 Tính FT hiển thị phổ pha, phổ biên độ, phần thực phần ảo qua MatLab Giải: Code MATLAB  Phần biến đổi Fourier thuận n=-2:7; x=[1 -1 -5]; Xw=ft(x,-2,7) Page 19 Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục syms w; X=Tinh(Xw,w,-pi,pi,500); k=0:500; w=-pi:2*pi/500:pi; magX=abs(X); angX=angle(X); realX=real(X); imagX=imag(X); subplot(2,2,1); plot(w,magX); grid; title('Pho bien do'); xlabel('Tan so'); ylabel('Bien do'); subplot(2,2,3); plot(w,angX); grid; title('Pho pha'); xlabel('Tan so'); ylabel('Pha'); subplot(2,2,2); plot(w,realX); grid; title('Phan thuc'); xlabel('Tan so'); ylabel('Thuc'); subplot(2,2,4); plot(w,imagX); grid; title('Phan ao'); xlabel('Tan so'); ylabel('Ao'); Kết quả: Page 20 Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục Đề ra: Biến đổi Fourier ngược cho dãy sau X(ω) = 3e-jω + 4e –j2ω – 3e –j4ω Giải: Code MALAB syms w n; Xw=3*exp(-i*w*(-1))+4*exp(-i*w*2)-3*exp(-i*w*4) Xn=IFT(Xw,-10,10) n=-10:10; stem(n,Xn) Kết quả: Page 21 Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục Các hàm function sử dụng MatLab  function FT function [Xw] = ft(x,x1,x2) syms w ; Xw=0; m=1; for n=x1:1:x2 Xw=Xw + x(m)*exp(-1j*w*(n-1)); m=m+1; end  function IFT function [Xn] = IFT ( xw, n1,n2) m=1; Page 22 Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục syms w; for n= n1:1:n2 Xn(m)=int(xw*exp(1i*w*n)/(2*pi) , w, -pi,pi); m=m+1; end  function chuyển từ tín hiệu liên tục sang tín hiệu rời rạc function [X] = Tinh (x,w,x1,x2,N) syms w; m=1; for n=x1:(x2-x1)/N:x2 X(m) =subs(x,w,n); m=m+1; end Page 23 [...]... quả: Page 20 Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục Đề ra: Biến đổi Fourier ngược cho dãy sau X(ω) = 3e-jω + 4e –j2ω – 3e –j4ω Giải: Code MALAB syms w n; Xw=3*exp(-i*w*(-1))+4*exp(-i*w*2)-3*exp(-i*w*4) Xn=IFT(Xw,-10,10) n=-10:10; stem(n,Xn) Kết quả: Page 21 Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục Các hàm.. .Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục 1 1 x(n) = δ (n − 1) + δ (n − 2) 2 2 Nên : X(e jω ) = X ( z ) z =e jω Vì , nên để lập bảng biến đổi Fourier chỉ cần sử dụng bảng biến đổi z khi thay z = ejω , và để tìm biến đổi Fourier ngược, ngoài cách tính trực tiếp tích phân [21], cũng có thể sử dụng các phương pháp giống như tìm biến đổi Z ngược 3 Các tính... minh: Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [2] có : FT e jω0 n x (n)  = ∞ ∑ x(n).e jω0 n e − jω n n =−∞ Page 13 = ∞ ∑ x(n).e n =−∞ − j (ω −ω0 ) n = X(e j (ω −ω0 ) ) Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục Ví dụ 6 : Tín hiệu số x(n) có phổ tần số là phổ tần số của tín hiệu điều biên X(e jω ) = FT [ x (n)] Y(n) = x( n).cos(ω0 n) , hãy tìm Giải: e jω0n... 3 Các tính chất của biến đổi Fourier Do biến đổi Fourier là một trường hợp riêng của biến đổi Z nên, biến đổi Fourier cũng có các tính chất giống như biến đổi Z Dưới đây trình bầy các tính chất thường được sử dụng khi phân tích phổ tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý số 3.1 Tính chất tuyến tính Hàm tần số của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm tần số thành phần Nếu : FT... n ) = X (e − jω ) Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục Vì x(-n) là dãy thực nên X(e − jω ) = X * (e jω ) , do đó nhận được [29] Như vậy, các dãy thực nhân quả và phản nhân quả tương ứng có hàm biên độ tần số giống nhau, còn hàm pha tần số ngược dấu Ví dụ 7 : Hãy tìm Giải: X (e jω ) = FT[ 2nu ( −n)] Theo biểu thức [6] và tính chất biến đảo có : FT [... ) Page 15 Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục Ví dụ 8 : Hãy tìm Giải: Sử dụng các biểu thức [6] , [7] với k = 1 , và [3] , tìm được : FT [2− n u ( n)] = X (e Vậy : X (e jω ) = FT[ 2− nu ( n) * δ (n − 1)] jω 1 1 − 0,5e − jω FT [δ (n − 1)] = e − jω và 1 e − jω − jω ) = e = 1 − 0,5e − jω 1 − 0,5e − jω 3.6 Hàm tần số của tích hai dãy Hàm tần số của tích... [24] Trong đó các hệ số Ai là các hằng số Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [2] có : ∞   ∞ − jω n Y (e ) = FT  ∑ Ai xi (n)  = ∑ ∑ Ai xi (n).e = ∑ Ai ∑ xi (n).e − jω n i n =−∞  i  n =−∞ i jω Page 11 Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục ∞ ∑ x (n).e Vì n =−∞ i − jω n = FT [ xi (n)] = X i (e jω ) , nên nhận được [24] Ví dụ 4 : Hãy tìm. .. ' Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục ∞ 1 x ( n ) x ( n ) = ∑ 1 2 2π n =−∞ Hay : π ∫ X 1 (e − jω ' ).X 2 (e jω ' ) dω ' −π Khi cho x1(n) = x2(n) = x(n) thì theo [2.3-5], vế trái của biểu thức trên chính là năng lượng ∞ Ex = ∑ n =−∞ Ex của tín hiệu số x(n) : 1 x ( n) = 2π 2 ∞ Ex = ∑ ∫ X(e − jω −π 1 x (n) = 2π 2 n =−∞ Hay : π S x (ω ) = X(e jω ) Trong. .. dụng trong MatLab  function FT function [Xw] = ft(x,x1,x2) syms w ; Xw=0; m=1; for n=x1:1:x2 Xw=Xw + x(m)*exp(-1j*w*(n-1)); m=m+1; end  function IFT function [Xn] = IFT ( xw, n1,n2) m=1; Page 22 Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục syms w; for n= n1:1:n2 Xn(m)=int(xw*exp(1i*w*n)/(2*pi) , w, -pi,pi); m=m+1; end  function chuyển từ tín hiệu liên tục. .. [25] Nếu k > 0 là x(n) bị giữ trễ k mẫu, nếu k < 0 là x(n) được đẩy sớm k mẫu Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [2] có : Page 12 Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục FT [ x(n − k )] = ∞ ∑ x(n − k ).e =e − jω k n =−∞ Ví dụ 5 : Hãy tìm : Giải: − jω n ∞ ∑ x(n − k ).e − jω ( n − k ) = e − jω k X(e jω ) n =−∞ X(e jω ) = FT [2− n rect (n)] ... liên tục Hình - Mối quan hệ phép biến đổi Page Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục II CƠ SỞ NGHIÊN CỨU BIẾN ĐỔI FOURIER CHO TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC... Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục Biến đổi Fourier ngược Biến đổi Fourier ngược cho phép tìm dãy x(n) từ hàm ảnh X(ejω) Để tìm biểu thức phép biến đổi. .. Trong xử lý tín hiệu ngành liên quan, biến đổi Fourier thường nghĩ đến chuyển đổi tín hiệu thành thành phần biên độ tần số Ở tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số
- Xem thêm -

Xem thêm: tìm hiểu về biến đổi fourier cho tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục, tìm hiểu về biến đổi fourier cho tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục, tìm hiểu về biến đổi fourier cho tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục, 3 Các dạng biểu diễn của hàm X(), 6 Hàm tần số của tích hai dãy, III. THỰC HÀNH TRÊN MATLAB R2009a

Từ khóa liên quan

Mục lục

Xem thêm