BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC

Chương 3:

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG

MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC

3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER

3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER

3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F

3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ

3.5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU

• Ký hiệu:

x(n) X() hay X() = F{x(n)}

X() x(n) hay x(n) = F -1 {X()}

3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER

3.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI FOURIER:

Trong đó:  - tần số của tín hiệu rời rạc,  =  T s

 - tần số của tín hiệu liên tục

T s - chu kỳ lấy mẫu

• Biến đổi Fourirer của x(n): 

e n x

(

• X() biểu diễn dưới dạng modun & argument:

• Nhận thấy X() tuần hoàn với chu kỳ 2, thật vậy:

) (

) ( )

e n x

2

k

k dk

(

Ví dụ 3.1.1: : Tìm biến đổi F của các dãy:

1 :

) ( )

nu n e a

) 1 (

e n x

e n

Ví dụ 3.1.2: : Xét sự tồn tại biến đổi F của các dãy:

) ( ) 5 0 ( )

(

) ( )

(

n

n

2 5

0 1

N

N n rect  N

3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER

a) Tuyến tính

) ( )

1 n X 

x   F

) ( )

( )

( )

x    F

) 2 (

( )

( )

( )

n n

Nếu:

) (

* )

d) Đảo biến số

) ( )

) (

) (  n    X  

1 )

( )

1 )

1 )

e) Vi phân trong miền tần số

1 );

( )

( n  na u n a 

1 a

; 1

1 )

( )

( )

u a n

x

) ( )

x   F

)

x

n   F

) ( )

ae d

dX j

G

j

j F

f) Dịch theo tần số

1 );

( ) cos(

) (n a 0n u n a 

1 a

; 1

1 )

( )

( )

u a n

x

) ( )

x   F

) -

( )

) ( )

y  n  a n u n e j 0n e j 0n

2

1 ) (   

g) Tích 2 dãy

) ( )

( )

(

1 )

1 (

1 2

1 )

Y

) ( )

g) Tổng chập 2 dãy

) ( )

x   F

) ( )

( )

(

* )

( ) (

) ( )

(

* ) ( )

) ( 2 )

4 (

)

- gọi là phổ mật độ năng lượng

g) Quan hệ Parseval

) ( )

1 )

( )

1 )

(Với: S (  )  X (  ) 2

1 ( ) 2

x n

( )

1

3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER & Z

Hay biến đổi Fourier chính là

biến đổi Z được lấy trên vòng

tròn đơn vị theo biến số 

F X( ) x(n)e)

Ví dụ 3.3.1: : Tìm biến đổi Z & F của các dãy:

Giải:

) ( 2 )

(

5 0

; 5

0 1

1 )

) ( ) 5 0 ( )

1 )

( )

1

2

; 2

1

1 )

Do ROC[X 2 (z)] không chứa /z/=1, nên X 2 () không tồn tại

3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC

) ( j

e ) ( H )

H

) (



- Đáp ứng biên độ

- Đáp ứng pha

Ví dụ: 3.4.1: Tìm H(), vẽ đáp ứng biên độ & pha, biết:

Giải:

Biến đổi Fourier của h(n):

h(n)=rect 3 (n)

n j n

e n rect

0

) (

)

(

2 / 2

/ 2

/

2 / 3 2

/ 3 2

/ 3

j

j j

j

e e

e

e e

) 2 / 3

sin(

) 2 / sin(

) 2 / 3

) 2 / 3

) ( A

: )

- -2/3 0 2/3  

/2

argH()

-/2 - -2/3 0 2/3  

1

/H()/

3.4.3 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm mũ phức

) (

) (

) (

* ) ( )

(

* ) ( )

) ( )

m

Ae m

h n

3 2

1 1

1 2

) ( ) ( )

e

e H

n x n



j

n j

3.4.4 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm cos,sin

e j n e j n 

A )

n cos(

A )

( H ) n ( x )

n

(

0 0

n

(

0 0

Xét tín hiệu vào có dạng hàm cos:

Biểu diễn đáp ứng tần số dưới dạng môđun & pha:

) ( j

e ) ( H )

 H ( ) e  A H ( ) cos  n ( ) 

Re A )

n sin(

A )

n

(

3.5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HiỆU

3.5.1 Khái niệm lấy mẫu tín hiệu

Rời rạc hóa

Tín hiệu tương tự

x a (t)

t 0

x a (nT s )

n

0 Ts 2Ts …

Tín hiệu rời rạc Tín hiệu được lấy mẫu

x s (t)

n

0 Ts 2Ts …

t 0

Chuỗi xung lấy mẫu

3.5.2 Quan hệ giữa tần số tín hiệu rời rạc và tương tự

Trong đó:  - tần số của tín hiệu rời rạc

 - tần số của tín hiệu tương tự

T s - chu kỳ lấy mẫu

3.5.3 Quan hệ giữa phổ tín hiệu rời rạc và

s s

) mF F

( X

F F

F X

f X

Ví dụ: 3.5.1: Hãy vẽ phổ biên độ

tín hiệu rời rạc, biết phổ biên độ

tín hiệu tương tự cho như hình

vẽ, với các tốc độ lấy mẫu:

a)F s >2F M b) F s =2F M c) F s <2F M

Trong đó: X(f) – phổ của tín hiệu rời rạc

X a (F) – phổ của tín hiệu tương tự

/X a (F)/

F 0

-F M F M

1

F 0

c)

3.5.4 Định lý lấy mẫu

“Tín hiệu tương tự x a (t) có dải phổ hữu hạn (-F M ,F M ) chỉ

có thể khôi phục 1 cách chính xác từ các mẫu x a (nT s ) nếu tốc độ lấy mẫu thỏa F s ≥ 2F M ”

Ví dụ 3.5.2: Xác định tốc độ Nyquist của tín hiệu tương tự:

• F s =2F M =F N: Tốc độ (tần số) Nyquist

t t

t t

x a( )  3 cos 2000   5 sin 6000   10 cos 12000 

t t

t t

xa( )  3 cos 2000   5 sin 6000   10 cos 12000 

Giải:

Tín hiệu có các tần số: F 1 =1 kHz, F 2 =3 kHz, F 3=6 kHz

F M =max{F 1 , F 2 , F 3 }=6 kHz  F N =2FM = 12 kHz

3.5.5 Khơi phục lại tín hiệu tương tự

• Để khơi phục lại tín hiệu tương tự x a (t) thì phổ của tín hiệu

được khơi phục phải giống với phổ ban đầu của x a (t).

• Vì phổ của tín hiệu lấy mẫu là sự lặp lại vơ hạn của phổ tín

hiệu tương tự, nên cần phải giới hạn lại bằng cách người ta

cho các mẫu x a (nT s ) đi qua mạch lọc thơng thấp lý tưởng

trong điều kiện thỏa định lý lấy mẫu cĩ đáp ứng tần số:

tầncác

ở :

2

f2

f - :

) (

] ) (

sin[

) (

) ( )

( )

(

s s

s s

lp s

a a

nT t

F

nT t

F nT

x t

h nT

x t

t

f df

e f H

d e

H t

h

s

s ft

j lp

t

j lp

( 2

1 )