TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN THỜI GIAN

TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN THỜI GIAN

CHƯƠNG 2

PHẦN 1: TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

TRONG MIỀN THỜI GIAN

Miền thời gian liên tục và rời rạc

 Time domain

 Tín hiệu liên tục (về mặt) thời gian là tín hiệu

xác định với mọi thời điểm trong một khoảng

thời gian

X(t) t là biến thời gian thực,

 Tín hiệu rời rạc (về mặt) thời gian là tín hiệu chỉ xác định trên một tập rời rạc của thời gian (một tập những thời điểm rời rạc)

Tín hiệu mang giá trị thực hoặc phức

 Tín hiệu x(t) hay x(n) có thể mang giá trị thực hoặc giá trị phức

 Trong trường hợp x(n) mang giá trị phức

 Tín hiệu liên hợp phức với {x(n)}

) ( )

( )

) ( )

( )

(

Tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn

Tín hiệu x(n) tuần hoàn có chu kỳ N:

Tín hiệu đối xứng (chẵn) và bất đối xứng (lẻ)

Tần số của tín hiệu liên tục thời gian

 Tần số liên quan mật thiết với dao động điều hòa

(harmonic oscillation) được mô tả bởi các hàm sin Xét thành phần tín hiệu cơ bản

 Với F xác định, x(t) tuần hoàn với chu kỳ: Tp= 1/F

 Tần số khác nhau thì hai tín hiệu sẽ khác nhau

Tín hiệu

tuần hoàn

Tần số của tín hiệu rời rạc thời gian

 x(n) tuần hoàn f là số hữu tỉ

 Các tín hiệu có tần số ω cách nhau một bội 2π là đồng nhất nhau

 Hệ số dao động cao nhất của x(n) khi: ω=π (hay ω=–π), tức

Tín hiệu rời rạc thời gian

Quá trình lấy mẫu

 Mô hình quá trình lấy mẫu với chu kỳ lấy

Hiện tượng chồng lấn phổ

 Khi xem xét phổ (mang tính chất lặp lại) của tín hiệu

đã được lấy mẫu, không thể xác định được tần số

của tín hiệu ban đầu Nó có thể là thành phần nào đó trong các tần số f’=f+mfs,với m=0, ±1, ±2,…

 Do bất kỳ tần số nào thuộc f’ cũng đều có phổ giống nhau sau khi lấy mẫu Hiện tượng trùng lắp này

được gọi là hiện tượng chồng lấn phổ “aliasing”

 Có thể tránh được nếu thoả mãn các điều kiện của định lý lấy mẫu.

Aliasing

không tồn tại tần số nào trên vùng ngoài của fmax.

Định lý lấy mẫu (tiếp)

Định lý lấy mẫu (tiếp)

 Tần số lấy mẫu phải được chọn lớn hơn ít nhất là hai lần fmax, tức là fs ≥ 2fmax

biểu diễn theo khoảng cách thời gian lấy

mẫu:

 fs=2fmax được gọi là tốc độ Nyquist.

 Đại lượng fs/2 được gọi là tần số Nyquist hay tần

 Phép nhân (modulation operation):

Modulator

 Có những ứng dụng nhân một chuỗi vô

hạn với chuỗi hữu hạn hay gọi là cửa sổ

Các phép toán cơ bản với

tín hiệu (chuỗi) rời rạc

) ( ).

( )

( )

Phép lấy trước

 Advance operation

 Dịch theo thời gian bằng cách thay thế n bởi n+k

 y(n) = x(n+k) k >0 ∀

 y(n) là kết quả của lấy trước x(n) đi k mẫu

 Trên đồ thị: phép lấy trước chính là DỊCH TRÁI

chuỗi tín hiệu đi k mẫu

 Unit advance

z

x (n) y(n) y ( n ) = x ( n + 1 )

Phép đảo

Time-reversal (folding)

Thay thế n bởi –n : y(n) = x(–n)

y(n) là kết quả của việc đảo tín hiệu x(n)

Trên đồ thị: phép folding chính là ĐẢO đồ thị

quanh trục đứng

Ví dụ phép toán

)3(

)2(

)1(

)()

Ví dụ phép toán

 Hệ thống đặc trưng toán tử T làm nhiệm vụ biến đổi tín

hiệu vào x thành tín hiệu ra y

 Hệ thống rời rạc: Tín hiệu vào và tín hiệu ra là tín hiệu rời rạc

 Hệ thống số: Tín hiệu vào và tín hiệu ra là tín hiệu số

Khái niệm hệ thống

Hệ thống thực tế

 Hệ thống

 Thiết bị vật lý, thiết bị sinh học, hoặc chương trình thực hiện các phép toán trên tín hiệu nhằm biến đổi tín hiệu, rút trích thông tin, …

 Việc thực hiện phép toán còn được gọi là xử lý tín hiệu

 Ví dụ

 Các bộ lọc tín hiệu

 Các bộ trích đặc trưng thông tin trong tín hiệu

 Các bộ phát, thu, điều chế, giải điều chế tín hiệu

 Hệ thống tuyến tính & phi tuyến

T

x(n)

Hệ thống

y(n)

 Hệ tuyến tính: T[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1T[x1(n)]+a2T[x2(n)]

 Hệ phi tuyến: không thoả tính chất trên

 Hệ thống bất biến & thay đổi theo thời gian

 Hệ bất biến theo thời gian: nếu tín hiệu vào dịch đi k đơn vị

x(n-k) thì tín hiệu ra cũng dịch đi k đơn vị y(n-k)

 Hệ thay đổi theo thời gian: không thoả tính chất trên

Tuyến tính và bất biến

Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời

gian

 Các hệ thống thời gian rời rạc đặc biệt là các

hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian

(Linear Time Invariant systems) gọi tắt là LTI

 Quan hệ giữa ngõ ra và ngõ vào thể hiện qua phép toán chập thời gian rời rạc (discrete

time convolution) đáp ứng xung của hệ thống

và ngõ vào

Các hệ thống LTI

 Các hệ thống LTI có thể được phân chia thành hai loại tùy thuộc vào đáp ứng xung của chúng hữu hạn hay vô hạn

 FIR (Finite Impulse Response)

 IIR (Infinite Impulse Response)

 Tùy thuộc vào ứng dụng cũng như phần cứng, hoạt động của một bộ lọc số FIR có thể tổ chức thành dạng khối (block) hoặc dạng mẫu-theo-mẫu (sample by sample)

Đáp ứng xung

 Hệ thống tuyến tính bất biến có thể đặc trưng

bằng chuỗi đáp ứng xung h(n), xác định như

là đáp ứng của hệ thống đối với xung đơn vị Đáp ứng xung đơn vị là rời rạc thời gian của hàm tương tự Dirac và được xác định như

sau:

Tính nhân quả và ổn định

 Giống như tính hiệu tương tự, tín hiệu số cũng được phân loại thành tính hiệu nhân quả, không nhân quả

và tính hiệu trung gian

 Một tín hiệu nhân quả (causual) là tín hiệu chỉ tồn tại khi n ≥ 0 và triệt tiêu với các giá trị n ≤ -1 Tín hiệu

nhân quả là loại tín hiệu phổ biến nhất bởi vì đó là tín hiệu thường phát ra trong các phòng thí nghiệm hoặc khi mở máy phát nguồn tín hiệu.

 Một tín hiệu không nhân quả là tín hiệu chỉ tồn tại khi

n ≤ -1 và triệt tiêu khi n ≥ 0 Tín hiệu trung gian là tín hiệu tồnn tại cả trong hai miền thời gian nói trên.

 Hệ thống nhân quả & không nhân quả

 Hệ nhân quả: Tín hiệu ra chỉ phụ thuộc tín hiệu vào ở

thời điểm quá khứ và hiện tại

 Hệ không nhân quả: không thoả tính chất trên

k x n

Xem xét biểu diễn tín hiệu (chuỗi)

theo các xung đơn vị

,4,5} 3

{1,2, )

(

↑

=

n x

Đáp ứng xung của hệ thống

x(n) y(n)=T[x(n)]

 Đáp ứng xung của hệ thống là đáp ứng khi tín hiệu vào là dãy

xung đơn vị, ký hiệu h(n)

δ(n) h(n)=T[δ(n)]

Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến

 Giao hoán: y(n) = x(n)∗h(n)=h (n)∗x(n)

Hệ thống tuyến tính bất biến là nhân quả h(n)=0: n<0

Ví dụ: Xét tính nhân quả các hệ thống tuyến tính bất biến:

n u a n

) (

) ( )

( ) (n y n k b n x n r

Với: N – gọi là bậc của phương trình sai phân: N,M>0

a k (n), b r (n) – các hệ số của phương trình sai phân

) (

) (n k b x n r y

Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

Phương trình sai phân tuyến tính

Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ

số hằng

 Để giải phương trình sai phân cần phải có các điều

kiện ban đầu y(-1), y(-2), … , đó chính là các trạng

thái khởi tạo của hệ xử lý số trước khi có tác động

Hệ xử lý số có phương trình sai phân bậc N thì cần

N điều kiện ban đầu

 Có hai phương pháp giải phương trình sai phân để xác định đáp ứng ra y(n), đáp ứng xung h(n):

 Phương pháp thế

 Phương pháp tìm nghiệm tổng quát: giải phương trình tìm nghiệm thuần nhất, nghiệm riêng rồi xác định nghiệm tổng quát.

Phương pháp thế

 Phương pháp thế giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng được thực hiện bằng

cách thế lần lượt các giá trị của x(n) vào

phương trình sai phân để lần lượt tìm được

các giá trị của phản ứng y(0), y(1), y(2), …

 Chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp thế

giải phương trình sai phân qua một vài ví dụ

Phương pháp tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân

 Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân

sẽ bằng tổng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất yc(n) và nghiệm riêng của

phương trình yp(n):

y(n) = yc(n) + yp(n)

y c (n): nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất:

Giả thiết α n là nghiệm, phương trình đặc trưng có dạng:

a

N k

k

0

1 1

1 1

N N

N

Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

Phương trình đặc trưng có nghiệm đơn α1 , α2 ,…αN

 Phương trình đặc trưng có nghiệm α bội r

n N N

n

n

h n A A A

y ( ) = 1α1 + 2α2 +  + α

 Phương trình đặc trưng có nghiệm đơn α1 , α2 ,…αN

 Phương trình đặc trưng có nghiệm α1 bội r

n N N

n n

r r

h n A A n A n A A

y ( ) = ( 0 + 1 +  + −1 −1)α1 + 2α2 +  + α

Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

b Nghiệm riêng của PTSP: y p (n)

 Thường chọn y p (n) có dạng giống với x(n)

Xem ví dụ tìm nghiệm phương trình sai phân tuyến tính

Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

 Hệ thống không đệ qui là hệ thống đặc trưng bởi Phương

trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc N=0

1

: ) (

n x b n

y M

) (

) ( )

( )

(

0

r n

x r h n

y b

 Hệ thống không đệ qui còn gọi là hệ thống có đáp ứng xung

độ dài hữu hạn – FIR (Finite Impulse Response)

 Hệ thống đệ qui còn gọi là hệ thống có đáp ứng xung độ dài

vô hạn – IIR (Infinite Impulse Response)

 Hệ thống đệ qui là hệ thống đặc trưng bởi Phương trình sai

phân tuyến tính hệ số hằng bậc N>0

) (

)

(

0 0

r n

x b k

n y

) ( )

( )

( )

( )

(n = y n ( )= ( ) ⇒ h n = y n = n + ay n −

h x n δ n δ

0:

)(n = a n ≥

:)

) (

)

(

0

r n

x b n

) 1 (

1 a

: ) (

) (

)

1 0

y a r

n x b n

Sơ đồ hệ thống đệ quy

Z -1

3

+

hệ thống: y(n) - 3y(n-1) + 2y(n-2) = 4x(n) - 5x(n-2)

y(n) = 4x(n) - 5x(n-2) + 3y(n-1) - 2y(n-2)

HẾT PHẦN 1