Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2) biến dạng tổng quát

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ KHÁNH LY BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(2) BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT Chuyên ngành: VẬT LÝ LÍ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Người hướng dẫn khoa học: PGS- TS Lưu Thị Kim Thanh HÀ NỘI, 2012 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực Trường ĐHSP Hà Nội 2, hướng dẫn Phó giáo sư, Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh Người đặt móng cho luận văn tận tình hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Cho phép gửi tới cô lời cảm ơn chân thành sâu sắc Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, phòng sau Đại học khoa Vật lý tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi hồn thành chương trình Cao học hồn thành luận văn tốt nghiệp Cuối xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp ln động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập thực luận văn Tác giả Nguyễn Thị Khánh Ly LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn Phó giáo sư, Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh Luận văn không trùng lặp với đề tài nghiên cứu khác Tác giả Nguyễn Thị Khánh Ly MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Tên đề tài, kết cấu luận văn NỘI DUNG Chương ĐỐI XỨNG CỦA CÁC HẠT TƯƠNG TÁC MẠNH 1.1 ĐỐI XỨNG ĐỒNG VỊ SU(2) 1.2 ĐỐI XỨNG SU(3) 12 1.3 CÁC ĐA TUYẾN HADRON 16 1.3.1 Đa tuyến tám baryon 1+ 16 1.3.2 Đa tuyến tám meson - 19 1.3.3 Đa tuyến tám meson 1- 20 1.3.4 Đa tuyến mười baryon 3+ 21 1.4 CÔNG THỨC KHỐI LƯỢNG GELL-MANN-OKUBO 22 1.5 ĐA TUYẾN QUARK 25 1.6 CÁC ĐỐI XỨNG CAO HƠN 29 Kết luận chương 33 Chương BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(2) 34 2.1 HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 34 2.2 BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(2) 36 2.2.1.Hệ dao động tử boson đa mode 36 2.2.2.Biểu diễn dao động tử đại số SU(2) 37 Kết luận chương 42 CHƯƠNG BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(2) BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT 43 3.1 CƠ SỞ TOÁN HỌC 43 3.2 DAO ĐỘNG TỬ BOSON BIẾN DẠNG q 44 3.2.1 Dao động tử Boson biến dạng q 44 3.2.2 Phân bố thống kê Bose-Einstein biến dạng q 47 3.3 BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SUq(2) 49 3.4 BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(2) BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT 52 3.4.1 Dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát 52 3.4.2 Biểu diễn dao động đại số SU(2) biến dạng tổng quát 56 Kết luận chương 58 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Đối xứng phản đối xứng đóng vai trò quan trọng tự nhiên nói chung vật lý hạt nói riêng Việc tìm kiếm đối xứng, việc tìm kiếm đại lượng bất biến vật lí phương pháp đường phổ biến cơng khám phá định luật vật lí Ngơn ngữ toán học lý thuyết đối xứng lý thuyết nhóm Lý thuyết đối xứng lượng tử lấy nhóm lượng tử làm sở hướng nghiên cứu thu hút quan tâm nhiều nhà vật lý thời gian gần Nhóm lượng tử kiểu biến dạng đại số Lie thông thường mà thu lại tham số biến dạng có giá trị đơn vị [1,2] Ứng dụng nhóm lượng tử vật lý trở nên phổ biến với việc đưa vào hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng [3,4], chẳng hạn tìm biểu diễn boson đại số lượng tử SUq(2) ứng dụng để giải phương trình Yang – Baxter [5] Đại số lượng tử có nhiều ứng dụng ngành vật lý khác, nghiên cứu chuỗi spin, anyoins, quang lượng tử, quay dao động hạt nhân nguyên tử…; ứng dụng lý thuyết trường conformal Từ nhận thấy rằng, đại số lượng tử có lớp đối xứng rộng lớp đối xứng Lie bao gồm đối xứng Lie trường hợp đặc biệt Nghiên cứu đại số lượng tử SU(2) nằm hướng nghiên cứu trên, đạt nhiều kết có ý nghĩa vật lý hạt nhân nguyên tử, vật lý hạt bản…đã thu hút đề tài quan tâm nhiều nhà khoa học Vì đề tài có ý nghĩa khoa học; lý tơi chọn đề tài Biểu diễn dao động tử đại số SU(2) biến dạng tổng quát làm luận văn thạc sĩ hướng dẫn giáo, PGS TS Lưu Thị Kim Thanh Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng - Xây dựng phân bố thống kê biến dạng - Nghiên cứu đại số SU(2) - Nghiên cứu đại số SU(2) biến dạng tổng quát Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp Lý thuyết trường lượng tử - Phương pháp vật lý thống kê - Phương pháp lý thuyết nhóm Tên đề tài, kết cấu luận văn - Tên đề tài: Biểu diễn dao động tử đại số SU(2) biến dạng tổng quát - Kết cấu luận văn: Gồm phần mở đầu kết luận; Nội dung luận văn trình bày ba chương : Chương 1: Đối xứng hạt tương tác mạnh Chương 2: Biểu diễn dao động tử đại số SU(2) Chương 3: Biểu diễn dao động tử đại số SU(2) biến dạng tổng quát NỘI DUNG Chương ĐỐI XỨNG CỦA CÁC HẠT TƯƠNG TÁC MẠNH 1.1 ĐỐI XỨNG ĐỒNG VỊ SU(2) Vào năm 1930, kết nghiên cứu thực nghiệm lực hạt nhân proton neutron dẫn đến suy nghĩ rằng: tách điện tích proton khơng có cách phân biệt proton với neutron chúng có khối lượng cường độ tương tác với hạt khác xấp xỉ Trên quan điểm xem proton với neutron hai trạng thái khác hạt – nucleon N Để mô tả điều này, Heisenberg đưa vào khái niệm spin đồng vị Cũng tương tự với spin thơng thường, hạt có spin đồng vị I (2I+1) trạng thái khác với giá trị [1]: I = I , I -1, , -I Như 1 I3 = + , 2 Về sau khái niệm spin đồng vị mở nucleon có spin đồng vị I = trị neutron ứng với giá trị I = rộng , proton ứng với giá cho hạt tương tác mạnh khác Ví dụ meson p + , p p - xem ba , trạng thái khác hạt p , có spin đồng vị I = 1, p + có I3 = +1, 0p I3 = 0, p- có có I = -1, tương tự với meson k, baryon S, X, Đối xứng đồng vị mơ tả ngơn ngữ tốn học nhóm phép biến đổi SU(2), nhóm phép biến đổi thực toán tử U có dạng: U (w ) å wa I a = e a =1 i (1.1) wa thông số nhận giá trị thực, vi tử I a đồng với toán tử spin đồng vị, hermitic I a + = tuân theo hệ thức giao hoán: Ia [ I a , Ib ] = ie (1.2) I abc c Dưới tác dụng phép biến đổi đồng vị toán tử trường biến đổi theo qui tắc tổng quát: i w I -i w j ( x)®j '( x) å j ( x) å =e e aa a aa aI (1.3) Nếu có r hạt với trường tương ứng ji ( x ) , i = 1, 2, , r , biến đổi theo qui luật: (1.4) j ja ( i ổ -i ồwaTa ữ j x)=ỗe ỗ j ÷ ( x) è ø£i Ta ma trận r ´ r , tuân theo hệ thức giao hoán I a , [Ta , Tb ] (1.5) = ie T abc c ta nói r hạt thực biển diễn r chiều nhóm SU(2), nói chúng tạo thành đa tuyến đồng vị r Rõ ràng r = 2I + , I spin đồng vị hạt đa tuyến Ví dụ: r = 1,Ta = Lúc j ( x)®j '( ta có vơ hướng đồng vị ( bất biến) ứng với giá x) trị I=0 r = = 2,Ta a t ỉ0 1ư ỉ0 -i ỉ1 0ư aˆ, aˆ + = (3.31) Toán tử số dao động tử Nˆ thỏa mãn hệ thức é Nˆ , aˆ ù ë = û -aˆ, é Nˆ , aˆ + ù ë + = aˆ û (3.32) Một cách tổng quát, giả sử toán tử Nˆ biểu diễn theo toán tử sinh, hủy dao động tử hệ thức sau Nˆ = f (aˆ + aˆ ) Vậy, hàm f ( x) (3.33) g( x) phải có mối quan hệ C Daskaloynnis rằng: hệ thức (3.32) thỏa mãn với liên quan hàm f ( x) g( x) sau [6] f ( g ( x) ) = f ( x (3.34) ) 1+ Gọi hàm F ( x) hàm ngược f ( x), tức F ( f ( x) ) = x (3.35) g ( x) = F (1 + f ( x) (3.36) ) Từ hệ thức (3.35) (3.36), ta thay đại số biến dạng tổng quát ( f aˆ aˆ + ) ( + x º aˆ ta có hệ thức aˆ + - f aˆ aˆ = 1, ) (3.37) hàm f ( x), hàm F ( x) hàm sở lý thuyết biến dạng hay gọi hàm cấu trúc lý thuyết biến dạng Vậy dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát, hàm f ( x) hàm thực aˆ aˆ + hai toán tử liên hiệp Hermitic thỏa mãn hệ , thức sau ( f aˆaˆ ) tốn tử số dao động tử ( + f aˆ aˆ ) = 1, Nˆ = thỏa mãn hệ thức : + + f (aˆ aˆ) é Nˆ , aˆ ù = - aˆ , ë û é Nˆ , aˆ + ù = aˆ + ë û Gọi n vectơ trạng thái riêng toán tử Nˆ , thỏa mãn phương trình hàm riêng trị riêng Nˆ n = n n (3.38) Phương trình (3.32) nói lên tốn tử aˆ aˆ + hai toán tử hủy dao động , tử sinh dao động tử, tương ứng, tác động lên vectơ trạng thái n sau aˆ n = [ n ] n -1 , aˆ = + n [n ] + n +1 , (3.39) từ phương trình (3.29), tìm hệ thức [ n + 1] = g ([ n ]) , f ([ n + 1]) = + f ([ n ]) ; Kết hợp với phương trình (3.34), ta có [n] = F ( n ) (3.40) Vectơ trạng thái riêng tương ứng với trị riêng toán tử số dao F (0) = f (0) = ) động tử Nˆ thỏa mãn điều kiện: (hoặc Nếu aˆ = Vectơ trạng thái riêng toán tử số dao động tử Nˆ = dạng tổng quát ( aˆ ) + f (aˆ aˆ) có + (3.41) n n = , [ n]! với [ n ]! = Õnn k =1 [ k ] =Õ k =1 F ( k ) Hamiltonian dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát có dạng Hˆ = hw ( aˆ aˆ aˆ ) + aˆ + + Các giá trị riêng cho ta biết phổ lượng dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát E = n E= n hw hw ( [ n + 1] + [ n ]) ( F (+n + 1) F (n ) ) Từ hệ thức thu + aˆ aˆ = F ) Nˆ , 60 ( (3.42) aˆaˆ + =F ( Nˆ ) +1 Vậy giao hoán tử biến dạng tổng quát có dạng 61 aˆ, aˆ + ( Nˆ + 1) ( Nˆ ) =F -F (3.43) 3.4.2 Biểu diễn dao động đại số SU(2) biến dạng tổng quát Sử dụng (3.43) , xây dựng đại số SU(2) biến dạng tổng quát dựa vào hệ dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát hai mode với vi tử [7] + Jˆ+ = aˆ aˆ , + Jˆ- = aˆ aˆ , (3.44) - Nˆ ), Jˆ = + Nˆ 1 2 Nˆ ), J 3= ( Nˆ ( thỏa mãn đại số sau: ù , Jé ,ˆ ˆ = J ˆ J ë 3+ + û é Jˆ , ù = - Jˆ , ˆ ë J- û (3.45) ˆ , J- ˆ ù = Q é J+ë û é Jˆ , Jˆ ± ù = ë û 0, ˆ ˆ éJ ,J ù= 0, ( ˆ ˆ Jˆ + J , J - J ) ë û hàm Q ( x, y định nghĩa sau ) Q ( x, y ) = F1 ( x ) F2 ( y + 1) - F1 ( x + 1) F2 ( y ) (3.46) Trong đối xứng SU(2) dao động biến dạng sở giống nhau, có nghĩa F1 ( x ) = F2 ( x ) = F ( x ) , hàm Q( x,y) hàm phản đối xứng Q ( x, y ) = -Q ( y, x ) Trạng thái riêng vi tử (3.44) ([ j + m]![ j m]!) j, m = - + ( j + m) + ( aˆ ) ( j - m) ( aˆ ) (3.47) , Tác dụng vi tử đại số SU(2) biến dạng tổng quát lên vectơ trạng thái sở không gian biểu diễn bất khả quy Jˆ+ j, m = F( j+m) F( j-m j, m + , Jˆ- j, m = + 1) j, m -1 , F( j-m) F( j+m + 1) Jˆ j, m3 = m j, m Jˆ j, m = j j, m (3.48) Tùy vào dạng cụ thể hàm cấu trúc lý thuyết biến dạng, thu trường hợp đặc biệt là: + Đối với dao động tử boson: F( x)= x + Đối với dao động tử điều hòa biến dạng- q, với x -x sinh(t x) F( x)=q -q = -1 sinh(t ) q-q t q=e + Đối với dao động tử điều hòa biến dạng- q, với q=e it x -x sin(t x) F( x)=q -q = -1 sin(t ) q-q + Đối với dao động tử điều hòa biến dạng- Q Qx1 F (x = Q -1 ) Kết luận chương Trong chương này, nghiên cứu dao động tử điều hòa biến dạng q, tìm biểu thức phổ lượng rút đặc điểm phổ lượng; xây dựng phân bố thống kê Bose – Einstein cho hệ dao động tử điều hòa biến dạng – q Trên sở kết thu biểu diễn vi tử đại số SUq(2) theo toán tử sinh, hủy dao động tử Đặc biệt nghiên cứu dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát xây dựng biểu diễn dao động tử đại số SU(2) biến dạng tổng quát; đưa hàm cấu trúc cho số trường hợp biến dạng cụ thể KẾT LUẬN Đề tài “Biểu diễn dao động tử đại số SU(2)biến dạng tổng quát” đạt số kết sau: Đã rình bày lí thuyết đối xứng hạt tương tác mạnh, bao gồm đối xứng đồng vị SU(2), Đối xứng SU(3) đối xứng cao Từ biểu diễn nhóm đối xứng, hạt xếp theo đa tuyến Đặc biệt, từ biểu diễn sở nhóm đối xứng SU(3) lập nên đa tuyến quark, với đặc điểm tất biểu diễn khác tạo nên từ biểu diễn này, nhà vật lí kết luận hạt tạo nên từ quark Cho đến nay, chưa có thí nghiệm phát quark trạng thái tự do, chúng bị chi phối “nguyên lý cầm tù”, có nhiều kết thực nghiệm chứng tỏ tồn quark Các hệ thức khối lượng Gell – Mann – Okubo hạt đa tuyến trình bày Tiếp theo sở hình thức luận dao động tử điều hòa tuyến tính, với hệ thức giao hoán toán tử sinh, hủy dao động tử toán tử số hạt; đến biểu diễn vi tử đại số SU(2) theo toán tử sinh, hủy boson trình bày biểu diễn bất khả quy nhóm SU(2) khơng gian j + chiều Đã nghiên cứu dao động tử điều hòa biến dạng q, tìm biểu thức phổ lượng rút đặc điểm phổ lượng; xây dựng phân bố thống kê Bose – Einstein cho hệ dao động tử điều hòa biến dạng – q Trên sở kết thu biểu diễn vi tử đại số SUq(2) theo toán tử sinh, hủy dao động tử Đặc biệt nghiên cứu dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát xây dựng biểu diễn dao động tử đại số SU(2) biến dạng tổng quát; đưa hàm cấu trúc cho số trường hợp biến dạng cụ thể Mặc dù em có nhiều cố gắng tất nhiệt tình lực mình, nhiên khơng thể tránh khỏi thiếu sót hạn chế, mong nhận góp ý quý báu quý thầy cô bạn đồng nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đào Vọng Đức (2012), Bài giảng lý thuyết hạt bản, lớp cao học K15 Trường ĐHSP Hà Nội [2] A.J Macfarlane (1989), On q – analogues of the quantum harmomic oscillator and the quantum groupe SU q(2), J Phys Agen 22, 4581 [3] L.C Biedenhar (1989), The quantum group SUq (2) and a q - analoque of the Boson operators, J Phys A: Math Gen 22, 1873 [4] M Chaichian, R Gonzalez Felipe and C Montonen (2006), Statistics of q - Oscillators, quons and relations to fractional Statistics, J Phys Lett B5,187 - 193 [5] R Chakrbarti and R, Jagarnathan (1992), On the number operators of single - mode q - oscillators, J Phys A: Math.Gen 25 , 6393 - 6398 [6] C Daskaloyannis (1991), J Phys A 24, L789 [7] Lưu Thị Kim Thanh (2012), Quantum Algebras SUq(2), Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP Hà Nội 2, số 19, 140 – 146 67 ... 3.4 BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(2) BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT 52 3.4.1 Dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát 52 3.4.2 Biểu diễn dao động đại số SU(2) biến dạng tổng quát. .. 33 Chương BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(2) 34 2.1 HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 34 2.2 BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(2) 36 2.2.1.Hệ dao động tử boson đa mode... 2.2.2 .Biểu diễn dao động tử đại số SU(2) 37 Kết luận chương 42 CHƯƠNG BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(2) BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT 43 3.1 CƠ SỞ TOÁN HỌC 43 3.2 DAO