Dao động tử biến dạng

1 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan, người tận tình giúp đỡ, bảo cung cấp cho em kiến thức tảng để em hoàn thành luận văn Thầy người giúp em ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc thầy Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cơng tác phòng sau Đại Học, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội Giáo sư, Tiến sĩ trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho em kiến thức quý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện cho em suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Hà Nội, ngày 25 tháng 12 năm 2012 Học viên Nguyễn Hồng Vân LỜI CAM ĐOAN Tên là: Nguyễn Hồng Vân, học viên cao học khóa 2010 – 2012 chuyên nghành Vật lý lý thuyết vật lý toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin cam đoan đề tài: “Dao động tử biến dạng gˆ ” kết nghiên cứu, thu thập riêng Các luận cứ, kết thu đề tài trung thực, không trùng với tác giả khác Nếu có khơng trung thực luận văn tơi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học Hà Nội, ngày 25 tháng 12 năm 2012 Học viên Nguyễn Hồng Vân MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƯƠNG DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT 1.1 Dao động tử biến dạng tổng quát 1.1.1 Dao động tử biến dạng tổng quát 1.1.2 Hàm cấu trúc F(x) 1.2 Biểu diễn dao động tử biến dạng tổng quát 23 1.2.1 Biểu diễn hữu hạn chiều đại số dao động tử biến dạng tổng quát 24 1.2.2 Biểu diễn vô hạn chiều đại số dao động tử biến dạng tổng quát 28 CHƯƠNG NHÓM LƯỢNG TỬ 31 2.1 Biểu diễn dao động tử đại số SU (2) 31 2.2 Đại số biến dạng thông số SU(2)q 36 CHƯƠNG DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG gˆ 41 3.1 Ưu biến dạng so với biến dạng q .41 gˆ 3.2 Hệ dao động tử biến dạng gˆ 43 3.3 Các tính chất gˆ 44 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý xem ngành khoa học định luật vật lý chi phối tất ngành khoa học tự nhiên khác Trong lịch sử vật lý, nhà khoa học nhiều lần biến dạng lý thuyết để tạo nên lý thuyết đáp ứng nhu cầu thực tiễn Lý thuyết biến dạng tổng quát chứa lý thuyết ban đầu, lý thuyết ban đầu trường hợp giới hạn tham số biến dạng tiến đến giá trị đặc biệt Đại số biến dạng nhà vật lý đặc biệt quan tâm chúng liên quan đến nhiều vấn đề vật lý lý thuyết nghiên cứu nghiệm phương trình Yang – baxter lượng tử, lý thuyết trường conformal hữu tỉ, lý thuyết trường hai chiều với thống kê phân số Những năm gần đây, hướng phát triển biến dạng lượng tử vật lý lượng tử hạt thu hút quan tâm nghiên cứu nhà vật lý lý thuyết biến dạng lượng tử tham số trở thành toán tử Lý thuyết biến dạng có nhiều ưu so với lý thuyết biến dạng tham số biến dạng c – số Trong luận văn nghiên cứu: “Dao động tử biến dạng gˆ ” Dao động tử biến dạng tham số biến dạng tốn tử Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử biến dạng tổng quát - Nghiên cứu dao động tử biến dạng gˆ Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử biến dạng, đưa biểu diễn dao động tử biến dạng tính thống kê dao động tử biến dạng Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử biến dạng thơng số biến dạng tốn tử Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp lý thuyết nhóm đối xứng - Phương pháp giải tích toán học - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử Những đóng góp đề tài Đây tài liệu tham khảo dao động tử biến dạng cho sinh viên, học viên cao học người quan tâm lý thuyết biến dạng lượng tử Cấu trúc luận văn Luận văn gồm ba chương Chương Dao động tử biến dạng tổng quát Chương Nhóm lượng tử Chương Dao động tử biến dạng gˆ NỘI DUNG CHƯƠNG DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT 1.1 Dao động tử biến dạng tổng quát 1.1.1 Dao động tử biến dạng tổng quát Chúng ta biến dạng dao động tử xây dựng đại số dao động tử biến dạng tổng quát cách nghiên cứu tính chất chúng Những kết tổng quát áp dụng cho trường hợp biến dạng Biến dạng tổng quát dao động tử điều hòa cho hệ thức giao hoán aa + = g(a + a), (1.1.1) + Trong a, a toán tử hermitic liên hợp Trong đại số dao động tử bình thường hàm g(x) định nghĩa g ( x ) = + x (1.1.2) Khi sử dụng (1.1.1) (1.1.2), ta có a, a + = (1.1.3) Toán tử số N định nghĩa thơng qua hệ thức giao hốn [ N, a ] = a +a, a = a a + , a + [ a, a ] a + N, a + = -a = a + a, a + ùû (1.1.4) = a a + , a + + a, a + a + = a+ Giả sử toán tử số N biểu diễn thông qua toán tử sinh hủy theo hệ thức N = f (a + a (1.1.5) ) Chúng ta tìm liên hệ hàm f(x) g(x) Sử dụng (1.1.1), ta có éa, a + a n ù = a a + a n - a + a ( ) ( ) ( ) n a = ( aa + )n a - ( a + a ) = n a ((g (a + a) ) - (a a ) )a + n n (1.1.6) Tương tự ta thu éa + , a + a n ù = -a + ( ) (a a ) + n ((g ( a + a) ) n - (1.1.7) ) Các phương trình (1.1.6) (1.1.7) dẫn đến (( ) éa, f ( a + a ) ù = f g ( a + a ) - f ( a + a ë (1.1.8) ) ) a, (1.1.9) (( ) éa + , f ( a + a ) ù = -a + f g ( a + a ) ë ) (1.1.10) f (a a ) + Lưu ý (1.1.4) (1.1.8), ta thấy chọn f (g(x)) = + f (x) hệ thức giao hoán (1.1.4) thỏa mãn Như từ phương trình (1.1.10), biết hàm g(x) hàm f(x) hoàn toàn xác định Nếu ta gọi F(x) hàm ngược hàm f(x), tức F=f -1 hay F ( f (x) ) = x (1.1.11) hàm g(x) xác định thông qua hàm f(x) sau g(x) = F (1 + f (x) ) (1.1.12) + Trong phương trình (1.1.10), ta thay x = a a với định nghĩa (1.1.1), biến dạng tổng quát dao động tử điều hòa biểu diễn thơng qua hệ thức giao hốn f (aa + ) - f (a + a) = (1.1.13) Đây hệ thức giao hoán biến dạng hệ thức giao hoán (1.1.3) Trong hệ thức giao hoán biến dạng (1.1.13) hàm f(x) (hay hàm F(x)) gọi hàm sở (hoặc hàm cấu trúc) lý thuyết biến dạng, hàm g(x) hàm bổ trợ Dưới số dạng hàm cấu trúc F(x) thường gặp 1.1.2 Hàm cấu trúc F(x) 1.1.2.1 Hàm cấu trúc F(x) = x Hệ thức giao hoán dao động tử điều hòa thỏa mãn a, a + = (1.1.14) Tốn tử số dao động N có dạng: N = a+a (1.1.15) Trong đó: a: tốn tử hủy dao động tử + a : toán tử sinh dao động tử Kết hợp (1.1.14) với (1.1.15) ta có: [ N, a ] a + a, a = = a éë a + , + [ a, a ] a a+ = -a (1.1.16a) N, a = a + a, a + + é + + a, a + a + ë a ,a ù + = û a =a+ (1.1.16b) Xét không gian Fock với trạng thái chân không thỏa mãn điều kiện: a0 = Trạng thái n trạng thái có n dao động tử thực khơng gian Fock với sở trạng thái riêng chuẩn hóa có dạng: (a ) = + n n n = 0, 1, n! n trạng thái riêng toán tử số dao động N ứng với trị riêng n: N n =nn Từ (1.1.14) (1.1.17) ta tính được: (a ) =a + an n n! aa + -1(a + ) n = n! = ( a + a + 1) = a + ( aa + ) (a + )n -1 n! (a + ) n -2 n! = a+ (a + a + 1) =a +2 a +( n -2) a (a + ) n -2 n! ( + )n -1 a +2 n! (+ )n -1 + 3a n! n! = = a+ n a n! (a + ) n-1 + n! n! a +( n )-3 = a + 3a (a + ) n -1 + n! (a + ) n -1 (1.1.17) Toán tử Casimir giao hoán với vi tử J3, J+, J- đại số SU(2)q Tốn tử Casimir có giá trị riêng Cq = + 1] [ q j] [ j với 2j thuộc tập hợp số tự q nhiên Kết luận: Trong chương nghiên cứu đại số biến dạng thông số SU(2) cách xây dựng hệ dao động tử điều hòa biến dạng q Trong trường hợp đặc biệt q ® đại số lượng tử SU(2)q trở đại số SU(2) thông thường CHƯƠNG DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG gˆ Trong chương giới thiệu khái niệm dao động tử biến dạng gˆ , nhu cầu mở rộng biến dạng q thành biến dạng hệ thức giao hoán gˆ lý thuyết biến dạng gˆ Việc so sánh dao động tử biến dạng dao động gˆ tử biến dạng q cho thấy rõ ưu lý thuyết biến dạng gˆ so với lý thuyết biến dạng q vật lý lượng tử 3.1 Ưu biến dạng gˆ so với biến dạng q Từ lý thuyết biến dạng q cho dao động tử boson fermion đơn mode (ta gọi hạt hạt quon) ta mở rộng cho hệ thống hạt quon đa mode xác định hệ thức giao hoán a ia j - ++qa j a i = d ij (3.1.1) Hệ thức (3.1.1) gọi đại số quon Hệ thức xem phép nội suy thống kê Bose-Eistein Fermi-Đirac q chạy từ đến -1 trục thực Thật vậy: - Khi q = phương trình (3.1.1) trở thành a ia j -++a j a i = dij Khi thống kê biến dạng q trở thống kê Bose-Einstein - Khi q = -1: phương trình (3.1.1) trở thành + + a a = d a ia j + j i ij Khi thống kê biến dạng q trở thống kê Fermi-Dirac Hệ hạt quon đơn mode phát triển lý thuyết nhóm lượng tử biến dạng SU(2) lần đề cập đến Biedenharn Macfarlane Khi nghiên cứu lý thuyết biến dạng q thấy có khác biệt hệ hạt quon đơn mode đa mode Thật vậy, trường hợp hạt quon đơn mode tức dao động tử boson (fermion) biến dạng q mode khác ( i ¹ j ) giao hốn (phản giao hốn) với Trong hệ hạt quon đa mode giao hoán với theo “ kiểu q” tức chúng thỏa mãn (3.1.1) Hơn trường hợp đại số quon khơng có quy luật giao hốn áp đặt a i , a a i+ , aj mode j + khác Tức thống kê biến dạng q liên quan tốn tử a( a + ) mode khác hệ đa mode,tức biểu diễn chúng hệ thức giao hốn kiểu q Thật vậy, giả sử ta có hệ thức giao hoán a i a j -++ b++a j a i = (3.1.2) b số Khi trạng thái s xác định s = (a i a j -++ b++a j a i ) Rõ ràng a i = 0, =0 (3.1.3) a j = Như đem a i tác động lên trạng thái s lưu ý tới công thức (3.1.1) ta có = a i s = (a ia i a -++b ++a i a j a i ) j + + + + =éë(1 + qa i a i ) a j - b ( qa j a i ) a i ûù0 j j i i = ( a j+ qa i a i a -0 b qa a a + + + ( qa a ) j j = ëa + qa i i + ) (3.1.4) + j i i - b qa (1 + qa a ) û + + + é + =+a + + q 2a + - b qa + - b q 2a + a + a a ja i j i j j i i + ù + = + q b a - b qa + a + a ja j i i j = a - b qa j + j + + = (1 - b q)a j + + + -q ba a a j i i Suy Tương tự đem a j 1-b q= (3.1.5) tác động lên s 0=aj s = (a ja i a j - ++b ++a j a j a i ) i j j j i + + + = a j ( qa a ) - b (1 + qa a ) a + = qa+i (1 + qa+j a j ) - - b +qa j (qa i a+j ) b = + qa + a + -ba + + q a -+ b q a a i j j a j i j + +q b -bqa a a i + =+qa+ - b a a a i = (q - b Điều dẫn đến ) + j i j (3.1.6) + 2 + j + + i j (q - b ) = (3.1.7) Các phương trình (3.1.5) (3.1.7) đồng thời thỏa mãn q = , tức q = ±1 Như hệ thức giao hoán a i a j (hoặc a i+ a j+ ) khơng kiểu q mà giao hốn tử bình thường Chỉ có đường để vượt qua khó khăn thay c-số q tốn tử gˆ Khi hệ thức (3.1.2) cho ta gˆ = (3.1.8) điều không yêu cầu gˆ = ±1 3.2 Hệ dao động tử biến dạng gˆ Bây nghiên cứu thống kê biến dạng gˆ định nghĩa thông qua hệ thức a i a +j - gˆ a j+a i = d ij , hạt guon a i+a j +- gˆ a j +a i += (3.1.9) Từ phương trình đầu (3.1.9) ta lấy liên hiệp hecmit ta a ja i +- a+i a + = gˆ d ij j (3.1.10) Do i, j nên ta có + + + a i a jgˆ = gˆ a i aj (3.1.11) Nếu ta giả sử gˆ toán tử hermitic, tức gˆ = gˆ + (3.1.12) phương trình (3.1.11) trở thành hay a i+aj gˆ = igˆj a +a gˆ ,i a +j a =0 (3.1.13) Do i j nên làm tương tự trình thu hai khả [gˆ , a i ] = gˆ , + = (3.1.14) = +{gˆ , (3.1.15) {gˆ , a i } ai} = Hệ thức (3.1.14) lần đưa Wu Sun 3.3 Các tính chất gˆ Ta định nghĩa giao hoán tử kiểu gˆ sau: [ A, B]g = AB - gˆ (3.1.16) BA Khi định nghĩa thống kê biến dạng gˆ thơng qua hệ thức giao hoán kiểu gˆ sau: a ,i a +j tốn tử gˆ g = d ij , + a ,a =i j hermitic unitary + g (3.1.17) gˆ = gˆ + , gˆ = (3.1.18) Thật vậy, theo (3.1.9), (3.1.10) giả sử ta có + a i+a j +- b a j a+i = b số Khi trạng thái s sau s = (a i a -++ b++a j a i ) = j Rõ ràng a i = 0, a j = Như đem a i tác động lên trạng thái s lưu ý tới cơng thức (3.1.9) ta có = s = (a ia i+a j +- b a i a j a+i ) +0 + + + + =éë(1 + gˆ a i a i ) a j - b ( gˆ a j a i ) aùi û j j i i = (a + a j gˆ a i a i - b ) gˆ a a a + + + ( gˆ a a ) + gˆ j = ëa j + i (3.1.19) + j i i - b gˆ a (1 + gˆ a a ) û + + + é a++ + gˆ 2a - b gˆ a + - b gˆ 2a + a + a = + aj a i j i j j i i + + ù + + + + 2 =+a + + gˆ b - b gˆ a - gˆ b a a a a aj a j i i j j i i = a +j - b gˆ a +j Suy = (1 - b gˆj )a + - b gˆ =0 (3.1.20) Tương tự đem a j tác động lên s 0=aj s = (a j+a i a+- b a j a j a+i ) 0+ j i j j j i =a j( gˆ+ a a -+ b (1 + gˆ a a+ ) a ) + + = gˆ+a i (1 + gˆ a j a j ) - b +gˆ a j (gˆ a+i - b a j) + + + gˆ +- b gˆ a a i j j a j i j + + + gˆ - b gˆ a a a = +gˆ +a - b a a a i = g+ˆ a + - b a ba ia = ( gˆ - b Suy ) + + 2 j i + + j i j (3.1.21) + j (gˆ - b ) = (3.1.22) Các phương trình (3.1.20) (3.1.22) đồng thời thỏa mãn gˆ = Và gˆ giao hoán với a i , + a i gˆ , a i = gˆ i, = a+ i i (3.1.23) j Đặt N = a + a , sử dụng (3.1.17), (3.1.19) ta tính i i i Ni , a j = a +a , a = +i a ja - ja ia i+ a = a++i gˆ a j a i - (d ij + gˆ a i a j )a i = gˆ++a i a j a i - d ija i - gˆ a i a j a i (3.1.24) = -d ija i 50 Khi i = j [ ] Ni , a i = -a i [ Tương tự ta tính được:] (3.1.25) N, a = -a hay Ni , a =++ dija Khi i = j j (3.1.26) j + + Ni , a i = + hay N, a = a (3.1.27) + Từ công thức (3.1.24) (3.1.26) ta thấy toán tử N i với định nghĩa [ Ni ]g = a+ i (3.1.28) thật toán tử số hạt dao động tử biến dạng gˆ mode i Thật vậy, từ công thức (3.1.25) (3.1.27) ta thấy i = hệ thức j giao hoán toán tử số [ Ni ]g với toán tử sinh hạt, hủy hạt lại trở dạng cho dao động tử boson đơn mode thông thường Kết luận: Trong chương đưa dao động tử lượng tử gˆ , dao động biến dạng tham số trở thành toán tử, chứng tỏ ưu dao động biến dạng thông số biến dạng toán tử so với dao động biến dạng thông số biến dạng c – số Trong lý thuyết biến dạng c – số tính nhân có thơng số biến dạng q = ±1 lý thuyết biến dạng gˆ tính nhân vi mơ ln thỏa mãn có thống lý thuyết trường biến dạng gˆ lý thuyết không biến dạng 51 Sự tương thích đưa hướng khả thi để xây dựng lý thuyết trường lượng tử hạt với thống kê trung gian KẾT LUẬN Sau khoảng thời gian tiến hành nghiên cứu, tìm hiểu dao động tử biến dạng, tơi giải nhiệm vụ sau đây: Nghiên cứu dao động tử biến dạng tổng quát, đưa số dạng hàm cấu trúc thường gặp, biểu diễn hàm Hamiltonian thơng qua tốn tử tọa độ xung lượng, từ đưa phổ lượng dao động tử biến dạng tổng quát Phân tích biểu diễn vơ hạn chiều đại số biến dạng tổng quát thành biểu diễn vô hạn chiều đại số boson không biến dạng biểu diễn hữu hạn chiều đại số biến dạng Nghiên cứu đại số biến dạng thông số SU(2) cách xây dựng hệ dao động tử điều hòa biến dạng q Trong trường hợp đặc biệt q ® đại số lượng tử SU(2)q trở đại số SU(2) thông thường Nghiên cứu dao động tử biến dạng gˆ , đưa hệ thức giao hoán lý thuyết biến dạng gˆ thấy lý thuyết biến dạng ưu so với lý thuyết biến dạng q gˆ Trong khoảng thời gian nghiên cứu, tiến hành làm luận văn hạn chế Tơi cố gắng trình bày hồn chỉnh luận văn, mong nhận góp ý thầy giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] C.T.V Ba and H.H.Bang (1999), “Generalized deformation with q being a root of unity”, Tuyển tập báo cáo hội nghị VLLT lần thứ 24 (Toàn quốc) [2] C.T.V.Ba and H.H.Bang (2000), “Quantum group and the standard model”, Tuyển tập báo cáo hội nghị VLLT lần thứ 25 ( Toàn quốc) [3] D.V.Duc (1998), “Statistics of q-deformed para- oscillator”, Preprint CPT- 94/P 3130, Marseille, France [4] Hồng Dũng (1999), Nhập mơn Cơ học lượng tử, Nhà xuất giáo dục [5] Lê Việt Dũng, Nguyễn Thị Hà Loan (1994), “The p, q- Deformed harmonic oscilltors repressentation of the quantum algebra SU(2)pq”, Communications in physics, Vol 4, No 2, page 85- 89 [6] Nguyễn Thị Hà Loan, Nguyễn Hồng Hà (2005), “Oscillator repressentation of R(q)- Deformed Virasoro algebra”, Báo cáo Hội nghị Vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 30 [7] Nguyễn Thị Hà Loan, Nguyễn Hồng Hà (2003), “(q, R)- Deformed Heisenberg algebra and statistics of quantum oscillators”, Communications in physics, Vol 13, No 4, page 240- 244 [8] Nguyễn Thị Hà Loan (1996), “ Defomed oscillators and their Statistics”, Communications in physics,Vol 6, No 2, page 18- 22 [9] Nguyen Thi Ha Loan (1998), “Commutation relations for deformed quantum fielf”, Tuyển tập báo cáo hội nghị vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 22 [10] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), Cơ sở lý thuyết vật lí lượng tử, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [11] Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [12] Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh (1999), Cơ học lượng tử, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [13] Trần Thái Hoa (2005), Cơ học lượng tử, Nhà xuất Đại học sư phạm [14] Daskaloyannisc (1991), “Genneralized deformed oscillator and nonlinear algebras”, J Phys A24 (15), page 789- 794 [15] Daskaloyannisc (1992), “Generalier deformed virasoro algebras”, Mod Phys Let A7 (9), page 809- 816 [16] Finkelstein R.J (1993), “The GLq(2) gauge theory”, Lett Math Phys 29(2), pp 75-82 [17 ] Finkelstein R.J (1995), “q – field theory”, Lett Math Phys 34(2), pp 169-176 [18] Mc Dermott R.J and Solomon A.I (1994), “Double squeezing in generalized q- coherent sates”, J Phys A27 (2), page 15- 20 [19] Polychronakos A.P (1990), “A classical realization of quantum algebra”, Mod Phys Lett A5 (4), page 2325- 2333 [20] Jean- Marie Brébec, Philippe Denéve, Thierry Desmarais, Alain Favier, Marc Ménétreir, Bruno Noel, Claude Orsin (2007), Eslectromagnétisme (Bản dịch tiếng Việt), Nhà xuất giáo dục ... lượng tử Chương Dao động tử biến dạng gˆ NỘI DUNG CHƯƠNG DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT 1.1 Dao động tử biến dạng tổng quát 1.1.1 Dao động tử biến dạng tổng quát Chúng ta biến dạng dao động tử. .. dạng tham số biến dạng c – số Trong luận văn nghiên cứu: Dao động tử biến dạng gˆ ” Dao động tử biến dạng tham số biến dạng tốn tử Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử biến dạng tổng quát... tổng quát - Nghiên cứu dao động tử biến dạng gˆ Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử biến dạng, đưa biểu diễn dao động tử biến dạng tính thống kê dao động tử biến dạng Đối tượng phạm vi