Mô hình phần tử hữu hạn trong phân tích dao động của dầm có cơ tính biến đổi theo hai chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - TRẦN THỊ THƠM MƠ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA DẦM CĨ CƠ TÍNH BIẾN ĐỔI THEO HAI CHIỀU LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH KHOA HỌC VẬT CHẤT Hà Nội – Năm 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - TRẦN THỊ THƠM MƠ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA DẦM CĨ CƠ TÍNH BIẾN ĐỔI THEO HAI CHIỀU Chun ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 9440107 LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH KHOA HỌC VẬT CHẤT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Nguyễn Đình Kiên PGS.TS Nguyễn Xuân Thành Hà Nội - Năm 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các số liệu kết trình bày Luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Trần Thị Thơm i LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Đình Kiên PGS.TS Nguyễn Xuân Thành Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến Thầy, người tận tâm giúp đỡ trình nghiên cứu Trong trình thực Luận án, nhận nhiều giúp đỡ, tạo điều kiện tập thể Lãnh đạo, nhà khoa học, cán bộ, chuyên viên Học viện Khoa học Công nghệ, Viện hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam; tập thể Ban lãnh đạo, cán Viện Cơ học Tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành giúp đỡ Tôi xin chân thành cảm ơn đến nghiên cứu viên phòng Cơ học vật rắn, Viện Cơ học; anh chị em nhóm Seminar giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm cho tơi q trình thực Luận án Tôi xin bày tỏ biết ơn sâu sắc đến người thân gia đình chia sẻ, động viên, giúp đỡ để tơi hồn thành Luận án Tác giả Luận án Trần Thị Thơm ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh mục ký hiệu chữ viết tắt vi Danh sách hình vẽ xi Danh sách bảng xiii Mở đầu Chương Tổng quan 1.1 Dầm FGM 1.2 Phân tích dầm 1D-FGM giới 1.2.1 Phương pháp giải tích 1.2.2 Phương pháp số 10 1.2.2.1 Phương pháp CPVP 11 1.2.2.2 Phương pháp PTHH 12 1.3 Phân tích dầm 2D-FGM giới 14 1.4 Nghiên cứu dầm FGM nước 15 1.5 Định hướng nghiên cứu 17 1.6 Điểm Luận án 18 Chương Các phương trình 19 2.1 Mơ hình dầm 2D-FGM 19 2.2 Lý thuyết dầm 26 2.3 Phương trình dựa FSDT 28 2.3.1 Biến dạng ứng suất 28 2.3.2 Năng lượng biến dạng đàn hồi 29 2.3.3 Động 31 iii 2.4 Phương trình dựa ITSDT 32 2.4.1 Phương trình biểu diễn theo 32 2.4.2 Phương trình biểu diễn theo 35 2.5 Ứng suất nhiệt 36 2.6 Thế lực 36 2.7 Phương trình chuyển động 37 2.8 Điều kiện biên 40 2.8.1 Điều kiện biên lực mô-men 40 2.8.2 Điều kiện biên chuyển vị góc quay 40 Chương Mơ hình phần tử hữu hạn 42 3.1 Mơ hình phần tử dầm FSDT 42 3.1.1 Mơ hình phần tử FBKo 43 3.1.2 Mơ hình phần tử FBHi 47 3.2 Mơ hình phần tử dầm ITSDT 50 3.2.1 Mô hình phần tử TBS 50 3.2.2 Mơ hình phần tử TBS 54 3.3 Ma trận độ cứng nhiệt độ 55 3.4 Phương trình chuyển động rời rạc 56 3.5 Thuật toán số 57 3.5.1 Dao động tự 57 3.5.2 Phương pháp gia tốc trung bình 59 3.5.3 Véc-tơ lực nút 60 3.5.4 Quy trình tính tốn 61 Chương Kết số thảo luận 64 4.1 Sự hội tụ độ tin cậy mô hình PTHH 64 4.1.1 Sự hội tụ mơ hình PTHH 64 4.1.2 Độ tin cậy mơ hình PTHH 67 4.1.3 So sánh mơ hình phần tử 71 4.2 Dao động tự 73 4.2.1 Dầm có thiết diện khơng đổi 73 4.2.1.1 Ảnh hưởng tham số vật liệu 73 4.2.1.2 Ảnh hưởng nhiệt độ 75 4.2.1.3 Dầm với điều kiện biên khác 77 4.2.1.4 Ảnh hưởng độ mảnh dầm 84 4.2.1.5 Mode dao động 84 4.2.2 Dầm thon 86 4.2.2.1 Ảnh hưởng phân bố vật liệu 87 4.2.2.2 Ảnh hưởng tham số thiết diện dạng thon 90 4.2.2.3 Ảnh hưởng độ mảnh dầm 91 4.3 Dao động cưỡng 93 4.3.1 Ảnh hưởng vận tốc lực di động 96 4.3.2 Ảnh hưởng tham số vật liệu 96 4.3.3 Ảnh hưởng độ mảnh dầm 100 Kết luận 103 Danh mục cơng trình liên quan tới Luận án 106 Tài liệu tham khảo 107 Phụ lục 123 DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Các kí hiệu thơng thường A0 Diện tích thiết diện ngang đầu trái (dầm thon) A(x) Diện tích thiết diện ngang A11 Độ cứng dọc trục A12 Độ cứng tương hỗ kéo-uốn A22 Độ cứng chống uốn A33 Độ cứng chống trượt (Dùng FSDT) A34 Độ cứng tương hỗ xoắn-kéo A44 Độ cứng tương hỗ xoắn-uốn A66 Độ cứng tương hỗ xoắn-uốn bậc cao B11 , B22 , B44 Các độ cứng chống trượt (Dùng ITSDT) b(x) Chiều rộng dầm thon c Tham số thiết diện Dd Tham số động lực học EC1 Mô-đun đàn hồi gốm EC2 Mô-đun đàn hồi gốm EM1 Mô-đun đàn hồi kim loại EM2 Mô-đun đàn hồi kim loại E (x, z) Mô-đun đàn hồi hiệu dụng GC1 Mô-đun trượt gốm GC2 Mô-đun trượt gốm GM1 Mô-đun trượt kim loại GM2 Mô-đun trượt kim loại G(x, z) Mô-đun trượt hiệu dụng h Chiều cao dầm h(x) Chiều cao dầm thon vi 131 t36 = t3∗t3 5; t = ∗ t ∗ t −144∗ t 3 + ∗t36 ; t41 = t30∗t1 9; t43 = t11∗t3 5; t = −144∗ t + ∗ t 43; t48 = 1/L ; t49 = t30∗t4 8; t50 = 24∗t4 9; t53 = P∗(t5+t22∗t14/6+t38∗t18/5+t45∗t13/4 +t50 )/2; t 5 = D0 / D0∗ t ∗ t 12; t56 = 36∗t3 3; t58 = −t56+84∗t 36; t61 = 36∗t4 1; t = t ∗L ; t64 = 1/t63 ; t65 = t3∗t6 4; t = − t + ∗ t −60∗ t65; t70 = t30∗t3 5;t72 = t11∗ t64;t74 = 1/t 12; t75 = t3∗t7 4; t 7 = ∗ t −60∗ t + ∗t75 ; t80 = t30∗t6 4; t82 = t11∗t7 4; t = −60∗ t + ∗ t 82; t = ∗M; t88 = 6∗t2 6; t89 = 6∗t2 9; 132 t = P ∗( − t 5 + t ∗ t / + t ∗ t / + t 7 ∗ t / + t ∗ t / + t −t 8 + t ) / ; t 1 = P∗( − t −t 2 ∗ t /6 − t ∗ t /5 − t ∗ t /4 −t50)/2; t103 = −t56+60∗t 36; t107 = 24∗t6 5; t = − t + ∗ t −t 107; t112 = 24∗t7 2; t 1 = ∗ t −t 12; t 1 = ∗M; t117 = 8∗t2 6; t118 = 8∗t2 9; t = P∗( − t 5 + t ∗ t / + t ∗ t / + t 1 ∗ t /4 − t 1 + t 1 −t 1 ) / ; t = D0 / D0∗ t ∗ t 63; t124 = 18∗t4 3;t129 = 18∗ t70;t137 = t3 ∗t48 ; t142 = t30∗t7 4;t144 = t11∗ t48;t156 = t3 ∗L ; t157 = 2∗t15 6; t = P ∗ ( t 5 −t ∗ t /6 − t ∗ t /5 − t 7 ∗ t /4 − t ∗t63/3 − 133 t + t 8 −t ) / 2; t = P ∗ ( t + ( t −36∗ t ) ∗ t /6+ ( t −36∗ t + 2 ∗ t ) ∗ t / + ( − ∗ t + 2 ∗ t −4∗ t ) ∗ t / + ( 2 ∗ t −4∗ t 4 ) ∗ t /3 − t ) / ; t = P ∗ ( t 5 −t ∗ t /6 − t ∗ t /5 − t 1 ∗ t13 /4+ t 1 −t 1 + t 1 ) /2; kT ( , ) = ; kT ( , ) = ; kT ( , ) = ; kT ( , ) = ; kT ( , ) = ; kT ( , ) = ; kT ( , ) = ; kT ( , ) = ; kT ( , ) = 0; kT ( , ) = t ; kT ( , ) = t ; kT ( , ) = ; kT ( , ) = ; kT ( , ) = t 1 ; kT ( , ) = t ; kT ( , ) = ; kT ( , ) = ; kT ( , ) = t ; kT ( , ) = P ∗ ( t + ( t −48∗ t ) ∗ t /6+ ( t −48∗ t + 4 ∗ t ) ∗ t / + ( − ∗ t + 4 ∗ t −16∗ t 7)∗t13 /4+ ( 4 ∗ t −16∗ t 4 +2∗ t ) ∗ t / + ( − ∗ t −2∗ t +4∗ t ) ∗ t 2/2+t157)/2; kT = ; (3 = 0; kT (3 = t1 kT (kT = 7t ( = 90 ; kT (3 = 0; kT (kT = 0; (4 = 0; kT (kT = 0; (4 = 0; kT (4 = 0; kT (4 = 0; kT (4 = 0; kT (4 kT (5 kT (kT (5 kT (5 kT (kT (5 kT (kT (5 kT (6 kT (6 = = = = = = = = = = 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; t1 134 130 kT ( , ) = t ; kT ( , ) = ; kT ( , ) = ; kT ( , ) = t ; kT ( , ) = t ; kT ( , ) = ; kT ( , ) = ; kT ( , ) = t ; kT ( , ) = t ; kT ( , ) = ; kT ( , ) = ; kT ( , ) = t ; kT ( , ) = P ∗ ( t + ( t −t ) ∗ t / + ( t −t 1 +8∗ t ) ∗ t / + ( − 24∗ t +8∗ t ) ∗ t / + D0 / D0∗ t ) / ; kT = ; (7 = 0; kT (8 = 0; kT (8 = 0; kT (kT = 0; (8 = 0; kT (kT = 0; (8 = 0; kT (8 = 0; kT (8 f u n c t i o n [ me ] = gamaMFGMT2D1 ( LT , L , I 1 c m , I c m , I 2 c m , I 4c1m1 , I44c1m1,I66c1m1,I11c2m2,I12c2m2,I22c2m2,I34c2m , I 4 c m , I 6 c m , xE , h ) t1 = I11c1m1 ∗L ; t2 = 140∗t 1; t3 = I11c1m1 ∗LT ; t4 = 560∗t 3; t = xE ∗ I 1 c m1; t6 = 560∗t 5; t7 = I11c2m2 ∗L ; t8 = 140∗t 7; t = xE ∗ I 1 c m2; t10 = 560∗t 9; t = / LT ; t16 = I12c1m1 ∗L ; t19 = 120∗I12c1m1 ∗LT ; t = ∗ xE ∗ 131 I12c1m1;t22 = I12c m ∗L ; t = ∗ xE ∗ I c 2m2; t = ∗ t −t + t −48∗ t 2 −t ; t28 = t26∗t13/2 40; t29 = L^2 ; t30 = I12c1m1∗t 29; t31 = 4∗t3 0; t = t ∗LT ; t33 = 20∗t3 2; 132 t34 = t16∗ xE ; t35 = 20∗t3 4; t36 = I12c2m2∗t 29; t37 = 4∗t3 6; t38 = t22∗ xE ; t39 = 20∗t3 8; t = (− t −t 3 + t + t −t ) ∗ t /240; t43 = 25∗t3 0; t44 = 100∗t3 2;t45 = 100∗ t34;t46 = 25 ∗t36 ; t47 = 100∗t3 8; t51 = I34c1m1 ∗L ; t52 = I34c1m1 ∗LT ; t53 = 4∗t5 2; t = xE ∗ I c m1; t55 = 4∗t5 4; t56 = I34c2m2 ∗L ; t = xE ∗ I c m2; t58 = 4∗t5 7; t61 = h^2 ; t62 = 1/t61 ; t63 = t13∗t6 2; t 6 = −( t −t 4 + t −t −t ) ∗ t / 40+ D0 / D0∗L ∗ ( t −t + t 5 −t −t )∗t63; t = L ∗ ( t −280∗ t + ∗ t −t −280∗ t ) ∗ t 3/1680; t75 = −t26∗t13/2 40; t = (− t + t 3 −t + t + t ) ∗ t /240; 133 t = −( t −50∗ t + ∗ t −t −50∗ t ) ∗ t /240+ D0 / D0∗L ∗ ( t −2∗ t +2∗ t −t −2∗ t 57)∗t63; t94 = 624∗t 3;t95 = 624 ∗t5;t97 = 24∗t9;t102 = 1/L; t103 = I22c1m1 ∗L ; t109 = I22c2m2 ∗L ; t 1 = −2304∗ I 2 c m ∗LT + ∗ xE ∗ I 2 c1m1− ∗ xE ∗ I 2 c m + 1 ∗ t −1152∗ t ; t1 = t1 = t61t = 1t 19 = 8t 20 = ∗ t1 = L t1 22 = ∗ t = Ix1 24 = t = ct 2t 16 = 8∗ 27 = ∗ t1 134 t 3 = t ∗LT ; t134 = t103∗ xE ; t135 = I22c2m2∗t 29; t136 = t109∗ xE ; t = − t + t 3 −t + t + t136; t = −L∗( − t 1 + t −t + t + t ) ∗ t / 1680− t102∗t137∗t13 /10; t143 = 1200∗t1 33;t144 = 1200 ∗t134;t146 = 200∗t136 ; t = ∗ t −t + t 4 −480∗ t −t ; t151 = I44c1m1 ∗L ; t154 = 120∗I44c1m1 ∗LT ; t = ∗ xE ∗ I44c1m1;t157 = I44c m ∗L ; t = ∗ xE ∗ I 4 c 2m2; t = ∗ t −t + t −48∗ t −t ; t165 = −t102∗t147∗t13/1920+t161∗t13∗ t62/144; t = ∗ t −t + t −72∗ t 2 −t ; t170 = t168∗t13/2 40; t = −L ∗ ( ∗ t −216∗ t + ∗ t −108∗ t −216∗ t ) ∗ t /1680+ t102∗t113∗t13/1920; t185 = 52∗t12 0; t186 = 52∗t12 2; t188 = 52∗t12 6; t = t 3 −t + t 36; t = −L ∗ ( ∗ t 1 −t + t −24∗ t −t 8 ) ∗ t /1680− t102∗t193∗t13 /10; t 0 = ∗ t −t + t 4 −720∗ t −t ; t = ∗ t −t + t −72∗ t −t ; t210 = −t102∗t200∗t13/1920+t206∗t13∗ t62/144; t 211 = t 29 ∗L ; 135 t212 = I11c1m1∗t2 11; t213 = 6∗t21 2; t = t 1 ∗LT ; t = ∗t214;t216 = t 1 ∗ xE ; t = 16∗t216; t218 = I11c2m2∗t2 11; t219 = 6∗t21 8; t220 = t124∗ xE ; t221 = 16∗t22 0; t226 = I22c1m1∗t2 11; t 2 = t ∗LT ; t229 = 256∗t2 28; t230 = t132∗ xE ; t231 = 256∗t2 30; t232 = I22c2m2∗t2 11; t234 = t135∗ xE ; t235 = 256∗t2 34; 136 t241 = 40∗t22 6; t242 = 200∗t2 28;t243 = 200 ∗t230 ;t244 = 0∗t232; t245 = 200∗t2 34; t250 = I44c1m1∗t 29; t251 = 4∗t25 0; t = t ∗LT ; t = ∗t252;t254 = t ∗ xE ; t 5 = 20∗t254; t256 = I44c2m2∗t 29; t257 = 4∗t25 6; t258 = t157∗ xE ; t259 = 20∗t25 8; t = − t ∗( − t −t + t + t 4 −t ) ∗ t / + (− t −t + t 5 + t −t ) ∗ t ∗ t / 144; t = ( − 16∗ t + t 3 −t + ∗ t + t ) ∗ t 13/240; t 7 = −L∗( − t 1 + t −t + t + t 8 ) ∗ t / 1680+ t102∗t137∗t13 /10; t = −L∗( − t + ∗ t −12∗ t + t + ∗ t 2 ) ∗ t 13/1680− t ∗ ( − 32∗ t 2 + ∗ t 2 −64∗ t + ∗ t + ∗ t 4)∗t13/1920; t = − t ∗ ( − ∗ t 2 + t −t + ∗ t + t ) ∗ t / + ( − 16∗ t + t −t 5 + ∗ t + t ) ∗ t ∗ t 62/144; t308 = 250∗t2 26; t309 = 1000∗t2 28;t310 = 1000 ∗t230;t311 = 50∗t232 ; t312 = 1000∗t2 34; t317 = 50∗t25 0; t318 = 200∗t2 52;t319 = 200 ∗t254 ;t320 = 0∗t256; t321 = 200∗t2 58; 137 t326 = I66c1m1 ∗L ; t327 = 2∗t32 6; t328 = I66c1m1 ∗LT ; t329 = 8∗t32 8; t 3 = xE ∗ I 6 c m1; t331 = 8∗t33 0; t332 = I66c2m2 ∗L ; t333 = 2∗t33 2; t 3 = xE ∗ I 6 c m2; t335 = 8∗t33 4; t338 = t61^ 2; t340 = t13/t33 8; t350 = t102∗t147∗t13/1920− t161∗t13∗ t62/144; t = − t ∗( − t + t −t + t 4 + t ) ∗ t / + (− t + t −t 5 + t + t ) ∗ t ∗ t / 144; t = − t ∗ ( t −500∗ t 2 + 0 ∗ t −t 1 −500∗ t ) ∗ t 13/1920+ 138 ( t −100∗ t + 0 ∗ t −t −100∗ t ) ∗ t ∗ t / 4 − D0 / D0∗L ∗ ( t −4∗ t +4∗ t 3 −t 3 −4∗ t 3 ) ∗ t 40; t389 = −t168∗t13/240; t = ( ∗ t −t 3 + t −24∗ t −t ) ∗ t / ; t = − (75∗ t −t 4 + t −75∗ t −t ) ∗ t / + D0 / D0∗L ∗ ( ∗ t −t + t 5 −3∗ t −t ) ∗ t ; t = −L ∗ ( ∗ t 1 −t + t −60∗ t −t ) ∗ t /1680+ t102∗t193∗t13/10; t430 = t102∗t200∗t13/1920− t206∗t13∗t62/144; t = − t ∗ ( ∗ t 2 −t + t −240∗ t −t ) ∗ t / + ( ∗ t −t + t 5 −24∗ t −t ) ∗ t ∗ t /144; me ( , ) = − t ∗L ∗ ( t − t + t −t −t ) / ; me ( , ) = − t ; me ( , ) = − t ; me ( , ) = t 6 ; me ( , ) = − t ; me ( , ) = − t ; me ( , ) = − t ; me ( , ) = t ; me ( , ) = −t28; me ( , ) = −L ∗ ( 4 ∗ t −t + t −144∗ t −t ) ∗ t / − t 116; me ( , ) = t ; me ( , ) = t ; me ( , ) = − t ; me ( , ) = t ; me ( , ) = t ; me ( , ) = t ; me ( , ) = − t ; me ( , ) = t 1; me ( , ) = −L ∗ ( t −t + t −t −t 2 ) ∗ t / − t ∗ ( ∗ t 2 −t 2 + t −64∗ t −t ) ∗ t / ; me ( , ) = t ; me ( , ) = − t ; me ( , ) = t 7 ; me ( , ) = t ; me ( , ) = t ; me ( , ) = t 6 ; me ( , ) = t ; me ( , ) = t ; me ( , ) = − t ∗ ( t −t + t −t 1 −t ) ∗ t / + ( t −t + t −t −t ) ∗ t ∗ t / 4 − D0 / D0∗L ∗ ( t −t + t 3 −t 3 −t 3 ) ∗ t ; me ( , ) = t ; me ( , ) = t ; me ( , ) = t ; me ( , ) = t ; 139 me ( , ) = − t ; me ( , ) = − t ; me ( , ) = − t ; me ( , ) = t 2; 140 me ( , ) = −L ∗ ( ∗ t − t + t −420∗ t −t ) ∗ t / ; me ( , ) = − t ; me ( , ) = − t ; me ( , ) = t ; me ( , ) = − t ; me ( , ) = t ; me ( , ) = t 7 ; me ( , ) = t ; me ( , ) = − t 389; me ( , ) = −L ∗ ( ∗ t −t + t −480∗ t −t ) ∗ t / − t 1 6; me ( , ) = t ; me ( , ) = t ; me ( , ) = − t ; me ( , ) = t ; me ( , ) = t ; me ( , ) = t ; me ( , ) = − t ; me ( , ) = t 3; me ( , ) = −L ∗ ( ∗ t 2 −t + t −10∗ t −t 2 ) ∗ t / 0− t ∗ ( ∗ t 2 −t 2 + t −192∗ t −t ) ∗ t / ; me ( , ) = t ; me ( , ) = t ; me ( , ) = t ; me ( , ) = t ; me ( , ) = t ; me ( , ) = t ; me ( , ) = t ; me ( , ) = t456; me ( , ) = − t ∗ ( ∗ t 2 −t + t −750∗ t −t ) ∗ t 3/1920+ ( ∗ t −t + t −150∗ t −t ) ∗ t ∗ t / 4 − D0 / D0∗L ∗ ( ∗ t −t + t 3 −6∗ t 3 −t 3 ) ∗ t ; ... VÀ CÔNG NGHỆ - TRẦN THỊ THƠM MƠ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA DẦM CĨ CƠ TÍNH BIẾN ĐỔI THEO HAI CHIỀU Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 9440107 LUẬN ÁN TIẾN SỸ... có ý nghĩa khoa học, góp phần thúc đẩy ứng dụng vật liệu FGM vào thực tế Từ phân tích nêu trên, tác giả lựa chọn đề tài "Mơ hình phần tử hữu hạn phân tích dao động dầm có tính biến đổi theo hai. .. nói chung dao động dầm FGM có tính biến đổi theo chiều cao chiều dài dầm (dầm 2D-FGM) nói riêng, có ý nghĩa khoa học, đặt từ nhu cầu thực tế Khi tính chất cơ- lý dầm 2D-FGM thay đổi theo chiều dài,