Dao động tử biến dạng tổng quát

Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới PGS- TS Nguyễn Thị Hà Loan về sự quan tâm chỉ bảo, tận tình hướng dẫn của cô trong suốt quá trình học tập đến hoàn thành luận văn này. Chính sự quan tâm và tận tình chỉ bảo của cô đã tạo động lực và cho em có thêm niềm tin, sự cố gắng để thực hiện luận văn này và mong muốn có những phát triển tiếp theo. Em xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa, các thầy giáo, cô giáo khoa Vật Lí- Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình giảng dạy, quan tâm chỉ bảo em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn sát cánh bên tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 11 năm 2011 Kiều Văn Thực LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu riêng của tôi. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự chân trọng và lòng biết ơn sâu sắc nhất. Những kết quả nêu trong khoá luận chưa được công bố trên bất kỳ công trình nào khác. Hà Nội, tháng 11 năm 2011 Học viên Kiều Văn Thực MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU 5 NỘI DUNG CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ 7 1.1 Dao động tử Boson biến dạng 7 1.1.1 Dao động tử Boson 7 1.1.2 Dao động tử Boson biến dạng q 10 1.2 Dao động tử Fermion biến dạng 12 1.2.1 Dao động tử Fermion 12 1.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng q 13 1.3 Dao động tử có thống kê vô hạn 14 1.4 Dao động tử biến dạng q - tổng quát 15 1.5 Dao động Paraboson biến dạng 20 1.5.1 Dao động Paraboson 20 1.5.2 Dao động Paraboson biến dạng 20 1.6 Đại số lượng tử SU(2) 22 1.6.1 Biểu diễn dao động tử đại số SU(2) 22 1.6.2 Đại số biến dạng một tham số SU(2) q 25 1.6.3 Đại lượng biến dạng hai tham số (2) pq SU 28 CHƯƠNG II: DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT 32 2.1 Dao động tử biến dạng tổng quát 32 2.2 Các vấn đề cơ bản của lý thuyết biến dạng 35 2.2.1 Tác dụng của toán tử a, a + lên vector riêng của toán tử số N 35 2.2.2 Cấu trúc đại số Lie biến dạng 36 2.2.3 Phép đồng nhân, hệ số Clebsh- Gordan 39 CHƯƠNG III. THỐNG KÊ CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ 3.1 Phân bố thống kê của toán tử F 42 3.2 Phân bố thống kê 42 3.2.1 Phân bố thống kê của dao động tử Boson bién dạng – q 42 3.2.2 Phân bố thống kê của dao động từ Fermion biến dạng – q 43 3.3 Phân bố thống kê của dao động tử có có thống kê vô hạn 44 3.4 Phân bố thống kê của dao động tử biến dạng – q tổng quát 45 3.5 Phân bố thống kê của dao động tử Paraboson 46 3.6 Phân bố thống kê của dao động tử Paraboson biến dạng – q 47 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Khi nghiên cứu các hệ vật lý, ta thường gặp các tính chất đối xứng của chúng. Đối xứng đóng một vai trò quan trọng trong vật lý hiện đại. Đối xứng chuẩn dẫn đến những lý thuyết chuẩn, đối xứng không gian tinh thể là cơ sở của vật lý chất rắn, đối xứng conform là đối xứng quan trọng trong lý thuyết dây…… Vì vậy, sự phát triển của vật lý hiện đại gắn liền với việc nghiên cứu đối xứng. Trong những năm gần đây đối xứng lượng tử mà cấu trúc toán học của nó dựa trên nhóm lượng tử là sự mở rộng của nhóm Lie đã xâm nhập vào nhiều lĩnh vực của vật lý. Phát minh của Macfarlane và Biedenham về sự thực hiện, đại số lượng su q (2) trong thuật ngữ q- dao động tử đã làm nảy sinh ra việc áp dụng đối xứng lượng tử trong các vấn đề hiện thực của vật lý. Nhìn vào lịch sử vật lý, ta thấy rằng các nhà vật lý đã nhiều lần biến dạng các quy luật vật lý cơ bản. Lý thuyết mới (đã biến dạng) là tổng quát hơn và chứa lý thuyết ban đầu như là một trường hợp giới hạn khi tham số biến dạng tiến đến một giá trị đặc biệt. Ví dụ: Cơ học tương đối tính sẽ trở thành cơ học Newton khi tham số biến dạng 0 v c    hay cơ học lượng tử cho lại các kết quả của cơ học cổ điển trong giới hạn S    (S là tác dụng). Vì các tham số v c và S  là các tham số không có thứ nguyên, ý nghĩa vật lý của biến dạng q cũng sẽ kết hợp với một hằng số vật lý cơ bản nào đó. Phải nói rằng ý tưởng về nhóm lượng tử và đối xứng lượng tử là một ý tưởng mới mẻ, có tính đột phá. Nội dung của ý tưởng này đưa lý thuyết thoát khỏi phạm vi các nhóm cổ điển, điều này đã dẫn đến nhiều thống kê mới với các hạt được đoán nhận: Thống kê phân số (hạt anyon), thống kê q- biến dạng (hạt quon), thống kê- biến dạng (hạt guon), thống kê para (parafermion, paraboson …). Nhóm lượng tử và đối xứng lượng tử có khả năng đưa đến một phát triển mới trong lý thuyết trường lượng tử, lý thuyết các hạt cơ bản, vũ trụ học và đặt ra những vấn đề toán học như lý thuyết biểu diễn của những nhóm lượng tử. Nghiên cứu đối xứng lượng tử là một công việc cần thiết, hiện đại và có thể dẫn đến nhiều kết quả mới. Với mong muốn nghiên cứu một số vấn đề theo các phương hướng phát triển mới của biến dạng lượng tử trong lý thuyết trường lượng tử vật lý hạt cơ bản, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài ‘Dao động tử biến dạng tổng quát’ . 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu một số kiến thức tổng quan về nhóm lượng tử và dao dộng tử biến dạng tổng quát . 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về dao động tử biến dạng tổng quát. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đại số lượng tử của các dao động tử biến dạng ,Dao động tử biến dạng tổng quát. và tính thống kê của các dao động tử lượng tử. 5. Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp nghiên cứu của VLLT - VLT. -Các phương pháp của nhóm đối xứng lượng tử. 6. Những đống góp mới của đề tài Đưa ra tổng quan về các dao động lượng tử, biểu diễn của các dao động lượng tử và tính thống kê của các dao động lượng tử Đây là tài liệu hữu ích cho những ai quan tâm tới dao động lượng tử CHƯƠNG I DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ 1.1 Dao động tử Boson biến dạng. 1.1.1 Dao động tử Boson. Hệ thức giao hoán của dao động tử Boson đơn mode thỏa mãn hệ thức , 1 a a       (1.1) Toán tử số dao động N có dạng: N a a   (1.2) Trong đó: a: là toán tử hủy dao động tử a  : là toán tử sinh dao động tử Kết hợp (1.1) với (1.2) ta có:     , aa , , , , aa , , , N a a a a a a a a a N a a a a a a a a a                                               (1.3) (1.4) Xét không gian Fock với trạng thái chân không 0 thỏa mãn điều kiện a 0 = 0 (1.5) Trạng thái n là trạng thái có n dao động tử có thể thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là các trạng thái riêng đã chuẩn hóa có dạng:   0 ! n a n n   n = 0, 1, 2, … (1.6) Ta có toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P liên hệ với các toán tử dao động ,a a  như sau:   2 Q a a m        2 m P i a a      Khi ấy hệ thức giao hoán giữa toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P là:        , 2 , , 2 , i Q P a a a a i a a a a i a a                                (1.7) Thế (1.1) vào (1.7) suy ra:   , Q P i  (1.8) Toán tử Hamiltonian được biểu diễn như sau:           2 2 2 2 2 1 1 2 2 4 4 2 , 2 2 2 1 2 H P m Q a a a a m a a aa a a a a N                                     (1.9) Phổ năng lượng của dao dộng điều hòa được xác định bởi phương trình hàm riêng và trị của toán tử H:     2 1 2 1 2 2 n H n E n H N n n n          Suy ra:   2 1 2 n E n     n= 0, 1, 2,… (1.10) Nhận xét: Công thức (1.10) là công thức xác định năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều đã được cơ học lượng tử giải một cách chính xác. Từ hệ thức (1.8) dẫn đến hệ thức bất định Heisenberg:       2 2 2 2 2 2 1 4 4 Q P n        (1.11) Thật vây, ta thấy: 0 0 Q n Q n P n P n     (1.12) Do đó độ lệch toàn phương     2 2 , Q P   của tọa độ và xung lượng là:         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 Q Q Q Q n a a n m n a a n n aa n m n N n m                                      2 2 22 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 n m P P P P m n a a n n a a n n aa n m n N n m n m                                 Suy ra:       2 2 2 2 2 2 1 4 4 Q P n        (1.13) 1.1.2 Dao động tử Boson biến dạng q. Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử hủy và sinh dao động tử a,a  theo hệ thức sau: a N a qa a q      (1.14) Với q là thông số biến dạng Trong phương trình ( 1.14) nếu q=-1 thì trở về hệ thức dạng dao động tử (1.1). Toán tử số dao động tử thỏa mãn phương trình hàm riêng,trị riêng: q q N n n n (1.15) Trong đó:     0 ! n q q a n n   (1.16) [...]... trở về hệ thức của toán tử Casimir đã biết trong lý thuyết mô men xung lượng CHƯƠNG II DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT 2.1 Dao động tử biến dạng tổng quát Chúng ta sẽ bắt đầu từ một biến dạng bất kỳ của dao động tử và xây dựng đại số của dao động tử biến dạng tổng quát Những kết quả này là tổng quát và có thể áp dụng cho các trường hợp biến dạng Biến dạng tổng quát của dao động tử điều hòa có thể được... dạng q sẽ trở về phổ năng lượng của dao động tử một chiều (1.10) En    2n  1 2 n= 0, 1, 2,… 1.2 Dao động tử Fermion biến dạng 1.2.1 Dao động tử Fermion Hệ thức phản giao hoán của dao động tử Fermion thỏa mãn hệ thức b, b   1 b  b   0  2  2 (1.26) Toán tử số dao động N có dạng: N  b b Trong đó: b: là toán tử hủy dao động tử b : là toán tử sinh dao động tử (1.27) Tương tự: N thỏa mãn hệ... 1.4 Dao động tử biến dạng q tổng quát Gần đây trong công trình nghiên cứu của GS.TSKH Đào Vọng Đức đã đề nghị một dạng biến dạng q tổng quát bao gồm các dao động tử biến dạng q thông thường và cả các dao động tử có thống kê vô hạn Hệ dao động tử Boson thỏa mãn: aa   qa  a  q cN Trong đó: q,c là các tham số Thật vậy,với c=-1 thì (1.40) trở về (1.14) (1.40) aa   qa  a  q  N Đây chính là biến dạng. .. giao hoán biến dạng: (2.18)  a, a    aa   a  a  F  N  1  F  N    (2.19) Dưới đây ta liệt kê ra một số dạng hàm cấu trúc F(x) thường gặp i x - Dao động tử điều hòa ii q x  q x q  q 1 - Dao động tử điều hòa q -biến dạng iii q x  p x q  p 1 - Dao động tử điều hòa biến dạng hai tham số iv x(p +1 –x) - Dao động tử para-fermion v sinh( x) sinh( ( p  1  x)) - Dao động tử biến dạng parafermion... là vector đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N: n n   b  0 n= 0, 1 ( N= 0,1 vì đây là hệ Fermion nên phải thỏa mãn nguyên lý loại trừ Pauli) Khi ấy tác dụng của toán tử b, b lên trạng thái n : b 0 0 b1 0 b 0  1 b 1  0 1.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng q Dao động tử Fermion biến dạng q được biểu diễn qua các toán tử sinh dao động tử b và hủy dao động tử b như sau: bb   qb b  q... sự biến dạng của đại số SU (2) được đặc trưng bởi hai thông số biến dạng p,q Trong trường hợp giới hạn p=q thì  x  pq   x q và đại số ( 1.87) trở về đại số biến dạng một tham số (1.74 ) Bây giờ chúng tôi sẽ tìm biểu diễn bất khả quy của đại số SU(2)pq bằng phương pháp Schwinger tổng quát Để thực hiện được điều này chúng tôi sẽ xây dựng dao động điều hòa biến dạng p,q hay còn gọi tắt là dao động. .. thay x bằng  a  a  thì với định nghĩa (2.1), biến dạng tổng quát của dao động tử sẽ được biểu diễn thông qua hệ thức giao hoán f  aa    f  a  a   1 (2.16) Đây là hệ thức giao hoán biến dạng của hệ thức (2.6) Trong hệ thức giao hoán biến dạng (2.16) thì hàm f  x  (và hàm F  x  ) được gọi là hàm cơ sở (và hàm cấu trúc) của lý thuyết biến dạng, còn hàm g  x  được gọi là hàm bổ trợ Sử... (1.22) Toán tử Hamiltonian được biểu diễn qua toán tử tọa độ Q và xung lượng P có dạng: 1 2 1 1 P  m 2Q 2    a  a  aa    2m 2 2 1 H    N q   N  1q 2 H  (1.23)  Phổ năng lượng của dao động tử biến dạng q: H n q  En n (1.24) q 1    N q   N  1q n q  En n 2 1  En    N q   N  1q 2    q n = 0,1,2,… (1.25)  Khi q=1 thì phổ năng lượng của dao động tử biến dạng q sẽ... 1q (1.34) Khi q=1 thì ta có dao động Fermion điều hòa (1.13)  Q  2  P  2 2 2 2   2n  1  4 4 1.3 Dao động tử có thống kê vô hạn Khái niệm thống kê vô hạn được Greenberg định nghĩa (năm 1990) là biểu diễn qua những số hạng của toán tử sinh a  ,toán tử hủy a trong khuôn khổ lý thuyết trường: aa   1 (1.35) Toán tử số dao động tử N thỏa mãn  N , a   a có dạng: k  N  a a  a a aa ... thì biến dạng q tổng quát thỏa mãn hệ thức: bb   qb b  q cN (1.45) Ta cũng chứng minh được: n n n c b  b     1 q n  b   b  nq  b   n 1 q cN (1.46)  n Và: n c q  b  c nq 0 ! n 1 Với: c nq q cn   1 q n  q  qc (1.47) Trong không gian Fock trên ta có hệ thức sau: c b  b   N q c  bb    N  1q 1.5 Dao động Paraboson biến dạng 1.5.1 Dao động Paraboson Dao . I: DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ 7 1.1 Dao động tử Boson biến dạng 7 1.1.1 Dao động tử Boson 7 1.1.2 Dao động tử Boson biến dạng q 10 1.2 Dao động tử Fermion biến dạng 12 1.2.1 Dao động tử Fermion. 12 1.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng q 13 1.3 Dao động tử có thống kê vô hạn 14 1.4 Dao động tử biến dạng q - tổng quát 15 1.5 Dao động Paraboson biến dạng 20 1.5.1 Dao động Paraboson. DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT 32 2.1 Dao động tử biến dạng tổng quát 32 2.2 Các vấn đề cơ bản của lý thuyết biến dạng 35 2.2.1 Tác dụng của toán tử a, a + lên vector riêng của toán tử