Khảo sát phổ năng lượng của dao động tử điều hoà phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGÔ XUÂN TRƯỜNG KHẢO SÁT PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA PHI TUYẾN Chuyên ngành : Vật lí chất rắn Mã số : 64 44 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Lưu Thị Kim Thanh HÀ NỘI, 2012 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin trân trọng cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa học của mình. Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn tới toàn thể các thầy cô giáo trong nhà trường đã giảng dạy, hướng dẫn tận tình cho em trong quá trình học tập tại trường. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo, PGS. TS. Lưu Thị Kim Thanh, người đã trực tiếp hướng dẫn tận tình, động viên em trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Cuối cùng, em xin cản ơn gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã luôn ở bên em, giúp đỡ và chia sẻ những khó khăn với em trong suốt thời gian học tập và hoàn thành bản luận văn này. Mặc dù em đã có nhiều cố gắng bằng tất cả sự nhiệt tình và năng lực của mình, tuy nhiên không thể tránh khỏi những thiếu xót và hạn chế, rất mong nhận được những góp ý quý báu của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp. Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2012 Học viên Ngô Xuân Trường LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 11 năm 2012 Học viên Ngô Xuân Trường MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3 5. Phương pháp nghiên cứu 3 6. Tên đề tài, kết cấu của luận văn 3 CHƯƠNG 1. PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN TÍNH 4 1.1. Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính trong cơ học cổ điển 4 1.2. Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính trong cơ học lượng tử 6 Kết luận chương 1 22 CHƯƠNG 2. PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA PHI TUYẾN 23 2.1. Cơ sở toán học của hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng 23 2.2. Xác định phổ năng lượng của dao động tử điều hòa phi tuyến bằng lý thuyết biến dạng q. 25 2.3. Chứng minh dao động tử điều hòa biến dạng q mô tả dao động tử điều hòa phi tuyến 27 2.4. Phổ năng lượng của dao động tử biến dạng  . 29 Kết luận chương 2 32 CHƯƠNG 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG 34 3.1. Phân bố thống kê 34 3.2. Biểu diễn dao động tử của đại số lượng tử SU q (2) 37 3.3. Tổng trạng thái, nội năng và nhiệt dung của hệ dao động tử điều hòa tuyến tính 41 3.4.Tổng trạng thái, nội năng và nhiệt dung của hệ dao động tử điều hòa phi tuyến 44 Kết luận chương 3 46 KẾT LUẬN CHUNG TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu Vật lý vi mô nói chung và lý thuyết trường lượng tử nói riêng đã tạo nên cơ sở của thế giới quan vật lý để lý giải bản chất của các hạt vi mô về mặt cấu trúc và các tính chất của nó. Cùng với sự phát triển của lịch sử loài người, vật lý học cũng đã trải qua nhiều giai đoạn phát triển và đạt được nhiều thành tựu quan trọng; Từ cơ học cổ điển của Niutơn đến thuyết điện từ trường của Maxwell và Faraday, vật lý lượng tử… Ngày nay, vật lý học hiện đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất, người ta thấy rằng ngoài các quy luật tìm thấy trong vật lý cổ điển, ở đây xuất hiện các quy luật mới là quy luật lượng tử, quy luật thống kê. Vật lý thống kê là một bộ phận của vật lý hiện đại nó nghiên cứu các hệ nhiều hạt bằng phương pháp thống kê. Để tìm các định luật phân bố thống kê lượng tử có rất nhiều phương pháp trong đó có phương pháp lý thuyết trường lượng tử. Lý thuyết trường lượng tử đã mở ra con đường để nhận biết các quá trình vật lý xảy ra trong thế giới vi mô, thế giới của các phân tử, nguyên tử, hạt nhân và các hạt cơ bản [1,2]. Dao động tử điều hòa tuyến tính là một mô hình lý tưởng được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của vật lý, khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính là một trong số rất ít các bài toán giải được chính xác trong vật lý và là cơ sở để khảo sát nhiều hệ vật lý thực. Thực tế, trong các hệ vật lý thực thường tồn tại các dao động tử điều hòa phi tuyến. Vì vậy, khi áp dụng các lý thuyết chính tắc vào các hệ vật lý thực thì luôn có sự sai khác giữa lý thuyết và thực nghiệm. Trong Vật lý lý thuyết cũng như trong lý thuyết chất rắn, khi có sự sai khác giữa một lý thuyết 2 chính tắc với kết quả thực nghiệm, các nhà khoa học thường đưa ra các phương pháp gần đúng để giải quyết. Để khảo sát hệ dao động tử điều hòa phi tuyến , đã có phương pháp gần đúng như phương pháp mô men, phương pháp trường trung bình … Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số biến dạng [3,4,5] đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà vật lý, vì các cấu trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của vật lý như thống kê lượng tử, vật lý chất rắn lượng tử, quang học phi tuyến… Việc tìm được Hamiltonian hay toán tử năng lượng của hệ là yếu tố quyết định trong việc khảo sát một hệ vật lý. Dưới sự hướng dẫn của Cô giáo, PGS. TS Lưu Thị Kim Thanh, em chọn đề tài “Khảo sát phổ năng lượng của dao động tử điều hòa phi tuyến” làm đề tài của luận văn. Trong luận văn này, em nghiên cứu về phổ năng lượng của dao động tử điều hòa phi tuyến trên cơ sở phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính, bằng phương pháp gần đúng của lý thuyết trường lượng tử, đó là phương pháp biến dạng [6,7,8]; Và ứng dụng phổ năng lượng của dao động tử điều hòa phi tuyến đã tìm được vào một số vấn đề trong vật lý nói chung và chất rắn nói riêng [9,10]. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm phổ năng lượng của hệ dao động tử điều hòa phi tuyến. Ứng dụng phổ năng lượng của dao động tử điều hòa phi tuyến đã tìm được vào một số vấn đề trong vât lý và vật lý chất rắn. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu hình thức luận dao động tử điều hòa tuyến tính trong vật lý cổ điển và trong vật lý lượng tử. 3 - Khảo sát hệ dao động tử điều hòa phi tuyến, tìm phổ năng lượng của dao động tử điều hòa phi tuyến bằng phương pháp biến dạng của lý thuyết trường lượng tử. - Tính tổng thống kê và năng lượng trung bình của một dao động tử điều hòa phi tuyến. - Tính nội năng và nhiệt dung đẳng tích của hệ các dao động tử điều hòa phi tuyến. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu hệ dao động tử điều hòa phi tuyến bằng lý thuyết biến dạng. 5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng tử. - Phương pháp vật lý thống kê và các phương pháp giải tích khác. 6. Tên đề tài, kết cấu của luận văn. - Tên đề tài: Khảo sát phổ năng lượng của dao động tử điều hòa phi tuyến . - Kết cấu của luận văn: Gồm phần mở đầu và kết luận; Nội dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương : Chương 1: Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính Chương 2: Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa phi tuyến Chương 3: Một số ứng dụng 4 CHƯƠNG 1 PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN TÍNH 1.1. Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính trong cơ học cổ điển Dao động tử điều hòa tuyến tính là một chất điểm có khối lượng m, chuyển động một chiều theo trục Ox, dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi, F kx,  trong đó k là hệ số chuẩn đàn hồi. Phương trình chuyển động của dao động tử điều hòa tuyến tính F ma 2 2 d x kx m dt   , '' k x x 0 m   , '' 2 x x 0   , (1.1) với k m   ,  là tần số góc. Nghiệm của phương trình (1.1) có dạng: x Asin( t )    (1.2) trong đó  là pha của dao động, A là biên độ của dao động. Động năng của dao động tử điều hòa tuyến tính 2 2 1 1 T mv mx 2 2    5 2 2 2 1 T ma cos ( t ) 2      Thế năng của dao động tử điều hòa tuyến tính 2 1 V Fdx kx 2     2 2 2 1 V mA sin ( t ) 2      Năng lượng (cơ năng) của dao động tử điều hòa tuyến tính 2 2 1 E T V mA 2     (1.3) Vậy theo quan điểm cổ điển năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính có những đặc điểm sau: Ứng với mỗi giá trị xác định của tần số , năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính có thể có những giá trị liên tục, tỉ lệ thuận với biên độ dao động A. Năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính có giá trị nhỏ nhất bằng không. Vận tốc của hạt dx v A cos( t ) dt       2 2 x v A 1 A    Chu kỳ dao động của hệ 2 T    Xác suất dw (cd) (x) mà hạt vĩ mô nằm trong khoảng từ x đến x + dx với dx = vdt bằng 6 (cd) (cd) 2 2 dt dx dw (x)dx T 2 v 1 dx dw (x) 2 A x 1 A        1.2. Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính trong cơ học lượng tử 1.2.1. Biểu diễn tọa độ Hamiltonian của dao động tử điều hòa tuyến tính [1] 2 2 2 2 2 2 ˆ P 1 ˆ ˆ ˆ ˆ H T U kx 2m 2 d 1 ˆ ˆ H kx 2m dx 2         Trạng thái lượng tử của hạt với năng lượng E được diễn tả bằng hàm sóng  (x) thỏa mãn phương trình Schrodinger ˆ H (x) E (x)    2 2 2 2 d 1 kx (x) E (x). 2m dx 2             (1.4) Đặt 1 4 2 mk m ;             2E m 2E k      (1.5) và dùng biến không thứ nguyên  = x, ta viết lại phương trình (1.4) dưới dạng 2 2 2 2 2 2 2 d m 2mE x (x) (x) dx               [...]... luận dao động tử điều hòa, tìm phổ năng lượng của hệ dao động tử điều hòa tuyến tính trong cơ học cổ điển, tìm phổ năng lượng của hệ dao động tử điều hòa tuyến tính trong cơ học lượng tử bằng biểu diễn tọa độ và biểu diễn số hạt Theo quan điểm lượng tử thì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính được xác định bởi công thức 1  E n   n   , (n = 0, 1, 2…) 2  Phổ năng lượng của dao động. .. ứng với một giá trị xác định của thông số biến dạng  thì phổ năng lượng của dao động tử biến dạng  có đầy đủ các đặc điểm của phổ năng lượng của dao động tử điều hoà tuyến tính Đặc biệt, khi  0 thì phổ năng lượng của dao động tử biến dạng  sẽ trở về phổ năng lượng của dao động tử điều hoà tuyến tính đã thu được ở trên Khi  = - 1 thì E n  n suy ra E0 = 0, năng lượng ở trạng thái cơ bản có giá... mức năng lượng phổ năng lượng của dao động tử điều hòa phi tuyến không cách đều nhau mà được giãn rộng hơn khi số lượng tử chính n tăng lên 2/ Chứng minh được rằng dao động tử điều hòa biến dạng q mô tả dao động tử điều hòa phi tuyến với thế năng  1 2  2 2 6 V(x)     x  x 120 2 8  3/ Phổ năng lượng của dao động tử biến dạng  là En    2n  1    2 Phổ năng lượng của dao động tử biến... phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng theo kiểu biến dạng q và biến dạng  trở về phổ năng lượng của dao động tử điều hoà tuyến tính quen thuộc Kết quả thu được như sau: 1/ Phổ năng lượng của q- dao động, với q là số thực q  e  ( là thực) có dạng En    n q   n  1q 2   Vậy phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính có các mức năng lượng cách đều nhau, còn các mức năng. .. điểm 3: Năng lượng thấp nhất của dao động tử điều hòa biến dạng q ứng với n=0, được gọi là năng lượng “không” Mức “không” của năng  lượng E 0   0 2 + Đặc điểm 4: Các mức năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q không suy biến, hay bậc suy biến của các mức năng lượng g=1 2.3 Chứng minh dao động tử điều hòa biến dạng q mô tả dao động tử điều hòa phi tuyến Để chứng minh dao động tử điều hòa... sẽ tỷ lệ với 4 x10 Vậy, phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính có các mức năng lượng cách đều nhau còn các mức năng lượng phổ năng lượng của dao động tử điều hòa phi tuyến không cách đều nhau mà được giãn rộng hơn khi số lượng tử chính n tăng lên Trong giới hạn q  1 (   0) , từ (2.10) hoặc (2.12) chúng ta thu lại được phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính đã biết 1  E... (1.5), phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính được xác định bởi công thức 1  E n   n   , 2  (n = 0, 1, 2…) (1.11) Vậy theo quan điểm lượng tử, phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính có các đặc điểm sau: + Đặc điểm 1: Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính chỉ có thể nhận các giá trị gián đoạn + Đặc điểm 2: Các mức năng lượng cách đều nhau, hiệu giữa hai mức năng. .. động tử điều hòa tuyến tính có các đặc điểm sau: + Đặc điểm 1: Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính chỉ có thể nhận các giá trị gián đoạn + Đặc điểm 2: Các mức năng lượng cách đều nhau, hiệu giữa các mức năng lượng liền kề nhau là hằng số E   + Đặc điểm 3: Năng lượng thấp nhất của dao động tử điều hòa tuyến tính ứng với n=0, được gọi là năng lượng “không” Mức “không” của năng lượng. .. luận sau: Kết luận 4: Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính được biểu diễn bằng công thức 1  E n   n    2  (1.31) Từ biểu thức (1.31), ta nhận thấy phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính có các đặc điểm như đã khảo sát ở phần trên, các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng tháí... mức năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính không suy biến, hay bậc suy biến của các mức năng lượng g=1 23 CHƯƠNG 2 PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA PHI TUYẾN 2.1 Cơ sở toán học của hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng Định nghĩa q – số: q- số tương ứng với số thông thường x được định nghĩa [3,4] q x  qx [x]q  , q  q 1 (2.1) với q là một tham số, nếu x là một toán tử cũng . luận dao động tử điều hòa tuyến tính trong vật lý cổ điển và trong vật lý lượng tử. 3 - Khảo sát hệ dao động tử điều hòa phi tuyến, tìm phổ năng lượng của dao động tử điều hòa phi tuyến. lượng của dao động tử điều hòa phi tuyến Chương 3: Một số ứng dụng 4 CHƯƠNG 1 PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN TÍNH 1.1. Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến. cấu của luận văn 3 CHƯƠNG 1. PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN TÍNH 4 1.1. Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính trong cơ học cổ điển 4 1.2. Phổ năng lượng của dao