Một số tính chất của dao động tử điều hòa biến dạng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI ====== TRẦN HỮU TUẤN BÌNH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DAO ĐỘNG TỪ ĐIỀU HỊA BIẾN DẠNG Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết vật lí Toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : PGS TS Lƣu Thị Kim Thanh HÀ NỘI - 2017 LỜI CẢM ƠN Luận văn : “Một số tính chất dao động tử điều hòa biến dạng” hồn thành với nỗ lực thân giúp đỡ tận tình thầy cô, bạn bè Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn – PGS TS Lưu Thị Kim Thanh tận tình giúp đỡ, bảo em q trình hồn thành đề tài Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Vật lý trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài Xin chân thành cảm ơn giúp đỡ động viên bạn bè suốt trình làm đề tài Trong trình nghiên cứu thời gian có hạn bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài em không tránh khỏi thiếu sót hạn chế Vì em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Học viên Trần Hữu Tuấn Bình LỜI CAM ĐOAN Đề tài “Một số tính chất dao động tử điều hòa biến dạng” hồn thành với nỗ lực thân hướng dẫn PGS TS.Lưu Thị Kim Thanh Đề tài kết nghiên cứu tôi, không trùng với đề tài khác Tất liệu tơi đưa hồn tồn trung thực Tôi xin chịu trách nhiệm kết nghiên cứu Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Học viên Trần Hữu Tuấn Bình MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG 1: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 1.1 Phổ lượng dao động tử điều hòa 1.2 Tổng trạng thái hệ dao động tử điều hòa 14 1.3 Trạng thái kết hợp dao động tử điều hòa 17 CHƢƠNG 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HỊA BIẾN DẠNG 25 2.1.Phổ lượng dao động tử điều hòa biến dạng q 25 2.2 Tổng trạng thái hệ dao động tử điều hòa biến dạng 28 2.3 Trạng thái kết hợp dao động tử điều hòa biến dạng 30 CHƢƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BIẾN DẠNG 39 3.1 Nhiệt dung hệ dao động tử điều hòa 39 3.2 Nhiệt dung hệ dao động tử điều hòa biến dạng 41 3.3 Ứng dụng dao động tử biến dạng q vào tượng ngưng tụ Bose-Einstein 42 KẾT LUẬN CHUNG 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Vật lí thống kê ngành vật lí nghiên cứu hệ nhiều hạt Tùy thuộc vào loại mơ hình vật chất mà người ta thường tách vật lí thống kê làm hai phần: Vật lí thống kê cổ điển vật lí thống kê lượng tử Vật lí thống kê lượng tử tổng quát chặt chẽ vật lí thống kê cổ điển kết vật lí thống kê lượng tử bao gồm kết vật lí thống kê cổ điển trường hợp riêng Nhiệm vụ vật lí thống kê lượng tử nghiên cứu tính chất hệ nhiều hạt vi mô tuân theo quy luật học lượng tử Vật chất tồn hai dạng chất trường; chất bao gồm số lớn nguyên tử, phân tử Lượng tử trường hạt bản, chẳng hạn lượng tử trường điện từ photon,…Từ thấy đối tượng nghiên cứu vật lí thống kê rộng Nhiệt động lực học nghiên cứu quy luật chuyển động nhiệt hệ nhiều hạt, nhiệt động lực học khảo sát tượng theo quan điểm biến đổi lượng tượng Cơ sở nhiệt động học định luật tự nhiên tổng quát mà người ta gọi nguyên lí nhiệt động lực học Các nguyên lí tổng quát hóa kinh nghiệm lâu đời nhân loại thực nghiệm xác nhận Vật lí thống kê nghiên cứu mối liên hệ đặc tính vĩ mơ hệ với tính chất định luật chuyển động hạt vi mô tạo nên hệ Vật lí thống kê xuất phát từ tính chất cấu trúc vi mơ hạt tạo nên hệ để rút tính chất hệ nhiều hạt phương pháp xác suất thống kê Tại lại phải dùng phương pháp xác suất thống kê mà dùng phương pháp giải phương trình Lagrange phương trình tắc Hamilton tốn cổ điển, phương trình Schrodinger hệ nhiều hạt lượng tử Câu trả lời hệ nhiều hạt tồn quy luật khách quan hệ tính chất số đơng quy luật tính thống kê, cụ thể tính chất hệ nhiều hạt thời điểm xét thực tế hồn tồn khơng phụ thuộc vào trạng thái ban đầu tức vào điều kiện ban đầu Mặc dù tính chất hạt riêng lẻ tuân theo định luật động lực học học Rõ ràng tính chất thống kê hết nội dung ta xét hạt riêng lẻ hay số hạt hệ nhiều hạt có biểu quy luật tính thống kê [1,2,3] Trong vật lí thống kê lượng tử tổng trạng thái ( hay tích phân trạng thái thống kê cổ điển) đóng vai trò đặc biệt quan trọng, nhờ ta tìm loạt đại lượng đặc trưng cho hệ vật lí Tổng trạng thái phản ánh trạng thái nội hệ, phép lấy tổng (phép tích phân trạng thái) thực theo tất trạng thái vi mô hệ Nói cách khác tổng trạng thái hàm trạng thái phụ thuộc vào thông số ngoại nhiệt độ hệ Việc tính tổng trạng thái hệ cho phép ta đốn nhận thơng số nhiệt động hệ nhiều hạt nhiệt độ, entrơpi, lượng tự do….[4,5,6] Sau q trình học tập lớp cao học chuyên ngành Vật lí Lí thuyết Vật lí Tốn, K37 Trường ĐHSP Hà nội 2, tơi thấy vai trò quan trọng tổng trạng thái vật lí Với mong muốn tiếp cận với vật lí học đại, em chọn đề tài “Một số tính chất dao động tử điều hòa biến dạng” để làm luận văn thạc sĩ hướng dẫn khoa học cô giáo, PGS TS Lưu Thị Kim Thanh Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài nghiên cứu số tính chất dao động tử điều hòa biến dạng Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày số tính chất dao động tử điều hòa tuyến tính - Nghiên cứu số tính chất dao động tử điều hòa biến dạng - Nêu số ứng dụng dao động tử điều hòa biến dạng Đối tƣợng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu dao động tử điều hòa biến dạng Phƣơng pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng phương pháp vật lí lý thuyết: - Phương pháp vật lí thống kê, - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử, - Phương pháp nhóm lượng tử phương pháp giải tích khác Dự kiến đóng góp - Các tính chất dao động tử điều hòa biến dạng ứng dụng dao động tử điều hòa biến dạng CHƢƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HỊA 1.1 Phổ lƣợng dao động tử điều hòa Biểu diễn số hạt Phổ lượng dao động tử điều hòa tìm phương pháp đại số, sử dụng hệ thức giao hốn tắc biểu thức Hamiltonian Pˆ m Hˆ  x  xˆ 2m (1.1) Chúng ta kí hiệu: xˆ  qˆ toán tử tọa độ pˆ x  pˆ  i d toán tử xung lượng dx Hệ thức giao hoán pˆ qˆ là: d d d d x  x( i )  i xi x dx dx dx dx d d  pˆ , qˆ   i ( x )  i x   i  dx dx  pˆ , qˆ   i ˆ ˆ  qp ˆˆ  i  pˆ , qˆ   pq Có thể biểu diễn Hamiltonian theo pˆ qˆ H Đặt : pˆ m 2  qˆ 2m pˆ  i qˆ  m    aˆ  aˆ   aˆ 2m   aˆ  (1.2) ta biểu diễn Hˆ theo aˆ  , aˆ sau: pˆ m 2 m  m  H  qˆ  i aˆ  aˆ   aˆ  aˆ     2m 2m 2 2m   aˆ  aˆ     aˆ  aˆ      2       aˆ  aˆ   aˆ  aˆ     aˆ  aˆ   aˆ  aˆ     ˆˆ  2aa   2aˆ  aˆ  (1.3)  ˆ ˆ   aˆ  aˆ   aa Và toán tử biểu diền ngược lại theo pˆ qˆ pˆ  i qˆ  m   aˆ  aˆ   aˆ   aˆ    aˆ 2m Từ ta thu :   aˆ   aˆ   aˆ  pˆ  ipˆ m  m  i qˆ  qˆ 2m 2m m  pˆ  aˆ    qˆ  i   m aˆ   (1.4) m  pˆ    qˆ  i  2m  m (1.5) Dễ dàng chứng minh toán tử aˆ  aˆ thỏa mãn hệ thức giao hoán  aˆ , aˆ     ˆ ˆ   aˆ  aˆ  Thật vậy:  aˆ , aˆ   aa  (1.6) m  pˆ   qˆ  i  2  m m  pˆ  m  pˆ   qˆ  i   qˆ  i  2  m  2  m  2 i ˆ ˆ  2iqp ˆˆ    pq ˆ ˆ  qp ˆˆ    2i pq Sử dụng hệ thức (1.6) ta thu hàm Hamiltonian có dạng 1  H   aˆ  aˆ    2  (1.7) Việc nghiên cứu phổ lượng dao động tử điều hòa quy tốn tìm vectơ giá trị riêng trị riêng Hamiltonian (1.7), toán tử thỏa mãn hệ thức giao hoán (1.6) Để làm điều ta định nghĩa tốn tử giao hốn sau: Nˆ  aˆ  aˆ (1.8) Và có hệ thức giao hoán toán tử Nˆ với toán tử aˆ  aˆ ˆ ˆ  aN ˆ ˆ  aˆ  aa ˆ ˆ  aa ˆ ˆ  aˆ   aˆ aˆ  aa ˆ ˆ   aˆ  1.aˆ  aˆ   Nˆ , aˆ   Na Suy   ˆ ˆ  aˆ Nˆ  Na (1.9) ˆ ˆ   aˆ  Nˆ  aˆ  aa ˆ ˆ   aˆ aˆ aˆ  aˆ  aa ˆ ˆ   aˆ aˆ   aˆ    Nˆ , aˆ    Na Hay   ˆ ˆ   aˆ  Nˆ  Na (1.0) Ký hiệu n vecto riêng toán tử Nˆ ứng với trị riêng n, ta có phương trình trị riêng tốn tử Nˆ Nˆ n  n n Từ phương trình (1.11) (1.11) n Nˆ n n aˆ  aˆ n n  0 nn nn Vì n n   n  r  dr  Và (1.12) 33 Cuối ta thu biểu thức độ biến thiên toàn phương toạ độ xung lượng trạng thái kết hợp là:  ~ x    ~ p   F1 1  qc  Với F1  (q  1)    e  e   2 Và ta có:  x 2    p 2   F1 16 (2.31) Kết phù hợp với tính chất trạng thái kết hợp, trạng thái kết hợp tọa độ xung lượng đồng thời xác định, hệ thức bất định cực tiểu Ta thu biểu thức tính số hạt trung bình trạng thái kết hợp xác suất để trạng thái kết hợp trạng thái n hạt : 1     n     e   e     2 Wn  n  Với e1x     e    1  2n nqc !  d ex   n  1 x  x n dx n 0 n  1q (2.32) Dao động tử Fermion Một cách tương ứng dao động tử điều hòa fermion biến dạng q tổng quát xác định theo toán tử sinh hủy b  , b , thỏa mãn hệ thức : bb   qb  b  q cN N , b   b , N , b  b   bb   N  1q , b  b  N q c  (2.33) c  34 Biểu thức thực không gian Fock tảo trạng thái riêng chuẩn hóa tốn tử số hạt N n  nqc ! b n Với kí hiệu q- số Fermion sau : nq c  q cn  (1) n 1 q n  qc  q (2.34) Trên sở biểu thức(2.33), ta thu hệ thức :   bb   (1) n q n b  n b  nq b  c  n 1 q cn Và từ tính phân bố hệ nhiều hạt đồng Fermion biến dạng qtổng quát :  b b  e  e   (q  q c )e   q1c (2.35) Dưới ta có cơng thức độ biến thiên tồn phương tọa độ xung lượng :  x 2    p 2   F2 Ta thu biểu thưc tính số hạt trung bình trạng thái biến hợp  N     e   1  e(1)  (2.36) Và biểu thức tính xác suất để trạng thái kết hợp trạng thái có n hạt : Wn  n  Trong   e     1  2n nqc ! (2.37) 35  F2  (q  1)   e     1 eq c  n ex   x c  n  nq ! e1x  d ex   n  1c  x n dx n  n  1q ! (2.38) 2.3.2 Dao động tử biến dạng q trạng thái kết hợp q Halmintonian hệ dao động tử biến dạng q là: 2 2 H   m x 2 2m  q x (2.39) Chúng ta thấy gradient phương trình (2.39) bị biến dạng Vì Halmintonian khác dao động tử thông thường (1) Mặc dù dao động tử biến dạng q giống với dao động tử thơng thường hình thức lực tác động khác nhau: (2) f q   Hệ số 2 dV   mx dq x (2.40) 2 hàm q Khí q>0, 2  , biến dạng gây lực hồi 2 phục tăng lên Khí q