THÔNG TIN TÀI LIỆU
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== NGUYỄN THỊ THU HÀ NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA DAO DỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN ThS ĐỖ THỊ THU THỦY HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành tốt đề tài này, trước tiên em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy khoa Vật lí, trường Đại học sư phạm Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt trình thực đề tài Đặc biệt, em xin cảm ơn cô NGUYỄN THỊ HÀ LOAN cô ĐỖ THỊ THU THỦY tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hồn thành tốt đề tài khóa luận Mặc dù cố gắng, xong điều kiện thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn khoa Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hà LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em hồn thành hướng dẫn tận tình NGUYỄN THỊ HÀ LOAN cô ĐỖ THỊ THU THỦY với cố gắng thân em.Trong trình nghiên cứu thực khóa luận em có tham khảo tài liệu số tác giả ( nêu mục tài liệu tham khảo ) Em xin cam đoan kết nghiên cứu khóa luận trung thực không trùng với đề tài khác Nếu sai em chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hà MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài .1 Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu .1 Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận .2 NỘI DUNG .4 CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Hàm phân bố .4 1.2 Nội 1.3 Nhiệt độ suy biến 10 CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 12 2.1 Biểu diễn tọa độ dao động tử 12 2.2 Biểu diễn số hạt dao động tử 17 CHƯƠNG3: NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA HỆ DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ .26 3.1 Phổ lượng dao động tử điều hòa 26 3.2 Nhiệt độ suy biến dao động tử lượng tử 27 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cùng với phát triển tri thức nhân loại, Vật lí học ngày phát triển Các đối tượng phạm vi nghiên cứu ngày mở rộng Và để nghiên cứu hệ nhiều hạt, người ta sử dụng phương pháp vật lí thống kê Vật lí thống kê áp dụng phương pháp thống kê để giải toán liên quan đến hệ chứa số lớn phần tử, có số bậc tự cao đến mức khơng thể giải xác cách theo dõi phần tử, mà phải giả thiết phần tử có tính hỗn loạn tuân theo quy luật thống kê Vật lí thống kê cổ điển với hệ hạt vĩ mơ, để giải thích nhiều tính chất hệ hạt vi mơ mà vật lý thống kê cổ điển chưa giải thích được, ta áp dụng thống kê lượng tử Mơ hình lượng tử áp dụng rộng rãi vật lý đại dao động tử Nó coi mơ hình gần phân tử thực, nguyên tử thực hạt thực khác Các mơ hình áp dụng cho hạt tự cho hạt cấu thành hệ vật lý Một tính chất đặc trưng hệ lượng tử nhiệt độ suy biến Tính chất gì? Và tính chất lại nghiên cứu hệ lượng tử? Trong viết em muốn làm sáng tỏ vấn đề Vì vậy, em chọn đề tài “NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA” để thực luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày nhiệt độ suy biến dao động tử điều hòa Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử điều hòa - Nghiên cứu nhiệt độ suy biến dao động tử điều hòa chất rắn Đối tượng nghiên cứu - Tích phân trạng thái dao động tử - Năng lượng trung bình dao động tử - Nhiệt độ suy biến dao động tử Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu vật lý thống kê - Phương pháp nghiên cứu vật lý lý thuyết vật lý tốn Cấu trúc khóa luận - Đề tài “Nhiệt độ suy biến dao động tử điều hòa” có kết cấu gồm phần: mở đầu, nội dung kết luận - Phần nội dung chia làm chương: CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Hàm phân bố 1.1.1 Phân bố tắc lượng tử 1.1.2 Phân bố tắc lớn lượng tử 1.1.3 Phân bố Maxwell-Boltzmann lượng tử 1.2 Nội hệ 1.3 Nhiệt độ suy biến CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 2.1 Biểu diễn tọa độ dao động tử 2.2 Biểu diễn số hạt dao động tử CHƯƠNG 3: NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA HỆ DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ 3.1 Phổ lượng dao động tử điều hòa 3.2 Nhiệt độ suy biến dao động tử lượng tử 3.2.1 Nhiệt độ suy biến dao động tử điều hòa 3.2.2 Nhiệt độ suy biến chất rắn NỘI DUNG CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Hàm phân bố 1.1.1 Phân bố tắc lượng tử Xét hệ đẳng nhiệt, hàm phân bố tắc cổ điển có dạng : (q, p) e H (q, p) kT (1.1) lượng tự hệ Lượng tử hóa ta có tốn tử thống kê : ˆ e Kí hiệu n (q) Hˆ kT (1.2) hệ hàm riêng toán tử Hamilton Hˆ Ta có : Hˆ n E n (Hˆ ) suy m (q) nm * (q)dq n m n m n ) (E n n 1 n m 0 n m (1.3) (1.4) Khi yếu tố ma trận chéo ˆ : nn *n (q)ˆ (q)dq n Sử dụng khai triển Taylor hàm mũ ta viết (1.2) dạng : (1.5) m H ˆ e kT m! m0 kT (1.6) Thay (1.6) vào (1.5), kết hợp với (1.3), (1.4) phép biến đổi Taylor, ta : * m H nkT nn n (q)dq (q)e kT m0 m! * kT e (q)(Hˆ )n (q)dq m n 1 1 m kT m0 m! e kT m0 m En * (q) n m! kT (q)dq n m E En n E e kT n e kT e e kT kT kT m0 m! Vậy hàm phân bố thống kê tắc lượng tử có dạng : En nn e kT Điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố thống kê tắc lượng tử : 1 kT n Đại lượng Z e E n kT nn (E n )e kT n En e e kT Z n gọi tổng thống kê hệ Khi ta có : n kT ln Z Tổng thống kê lấy theo tất trạng thái Z e E n kT Do n mức lượng E n suy biến bội g(En ) tổng thống kê hệ trở thành : Z g(E n )e n En kT 1.1.2 Phân bố tắc lớn lượng tử Xét hệ đẳng nhiệt có số hạt N thay đổi, hàm phân bố tắc lớn cổ điển có dạng : (q, p, N ) e N H (q, p,N ) kT (1.7) nhiệt động, hóa học hạt Lượng tử hóa ta có tốn tử thống kê : ˆ e Nˆ Hˆ kT (1.8) Vì đo đồng thời lượng số hạt hệ nên toán tử Hamilton Hˆ toán tử số hạt Nˆ giao hốn với Do tốn tử Hamilton Hˆ tốn tử số hạt Nˆ có chung hệ hàm riêng Kí hiệu riêng chung tốn tử Hˆ Nˆ Ta có : Hˆ nN E nN nN Nˆ nN N nN Nˆ nN N nN nN (q) hệ hàm n n 1 n 1 n n n 1 Coi n , n số thực, ta rút n n n n 1 Ta có aˆ n aˆ n1aˆ aˆ n1 0 n2 aˆ 0 1 aˆ n2 a0ˆ aˆ n3 aˆ aˆ n3 1 n1 n n! n Và 1 n n aˆ n aˆ n n n! n hay coi thực, ta rút n n n! Tóm lại, ta thiết lập công thức quan trọng sau Nˆ n n n aˆ aˆ n n n 1 (n 0) aˆ n n 1 n 1 (n 0) n aˆ n! n (2.13) KẾT LUẬN CHƯƠNG Để nghiên cứu hệ dao động tử điều hòa, ta có hai cách biểu diễn biểu diễn tọa độ biểu diễn số hạt Trong biểu diễn số hạt, ta biết thêm khái niệm sinh huỷ hạt nhờ ta đưa cơng thức tính lượng đơn giản biểu diễn tọa độ CHƯƠNG 3: NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA HỆ DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ 3.1 Phổ lượng dao động tử điều hòa Để tìm phổ lượng dao động tử điều hòa, ta cần giải phương trình hàm riêng, trị riêng toán tử Hamiltonian (2.11) dao động tử điều hòa: Hˆ n En n 1 aˆ n En n aˆ (3.1) Thay (2.13) vào (3.1) ta có: n n aˆ= aˆ= aˆ n E aˆ 2n! n! n n aˆ En aˆ n n! n ! Từ ta có cơng thức xác định lượng dao động tử điều hòa với tần số là: 1 E n h n n=0,1,2,3… (3.2) Như ta thu “kết lượng tử”: lượng dao động tử điều hòa lấy trị số gián đoạn xác định Hiệu mức lượng số E h Đại lượng E0 h mức “không” lượng Năng lượng “không” tương ứng với dao động “không” mà ta trừ bỏ cách hạ nhiệt độ Nói khác đi, có xuất lượng “không” nên dao động tử học lượng tử trạng thái nghỉ 3.2 Nhiệt độ suy biến dao động tử lượng tử 3.2.1 Nhiệt độ suy biến dao động tử điều hòa Xét tổng trạng thái hệ lí tưởng hóa cấu tạo số lớn N dao động tử Ta tìm tổng thống kê (tổng trạng thái) dao động tử hệ Từ công thức (1.7) (3.1), tổng trạng thái dao động tử xác định En exp h hZ exp exp n (3.3) kT 2kT kT n0 n0 Vế phải (3.3) có chứa cấp số nhân vơ hạn giảm dần Theo cơng thức tính tổng số hạng cấp số nhân vô hạn giảm dần ta h h exp exp 2kT 2kT Z h h exp exp 1 kT kT Năng lượng trung bình dao động tử E n kT kT n1 En Z exp n1 kT E exp n Ở nhiệt độ thấp h h hay T kT Z T h h exp kT 1 h tsb (nhiệt độ suy biến) lượng kT trung bình tiến tới h , tức lượng mức thấp Còn nhiệt độ cao T t sb lượng trung bình dao động tử lớn (so với mức thấp nhất) dao động tử điều hòa bị phá vỡ Hệ cấu tạo từ dao động tử phải thay đổi trạng thái (rắn sang lỏng, lỏng sang khí, rắn sang khí) 3.2.2 Nhiệt độ suy biến chất rắn Trong mạng tinh thể chất rắn nguyên tử tương tác với nhau, chúng chuyển động dao động tử liên kết Mỗi nguyên tử có bậc tự do, tập hợp N nguyên tử vật rắn tập hợp 3N dao động tử điều hòa lượng tử liên kết, với 3N tần số khác nhau, kể từ tần số tần số cực đại D Chuyển động dao động tập thể nguyên tử liên kết tạo thành sóng âm, tức sóng đàn hồi vật rắn Sóng âm vật rắn gồm hai loại: sóng dọc sóng ngang Ta ký hiệu vận tốc truyền sóng dọc Ce , vận tốc truyền sóng ngang Ct Hệ 3N dao động tử điều hòa liên kết thay tập hợp 3N dao động chuẩn Nếu vận tốc truyền sóng C, tần số khoảng , d số lượng dao động chuẩn xác định theo công thức V2 dN ( ) d 2 C Do sóng âm vật rắn bao gồm sóng ngang sóng dọc với vận tốc truyền khác nhau; mặt khác sóng ngang lại có khả phân cực nên ta tính số dao động chuẩn khoảng , d theo công thức: dN V d C e Ct 3V dN d 2 C (3.4) với 3 3 C C e Ct Đại lượng C có thứ nguyên vận tốc truyền sóng Hệ 3N dao động chuẩn có tần số khác nhau, kể từ đến tần số cực đại D Giá trị D xác định từ điều kiện: 3V D dN 30 d 3N 2 C D Sau lấy tích phân ta được: DC N 3 6 V (3.5) Tần số D gọi tần số Debye, phụ thuộc vào vận tốc truyền sóng âm vật rắn mật độ ngun tử mơi trường Trên sở (3.4) ta viết (3.5) dạng: dN 9N 3 d D (3.6) Mỗi dao động chuẩn dao động điều hòa lượng tử, lượng trung bình dao động chuẩn (3.7) kT e 1 Năng lượng trung bình hệ dao động chuẩn tính theo cơng thức: E D dN thay biểu thức (3.6),(3.7) vào vế phải công thức ta E D dN 9N 2 D D 9N 3d D d D e kT (3.8) 1 Số hạng thứ (3.8) không phụ thuộc vào T, nên nhiệt dung CV tính sau CV E 9N D T D t 0 3 e kT d 1 Từ ta có Nk CV Đặt x , ta viết kT D D e kT kT e 2 kT d 1 kT CV 3Nk.3 Đại lượng TD D kT x e4 e x x 1 dx gọi nhiệt độ Debye Với kí hiệu ta viết lại k biểu thức nhiệt dung sau: T CV 3Nk.3 TD TD T x4e x e 1 x dx Người ta thường viết biểu thức nhiệt dung vật rắn dạng ngắn gọn: C T3NkD D V T D hàm Debye xác định sau: D 0 x4 ex e x dx 1 (3.9) Đối với mol ta có: C V mol TD3RD T (3.10) Kết cho ta thấy nhiệt dung mạng tinh thể chất rắn phụ thuộc vào nhiệt độ nào, ta xét trường hợp Xét vùng nhiệt độ cao T >>TD Với điều kiện có giá trị nhỏ Ta khảo sát hàm Debye biến số nhỏ 3 x x e x e 1 Theo định nghĩa hàm Debye, ta có: D e Nếu nhỏ ta lấy gần đúng: e D x x 1 dx 1 x x x x dx Dựa vào kết biểu thức (3.10) xác định (CV)mol ta có: (CV)mol =3R (khi T>>TD) Điều nghĩa vùng nhiệt độ cao, lý thuyết Debye phù hợp với định luật Dulong-Petit Xét vùng nhiệt độ thấp T
Ngày đăng: 07/09/2019, 14:51
Xem thêm: