Nhiệt độ suy biến của dao động biến dạng của mạng tinh thể

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI ====== NGUYỄN KIM THU THẢO NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG CỦA MẠNG TINH THỂ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Hà Nội, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI Lời cảm ơn ====== Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội Để có luận văn này, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới quý thầy cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy truyền đạt cho NGUYỄN kiến thức KIM khoa THU học suốt trình học học tập THẢO trường đặc biệt xin gửi lời cảm ơn đến cô PGS TS Nguyễn Thị Hà Loan trực tiếp tận tình hướng dẫn, định hướng giúp đỡ tơi suốt q trình triển khai, nghiên cứu hoàn thành đề tài chọn cách tốt NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN Tôi xin gửi lời cảm ơn tới đồng nghiệp trường THPT Lê Văn CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG Thịnh, bạn bè người thân gia đình ln động viên, giúp đỡ, tạo động lực để tơi hoàn thành tốt luận văn CỦA MẠNG TINH THỂ Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2018 Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết Vật lí tốn Học viên Nguyễn Kim Thu Thảo Mã số: 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN Lời cảm ơn Hà Nội, 2018 LỜI CẢM ƠN Lời cho xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan định hướng hướng dẫn giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn phòng Sau đại học, thầy cô giáo khoa Vật lý trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ thời gian nghiên cứu, học tập làm luận văn Lời cuối cho cảm ơn gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ, khích lệ tạo điều kiện để tơi học tập hồn thành luận văn giúp đỡ, khích lệ tạo điều kiện để tơi học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2018 Học viên Nguyễn Kim Thu Thảo LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ: “Nhiệt độ suy biến dao động biến dạng mạng tinh thể” hướng dẫn PGS TS Nguyễn Thị Hà Loan, hoàn thành nhận thức không trùng khớp luận văn khác Hà Nội, tháng năm 2018 Học viên Nguyễn Kim Thu Thảo MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đóng góp đề tài NỘI DUNG Chương I MỘT SỐ TÍNH CHẤT VẬT LÝ CƠ BẢN CỦA DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ 1.1 Dao động mạng tinh thể 1.1.1 Dao động tử điều hòa 1.1.2 Dao động mạng tinh thể 1.2 Phonon âm 1.2.1 Phổ lượng dao động tử điều hòa 1.2.2 Phonon âm 1.3 Tính chất vật lý dao động mạng tinh thể 1.3.1 Hàm phân bố dao động tử điều hòa 1.3.2 Hàm phân bố dao động mạng tinh thể 10 4.Năng lượng trung bình 11 1.4.1.Năng lượng trung bình dao động tử điều hòa 11 1.4.2.Năng lượng trung bình dao động mạng tinh thể 12 1.5.Nhiệt độ suy biến 13 1.5.1.Nhiệt độ suy biến dao động tử điều hòa 13 1.5.2 Nhiệt độ suy biến dao động mạng tinh thể 13 Chương DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ BIẾN DẠNG q 15 2.1 Dao động biến dạng mạng tinh thể 15 2.1.1 Dao động biến dạng q 15 2.1.2 Dao động biến dạng mạng tinh thể 16 2.1.3 Dao động mạng tinh thể biến dạng q cho chuỗi nguyên tử khác loại 17 2.2 Phổ lượng dao động biến dạng mạng tinh thể chiều 18 2.2.1 Phổ lượng dao động mang tinh thể biến dạng q cho chuỗi nguyên tử loại 18 2.2.2 Phổ lượng dao động mạng tinh thể biến dạng q cho chuỗi nguyên tử khác loại 19 Chương III NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG CỦA MẠNG TINH THỂ 21 3.1 Nhiệt độ Anhxtanh 21 3.2 Nhiệt độ Đêbai 23 3.3 Nhiệt độ suy biến dao động biến dạng mạng tinh thể 26 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Chất rắn hệ nguyên tử, phân tử nằm sát xếp có tính thống kê Để nghiên cứu tính chất nhiệt vật rắn lý thuyết Đêbai phù hợp tính nhiệt dung phù hợp với thực nghiệm nhiệt độ cao thấp Nếu mở rộng hình thức luận dao động điều hòa thành dao động biến dạng ta cần xác định nhiệt độ suy biến dao động mạng tinh thể Để giải vấn đề đó, ta coi dao động hệ dao động biến dạng dùng phương pháp thống kê biến dạng để tính nhiệt độ suy biến nhiệt độ bắt đầu gây phá vỡ dao động mạng Với lý chọn “Nhiệt độ suy biến dao động biến dạng mạng tinh thể” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu dao động biến dạng mạng tinh thể tìm nhiệt độ suy biến Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu dao động biến dạng mạng tinh thể:  Các hệ thức  Hàm thống kê  Tính lượng trung bình  Tính nhiệt độ suy biến Đối tƣợng nghiên cứu Nghiên cứu tinh chất vật lý dao động biến dạng mạng tinh thể chiều Phƣơng pháp nghiên cứu Dùng phương pháp vật lý thống kê đại số biến dạng Đóng góp đề tài Nghiên cứu trình bày tổng quan dao động dao động biến dạng mạng tinh thể Tìm nhiệt độ suy biến chúng NỘI DUNG Chƣơng MỘT SỐ TÍNH CHẤT VẬT LÝ CƠ BẢN CỦA DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ 1.1 Dao động mạng tinh thể 1.1.1 Dao động tử điều hòa Ta dùng mơ hình dao động tử lượng tử Các toán tử sinh a  , hủy a dao động điều hòa thỏa mãn:  a, a    (1.1) Toán tử số dao động N : N  aa (1.2) Ta thấy: [N,a] = aa a a (1.3) = a [N, ]= a a (1.4) = Ta có: N n n n (1.5) Và: a 0 0 1 Vậy dãy vecto riêng chuẩn hóa toán tử N là: n  n a   n! (1.6) n n '   nn ' (1.7) 1.1.2 Dao động mạng tinh thể Với a số mạng tinh thể, M khối lượng nguyên tử Ta có tọa độ nguyên tử thứ n: Và độ dịch chuyển là: (t) u( ,t) Năng lượng toàn phần hệ là: E (t) + Khi lượng tử hóa: H Giữa (t) + (1.8) có: Ta thấy tốn tử [ ] = iћ [ ]=0 [ ]=0 phụ thuộc vào Khai triển ta được: (1.9) 18  pˆ k uˆk   i aˆk(1) , aˆ(1)k   (2.14)  qˆ k vˆk   i aˆk(2) , aˆ(2)k   Ta có: (aˆk(1) ) nk (aˆ(1)k  ) n k (aˆk(2) ) nk (aˆk(2) ) nk (1) n  (1) (2) (2)  n1k  ! n1 k  ! nk2  ! n2k  !  q  q  q  q 2.2 Phổ lƣợng dao động biến dạng mạng tinh thể chiều 2.2.1 Phổ lượng dao động mang tinh thể biến dạng q cho chuỗi nguyên tử loại Ta có: Hˆ n  En n  aˆk aˆk n  (q  Nk 1  q  Nk 3  q  Nk 5   q  Nk 2nk 1 ) n q nk  q  nk ( )n q  q 1  aˆk aˆk n   nk  q n * aˆ k aˆ  k n  (aˆk )nk  nk  q! n k q!  aˆ k aˆk n  (q (aˆ k aˆ  k )(aˆk )n k q n k  q  n k  q  n k ) n 1 qq (2.15) 19  aˆk aˆ k n   n k  1 q n (2.16)  k   Vậy ta có : En n      k n k  1q   nk q   (2.17) 2.2.2 Phổ lượng dao động mạng tinh thể biến dạng q cho chuỗi nguyên tử khác loại Phổ lượng dao động mạng tinh thể biến dạng q cho chuỗi hai nguyên tử khác loại là: Hˆ n  En n (2.18) Thế (2.14) vào (2.18):  k ˆ 1 ˆ 1 n  *a k a k 1   ˆ 1 a k a k n k 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 a k a k    ˆ 1   aˆ k aˆ k Như : n k ˆ 1 n k k k ˆ 1 ˆ 1  qa k a k  q   1 a  a  a  a  nk  ˆ 1 ˆ   k nk  ˆ   k  nk1  !  n1k  !  nk   !  n 2k  !  q  q  q  q  qa k a k a k 1    1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 2 2  a k a k  a k a k  aˆ kaˆ k  aˆ k aˆ k  n  En n 2   1  n k q   N  k n k a  ˆ 1 1 1 n k k  qaˆ k aˆ k  q k a  ˆ 1 n k N  k  aˆ  1 k n k 1 nk  20  1 1 1  1 1 aˆ k aˆ k n  q q  n k 1  q  n k 3   q n k 1 n  q n k n ˆ 1 ˆ 1   ˆ 1 a k a k ak nk     1 1 1 1  1   q  N k 1  q  N k 3   q  Nk 2nk 1 aˆk   nk  q nk  a  ˆ 1 k nk  1 1  aˆk    Từ (2.18) ta suy ra:     1 2 En        n k  1   nk       n k  1   nk     q  q  q   q(2.19)     k 21 Chƣơng NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG CỦA MẠNG TINH THỂ 3.1 Nhiệt độ Anhxtanh Anhxtanh quan niệm vật rắn hệ dao động mạng tinh thể dao động với tần số  Suy ra, phổ lượng dao động tử là:   1 n    n   (3.1)  Theo (3.1) ta có: Z e    kT e n  (3.2) kT n 0 Do    nên suy   Ta có: kT kT  e  n kT  n 0 1 e   kT Từ đây, ta suy ra: Z e   kT 1 e   (3.3) kT Từ (3.3) ta suy biểu thức tính lượng trung bình sau đây:   kT  lnZ T (3.4) Thế (3.3) vào (3.4), sau đạo hàm theo nhiệt độ tuyệt đối T ta có:       e kT      coth    kT  (3.5) Do Anhxtanh quan niệm vật rắn hệ dao động mạng tinh thể dao động với tần số Ta suy ra:     E  3N   3N      e kT    (*) 22 Ta đạo hàm (*) theo T ta suy cơng thức tính nhiệt dung đẳng tích:  Cv  E 3N  e  2 T kT  kT   e  1   2 kT (3.6) Ta xét:  TH1: Khi nhiệt độ tuyệt đối T  ta khai triển gần đứng theo  kT k với TE   k gọi nhiệt độ Anhxtanh  ta được:  e kT  1  kT Thế biểu thức vào biểu thức tính nhiệt dung đẳng tích ta được: Cv  Do  kT 3N 2    kT  1    kT  kT     nên ta lấy xấp xỉ: Cv  3Nk Ta thấy, vùng nhiệt độ cao biểu thức (3.6) theo lý thuyết Anhxtanh hoàn toàn phù hợp với định luật Dulong – Petit TH2: Khi T   k  TE , trường hợp Cv   kT  ta có: 3N 2  kT e kT Suy vùng nhiệt độ thấp lý thuyết Anhxtanh Cv phụ thuộc vào T theo biểu thức sau: Cv ~  e T2  / kT (3.7) Từ (3.7) Cv dần tiến tới T tiến tới Nhưng thực tế thực chất mạng tinh thể dao động với tần số khác tần số nên Anhxtanh giải thích nhiệt dung phù hợp với thực nghiệm nhiệt độ cao nhiệt độ thấp khơng phù hợp Bởi 23 nhiệt độ thấp Cv giảm theo phương trình hàm mũ thực tế lại giảm với lũy thừa bậc ba T 3.2 Nhiệt độ Đêbai Để khắc phục nhược điểm mẫu Anhxtanh Đêbai xem xét vật rắn hệ lớn hạt mà hạt dao động với tần số khác xem hệ sóng đứng lan truyền vật rắn theo tần số biến đổi Và đưa đến kết giải thích nhiệt dung vật rắn phù hợp nhiệt độ cao thấp Số lượng dao động là: dN ( )   ( )d  V2 d 2 2C Do vật rắn sóng âm có sóng ngang sóng dọc truyền với vận tốc khác Mà sóng ngang lại có khả phân cực Do ta tính số dao động chuẩn ,   d  sau: dN    V2     d  2  Ce Ct  Tốc độ truyền sóng C là:  3 3 C Ce Ct (3.8) Suy ta tính số lượng dao động sau: dN    3V  d 2 2C Do hệ gồm 3N nguyên tử dao động với tần số khác từ (3.9) D xác định sau: D  3V dN    2 C D   d  3N (3.10) Tích phân ta được: 1/3 N  D  C  6  V   (3.11) 24 Từ biểu thức ta thấy tần số Đêbai phụ thuộc vào tốc độ truyền âm mật độ nguyên tử Từ (3.11) viết lại (3.9): 9N dN      d D (3.12) Năng lượng dao động tử điều hòa tính theo cơng thức:   ( )     e (3.13) 1 kT Thay (3.13), (312) vào vế phải công thức ta được: 9N E 2D2 D   d  9N D 3  D2  e kT d 1 (3.14) Do số hạng vế phải biểu thức (3.14) không phụ thuộc vào T nên nhiệt dung Cv tính: Cv  E N   T D T D  3 d  e kT  Do đó, ta có biểu thức sau: Cv  Đặt  kT Nk D3  D e   e  kT     d    kT   1  kT  x , ta có:  kT  Cv  3Nk    D  Đại lượng TD  D k D kT  x1e x  e x  1 nhiệt độ Đêbai Từ đó, ta viết lại (**): dx (**) 25 T  Cv  3Nk    TD  TD T  x 4e x e x  1 dx T  Cv  3NkD  D  T  Rút gọn: (3.15) (3.16) Với D hàm Đêbai tính theo cơng thức: D     x 4e x  0  e x  12 (3.17) dx Xét với mol ta có:  Cv mol  3RD  TD   T  (3.18) Từ kết này, tương tự ta xét phụ thuộc Cv theo lý thuyết Đêbai trường hợp cụ thể: nhiệt độ cao thấp sau: TH 1: nhiệt độ cao T  TD  D TD/T có giá trị nhỏ Khi đó, k theo biểu thức (3.17) ta được: D     x 4e x  0  e x  12 dx Kết hợp với (3.18) ta có:  Cv mol  3R Từ đó, ta thấy lý thuyết nhiệt dung Đêbai phù hợp với định luật Dulong – Petip TH 2: nhiệt độ thấp T  TD  D k TD/T lớn nên xét hàm D(α) α lớn Ta thấy ta thay cận (3.17) ∞ , kết hợp với (3.17) ta được: D     x 4e x  0  e x  12 dx  Thay kết vào biểu thức (3.18) ta có: 4  15 26  Cv mol 12 R  T 5TD3 (3.19) Do vậy, xét hiệt độ thấp lý thuyết Đêbai phù hợp với thực nghiệm:  Cv mol  T 3.3 Nhiệt độ suy biến dao động biến dạng mạng tinh thể Ta có: aa+ - qa+a = [N, a+] = a+ Đồng thời: [N,a] = -a (Với N làtoán tử số dao động) Và ta dùng:  nq  qn 1 q 1 Hamiltonian dao động biến dạng viết dạng chuẩn: H w aa   a  a  Phương trình chuyển động a, a+ có dạng: a  iW q a a   iW q a  Với w tần số dao động điều hòa thơng thường q n 1 ln q Wq  w  2 q q 1 Là tần số dao động biến dạng, phụ thuộc vào lượng dao động Ta có: Và hàm phân bố:   1   1  n  w q  n    2 h q  n   2 k   (3.20) 27 Z  e  n kT (3.21) n Thay (3.20) vào (3.21), ta được: Z  e  1 2 h q  n    2 kT n   h q    2 h q   exp     exp    kT  n0  kT   2 h q   kT     exp  Mà: n 0 e Z Suy ra:  1 e  2 h q kT  h q 1 e kT  2 h q kT Ta lại có:  n  exp  k  n 1  kT    k   n  exp  k   nk 1  kT    nk (3.22) 1 1 1    Trong đó:  n  wq  nk    2 q  nk    h q  nk   k  2 Thay (3.23) vào (3.22) ta được:  2  2 (3.24) 28 1  h   q 1    h q  nk    nk exp    nk 1 kT   nk 1      1    h q    exp  kT  nk 1       1  h   q   nk exp    kT  nk 1  h q     h q 1    h q    exp  kT  nk 1      Ta có: 1  h   q   nk exp    kT  nk 1     1   h q  exp    1  h q   kT exp      kT  nk 1       Suy ra: h q  h q  h q  exp   1  kT  2 h q 2 h q Ở nhiệt độ thấp >>1 hay T> Tsb  lớn dao động bị phá vỡ 29 Nhiệt độ Tsb gọi nhiệt độ suy biến dao động biến dạng mạng tinh thể Tsb  2h q k  q n1 ln q 2h q 1 k 30 KẾT LUẬN Dùng phương pháp vật lý thống kê dao động biến dạng tơi tìm nhiệt độ suy biến dao động biến dạng mạng tinh thể Ở nhiệt độ trạng thái dao động biến dạng bị biến đổi Nhiệt độ suy biến phụ thuộc vào thông số biến dạng q tức phụ thuộc vào cấu trúc vi mô hệ dao động Ứng với cấu trúc vi mơ, thơng số biến dạng q có giá trị tức hệ dao động có nhiệt độ suy biến khác phụ thuộc vào cấu trúc vi mơ hệ 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân, Cơ sở lý thuyết vật lý lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội, 2003 [2] Nguyễn Thị Hà Loan, Phổ lượng dao động biến dạng mạng tinh thể, Tạp chí khoa học ĐHSPHN2 số 43, tháng năm 2016 [3] Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng, Vật lý thống kê, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 1998 [4] Nguyễn Thế Khơi, Nguyễn Hữu Mình Vật lý chất rắn, Hà Nội – NXBGD [5] Vũ Thanh Khiết (năm 1984): Vật lí thông kê, NXB đại học sư phạm hà nội [6] Nguyễn Xuân Hân (1998), Cơ học lượng tử, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [7] Chaichian M , Gonzalez F.R and Montonen C (1993), “Statistics of qoscillators, quons and relations to fractional statistics”, J Phys A26 (16), PP.4017-4034 [8] Chakrabarti R and Jagannathan R (1992), “On the number operators of single-mode q-oscillators”, J Phys A25 (23), PP.6393-6398 [9] Chaturvedi S., Kapoor A K., Sandhya R and Srinisavan V (1991), “Generalized commutation relations for a single-mode oscillator”, Phys Rev A43 (8), PP.4555-4557 [10] D V Duc (1994), “Generalized q-deformed oscillators and their statistics”, preprint ENSLAPP-A-494/94, Annecy, France [11] D V Duc (1998), “Statistics of generalized q-deformed quantum oscillators”, Frontiers in quantum physics, Springer 1998, PP.272-276 32 [12] Nguyen Thi Ha Loan, Nguyen Anh Sang and Do Thi Thu Thuy, The statistical distribution of (q, R)-deformed crystal lattice viration for generic atomic string, Journal of phys Conference series, Vol 627, 2015 – IOPscience [13] Nguyen Thi Ha Loan and Nguyen Hong Ha, (q, R)-deformed Heisenberg algebra and statics of quantum oscillators, Com in phys Vol 13, No 4, (2003) ... độ suy biến dao động mạng tinh thể 13 Chương DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ BIẾN DẠNG q 15 2.1 Dao động biến dạng mạng tinh thể 15 2.1.1 Dao động biến dạng q 15 2.1.2 Dao động biến. .. độ suy biến dao động mạng tinh thể Để giải vấn đề đó, ta coi dao động hệ dao động biến dạng dùng phương pháp thống kê biến dạng để tính nhiệt độ suy biến nhiệt độ bắt đầu gây phá vỡ dao động mạng. .. SUY BIẾN CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG CỦA MẠNG TINH THỂ 21 3.1 Nhiệt độ Anhxtanh 21 3.2 Nhiệt độ Đêbai 23 3.3 Nhiệt độ suy biến dao động biến dạng mạng tinh thể 26