Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para-Boson biến dạng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC S PHM H NI MN VN NG trạng thái kết hợp dao động tử Para-boson biến dạng Chuyên ngành : Vật lí lí thuyết Vật lí toán Mã số : 60 44 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH HÀ NỘI, NĂM 2011 LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, PGS.TS hướng dẫn, cung cấp tài liệu truyền đạt cho kiến thức, kinh nghiệm phương pháp nghiên cứu khoa học để tơi hồn thành tốt luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Vật lí lí thuyết - Khoa Vật lí Trường Đại học sư phạm Hà Nội nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện giúp đỡ suốt trình học tập hồn thành luận văn Cuối xin cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại Học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Trường Cao đẳng Cơng nghiệp Hưng n điều kiện giúp tơi hồn thành khố học LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Luận văn không trùng lặp với đề tài khác Hà Nội, ngày tháng 2011 Tác giả Mẫn Văn Ngữ năm MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: BIỂU DIỄN MA TRẬN CỦA CÁC TOÁN TỬ SINH - HỦY BOSON 1.1 Biểu diễn số hạt dao động tử điều hòa tuyết tính 1.2 Biểu diễn ma trận toán tử sinh - hủy Boson 11 CHƯƠNG II: TRẠNG THÁI KẾT HỢP CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ 16 PARA – BOSON 2.1 Trạng thái kết hợp 16 2.1.1 Hiện tượng ngư tụ Bose-Einstein 16 2.1.2 Trạng thái kết hợp 22 2.2 Trạng thái kết hợp dao động tử Para Boson 24 2.2.1 Dao động tử Boson 24 2.2.2 Dao động tử Para Boson 25 2.2.3 Thống kê Para Boson 27 2.2.4 Trạng thái kết hợp dao động tử Para Boson 28 CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI KẾT HỢP CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ 32 PARA BOSON BIẾN DẠNG 3.1 Trạng thái kết hợp dao động tử Boson biến dạng q 32 3.1.1 Lý thuyết q số 32 3.1.2 Dao động tử điều hòa biến dạng q 34 3.1.3 Trạng thái kết hợp dao động tử Boson biến dạng q 36 3.1.4 Dao động tử Boson biến dạng q tổng qt 39 3.2 Dao động tử có thống kê vơ hạn 40 3.2.1 Phân bố thống kê dao động tử có thống kê vơ hạn 41 3.2.2 Trạng thái kết hợp dao động tử có thống kê vơ hạn 42 3.3 Trạng thái kết hợp dao động tử Para Boson biến dạng q 44 tổng quát 3.3.1 Dao động tử Para – Boson biến dạng q tổng quát 44 3.3.2 Phân bố thống kê Para – Boson biến dạng q tổng quát 45 3.3.3 Trạng thái kết hợp dao động tử Para – Boson 46 biến dạng q tổng quát MỞ ĐẦU Lý chn ti Ngày lý thuyết trờng lợng tử tạo nên sở giới quan vật lý để lý giải chất hạt vi mô mặt cấu trúc tính chất Từ lý thuyết trờng lợng tử mở đờng để nhận biết trình vật lý xảy giới vi mô, giới phân tử, nguyên tử hạt nhân hạt Trạng thái kết hợp diễn tả trạng thái ngng tụ Bose Einstein trạng thái đặc biệt vật chất hạt vi mô Trong trạng thái kết hợp hệ thức bất định Heisenbeg đạt giá trị cực tiểu (dấu bằng) Việc nghiên cứu trạng thái kết hợp dao động tử góp phần giải toán phi tuyến cđa quang häc lỵng tư, lý thut chun pha lỵng tử làm xác phong phú thêm hiểu biết giới hạt vi mô Với mong muốn tìm hiểu rõ trạng thái kết hợp dao động tử, chọn đề tài '' Trạng thái kết hợp dao động tử Para-Boson biến dạng'' Mc ớch nghiờn cu - Nghiên cứu dao động tử Para-Boson lý thuyết trờng lợng tử trạng thái kết hợp dao động tử Para-Boson biến dạng q -tổng quát 3.Những vấn đề đợc nghiên cứu - Tính phân bố thống kê hệ dao động tử biến dạng - Xây dựng trạng thái kết hợp dao động tử ParaBoson biến dạng q tổng quát - Các hệ thức phơng sai toạ độ xung lợng - Số hạt trung bình trạng thái kết hợp xác suất để trạng thái kết hợp có n h¹t Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiờn cu - Hệ dao động tử Para-Boson Phng phỏp nghiờn cu - Phơng pháp lý thuyết trờng lợng tử - Phơng pháp lý thuyết nhóm lợng tử - Phơng pháp giải tích toán học - Sử dụng hình thức luận dao động tử điều hòa hình thức luận trạng thái kết hợp cho hệ hạt vi mô Nhng úng gúp mi v khoa hc, thc tin ca ti - Đề tài có ý nghĩa góp phần vào việc nâng cao chất lợng dạy học nhà trờng s phạm, nâng cao lực nghiên cứu khoa học giảng viên, học viên cao học - Xây dựng trạng thái kết hợp dao động tử Para-Boson biến dạng q tổng quát, thu đợc hệ thức phơng sai tọa độ xung lợng, tính đợc số hạt trung bình hệ trạng thái kết hợp xác suất để trạng thái kết hợp có n h¹t Kết cấu luận văn Ngồi phần mở đầu kết luận, luận văn chia làm ba chương: Chương 1: Biểu diễn ma trận toán tử sinh - hủy Boson Chương 2: Trạng thái kết hợp dao động tử Para - Boson Chương 3: Trạng thái kết hợp dao động tử Para Boson biến dạn g NỘI DUNG CHƯƠNG I: BIỂU DIỄN MA TRẬN CỦA CÁC TOÁN TỬ SINH - HỦY BOSON 1.1 Biểu diễn số hạt dao động từ điều hòa tuyến tính Dao động từ điều hòa chiều chất điểm có khối lượng m, chuyển động tác dụng lực chuẩn đàn hồi f = -kx dọc theo đường thẳng Ta có biểu thức tốn tử Hamiltonian dao động từ điều hòa chiều: H□  (1.1) P  m x x 2m Ký hiệu: xˆ toán tử tọa độ  qˆ pˆ pˆ i x d toán tử xung lượng dx Hệ thức giao hoán pˆ qˆ  pˆ ,qˆ pˆ qˆ qˆpˆ i d d x  x ix x  i d i d dx dx dx dx  pˆ ,qˆ  x   i ix d i d dx dx  pˆ ,qˆ i Do ta biểu diễn toán tử Hamiltonian theo pˆ H□  pˆ  m (1.2) qˆ sau: q ˆ (1.3) Ta đặt: 2m m pˆ i qˆ   aˆ aˆ  h  aˆ aˆ 2m   - = 1- (1- e  ) e n  n1 e n1 n  aˆ aˆ = e  Tương tự: bˆ  bˆ n  n (3.36) n 0 cuối thu được: aˆ  aˆ b  ˆ e bˆ (3.37)   3.2.2 Trạng thái kết hợp dao động tử có thống kê vơ hạn Trạng thái kết hợp dao động tử có thống kê vơ hạn xác định sau:   Z  C(z)  zaˆ  n (3.38)  C(z) Zn n n0 n0   Từ điều kiện chuẩn hoá Z Z 1 ta có: C(z)= Z     2n 1 n 0  ý: với Z 1 Z n phân kì, C(z) triệt tiêu n0 1/2 trạng thái có Z  với Z  ta có: C(z)=(1- z ) Suy trạng thái kết hợp lại viết lại là:    (3.39) Z  Z 2 Z n n n0 Độ biến thiên toàn phương toạ độ xung lượng tính là:   Z Q Z  aˆ aˆ 1  Z Z Z Z    2    = z aˆaˆ + z4  z   = 1 z   z  P 2 z z i  aˆ aˆ  2 = 1 z  z aˆaˆ + z   = 1 z suy ra: z Q = z  P 2 z 2 z  i  zz     z    = 1 z (3.40)  Hệ thức bất định trường hợp là: = 1 z  Q 2   P 2 2 16 (3.41)  Mặt khác trạng thái n tính tốn với độ lệch toàn phương ta thu được: n Q2 n = n  P 2 n = n Q2 n n  P 2 n = (3.42) (3.43) Số hạt trung bình trạng thái kết hợp là: z Nˆ z = z m  z* m Nˆ zn n   = z  n  n z 2n mn  = z z d z z d z  2n n = z W Xác suất để trạng thái kết hợp trạng thái có số hạt n là: (3.44)  n   nz  z 2 n z   n z m m m0  = z 2 zn 50   W z n z Nˆ = z n (3.45) z  n z Nˆ  n1 z 1 Nhận xét: Khác với thống kê Para, thống kê vô hạn có giới hạn Shot Noice nhỏ giới hạn giới hạn Shot Noice bình thường Hệ có:  z z Q  P 2 z z   0 z 0 tức là: z z  Nˆ  3.3 Trạng thái kết hợp dao động tử Para Boson biến dạng q tổng quát 3.3.1 Dao động tử Para-Boson biến dạng q tổng quát Thay cho số tự nhiên, sử dụng q số nc q để thu hệ thức trường hợp biến dạng dao động tử Para - Boson là: aˆaˆ n   n 1c 1  1 n   p  1c n  q  (3.46) q aˆ aˆ n  n   c1 1 1n   p 1c  n  Từ công thức (3.46) chứng tỏ không gian Fock với sở véc tơ q q trạng thái riêng n toán tử số dao động tử N có biểu thức sau: aˆaˆ  Nˆ   1 1   p 1c 1  1n   2    ˆ 1  p 1 aˆ aˆ  N    1    2 c q q c n q c q (3.47) 51 hệ thức giao hoán biến dạng dao động tử Para Boson sau: aˆ aˆaˆ aˆ, aˆ  aˆ  Nˆ   ˆ 1 N p 1      c  c q q N c q (3.48) Đại số (3.48) thực không gian Fock với véc tơ sở véc tơ trạng thái riêng chuẩn hóa tốn tử N: n   n !  aˆ  n c (3.49)   p  q đó: n n    q          n  p 1  c p víi n ch½n c víi n lỴ c q c q n   q !         1 n              c c c c  p p q q p p q q 3.3.2 Phân bố thống kê Para-Boson biến dạng q tổng quát Dựa vào hệ thức (3.47), phân bố thống kê với kết sau: aˆ  aˆ  p 1c   e1 aˆ aˆ (3.50)  q    ee 2q  q q   c  e 2  1   1c Từ (3.50), thu phân bố thống kê dao động tử Para Boson q = 1: aˆ aˆ 2   1 pe (3.51)   e 1 p 1 thu phân bố thống kê hệ dao  động q tổng quát: e1 aˆ aˆ  e  q q c eq1c (3.52) từ thu kết M.Chaichian cho thống kê hệ dao động tử Boson biến dạng q thông thường c 1: aˆ aˆ  e1 e2  q q1  e1 (3.53) c 0,q thu lại phân bố thống kê vô hạn: 0 e aˆ aˆ (3.54)  3.3.3 Trạng thái kết hợp dao động tử Para-Boson biến dạng q tổng quát Trạng thái kết hợp z thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng tốn tử hủy: aˆ z z z có dạng sau: zn   n  aˆ  c z  Cz   n 0  p   ! (3.55) z C  z    n   z n     ! q n c n 0 p q  n với C(z) số chuẩn hóa: (3.56) C  z  e   p Với z x    hàm mũ Para biến dạng q tổng quát định nghĩa qua   công  e p thức: e   x        x n p p  n   c ! q Tính tốn dựa vào hệ thức (3.48) chứng minh toán tử tọa độ Q toán tử xung lượng P tuân theo hệ thức giao hoán sau: ˆ   ˆ Pˆ , Q  1 p  N i 1   1  Nˆ             c c q q N c q (3.57) Các biểu thức độ biến thiên toàn phương tọa độ xung lượng trong trạng thái kết hợp có dạng: z  Q□ 2 với: z  P 2 z  z z 1  1F (3.58) 2n    F n e  1     n      ! z p  c p c  c n c   n  1p 1 q q q q Số hạt trung bình trạng thái kết hợp xác suất để trạng thái kết hợp có n hạt là: zNz 2  p 1 p  z (3.59) (3.60) c  n  !    p  n    với: z z   p  z         e    W   n 1 z x x q  d n x  e       1  e  n   dx  1   c p p n p q n KẾT LUẬN CHƯƠNG III Với nội dung chương 1, chương mở rộng để nghiên cứu "Trạng thái kết hợp dao động tử Para - Boson biến dạng" cụ thể là: Nghiên cứu lý thuyết q số xây dựng thống kê Para - Bose; Nghiên cứu dao động tử có thống kê vơ hạn từ dẫn đến việc nghiên cứu dao động tử Para - Boson biến dạng q tổng quát Các kết thu phương sai tọa độ xung lượng, số hạt trung bình trạng thái kết hợp xác suất để trạng thái kết hợp có n hạt trở kết quen thuộc tham số biến dạng q tiến đến KẾT LUẬN Trong luận văn "Trạng thái kết hợp dao động tử Para - Boson biến dạng" chúng tơi trình bày nghiên cứu đầy đủ "Trạng thái kết hợp dao động tử Para - Boson biến dạng" Các kết sau nghiên cứu hoàn thành luận văn thu là: + - Biểu diễn ma trận toán tử a , a, N - Xây dựng thống kê lượng tử biến dạng - Xây dựng trạng thái kết hợp dao động tử Para - Boson biến dạng - Thu biểu thức về: Trạng thái kết hợp dao động tử Para - Boson, dao động tử có thống kê vơ hạn, trạng thái kết hợp dao động tử Para - Boson biến dạng Sau hoàn thành luận văn nâng cao phương pháp nghiên cứu khoa học hiểu biết đầy đủ vấn đề nghiên cứu đề tài Đề tài mở rộng nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bosen - Einstein để so sánh với kết thực nghiệm Với kết luận văn, tơi hy vọng góp phần làm xác phong phú thêm hiểu biết giới hạt vi mô chúng ta, đề tài luận văn tài liệu tham khảo cho sinh viên học viên cao học TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Quang Báu, Vật lí thống kê, NXB HQG H Ni 2003 [2] Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lí thuyết trờng lợng tử, NXB ĐHQG Hà Nội [3] A.J.Macfarlame (1989), “ On q-annalogues of the Quantum Harmonic Osdil- lator and the Quantum Group SU (2)q”, J Phys A: MAth Gen,(22), PP 4581 [4] D.V.Duc, N.B.An Coherent states for oscillators of non-con-ventional Statistics, ICPT report IC/IR/98/25, 1998 [5] H.S.Green (1953), “A Generalized Method of Field Quantization”,Phys.Rev,(90),270 [6] O.W.Greenberg (1990), “Exemple of Infinite Statistics”,Phys.Rev.Lett, (64),705 [7] L.T.K.Thanh (1999), “ Coherent States for Deformed Para Boson Oscillators”, Comm.In Phys, (4),242-248 ... Boson 27 2.2.4 Trạng thái kết hợp dao động tử Para Boson 28 CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI KẾT HỢP CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ 32 PARA BOSON BIẾN DẠNG 3.1 Trạng thái kết hợp dao động tử Boson biến dạng q 32 3.1.1... thuyết q số 32 3.1.2 Dao động tử điều hòa biến dạng q 34 3.1.3 Trạng thái kết hợp dao động tử Boson biến dạng q 36 3.1.4 Dao động tử Boson biến dạng q tổng quát 39 3.2 Dao động tử có thống kê vô... thống kê dao động tử có thống kê vơ hạn 41 3.2.2 Trạng thái kết hợp dao động tử có thống kê vô hạn 42 3.3 Trạng thái kết hợp dao động tử Para Boson biến dạng q 44 tổng quát 3.3.1 Dao động tử Para