Dao động tử paraboson biến dạng ĝ

1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vài chục năm gần nhiều nhà vật lý lý thuyết nước giới quan tâm nghiên cứu đại số lượng tử, chúng liên quan đến vấn đề đa dạng vật lý lý thuyết nghiên cứu nghiệm phương trình Yâng Baxter lượng tử, lý thuyết trường hai chiều với thống kê phân số, lý thuyết trường conformal hữu tỉ, mẫu hòa tan xác học thống kê Đại số lượng tử xem biến dạng phụ thuộc vào nhiều tham số đại số Lie cổ điển Đại số biến dạng tổng quát thông số biến dạng tiến đến giới hạn định đại số biến dạng trở đại số Lie thông thường Đặc biệt thông số biến dạng trở thành tốn tử chứng minh tính nhân vi mơ lý thuyết trường biến dạng thống cao tính nhân lý thuyết trường biến dạng với lý thuyết trường khơng biến dạng Hạt có spin nguyên tuân theo thống kê Bose-Einstein, hạt có spin bán nguyên tuân theo thống kê Fermi-Dirac Hạt tuân theo thống kê khác với thống kê thống kê para Để nghiên cứu số vấn đề theo phương hướng phát triển biến dạng lượng tử hạt tuân theo thống kê para chọn đề tài "Dao động tử Paraboson biến dạng gˆ " Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu dao động lượng tử có thống kê para Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu dao động tử Paraboson biến dạng gˆ Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu dao động Paraboson, dao dộng Paraboson biến dạng q dao động Paraboson biến dạng gˆ Phương pháp nghiên cứu - Dùng phương pháp nghiên cứu Vật lí lí thuyết - Dùng phương pháp nhóm đối xứng lượng tử - Dùng phương pháp nghiên cứu giải tích Những đóng góp đề tài - Đề tài có ý nghĩa góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học nhà trường sư phạm, nâng cao lực nghiên cứu khoa học học viên cao học - Nghiên cứu số vấn đề theo phương hướng phát triển biến dạng lượng tử hạt tuân theo thống kê para NỘI DUNG CHƯƠNG I : DAO DỘNG TỬ PARABOSON 1.1 Dao động tử Boson 1.1.1 Dao động tử Boson Hệ thức giao hoán dao động tử Boson đơn mode thỏa mãn hệ thức (1.1.1) [a,a ] = + Tốn tử số dao động N có dạng: (1.1.2) + N=a a đó: a: tốn tử hủy dao động tử a + : toán tử sinh dao động tử Kết hợp (1.1.1) với (1.1.2) ta có: [ N,a] = [a a,a] + = a+ aa − aa+a = (a + a − aa+ )a = −(aa+ − a+ a)a [ ] = − a,a + a (1.1.3) = −a [N,a ]= [a + + a,a + ] (1.1.4) = a + aa+ − a+a+ a = a + (aa+ − a + a) =a [a,a ] + + = a+ Xét không gian Fock với trạng thái chân không thỏa mãn điều kiện (1.1.5) a0 =0 Trạng thái n trạng thái có n dao động tử thực khơng gian Fock với sở trạng thái riêng chuẩn hóa có dạng: (a ) + n= n n! n = 0, 1, 2, (1.1.6) Sử dụng hệ thức (1.1.1) (1.1.6) ta tính (a ) + n n! an =a ( = a +a + + ( )( (a = ⎨a + ⎧ a a ⎩ + )(a )( n! ) = ⎨a+ ⎧ ⎩ n −1) + + n −1 )( n −1) ⎬ ⎫ ⎭ n! )( (a + )(a a + + ) (n −2 ) n −1) ⎫⎬ ⎭ n! + (a + ( = ⎨ a+ ⎧ )( ) ⎩ )( ( a a+ ( = ⎨⎧ a + ) ⎩ ( = ⎭ n! + ⎫ ( a+ )( a a+ n −2 ) n −3) )( n −1) ( ( )( n −1) ) a+ ⎫⎬ n ⎩ ⎭ n! ( (a )( n a+ n −1) + n! =n (a )( n n −1) (n −1)! = = + n n −1 Và + (a ) + a n =a + n! n ( n + 1) (a + ) (n + 1)! = (n+1) ⎬ ⎭ n! + a+ = ⎨ a+ ⎧ ⎫⎬ n −1) n+1 = n+1 Suy N n = a+ a n n =a + n −1 nn = n =nn Ta có tốn tử tọa độ Q toán tử xung lượng P liên hệ với toán tử sau: dao động a, a + (a ℏ Q= a 2mω mℏω ) + + (1.1.7) ) (a a + − P=i Khi hệ thức giao hoán toán tử tọa độ Q toán tử xung lượng P là: = QP − PQ [Q, = (a iℏ + +a )(a + ) −a − iℏ (a + −a )(a + +a ) P] = iℏ (a + + a − a + a + aa+ − aa − a + a + − a+ a + aa+ + aa ) ( = iℏ aa + − a + a ) [ ] = iℏ a,a + Thế (1.1.1) vào (1.1.8) suy ra: (1.1.8) [Q, P] (1.1.9) = iℏ Tốn tử Hamiltonian dao động tử điều hòa biểu diễn sau: CHƯƠNG DAO ĐỘNG TỬ PARABOSON BIẾN DẠNG Gˆ 3.1 Dao động tử paraboson biến dạng gˆ Như biết, dao động tử paraboson đơn mode [5], [6] đặc trưng hệ thức giao hoán [b, N ] = b [b + ,N (3.1.1) ]= −b+ tốn tử số N xác định công thức + + N = ⎜⎛ bb + b p , b ⎟⎞ − ⎠ 3⎝ với p bậc thống kê paraboson Lưu ý p =1, toán tử N N= trở thành + + ⎜⎛ bb + b b ⎟⎞ − 2⎝ ⎠ +⎤ ++ =b1 ( ⎡⎣b, 2b ⎢ ⎥⎦ + b) − = b b, tức trở thống kê Boson thông thường Hơn nữa, ta có: (3.1.2) (3.1.3) bb + = f ( N + 1) + b b= f(N ) với f (n) = n + {1 − (−1) n (3.1.4) }(p −1).1 Như từ hệ thức (3.1.3) (3.1.4) ta thu được: + ⎡ ⎢⎣ b, b ⎤ (3.1.5) ⎥⎦ = g( N ), với g( N ) = f ( + 1) − f ( N ) N N = + (− 1) Xét toán tử (p (3.1.6) −1) có cấu trúc [5], [8] sau B+ N+1 + B =b + f(N + 1) Khi ta thu hệ thức: (3.1.7) + ⎡ ⎢⎣ ⎡ b, B ⎤ ⎦ N +1 ⎤ + ⎥ = ⎢⎥b, b f( N ⎢⎣ + 1) ⎥⎦ N +1 = bb + N 1) b N +1 = f(N + 1) =1 (3.1.8) f( + N + – b f(N ) N f( N + – f(N f(N ) 1) ) ⎡B+ , N ⎤ = b + N+ + N − NB ⎣⎢ f( + N + 1) +1 N f( – NB N + − ⎥⎦ =(N (3.1.9) 1) 1)b + = −B+ Toán tử số N biểu diễn thơng qua toán tử B+ N N = f ( N )f ( N ) = bb+ N f(N ) =b N+1 + f(N = B+ b Như toán tử b, B+ , N b + 1) (3.1.10) tương ứng với toán tử hủy, sinh toán tử số thống kê Bose thông thường Bây quay trở vấn đề với dao động tử paraboson biến dạng gˆ Chúng ta có hệ thức giao hốn cho paraboson biến dạng gˆ có dạng: + + aAg − gˆAg a =1 (3.1.11) Trong tốn tử A g toán tử N xác định + N+1 + A g = af (N + 1) (3.1.12) + N = Ag a Sử dụng 3.1.12 ta thu được: + a a=A + f (N + 1) a g N+1 f (N) + Ag a = N = F(N) + aa = aA + (3.1.13) f (N + 1) g N + 1f (N + 1) = (gˆ N + 1) (3.1.14) N+1 Từ hệ thức (3.1.13) (3.1.14) ta có: N [a,a ]= f (N + 1) − f + (3.1.15) N + f (N + 1) (N) + 0ˆ Trong (3.1.16) 0ˆ = gˆ −1 Như thu hệ thức giao hoán cho dao động tử paraboson biến dạng gˆ qua công thức (3.1.15) 3.2 Phân bố thống kê dao động tử Paraboson biến dạng gˆ Phân bố thống kê dao động tử Paraboson biến dạng gˆ viết sau: 40 + a a (3.2.1) = ( Tr e−βωNa + a ) Z hàm phân bố Z Z = Tr(e−βωN ) ∞ = ∑ n e−βωN n n=0 ∞ = ∑e−βωn n=0 eβω (3.2.2) = βω e −1 Từ công thức (3.1.4), (3.1.13) ta tính được: ∞ −βH + Tr〈e ⎢N + a a〉 = ∑ 〈n e n=0 ∞ = ∑e n=0 = −βωn e−βω ⎡ ⎣ −βωN + ⎤ (1 − (−1) )(p −1) n 〉 ⎥ N ⎦ ∞ (p −1) ∑e n (1 − (−1) ) n=0 e−βω (1 − e−βω )2 + (p − − = −βωn 1) −2βω eβω(peβω − p + 2)e (1 − eβω)2 (1 + eβω) Các kết (3.2.2) (3.2.3) dẫn đến (3.2.3) a+ a β pe ω = 41 −p (3.2.4) +2 e2βω −1 Ở cần lưu ý phân bố thống kê hệ parabose biến dạng gˆ xác định theo cơng thức (3.2.4) thống kê dao động tử paraboson thông thường 3.3 Trạng thái kết hợp dao động tử Paraboson biến dạng gˆ 3.3.1 Trạng thái kết hợp Như biết, trạng thái kết hợp trạng thái riêng toán tử hủy (3.3.1) az =zz z số phức Véc tơ trạng thái riêng dao động tử boson tổng quát xác định [4],[10] hệ thức )−2 (a+) n = n (N Nn nNn−1 (3.3.3) n −1 an = (3.3.2) Nn a n a +n Từ công thức (3.3.2) (3.3.3) thấy tìm trạng thái kết hợp dạng ∞ z ∼ ∑ Zn (3.3.4) n n=0 Nn hồn tồn thỏa mãn cơng thức (3.3.1) Từ xác định trạng thái kết hợp ⎛ ∞ z 2n ⎞ z =⎜∑ ⎟ −1 ∞ ⎝ ⎠ ⎜ n=0 Nn ⎟ n z ∑ n (3.3.5) Nn n=0 3.2.2 Trạng thái kết hợp dao động tử Paraboson biến dạng gˆ Từ công thức (3.1.15) ta thu Nn+1 = an+1a+ n+1 ( ) + +n n = a h(N) + a a a + + n + = N n h(n) + a a (aa )a n−1 (3.3.6) = = Nn ( h(n) + h(n −1) + + h(0)) = Nn {n + 1} {n} = h(0) + h(1) + + h(n-1), (3.3.7) {1} = p (3.3.8) Đồng thời Nt + aa = nên (3.3.9) Nt = = p {1} Do từ cơng thức truy hồi (3.3.6) giá trị ban đầu (3.3.9) thu (3.3.10) N n = {n}! Sử dụng công thức thu cho trạng thái liên kết paraboson biến dạng gˆ ⎛ ∞ 2n ⎞−12 ∞ n ⎜ n = ∑z ⎟ ⎜ n!⎟ ∑ z { ⎝ n=0} ⎛ =⎜ ∞ z ⎠ n=0 2n ⎞− ∑{n}! ⎝⎜ n=0 ⎟ {n}! expg (za + ) n (3.3.11) ⎠⎟ exp định nghĩa sau ∞ xn (3.3.12) n=0 expg (x) = ∑ {n}! Như dạng trạng thái kết hợp thống kê paraboson biến dạng gˆ biến dạng q tương tự Trong mục đề xuất hệ thức giao hoán cho hệ dao động tử paraboson đơn mode biến dạng gˆ dẫn hàm phân bố hàm trạng thái kết hợp cho thống kê Hy vọng với phương pháp kết nêu chúng tơi áp dụng thành công cho việc nghiên cứu xác suất thống kê tìm độ biến thiên tồn phương tọa độ xung lượng, xác suất để trạng thái kết hợp trạng thái n hạt Hoặc nhiều trường hợp nghiên cứu para siêu đối xứng KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu luận văn đạt số kết sau: - Chúng tơi nghiên cứu trạng thái kết hợp dao động tử ParaBoson, cơng cụ tốn học lý thuyết biến dạng - Trên sở chúng tơi nghiên cứu dao động tử paraboson - Biến dạng - C số tổng quát Chúng trở kết quen thuộc tham số biến dạng q tiến đến - Chúng nghiên cứu dao động tử biến dạng gˆ để tiếp tục giải khó khăn hệ da mode biểu diễn hệ thức giao hoán a (cũng a+ ) mà dao động tử biến dạng q không thực - Chúng tơi nghiên cứu hệ thức giao hốn dao động tử paraboson biến dạng gˆ dẫn hàm phân bố trạng thái kết hợp thống kê Từ áp dụng thành công cho việc nghiên cứu xác suất thống kê tìm độ biến thiên tồn phương tọa độ xung lượng, xác suất để trạng thái kết hợp trạng thái n hạt Hoặc nhiều trường hợp nghiên cứu para siêu đối xứng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thị Hà Loan (1998), “Commutation relations for deformed quantum fielf”, Tuyển tập báo cáo hội nghị VLLL lần thứ 22 (Toàn quốc) [2] C.T.V.Ba and H.H.Bang (1999), “Generalized deformation with q being a root of unity” Tuyển tập báo cáo hội nghị VLLT lần thứ 24 (toàn quốc) [3] C.T.V.Ba and H.H.Bang (2000), “Quantum group and the standard model” Tuyển tập báo cáo hội nghị VLLT lần thứ 25 (toàn quốc) [4] Chaturvedi S anh Srinisavan V.(1991), "Aspects of q-oscillator quantum mechanics", Phys.Rev.A44(12),pp.8020-8023 [5] Chaturvedi S anh Srinisavan V (1991), "Para-boso oscillator as deformed bose oscillator", Phys.Rev.A44(12), pp 8024-8026 [6] H.H.Bang (1996), "Generalixed deformed para-bose oscillator and its coherent ststes", Int.J.Theor.Phys.35(4), pp.747-753 [7] H.S.Green (1953), "A Generalixed Method of Field Quantization", Phys Rev, (90),270 [8] Kumari M.Kr., Shanta P., Chaturvedi S anh Srinivasan V (1992), "On q-deformed para oscillators anh para -q oscillators", Mod Phys Lett A7(28), pp.2593-2600 [9] Scioioni R (1994), "Generalised statistics of particles", Phys lett.b3271(1), pp56-58 [10] Shanta P., Chaturvedi s., Srinivasan V.and Jagannathan R (1994), "Unified approach to the analogues of single-photon and multiphoton coherent states for generalixed bosonic oscillators", J.Phys.A27 (19), pp.6433-6442 [11] Wul.A., Wuzh anh Sun J.(1992), "New statistics for mixing system of bosons anh fermions", Phys.letf.A170(4), pp.280-282 ... nghiên cứu Nghiên cứu dao động tử Paraboson biến dạng gˆ Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu dao động Paraboson, dao dộng Paraboson biến dạng q dao động Paraboson biến dạng gˆ Phương pháp... hướng phát triển biến dạng lượng tử hạt tuân theo thống kê para NỘI DUNG CHƯƠNG I : DAO DỘNG TỬ PARABOSON 1.1 Dao động tử Boson 1.1.1 Dao động tử Boson Hệ thức giao hoán dao động tử Boson đơn mode... −1 (1.1.23) 1.2 Dao động tử Fermion 1.2.1 Dao động tử Fermion Hệ thức phản giao hoán dao động tử Fermion thỏa mãn hệ thức {b, b } + (1.2.1) =1 ( ) b = b + =0 Tốn tử dao động N có dạng: (1.2.2)