Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007 9 Trạng thái nén biến dạng với các dao động tử biến dạng Võ Thanh Cơng (a) , Ngũ Văn Dũng (b) Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi phát triển hớng nghiên cứu các toán tử boson q-biến dạng trong hình thức luận mô hình tổng quát các hệ thức giao hoán biến dạng. Trạng thái kết hợp với những toán tử này đã bộc lộ một số tính chất thú vị kể cả trờng hợp cả hai thành phần của hàm trờng cùng đồng thời bị nén. Các kết quả thu đợc có thể giúp ích cho các thí nghiệm đang nghiên cứu về hiệu ứng q-biến dạng. 1. Trạng thái kết hợp lần đầu tiên đợc Schrodinger và Glauber đề xớng. Xét về một mặt nào đó, các trạng thái kết hợp có một số tính chất cơ bản giống các dao động tử điều hoà nh: các trạng thái này đều là hàm riêng của toán tử huỷ, đều có trạng thái chân không vv Do đó khi nghiên cứu các trạng thái kết hợp, nhiều tác giả đã sử dụng các kết quả nghiên cứu về dao động tử điều hoà cho các trạng thái kết hợp[1]. Trong giải pháp này, các trạng thái kết hợp và trạng thái nén đợc xây dựng trên các hàm riêng của toán tử huỷ. Trong những năm gần đây, hớng nghiên cứu này đã trở nên hấp dẫn và đợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [6, 7, 8]. Trong những năm gần đây, các nhà vật lý lý thuyết đã đề xớng một giải pháp gọi là phơng pháp đại số dao động tử biến dạng [2, 3, 4, 5] để nghiên cứu các trạng thái kết hợp và các trạng thái nén Theo lý thuyết này, ngời ta thay thế đạo hàm thông thờng bằng đạo hàm biến dạng phụ thuộc vào một thông số biến dạng q. Mặt khác, các các toán tử trong vật lý lợng tử thờng là các toán tử vi phân. Ví dụ nh theo [6] dao động tử điều hoà Hamiltonian biến dạng sẽ là: H = - m 2 2 2 2 x q + 2 1 m x 2 . (1) Nghiệm của phơng trình này (1) khác với nghiệm dao động tử điều hoà thông thờng ở các điểm sau: a, Lực tác động trong dao động tử biến dạng khác cùng đại lợng đó trong dao động tử điều hòa thông thờng: F q = - x V q = - .xm 2 ] 2 [ Hệ số 2 ]2[ là hàm của thông số biến dạng q. Khi q > 1, theo công thức (5) ở phần sau 2 ]2[ 0, nguyên nhân gây ra chuyển động là lực đàn hồi (ngợc chiều với chuyển động). Khi q < 1, 2 ]2[ < 0, lực gây ra chuyển động lại cùng chiều với chuyển động (trái với cơ học cổ điển). Nhận bài ngày 23/10/2006. Sửa chữa xong 11/12/2006. Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007 10 b, Năng lợng của các trạng trạng thái dao động tử cũng khác trờng hợp thông thờng, bởi vì lúc đó các toán tử sinh a+ và huỷ a đợc định nghĩa lại: a = 2 m x + m2 x q , a + = 2 m x - m2 x q . (2) Với các giá trị thông số biến dạng q khác nhau, giá trị năng lợng của các trạng thái dao động tử có giá trị khác nhau. Ta so sánh với thực nghiệm và sử dụng giá trị của q trong trờng hợp phù hợp để nghiên cứu trạng thái đó trong các bài toán khác. 2. Đại số dao động tử biến dạng và trạng thái nén biến dạng. Có nhiều mô hình về đại số dao động tử biến dạng. Các mô hình này khác nhau về số lợng thông số biến dạng và hệ thức giao hoán giữa các toán tử sinh và huỷ, đã đợc nhiều tác giả đề xớng, ví dụ nh: mô hình tổng quát về đại số dao động tử biến dạng một thông số đợc Solomon và Dermot trình bày trong [10]. Trong mô hình này các toán tử huỷ và sinh a, a+ và toán tử số N = a+ a là các vi tử của đại số dao động tử biến dạng với mối quan hệ giữa chúng: [N, a ] = -a ; [N , a + ] = a + và aa + - f(N)a + a = 1. (3) Khi f(N) =1 hệ thức (3) là hệ thức giao hoán của đại số Heisenberg-Weyl mô tả các boson trong dao động tử thông thờng. Khi f(N) =q ta có đại số dao động tử biến dạng do Arik và Coon đề xớng [8]. Mô hình này đã đợc rất nhiều tác giả áp dụng nghiên cứu lý thuyết cho các trạng thái kết hợp biến dạng, trạng thái nén biến dạng Ví dụ nh các công trình của Kulish và Damaskinsky [9], của Jagannathan [10] Trong mô hình tổng quát đại số dao động tử biến dạng, hàm riêng của toán tử N trong Fock biểu diễn sẽ là [4]: | n > q = !][ 1 n (a +)n | 0 > (4) trong đó [n+1] = 1+ f(n)[n] và [n] = 1n 1=k )!k(f )!1n(f . (5) Với các hàm f(n) khác nhau các biểu thức (3), (4), (5) sẽ khác nhau. Ví dụ: ta xét trờng hợp f(N) = q -2 . Biểu thức (3) trở thành: a + a = q -(N-1) [N] ; aa + = q -N [N+1] (6) a| n > q q -(n-1)/2 [n] 1/2 |n-1> a + | n > q q -n/2 [n+1] 1/2 |n+1>. (7) Trạng thái |n >q là hàm riêng của toán tử N thoả mãn N|n >q = n| n >q, với q<n| m>q= nm và trạng thái chân không biến dạng|0>q thỏa mãn a|0>q = 0. Trong các công thức trên ta sử dụng ký hiệu [n] = 2 2 1 1 q q n đợc tính ra từ công thức (5). Trạng thái kết hợp| >q đợc định nghĩa nh là hàm riêng của toán tử huỷ a, Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007 11 a| >q =| >q với giá trị riêng là một số phức [1]. Sau một số phép biến đổi, trạng thái kết hợp biến dạng đợc biểu diễn dới dạng[6]: | > q = N {| 0 > + = 0 4/)1( ]![ n nnn n q | n> q } = N e q ( a + )| 0 > q . (8) Từ công thức (8) ta có hệ số chuẩn hoá N = [e q ( 2 )] 1/2 . Hàm số e q (x) gọi là e mũ biến dạng và đợc định nghĩa: e q (x) = 1+ = 0 4/)1( ]![ n nnn n xq . (9) Khi q 1, e q (x) exp(x), hàm e mũ biến dạng trở thành hàm e mũ thông thờng. Để xây dựng trạng thái nén biến dạng, ta lấy ví dụ trờng điện từ của trạng thái đơn mode với tần số . Trong trờng hợp đó hàm trờng có thể biểu diễn dới dạng E(t)=E 0 [ae i t + a + e -i t ] trong đó a, a + là các toán tử sinh và huỷ photon biến dạng. Ta định nghĩa các trạng thái: | , > q = c (| > q |- > q ). (10) Từ điều kiện chuẩn hoá của |, + >q ta xác định hệ số chuẩn hoá c + = )]()([2 )( 22 2 + qq q ee e . (11) Trong hai trạng thái trên, trạng thái |,+>q là trạng thái nén. Để chứng minh, ta biểu diễn toán tử a dới dạng phức a = a1 + i a2. Lúc đó: a 1 = (a+a + )/2 ; a 2 = (a - a + )/2i (12) [a 1 , a 2 ]= 2 i . (13) Theo hệ thức bất định của Heisenberg: [( a 1 ) 2 , ( a 2 ) 2 ] 16 1 . Mặt khác ta có: ( a 1 ) 2 = q < ,+| 4 )( 2 + + aa | , + > q { q < ,+| 2 )( + + aa | , + >} 2 . Kết hợp với các kết quả rút ra từ (10) và (11): a | , + > q = + c c | , + > q ; a 2 | , + > q = 2 | , + > q ta có kết quả: ( a 1 ) 2 = 4 1 + 4 2 [2 +(1+q -2 ) )()( )()( 22 22 + qq qq ee ee ]. (14) Tơng tự: Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007 12 ( a 2 ) 2 = 4 1 - 4 2 [2 -(1+q -2 ) )()( )()( 22 22 + qq qq ee ee ]. (15) Nh vậy, trạng thái | , + > q là trạng thái nén vì ( a 2 ) 2 < 4 1 . Trờng hợp không biến dạng (q=1), ta có: ( a 2 ) 2 = 4 1 - 2 2 2 1 e + . (16) ( a 2 ) 2 luôn nhỏ hơn 1/4 có giá trị cực tiểu khi 2 =0.64, lúc đó ( a 2 ) 2 = 0.111 < 1/4 (H.1). H.1 H.2 Để xét trờng hợp trạng thái nén biến dạng, ta cần khảo sát sự phụ thuộc đại lợng ( a 2 ) 2 vào q. Để có ý nghĩa vật lý, thông số biến dạng q cần phải lớn hơn 1 hay: q = e f 1 + (f 0 + ). Chúng tôi lần lợt cho f bằng 0.0001, 0.01 và 0.1 và sử dụng phần mềm Mathematica 4.0 vẽ sự phụ thuộc ( a 2 ) 2 vào 2 . Kết quả đợc trình bày ở H.2. 3. Từ đồ thị ta nhận thấy, với các giá trị 2 < 0.64; ( a 2 ) 2 gần nh không phụ thuộc vào giá trị thông số biến dạng. Trong trờng hợp f 0.1, với các giá trị của 1.35< 2 <1.9; ( a 2 ) 2 không phụ thuộc vào giá trị thông số biến dạng và ( a 2 ) 2 <1/4 các trạng thái nén xuất hiện rõ ràng. Với q=1 (trờng hợp không biến dạng), ( a 2 ) 2 có giá trị gần nh không thay đổi và gần bằng 0.25 với các giá trị 2 > 3.5. Tuy nhiên nếu q >1, khi 2 tăng ( a 2 ) 2 lại giảm dần, trạng thái nén biến dạng rõ nét hơn đối với trờng hợp không biến dạng. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 1A-2007 13 Tµi liÖu tham kh¶o [1] D. F. Walls, G. J. Milburn, Quantum optics, Australia, 1995. [2] Steven Wesingberg, The General theory of Relativity, Cambridge, 1971. [3] L. C. Biederhanrn, The quantum group SU q (2) and a q-analogue of the boson operators, Phys. A : Math. Gen. 22, (1989), 873-878. [4] T. Brezinski, I. L. Egusquiza, A. J. Macfarlane, Generalized harmonic oscillator systems and their Fock space description, Phys. Lett. B 311, (1993), 202-206. [5] S. Chaturvedi, R. Simon, Generalized commutation relation for a single mode oscillator, Phys. Review A 43, (1990), 4545-4559. [6] Yaping Yang, Zorong Yu, On q- coherent state of q-deformed oscillator, Modern Physics lethers, Vol. 9, No 36, (1994), 3367-3372. [7] P. Shanta, S. Chaturvedi, V. Srinivasan and R. Jagannathan, Unifield approach to the analogue of single-photon and multiphoton coherent state , J.Phys. A. Math. Gen. 27 (1994), 6433-6442. [8] P. P. Kulish and E V. Dmanskinsky, The quantum group, Phys. A: Math. Gen. 23, (1990), 415. [9] Roger J Mc Dermot and A. Solomon, Double squezing in generalized q-coherent state, J. Phys. A. Math. Gen. 27 (1994), L15-L19. Summary On q-squeezing state of q-deformed oscillators Using a generalization of the q-commutation relation, in this paper we develop a formalism in which we define q-bosonic operators. The coherent state of these operators show interesting properties including simultaneous squeezing in both field components. The qualitative character expose by this q-squeezed state may provide some evidence about q-deformed effect in current experiment. (a) Khoa VËt Lý, tr−êng §¹i Häc Vinh (b) Cao Häc 12 quang häc, tr−êng §¹i häc Vinh . hợp phù hợp để nghiên cứu trạng thái đó trong các bài toán khác. 2. Đại số dao động tử biến dạng và trạng thái nén biến dạng. Có nhiều mô hình về đại số dao động tử biến dạng. Các mô hình này. pháp đại số dao động tử biến dạng [2, 3, 4, 5] để nghiên cứu các trạng thái kết hợp và các trạng thái nén Theo lý thuyết này, ngời ta thay thế đạo hàm thông thờng bằng đạo hàm biến dạng phụ thuộc. phơng trình này (1) khác với nghiệm dao động tử điều hoà thông thờng ở các điểm sau: a, Lực tác động trong dao động tử biến dạng khác cùng đại lợng đó trong dao động tử điều hòa thông thờng: