Trạng thái kết hợp của các dao động tử boson biến dạng

Ngày nay sự ngưng tụ Bose - Einstein đã đóng vai trò quan trọng trong khoa học và kĩ thuật như nguồn sáng định hướng laser, hiện tượng siêu dẫn, hiện tượng siêu chảy của vật chất… Về mặt

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, em đã hoàn thành khóa luận của mình

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Vật lý trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luận

Đặc biệt em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới cô giáo:

PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, người đã tận tụy hướng dẫn, chỉ bảo

tận tình giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này

Mặc dù cũng có nhiều cố gắng, nhưng đây là bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong sự góp ý, chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo, cùng các bạn đọc đề tài để đề tài của em được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày tháng năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Thị Tâm

MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài ……… 3

2 Mục đích nghiên cứu ……….4

3 Nhiệm vụ nghiên cứu ……… 4

4 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu ……… 4

5 Phương pháp nghiên cứu……… 4

6 Những đóng góp của đề tài……… 5

7 Bố cục luận văn………5

PHẦN 2: NỘI DUNG Chương 1: Hình thức luận dao động tử điều hòa 1.1 Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính……….6

1.2 Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy hạt Boson……… 14

Kết luận chương 1……… 18

Chương 2: Thống kê lượng tử biến dạng 2.1 Xây dựng thống kê Bose - Einstein bằng phương pháp GIBBS……… 19

2.1.1 Phương pháp GIBBS ……… 19

2.1.2 Phân bố Bose – Einstein……….20

2.2 Xây dựng thống kê Bose – Einstein bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử……… 22

2.3 Thống kê Bose - Einstein biến dạng q………24

2.3.1 Lý thuyết q - số………24

2.3.2 Dao động tử điều hòa biến dạng q……… 26

2.3.3 Thống kê Bose - Einstein biến dạng q……….29

Kết luận chương 2……… 32

Chương III: Trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson biến dạng 3.1 Trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson……… 33

3.2 Trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson biến dạng……… 35

Kết luận chương 3……….38

PHẦN 3: KẾT LUẬN CHUNG……… 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO……….40

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Cùng với sự phát triển của lịch sử loài người, Vật lý học cũng đã trải qua nhiều giai đoạn phát triển và đạt được nhiều thành tựu quan trọng: Từ thế

kỷ XVIII cơ học cổ điển của Niutơn đã trở thành môn khoa học cơ bản, đến

thế kỷ XIX lý thuyết điện từ trường của Maxwell và Faraday đã ra đời

Ngày nay, Vật lý học hiện đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất người ta nhận thấy rằng ngoài các quy luật tìm thấy trong vật lý cổ điển ở đây xuất hiện các quy luật mới là quy luật thống

kê

Vật lý thống kê là một bộ môn của Vật lý hiện đại, nó nghiên cứu các

hệ nhiều hạt bằng phương pháp thống kê Để tìm các định luật phân bố thống

kê lượng tử có rất nhiều phương pháp trong đó có phương pháp lý thuyết trường lượng tử Phương pháp này đã tạo nên cơ sở của thế giới quan Vật lý

để lý giải bản chất của các hạt vi mô về mặt cấu trúc và các tính chất của nó

Từ đó lý thuyết trường lượng tử đã mở ra con đường để nhận biết các quá trình Vật lý xảy ra trong thế giới vi mô, thế giới của các phân tử, nguyên tử, hạt nhân và các hạt cơ bản

Khi xây dựng xong thống kê Bose - Einstein cho hệ các hạt đồng nhất Boson, Eintein đã tiên đoán về một trạng thái đặc biệt của vật chất đó là trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein Ngày nay sự ngưng tụ Bose - Einstein đã đóng vai trò quan trọng trong khoa học và kĩ thuật như nguồn sáng định hướng laser, hiện tượng siêu dẫn, hiện tượng siêu chảy của vật chất…

Về mặt lý thuyết, trạng thái kết hợp mô tả trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein của vật chất, vì vậy hình thức luận các trạng thái kết hợp đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong Quang học lượng tử, trong Vật lý chất rắn,Vật lý

đông đặc, cũng như trong Vật lý hạt cơ bản và trong lý thuyết trường lượng tử… Theo dòng nghiên cứu đó, các nhà vật lý lượng tử đã mở rộng hình thức luận trong trạng thái kết hợp cho các dao động tử có thống kê khác với thống

kê Bose - Einstein và Fermi - Dirac

Sau 4 năm học tập, em đã nhận thức được vai trò quan trọng của Vật

Lý Lượng Tử và để mở rộng thêm vốn hiểu biết của mình, em chọn đề tài:

“Trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson biến dạng” với mong muốn

việc làm khóa luận sẽ giúp cho em hiểu biết rõ hơn về phương pháp nghiên cứu Vật lý, có một cách nhìn tổng quan về bức tranh Vật lý, để từ đó làm tốt công tác dạy học Vật lý và nghiên cứu Vật lý của em sau khi ra trường

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu các dao động tử Boson biến dạng

- Xây dựng trạng thái kết hợp cho các dao động tử Boson biến dạng thu được các biểu thức về phương sai của tọa độ và xung lượng

- Tính số hạt trung bình, xác suất để trạng thái kết hợp của các Boson trong trạng thái n hạt

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm phân bố thống kê lượng tử và trạng thái kết hợp của các dao động

tử Boson biến dạng

4 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu các trạng thái kết hợp của các dao động tử lượng tử

- Nghiên cứu hệ các dao động tử Boson biến dạng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử

- Các phương pháp giải tích toán học

- Sử dụng hình thức luận các dao động tử điều hòa và hình thức luận các trạng thái kết hợp cho các hạt hệ vi mô

6 Những đóng góp của đề tài

- Xây dựng trạng thái kết hợp cho hệ dao động tử Boson biến dạng

- Đưa ra hệ thức độ biến thiên về tọa độ và xung lượng, tính được số hạt trung bình của hệ trong trạng thái kết hợp và xác suất để trạng thái kết hợp

có n hạt

- Ứng dụng trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson biến dạng nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein và giải thích một số hiện tượng vật lý

7 Bố cục luận văn

Luận văn gồm:

Chương I: Hình thức luận dao động tử điều hòa

Chương II: Thống kê lượng tử biến dạng

Chương III: Trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson biến dạng

NỘI DUNG

CHƯƠNG I HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

1.1 Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính

Mô hình: Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m, chuyển động dọc theo một đường thẳng nào đó dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi F hd  kx (k là hệ số đàn hồi)

Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa một chiều [1], [6]:

2 2 2

ˆ 2 2

pˆx  ˆ    là toán tử xung lượng

Hệ thức giao hoán giữa pˆvà qˆ

d x i x dx

d i q

p

dx

d x i x dx

d i dx

d i x x dx

d i p q q

ˆ 2 2

2 2

ˆ ˆ 2

2 ˆ

ˆ 2 2

1 ˆ 2 2

ˆ

ˆ       aa

m

m a

a

m i m q

m m

a a a

a

ˆ ˆ 2 ˆ 2 2

2

1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2

1

ˆ ˆ ˆ

ˆ 2

2

m

q a a a a m q

m p i m

i

p a

a a a

m i

p

2 ˆ 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2

ˆ

2 ˆ 2

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ 2 ˆ

m a

m

p i q

m a

ˆ ˆ 2

ˆ

ˆ ˆ 2

ˆ a a

H (1.8)

Để nghiên cứu phổ năng lượng dao động tử điều hòa ta quy về bài toán tìm vecto riêng của Hˆ Phương trình (1.8) trong đó 

aˆ , aˆ thỏa mãn hệ thức (1 7)

Để làm điều đó ta định nghĩa một toán tử mới: Nˆ aˆ aˆ (1.9)

Sử dụng hệ thức giao hoán (1.7) kết hợp với định nghĩa (1.8) ta được

Hệ thức giao hoán giữa toán tử Nˆ và các toán tử aˆ và aˆ là:

Ta kí hiệu n là véc tơ riêng của toán tử Nˆứng với trị riêng n

Khi đó ta có phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử Nˆ như sau:

n n n

0 ˆ ˆ ˆ

n n

n a a n n

n

n N n n n n n n n n n N

ˆ

0

2 2

r d r n

Các trị riêng n của toán tử Nˆlà các số nguyên không âm’

Chứng minh aˆ n là vector riêng của toán tử Nˆ ứng với trạng thái

 n 1

Xét các véctơ trạng thái thu được aˆ n bằng cách tác dụng toán tử aˆ lên véc tơ trạng thái n được aˆ n Tác dụng lên véctơ trạng thái aˆ n toán tử

Nˆvà sử dụng công thức (1.10) ta có:

 Nˆ,aˆ aˆ Nˆ  1

 N n a N n a n a

n a

a cũng là véc tơ trạng thái của toán tử Nˆ

ứng với trị riêng n 2n 3

Tiếp theo ta xét vecto trạng thái thu được bằng cách tác động toán tử aˆ

lên n Đó là vector trạng thái aˆ n tác động lên vector trạng thái này toán tử

Nˆ và sử dụng công thức (1.11) ta có:

 ˆ 1 ˆ

ˆ

ˆ    

N a a

N Nˆaˆ n aˆ Nˆ  1 n aˆNˆ n aˆ n

n n n a n

a    

 ˆ 1 1 ˆ (1.15)

Hệ thức trên có ý nghĩa là: Véctơ trạng thái aˆ n cũng là véc tơ trạng

thái riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n 1

Tương tự như vậy aˆ 2 n ;aˆ 3 n cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán

tử Nˆứng với trị riêng n 2n 3

Kết luận 2:

Nếu n là một véc tơ riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n thì aˆp n

cũng là một véc tơ riêng của toán tử Nˆứng với trị riêng n p,p 1 , 2 , 3 ,

aˆp cũng là một vector riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n p nếu chúng khác không

Kết hợp kết luận 1 và kết luận 2 ta thấy n là một trị riêng của toán tử

Nˆ thì chuỗi các số không âm n 1 , n 2 , n 3 cũng là trị riêng của toán tử

Nˆ Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất nminta có:

2 0 ˆ

0 2 0 ˆ 0

ˆ

2

ˆ 2

1 ˆ 2

1 ˆ ˆ ˆ

0

E H

N H

N N

a a H

1 1

1 1

n E

Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng  

2

3 2

1 1

2

5 2

1 2

E E E

E

E n

Trạng thái 0 có năng lượng thấp nhất là E0

Trạng thái tiếp theo 1 với năng lượng E0   có thể được xem như là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng   vào trạng thái 0

Trạng thái tiếp theo 2 ứng với năng lượng E1   E0  2   có thể được xem như là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng   vào

trạng thái 1 cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng lượng   vào trạng thái 0

Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E0, thì có thể coi trạng thái 0 là trạng thái không chứa lượng tử nào

Vì vậy:

0 được gọi là trạng thái chân không

1 là trạng thái chứa một lượng tử

2 là trạng thái chứa hai lượng tử……

n là trạng thái chứa n lượng tử

Toán tử Nˆ có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số năng lượng Toán tử aˆ khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n 1 và do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng.Toán tử 

aˆ khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n 1

do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng

Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì toán tử Nˆ

sẽ là toán tử số hạt, aˆ sẽ là toán tử hủy hạt, aˆ sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái n với năng lượng E n    sẽ là trạng thái chứa n hạt, đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa

Trong cơ học lượng tử, trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa

có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng   Khái niệm hạt ở đây chỉ là dùng cho tiện, thực chất đây là các giả hạt Một khái niệm quan trọng và hữu hiệu khi nghiên cứu các trạng thái khác trong vật lí các môi trường đông đặc

Như ta đã lập luân ở trên khi toán tử aˆ tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n 1 và toán tử aˆ khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n 1

Do đó chúng ta sẽ tính các hệ số tỉ lệ n,n, n trong các hệ thức:

0 ˆ

1 ˆ

1 ˆ

n n n n

a n

n n

a

n n

n m khi n

m m n

0

1 ,  ,

 Tìm n: Từ (1.13) và (1.16) và sử dụng điều kiện trực giao chuẩn hóa vừa viết

Chúng ta có:

n m

n N n n

n

n N n n

,

ˆ ˆ

n ˆ  ˆ  ˆ



Mặt khác: ˆ     1

n a

n n

1 1 1

Nên ta có: n n Nˆ n  n aˆ aˆn  n aˆ   1n

Mặt khác: ˆ    1

n a

!

3 2 1

2 ˆ

2 ˆ

1 ˆ ˆ 1

ˆ

0 ˆ ˆ 0

ˆ

1 2 1 0

2 1 0

1 2 0 2

0 0

1

1

n

n n n

n n

n n

a n

a a

a a

n

a a a

n

n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n n

ˆ    

n n n

n   (1.21)

Vậy trong biểu diễn số hạt, trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thể coi là một tập hợp nhiều “hạt’’ mỗi hạt có năng lượng bằng  

còn gọi là chuẩn hạt

1.2 Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson

Ta sẽ xem xét là đối với các hạt Boson là các hạt có Spin nguyên thì nó

có tuân

theo các hệ thức giao hoán hay không?

Để trả lời câu hỏi này ta xây dựng véc tơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai trạng thái khác nhau  và :

0 ˆ

ˆ  

 a a (1.22)

0 ˆ

ˆ  

 a a (1.23)

Trong đó 0 là trạng thái chân không không chứa hạt nào

Vì véc tơ trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất Boson có tính chất đối xứng với

phép hoán vị hai hạt nên   

Suy ra: aˆaˆ aˆaˆ

Hệ thức giao hoán trên được thực hiện trong không gian Fock với véc

tơ cơ sở riêng đã chuẩn hóa với toán tử số dao động tử Nˆ

ˆ    

n n n

a với n 0

Với toán tử số hạt Nˆ được biểu diễn theo các toán tử sinh hạt và hủy hạt:

a a

a

a

a

Ta đi tìm biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson 

aˆ , hủy Boson

aˆ và toán tử số hạt Nˆ:

Bằng cách áp dụng liên tiếp (1.19) và (1.20) ta có các đẳng thức sau:

 

n n n

a

a

n n n

Như vậy các trị riêng của các tích những toán tử 

aˆ và aˆ lần lượt bằng

n 1 và n Do đó ma trận của những toán tử này trong biểu diễn riêng của chúng là những ma trận chéo

12 11 10

02 01 00

a a a

a a a

a a a

1 1

1 ,

n n khi

n n khi n

1 1

1 1

n n khi

n n khi n

n n n

Tương tự ta cũng có:

1 ,

1 1

1 1

1 ,

n n khi

n n khi n

1 1

n n khi

n n khi n

n n n

Vậy biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson aˆ, hủy Boson aˆ và toán tử số hạt N có dạng:

aˆ  , ˆ Tìm được phổ năng lượng của hệ dao động tử điều hòa

- Tìm được biểu diễn ma trận của các toán tử sinh hủy Boson, toán tử

số hạt

Những kết quả trên sẽ là cơ sở tính toán ở các chương sau

CHƯƠNG 2 THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ BIẾN DẠNG

2.1 Xây dựng thống kê Bose – Einstein bằng phương pháp GIBBS

2.1.1 Phương pháp GIBBS

Cơ sở của phương pháp Gibbs là thay việc khảo sát sự biến đổi vi mô của hệ đã cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tương tự với hệ đã cho, gọi là tập hợp thống kê Tập hợp thống kê là một tập hợp các

hệ tương tự với nhau có số lượng và loại hạt như nhau, ở trong các điều kiện

vĩ mô giống nhau và ở trạng thái vi mô khả hữu khác nhau Đồng thời phải đảm bảo rằng mỗi một hệ trong tập hợp thống kê sớm hay muộn sẽ đi qua mọi giai đoạn biến đổi dành cho các hệ tương tự khác Như vậy, tập hợp thống kê cũng có thể coi như là tập hợp các trạng thái vi mô khả dĩ tương ứng với cùng một trạng thái vĩ mô đang xét của hệ

Phương háp Gibbs thừa nhận giả thuyết chuẩn Ecgodic như sau: Trị trung bình theo thời gian của một đại lượng bằng trị trung bình theo tập hợp thống kê

Như vậy, theo phương pháp này, một vấn đề đặt ra là làm sao tìm được trị trung bình theo tập hợp thống kê, muốn vậy ta phải tìm được mật độ xác suất pha hay hàm phân bố thống kê của hệ

Áp dụng phương pháp Gibbs đối với các hệ lượng tử, chú ý đến các đặc tính của hạt vi mô và của hệ lượng tử, phân bố chính tắc lượng tử đối với hệ đẳng nhiệt cho chúng ta xác suất để hệ nằm ở trạng thái có năng lượng Ek là: