TỔNG QUAN
Các công trình nghiên cứu trong và ngoài nước có liên quan đến đề tài
Bài toán 3D trong phương pháp FS-FEM được giải quyết bằng cách rời rạc miền bài toán thành các phần tử trơn, tương tự như trong phương pháp truyền thống Các miền trơn này được xây dựng dựa trên các mặt của phần tử, kết nối các mặt chung với hai trọng tâm của hai phần tử T4 kề cận FS-FEM có cơ sở lý thuyết rõ ràng, không sử dụng các thông số bất lợi hay bậc tự do bổ sung Phần tử FS-FEM-T4 mang lại kết quả với độ chính xác cao và ổn định cho cả bài toán tuyến tính và phi tuyến hình học của biến dạng lớn.
1.2 CÁC CÔNG TRÌNH NGHIÊN CỨU TRONG NƯỚC VÀ NGOÀI NƯỚC CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI
Hiện nay, nghiên cứu về bài toán tương tác rắn - lỏng đang phát triển mạnh mẽ trên thế giới, nhưng tại Việt Nam, lĩnh vực này vẫn còn hạn chế Qua việc tìm hiểu từ các nguồn thông tin như internet, tạp chí khoa học - công nghệ và hội nghị quốc tế, tác giả chỉ phát hiện một số tác giả nghiên cứu về vấn đề này, chủ yếu tập trung vào khảo sát và mô phỏng trong mô hình 2D.
Phùng Văn Phúc đã phát triển phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM-T3) để mô phỏng các bài toán tương tác rắn - lỏng trong luận văn thạc sĩ của mình tại Trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp HCM vào năm 2011 Phương pháp này sử dụng phần tử tam giác 3 nút để phân tích bài toán 2D dựa trên công thức áp suất - chuyển vị Kỹ thuật mềm hóa biến dạng dựa trên miền trơn liên kết các cạnh của tam giác được áp dụng để làm trơn hóa áp suất trong miền lỏng và chuyển vị trong miền rắn ES-FEM-T3 có cách chia lưới và sử dụng hàm dạng tương tự như phương pháp PTHH, nhưng khác biệt ở chỗ FEM-T3 tính toán ma trận độ cứng dựa trên phần tử, trong khi ES-FEM-T3 sử dụng kỹ thuật mềm hóa biến dạng để tính toán ma trận độ cứng dựa trên miền trơn liên kết với các cạnh.
Qua việc phân tích dao động của hai bài toán bể chứa nước và đập nước, kết quả cho thấy phương pháp ES-FEM-T3 mang lại độ ổn định cao mà không xuất hiện các mode năng lượng không cần thiết Kỹ thuật mềm hóa biến dạng đã chứng minh khả năng giảm đáng kể ứng xử quá cứng của mô hình PTHH truyền thống, đồng thời cải thiện đáng kể chất lượng giải pháp của hệ kết hợp.
Các ví dụ số cho thấy rằng phương pháp ES-FEM-T3 mang lại kết quả chính xác hơn trong việc phân tích trị riêng và đáp ứng tần số so với mô hình FEM-T3 truyền thống.
Nguyễn Ngọc Nhân, Phát Triển Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Trơn Anpha
Luận văn thạc sĩ "Mô Phỏng Các Bài Toán Tương Tác Rắn - Lỏng" (αFEM-T3) được thực hiện tại Viện Cơ Học và Tin Học Ứng Dụng Tp HCM vào năm 2011, đã đề xuất phương pháp PTHH anpha Phương pháp này sử dụng phần tử tam giác 3 nút để phân tích động lực học cho bài toán tương tác rắn - lỏng 2D, dựa trên công thức áp suất.
Phương pháp αFEM-T3 sử dụng cách chia lưới và hàm dạng tương tự như FEM-T3, nhưng khác biệt ở cách tính ma trận độ cứng Trong khi FEM-T3 tính toán ma trận độ cứng dựa trên từng phần tử, αFEM-T3 tính toán ma trận này dựa trên hai phần: một phần dựa trên phần tử tam giác như FEM-T3 và một phần dựa trên miền trơn dựa trên nút (NS-FEM-T3) Hai phần này được liên kết với nhau thông qua hệ số α nằm trong khoảng [0,1].
Phương pháp αFEM-T3 kết hợp cả hai miền rắn và lỏng thông qua việc rời rạc hóa bằng phần tử tam giác Kỹ thuật trơn hóa sử dụng miền trơn để liên kết các nút của các phần tử lân cận, giúp làm mượt áp suất trong miền lỏng và chuyển vị trong miền rắn.
Phương pháp αFEM-T3 cho kết quả chính xác hơn so với mô hình FEM-T3 truyền thống trong phân tích trị riêng, đáp ứng tần số và thời gian Với độ ổn định cao, αFEM-T3 rất phù hợp cho các bài toán động lực học.
Bài toán tương tác rắn - lỏng thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học, với những nghiên cứu đầu tiên từ Bathe, Hahn, Liu, Akkas, Wilson, Khalvati, Shantaram và Deshpande Các nghiên cứu này chủ yếu tập trung vào việc hiệu chỉnh tiêu chuẩn động lực học kết cấu bằng cách xem xét tác động của chất lỏng chuyển động lên kết cấu, trong đó mô đun đàn hồi cắt được coi là bằng không trong miền lỏng Bề mặt tương tác rắn - lỏng được ràng buộc bởi chuyển vị pháp tuyến liên tục Akkas chỉ ra sự hiện diện của mode năng lượng bằng không, trong khi Wilson và Khalvati đề xuất phương pháp tối ưu hóa thông số phạt để loại bỏ các mode thừa Deshpande cũng đưa ra một thông số phạt tối ưu để kết hợp lưới miền rắn và lỏng dựa trên trọng lượng riêng của chất lỏng và tốc độ âm thanh trong môi trường lỏng Tuy nhiên, phương pháp này chỉ áp dụng hiệu quả cho một số bài toán, như ứng xử tuyến tính của miền lỏng, và không chứng minh được tính kinh tế cho phân tích đáp ứng ba chiều do kích thước lớn của miền lỏng dẫn đến số phương trình rời rạc quá nhiều.
Park và Felippa đã đề xuất phương pháp phân tích từng phần với lời giải so le, giúp giải quyết bài toán tương tác trong trạng thái liên tục Phân tích này được thực hiện cho từng môi trường, với ảnh hưởng tương tác được cập nhật vào cả hai môi trường thông qua các hạng mục tương tác riêng lẻ Phương pháp này đặc biệt hữu ích cho các bài toán tương tác giữa rắn và lỏng trong không gian ba chiều.
Ngoài những nghiên cứu của tác giả, bài viết này cũng sẽ tóm tắt nội dung của một số bài báo từ các tác giả quốc tế khác, nhằm cung cấp cái nhìn tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu này.
R.K Singh, T Kant, and A Kakodkar, Coupled shell - fluid interaction problems with degenerate shell and three dimensional fluid elements [9] Trong bài báo này
R.K Singh đề xuất phương pháp từng phần (partitioning method), sử dụng phân tử vỏ suy biến 9 nút cho miền rắn và phần tử chất lỏng 3D để phân tích động lực học bài toán tương tác giữa vỏ và chất lỏng Phương pháp này có sự khác biệt với các phương pháp truyền thống khi tại mỗi nút của phần tử vỏ suy biến có 8 thành phần biến dạng: ε x , ε y ,γ xy ,κ x ,κ y ,κ xy ,γ xz ,γ yz Phân tích đáp ứng của bài toán có xét đến áp suất sóng truyền
Phương pháp này không chỉ tiết kiệm thời gian tính toán và bộ nhớ máy tính, mà còn mang lại kết quả chính xác Hơn nữa, nó có khả năng mở rộng để phân tích các bài toán tương tác rắn - lỏng phi tuyến.
Z.C He, G.R Liu, Z.H Long, G.Y Zhang, A.G Cheng , Coupled Analysis of 3D Structural – Acoustic Problems using the Edge-based Smoothed Finite Element
Trong bài báo này, các tác giả giới thiệu phương pháp kết hợp ES-FEM/FEM để giải quyết bài toán tương tác giữa rắn và lưu chất Mô hình tương tác này được thiết lập cho một tấm tương tác với chất lỏng 3D, dựa trên công thức chuyển vị của kết cấu và công thức áp suất của lưu chất Để mô phỏng tấm chịu uốn, phần tử tấm tam giác Reissner-Mindlin được áp dụng kết hợp với phương pháp phần tử rời rạc lệch trượt (DSG) nhằm khắc phục hiện tượng khóa cắt (shear-locking) Bài toán trong miền kết cấu được rời rạc hóa bằng công thức dạng yếu Galerkin, trong khi tích phân số được thực hiện trên miền trơn dựa trên cạnh.
P hạm vi, phương pháp nghiên cứu và mục tiêu luận văn
1.3.1 Mục tiêu của luận văn
Mục tiêu chính của luận văn là áp dụng phương pháp kết hợp CS-DSG3/FS-FEM để phân tích tương tác giữa vỏ và chất lỏng Trong đó, miền chất lỏng được mô phỏng bằng phần tử hữu hạn trơn tứ diện FS-FEM, trong khi miền rắn được mô phỏng bằng phần tử vỏ phẳng Mindlin CS-DSG3.
Bài viết này nhằm xác định tần số dao động của vỏ Mindlin với sự xem xét đến tương tác của chất lỏng Kết quả số sẽ được phân tích và so sánh với các kết quả từ phần tử hữu hạn kết hợp khác và phần mềm Ansys để đưa ra cái nhìn tổng quan và chính xác hơn về vấn đề nghiên cứu.
1.3.2 Phạm vi và phương pháp nghiên cứu
Luận văn này phân tích ứng xử kết cấu thông qua phương pháp phần tử hữu hạn, áp dụng cho cả miền rắn và miền lỏng Miền rắn được xem xét trong điều kiện biến dạng nhỏ, trong khi miền lỏng được giả định ở trạng thái tĩnh, không có độ nhớt, không xoáy và có dịch chuyển nhỏ.
Bài viết trình bày việc sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để tính toán kết quả, đồng thời mô phỏng và phân tích bằng phần mềm Ansys Kết quả thu được từ Matlab sẽ được so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống và các phương pháp kết hợp khác, nhằm đánh giá tính chính xác và hiệu quả của các phương pháp này.
Nghiên cứu này tập trung vào ba loại bể chứa nước: bể hình trụ tròn, bể hình cầu và bể hình nón cụt, với sự khác biệt về số lượng phần tử trong mỗi cấu kiện Phân tích dao động sẽ được thực hiện để xem xét cả dao động tự do và dao động cưỡng bức của các bể chứa này.
Các công thức và mô hình tính toán chủ yếu tham khảo từ các giáo trình, bài báo trên các tạp chí quốc tế
1.4 N ỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN
Luận văn trình bày gồm 6 chương, có nội dung như sau:
Chương 1 trình bày ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn Khái quát tình hình nghiên cứu trong nước và ngoài nước liên quan đến đề tài Đồng thời nêu rõ mục tiêu, phạm vi, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
Chương 2 trình bày cơ sở lý thuyết phần tử vỏ phẳng CS-DSG3 trên cơ sở ứng dụng lý thuyết phần tử hữu hạn trơn CS-FEM, phần tử DSG và phần tử tam giác để mô phỏng miền rắn
Chương 3 trình bày cơ sở lý thuyết phần tử chất lỏng 3D, FS-FEM-T4, trên cơ sở ứng dụng lý thuyết phần tử hữu hạn trơn FS-FEM và phần tứ tứ diện ba chiều để mô phỏng miền lỏng
Chương 4 trình bày cơ sở lý thuyết phân tích tương tác vỏ - chất lỏng bằng phương pháp kết hợp CS-DSG3/FS-FEM và sơ đồ khối chương trình giải bài toán dao động tự do của hệ kết hợp
Chương 5 trình bày các ví dụ số phân tích tĩnh, dao động tự do của kết cấu vỏ bằng phương pháp CS-DSG3 và phân tích dao động của kết cấu vỏ có xét đến tương tác của chất lỏng bằng phương pháp kết hợp CS-DSG3/FS-FEM Các ví dụ số được tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab Kết quả số từ chương trình lập trình được so sánh với kết quả từ các phương pháp tham khảo khác và phần mềm Ansys
Chương 6 đưa ra các kết luận từ việc phân tích kết quả các ví dụ số và kiến nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai
Kế tiếp là danh mục các tài liệu tham khảo sử dụng trong luận văn
Phần cuối cùng là phụ lục với các đoạn mã lập trình Matlab chính để mô phỏng và tính toán các ví dụ số trong chương 5.
Nội dung luận văn
CỞ SỞ LÝ THUYẾT PHẦN TỬ VỎ PHẲNG CS-DSG3
2.1 LÝ THUYẾT TẤM MINDLIN CÓ KỂ ĐẾN BIẾN DẠNG TRƯỢT
Từ đây trở đi, để đơn giản trong trình bày Chúng tôi sẽ viết gọn lại “ tấm (vỏ) Reissner-Mindlin” bằng “ tấm (vỏ) Mindlin ”
2.1.1 Dạng yếu cho phần tử tấm Mindlin [6]
Xét 1 tấm chịu biến dạng uốn Mặt trung hòa của tấm được chọn là mặt phẳng tham chiếu Ω ⊂ R 2 như trình bày ở Hình 2.1 Đặt w là độ võng, và x y
T = β β β là véc tơ các góc xoay, trong đó βx và βy lần lượt là các góc xoay của mặt phẳng trung hòa quanh trục y và trục x Chiều dương của các góc này được quy định theo hình 2.1.
Hình 2.1 Tấm dày Mindlin và chiều dương qui ước của w,β β x , y
Véc tơ ẩn số của 3 trường biến số độc lập ở điểm bất kỳ trong miền bài toán của tấm Mindlin được viết theo biểu thức sau
= u (2.1) Độ cong của mặt võng tấm κ và biến dạng cắt γ được xác định bởi
∇ = ∂ ∂ và L d là một ma trận toán tử vi phân xác định bởi công thức
CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHẦN TỬ VỎ PHẲNG CS-DSG3
Lý thuyết tấm Mindlin có kể đến biến dạng trượt
Từ đây trở đi, để đơn giản trong trình bày Chúng tôi sẽ viết gọn lại “ tấm (vỏ) Reissner-Mindlin” bằng “ tấm (vỏ) Mindlin ”
2.1.1 Dạng yếu cho phần tử tấm Mindlin [6]
Xét 1 tấm chịu biến dạng uốn Mặt trung hòa của tấm được chọn là mặt phẳng tham chiếu Ω ⊂ R 2 như trình bày ở Hình 2.1 Đặt w là độ võng, và x y
T là véc tơ các góc xoay, với βx và βy lần lượt đại diện cho các góc xoay của mặt phẳng trung hòa quanh trục y và trục x Chiều dương của các góc này được quy định như trong Hình 2.1.
Hình 2.1 Tấm dày Mindlin và chiều dương qui ước của w,β β x , y
Véc tơ ẩn số của 3 trường biến số độc lập ở điểm bất kỳ trong miền bài toán của tấm Mindlin được viết theo biểu thức sau
= u (2.1) Độ cong của mặt võng tấm κ và biến dạng cắt γ được xác định bởi
∇ = ∂ ∂ và L d là một ma trận toán tử vi phân xác định bởi công thức
Dạng yếu Galerkin tiêu chuẩn của phương trình cân bằng tĩnh cho tấm Mindlin được viết trong biểu thức sau [36] d + d d
∫ κ D κ ∫ γ D γ ∫ u q (2.5) trong đó q = [ q x y ( , ) 0 0 ] T , với q(x,y) là tải trọng phân bố tác dụng lên tấm; ma trận
D b là ma trận vật liệu của biến dạng uốn được cho bởi công thức
D (2.6) với E là mô đun đàn hồi Young; t là bề dày của tấm; ma trận D s là ma trận vật liệu của biến dạng cắt và có dạng
D (2.7) trong đó k = 5/6 là hệ số hiệu chỉnh kể đến sự phân bố bậc 2 theo bề dày của biến dạng trượt và
Mô đun đàn hồi trượt là yếu tố quan trọng trong phân tích dao động tự do của tấm Mindlin Dạng yếu Galerkin tiêu chuẩn có thể được xác định từ biểu thức động lực học dựa trên nguyên lý năng lượng.
∫ κ D κ ∫ γ D γ ∫ u mu (2.8) trong đó m là ma trận chứa khối lượng riêng của vật liệu ρ và bề dày tấm t và có dạng
2.1.2Phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm Mindlin [6]
Rời rạc hóa miền bài toán Ω thành các phần tử sao cho:
,i≠ j, nghiệm xấp xỉ phần tử hữu hạn u h = w β x β y T của mô hình chuyển vị cho tấm Mindlin được biểu diễn như sau
(2.10) trong đó N n là tổng số nút của miền bài toán rời rạc; N x I ( ) là hàm dạng ở nút thứ I;
I = w I β xI β yI d là véc tơ chuyển vị của bậc tự do nút của u h liên kết với nút thứ I
Biến dạng uốn và biến dạng cắt có thể biểu diễn dưới dạng ma trận b ,
Hệ phương trình rời rạc của tấm Mindlin cho phân tích tĩnh có thể biểu diễn như sau
Kd F (2.13) trong đó K là ma trận độ cứng tổng thể và được biểu diễn bởi d d
K B D B S D S (2.14) và F là véc tơ tải được biểu diễn bởi s d b
F q N f (2.15) trong đó f b là phần còn lại của F chịu tải trọng tập trung cho trước Đối với phân tích dao động tự do, chúng ta có
Md Kd 0 (2.16) trong đó M là ma trận khối lượng hệ và được tính theo công thức
2.2 PHÁT TRIỂN PHẦN TỬ TẤM MINDLIN THÀNH PHẦN TỬ VỎ PHẲNG
PHẦN TỬ TẤM CHỊU UỐN + PHẦN TỬ MÀNG = PHẦN TỬ VỎ PHẲNG
Hình 2.2 Phần tử vỏ phẳng dạng tam giác 6 bậc tự do: u v w, , ,β β β x , y , z
Phần tử vỏ phẳng (flat shell) là sự kết hợp giữa phần tử tấm Mindlin chịu uốn và phần tử màng, được thể hiện trong Hình 2.2 Loại phần tử này được ưa chuộng trong các ứng dụng kỹ thuật nhờ vào những ưu điểm nổi bật của nó.
1) dễ dàng trong việc xây dựng công thức; 2) hiệu quả trong tính toán và trong lập trình; 3) linh hoạt trong việc áp dụng cho cả vỏ và tấm có nếp gấp (folded plate); 4) chi phí tính toán ít
Dạng yếu Galerkin tiêu chuẩn của phương trình cân bằng tĩnh cho vỏ phẳng được viết theo biểu thức [18, 37] d + d d d
∫ κ D κ ∫ γ D γ ∫ ε D ε ∫ u q (2.18) trong đó q = [ 0 0 q x y z ( , , ) 0 0 0 ] T , với q(x,y,z) là tải trọng phân bố tác dụng lên vỏ
Các thành phần biến dạng của phần tử vỏ phẳng có dạng sau
- Biến dạng uốn do góc xoay gây ra (Kirchoff)
- Biến dạng cắt xz x yz y w x w y γ β γ β
Véc tơ của 6 trường biến độc lập ở điểm bất kỳ trong miền bài toán của vỏ phẳng được viết theo biểu thức sau h T x y z u v w β β β
= u (2.22) và được xấp xỉ phần tử hữu hạn bởi
(2.23) trong đó N n là tổng số nút của miền bài toán rời rạc; N x I ( ) là hàm dạng ở nút thứ I;
I = u I v I w I β xI β yI β zI d là véc tơ chuyển vị của bậc tự do nút của u h tại nút thứ I
Biến dạng uốn, biến dạng cắt và biến dạng màng sau đó có thể biểu diễn dưới dạng ma trận như sau b ,
Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, hệ phương trình rời rạc của vỏ phẳng cho phân tích tĩnh có thể biểu diễn như sau
Kd F (2.27) trong đó K là ma trận độ cứng hệ và được tính bởi công thức d d d
K B D B S D S B D B (2.28) và F là véc tơ tải hệ và được tính bởi công thức s d b f b
F q N f f f (2.29) trong đó f b là ngoại lực tác dụng trên biên f f là ngoại lực trên miền rắn do miền lỏng tác dụng q là lực phân bố trên 1 đơn vị diện tích
Ma trận D D b và s là các ma trận vật liệu quan trọng trong phân tích biến dạng uốn và biến dạng cắt, được xác định theo công thức tương tự như các công thức (2.6) và (2.7) trong phần tử tấm Mindlin.
Ma trận D m là ma trận vật liệu liên quan đến biến dạng màng và được cho bởi công thức
+ Trong bài toán ứng suất phẳng
+ Trong bài toán biến dạng phẳng
D (2.31) Đối với phân tích dao động tự do, chúng ta có
Md Kd 0 (2.32) trong đó M là ma trận khối lượng hệ và được tính bởi công thức
M N mN (2.33) trong đó m là ma trận chứa khối lượng riêng của vật liệu ρ và bề dày vỏ phẳng t và có dạng
2.3 PHẦN TỬ VỎ PHẲNG DSG3 [6, 11, 12, 15, 17]
Công thức phần tử DSG3 dựa trên khái niệm khe hở trượt của chuyển vị dọc theo cạnh phần tử Phương pháp DSG3 sử dụng nội suy tuyến tính để tính toán biến dạng cắt từ khe hở trượt, thông qua hàm dạng phần tử chuẩn Kết quả là, ma trận toán tử S liên quan đến phần cắt sẽ được điều chỉnh để phản ánh chính xác hơn.
Các thành phần của phần tử S là các hằng số được xác định từ tọa độ của nút Phần tử DSG3 có khả năng khử hiện tượng khóa cắt và sở hữu nhiều tính chất nổi bật, như đã đề cập trong phần giới thiệu và tài liệu [11] Dưới đây là các công thức tóm tắt cho phần tử DSG3.
Hình 2.3 Phần tử tam giác 3 nút
Hình 2.4 Phần tử tam giác 3 nút và hệ tọa độ tự nhiên trong DSG3
Hình 2.5 minh họa quá trình chuyển đổi tọa độ trong phần tử vỏ phẳng tam giác Để bắt đầu, phần tử vỏ phẳng tam giác 3 nút, như thể hiện trong Hình 2.3, được sử dụng để viết hàm xấp xỉ u h cho vỏ Mindlin.
Trong đó, d eI là bậc tự do nút liên kết với nút I, được biểu diễn dưới dạng vector bao gồm u I, v I, w I và các tham số β xI, β yI, β zI N x I () là các hàm tuyến tính trong hệ tọa độ tự nhiên, được xác định theo cách cụ thể.
N = − −ξ η N 2 =ξ, N 3 =η (2.36) Độ cong của mặt võng trong phần tử được tính bởi công thức h
= d là véc tơ chuyển vị nút của phần tử; B chứa đạo hàm của các hàm dạng, mà là các hằng số như sau
= B B B (2.38) với a=x 2-x 1,b= y 2 - y 1 , c= y 3 −y 1 , d =x 3 −x 1 , như trình bày ở Hình 2.4; và
= x , i =1,2,3, là tọa độ của 3 nút của phần tử; A e là diện tích của phần tử tam giác; và B i , i =1,2,3, chứa đạo hàm của các hàm dạng ở nút thứ i
Hiện tượng khóa cắt trong phần tử Mindlin thường xuất hiện khi bề dày tấm nhỏ, dẫn đến uốn thuần túy bị ảnh hưởng bởi biến dạng cắt ngang Biến dạng cắt ngang không được khử trong điều kiện uốn thuần túy, gây ra sự mâu thuẫn giữa trường biến dạng cắt và trường biến dạng uốn ở tấm mỏng Để giải quyết mâu thuẫn này, cần có phương pháp thích hợp.
Bletzinger [11] đề xuất phương pháp phần tử rời rạc lệch trượt (DSG3) để thay đổi trường biến dạng cắt
Biến dạng cắt được biểu diễn trong biểu thức h
2 e e e b c A c ac bc b bd bc d a A d ad bd a ad ac
= S S S (2.40) và S i , i =1,2,3, chứa đạo hàm của các hàm dạng ở nút thứ i
Biến dạng màng được biểu diễn trong biểu thức h m = m e ε B d (2.41) trong đó
= B B B (2.42) và B mi , i =1,2,3, chứa đạo hàm của các hàm dạng ở nút thứ i
Thay thế phương trình (2.38), (2.40) và (2.42) vào phương trình (2.28), ma trận độ cứng tổng thể trở thành
K K (2.43) trong đó ma trận độ cứng phần tử K DSG e 3 , của phần tử DSG3 được cho bởi
= T k T e trong đó k e là ma trận độ cứng phần tử tính toán trong hệ tọa độ địa phương xyzˆˆ ˆ; và
Ma trận T là công cụ chuyển đổi tọa độ từ hệ tọa độ địa phương xyzˆˆ ˆ sang hệ tọa độ tổng thể xyz, như được thể hiện trong Hình 2.5.
T (2.45) trong đó [ ] λ 3 3 T × được xác định như sau
= (2.46) và λ x , λ y và λ z là các cosin chỉ hướng theo các phương xˆ, yˆ và zˆ trong hệ tọa độ địa phương
Trong tài liệu [12], Bischoff và Bletzinger đề xuất bổ sung một số hạng vào biểu thức gốc của phần tử DSG3 nhằm nâng cao tính ổn định và cải thiện độ chính xác của lời giải Việc hiệu chỉnh này được thực hiện thông qua việc thay thế các thành phần nhất định để tăng cường sự ổn định cho dao động cắt.
D s trong phương trình (2.44) bằng ˆD s như sau
D (2.47) trong đó h e là chiều dài cạnh dài nhất trong tất cả các cạnh của phần tử và α là một hằng số dương [20]
Từ các phương trình (2.38), (2.40) và (2.42), có thể thấy rằng ma trận độ cứng phần tử với bậc tự do drilling β z = 0 có thể gây ra sự suy biến trong ma trận độ cứng tổng thể khi tất cả các phần tử liên kết với các nút đồng phẳng Để khắc phục vấn đề này, giá trị độ cứng bằng không liên quan đến bậc tự do drilling sẽ được thay thế bằng một giá trị xấp xỉ, được tính bằng 10 -3 lần giá trị đường chéo lớn nhất trong ma trận độ cứng phần tử.
Phần tử DSG3 được phát triển dựa trên khái niệm khe hở trượt của phần tử dầm Timoshenko tuyến tính 1 chiều, trong đó khe hở trượt được tính từ hai điểm: một điểm cơ sở và một điểm kết thúc Khi áp dụng khái niệm này vào phần tử tấm tam giác 2 chiều, công thức trở nên không đối xứng vì chỉ có một nút phần tử được chọn làm nút cơ sở cho hai khe hở trượt dọc theo hai cạnh của phần tử, trong khi hai nút còn lại là hai điểm kết thúc Sự khác biệt này dẫn đến việc ma trận hằng số biến dạng cắt và biến dạng uốn trong DSG3 sẽ khác nhau tùy thuộc vào nút phần tử được chọn làm điểm cơ sở.
Phương pháp DSG3 cho thấy rằng ma trận độ cứng phần tử phụ thuộc vào thứ tự các nút, dẫn đến sự không ổn định trong lời giải khi thứ tự này thay đổi, đặc biệt với các lưới thô và méo Để khắc phục những hạn chế này và nâng cao độ chính xác cũng như sự ổn định của phần tử DSG3, phương pháp CS-DSG3 đã được đề xuất.
2.4 PHẦN TỬ VỎ PHẲNG CS – DSG3 [1, 6, 17]
P hần tử vỏ phẳng DSG3
Công thức của phần tử DSG3 dựa trên khái niệm khe hở trượt của chuyển vị dọc theo cạnh phần tử Trong phương pháp DSG3, biến dạng cắt được nội suy tuyến tính từ khe hở trượt của chuyển vị thông qua hàm dạng phần tử chuẩn, dẫn đến việc hiệu chỉnh ma trận toán tử S liên quan đến phần cắt.
Các thành phần của phần tử S được xác định bởi các hằng số dựa trên tọa độ nút Phần tử DSG3 khắc phục hiện tượng khóa cắt và sở hữu nhiều tính năng nổi bật, như đã đề cập trong phần giới thiệu và tài liệu [11] Dưới đây là các công thức tóm tắt cho phần tử DSG3.
Hình 2.3 Phần tử tam giác 3 nút
Hình 2.4 Phần tử tam giác 3 nút và hệ tọa độ tự nhiên trong DSG3
Hình 2.5 minh họa quá trình chuyển đổi tọa độ trong phần tử vỏ phẳng tam giác Để thực hiện điều này, chúng ta sử dụng phần tử vỏ phẳng tam giác 3 nút, như đã được trình bày trong Hình 2.3 Hàm xấp xỉ u h cho vỏ Mindlin được diễn đạt theo cách sau.
Bậc tự do của nút I được biểu diễn bởi vectơ d eI = u I v I w I β xI β yI β zI T, trong đó các hàm N x I ( ) là những hàm dạng tuyến tính trong hệ tọa độ tự nhiên.
N = − −ξ η N 2 =ξ, N 3 =η (2.36) Độ cong của mặt võng trong phần tử được tính bởi công thức h
= d là véc tơ chuyển vị nút của phần tử; B chứa đạo hàm của các hàm dạng, mà là các hằng số như sau
= B B B (2.38) với a=x 2-x 1,b= y 2 - y 1 , c= y 3 −y 1 , d =x 3 −x 1 , như trình bày ở Hình 2.4; và
= x , i =1,2,3, là tọa độ của 3 nút của phần tử; A e là diện tích của phần tử tam giác; và B i , i =1,2,3, chứa đạo hàm của các hàm dạng ở nút thứ i
Hiện tượng khóa cắt trong phần tử Mindlin thường xảy ra khi bề dày tấm giảm, dẫn đến uốn thuần túy bị ảnh hưởng bởi biến dạng cắt ngang Biến dạng cắt ngang không được khử trong điều kiện uốn thuần túy, gây ra sự mâu thuẫn giữa trường biến dạng cắt và trường biến dạng uốn trong tấm mỏng Để giải quyết vấn đề này, cần có những phương pháp thích hợp.
Bletzinger [11] đề xuất phương pháp phần tử rời rạc lệch trượt (DSG3) để thay đổi trường biến dạng cắt
Biến dạng cắt được biểu diễn trong biểu thức h
2 e e e b c A c ac bc b bd bc d a A d ad bd a ad ac
= S S S (2.40) và S i , i =1,2,3, chứa đạo hàm của các hàm dạng ở nút thứ i
Biến dạng màng được biểu diễn trong biểu thức h m = m e ε B d (2.41) trong đó
= B B B (2.42) và B mi , i =1,2,3, chứa đạo hàm của các hàm dạng ở nút thứ i
Thay thế phương trình (2.38), (2.40) và (2.42) vào phương trình (2.28), ma trận độ cứng tổng thể trở thành
K K (2.43) trong đó ma trận độ cứng phần tử K DSG e 3 , của phần tử DSG3 được cho bởi
= T k T e trong đó k e là ma trận độ cứng phần tử tính toán trong hệ tọa độ địa phương xyzˆˆ ˆ; và
Ma trận T là công cụ chuyển đổi tọa độ từ hệ tọa độ địa phương xyzˆˆ ˆ sang hệ tọa độ tổng thể xyz, như được thể hiện trong Hình 2.5.
T (2.45) trong đó [ ] λ 3 3 T × được xác định như sau
= (2.46) và λ x , λ y và λ z là các cosin chỉ hướng theo các phương xˆ, yˆ và zˆ trong hệ tọa độ địa phương
Trong tài liệu [12], Bischoff và Bletzinger đề xuất bổ sung một số hạng vào biểu thức gốc của phần tử DSG3 nhằm nâng cao tính ổn định và cải thiện độ chính xác của lời giải, đồng thời tăng cường sự ổn định cho dao động cắt Việc hiệu chỉnh này được thực hiện thông qua việc thay đổi
D s trong phương trình (2.44) bằng ˆD s như sau
D (2.47) trong đó h e là chiều dài cạnh dài nhất trong tất cả các cạnh của phần tử và α là một hằng số dương [20]
Từ các phương trình (2.38), (2.40) và (2.42), có thể thấy rằng ma trận độ cứng phần tử với bậc tự do drilling β z = 0 có thể dẫn đến sự suy biến trong ma trận độ cứng tổng thể khi tất cả các phần tử kết nối với các nút đồng phẳng Để khắc phục vấn đề này, giá trị độ cứng bằng không liên quan đến bậc tự do drilling sẽ được thay thế bằng một giá trị xấp xỉ, được xác định là 10^-3 lần giá trị đường chéo lớn nhất trong ma trận độ cứng phần tử.
Phần tử DSG3 được phát triển dựa trên khái niệm khe hở trượt của phần tử dầm Timoshenko tuyến tính một chiều, trong đó khe hở trượt được xác định từ hai điểm: một điểm cơ sở và một điểm kết thúc Khi áp dụng khái niệm này vào phần tử tấm tam giác hai chiều, công thức trở nên không đối xứng do chỉ có một nút phần tử được chọn làm điểm cơ sở cho hai khe hở trượt dọc theo hai cạnh của phần tử, trong khi hai nút còn lại đóng vai trò là các điểm kết thúc Hệ quả là ma trận hằng số biến dạng cắt và biến dạng uốn trong DSG3 sẽ khác nhau tùy thuộc vào nút phần tử được chọn làm điểm cơ sở.
Các phương trình (2.38), (2.40) và (2.42) cho thấy ma trận độ cứng phần tử trong phương pháp DSG3 phụ thuộc vào thứ tự các nút, dẫn đến lời giải của DSG3 không ổn định, đặc biệt đối với các lưới thô và méo Để khắc phục những hạn chế này và nâng cao độ chính xác, phương pháp CS-DSG3 được đề xuất như một giải pháp hiệu quả.
P hần tử vỏ phẳng CS-DSG3
Trong phương pháp CS-DSG3, mỗi tam giác được chia thành 3 tam giác con bằng cách kết nối trọng tâm với 3 nút của tam giác Véc tơ chuyển vị tại trọng tâm được coi là trung bình đơn giản của 3 véc tơ chuyển vị tại các nút Phương pháp DSG3 được áp dụng trong mỗi tam giác con để tính toán biến dạng và khử hiện tượng khóa cắt ngang Sau đó, kỹ thuật mềm hóa biến dạng trên toàn bộ tam giác được sử dụng để làm mịn biến dạng trên 3 tam giác con Công thức tính toán của phương pháp CS-DSG3 sẽ được trình bày chi tiết trong phần tiếp theo.
Hình 2.6 Ba tam giác con được tạo từ tam giác 1-2-3 trong CS-DSG3
Xét 1 phần tử tam giác điển hình Ω e như được thể hiện trong Hình 2.6 Đầu tiên chúng ta chia phần tử thành 3 tam giác con ∆1,∆ 2 và ∆ 3 sao cho
∆ ∩ ∆ = ∅, i≠ j, bằng việc kết nối trọng tâm O của tam giác với 3 nút như được thể hiện trong Hình 2.6 Tọa độ x o =[ x o y o ] T của trọng tâm O được tính bằng công thức sau
( ) o 3 y = y +y +y (2.48) trong đó, x i = [ x i y i ], i =1,2,3, tương ứng là tọa độ 3 nút của tam giác
Trong phương pháp CS-DSG3, véc tơ chuyển vị d eO tại trọng tâm O được coi là trung bình đơn giản của ba véc tơ chuyển vị d e1, d e2 và d e3 của ba nút.
Trên tam giác con ∆ 1 đầu tiên (tam giác O-1-2 ), chúng ta xây dựng một hàm xấp xỉ tuyến tính u e ∆ 1 =[ u e v e w e β ex β ex β ez ] T như sau
∆ d d d d là véc tơ các bậc tự do nút của tam giác con ∆1 và
N chứa các hàm dạng trong hệ tọa độ tự nhiên xác định bởi phương trình (2.36)
Trọng tâm Tam giác con Độ cong của mặt võng κ ∆ 1 , biến dạng cắt γ ∆ 1 và biến dạng màng m 1 ε ∆ trong tam giác con ∆ 1 thu được bởi các công thức sau
d (2.53) trong đó, b ∆ 1 , s ∆ 1 và b m ∆ 1 , tương ứng, được tính tương tự như B b , S và B m của phương pháp DSG3 trong phương trình (2.38), (2.40) và (2.42) nhưng với 2 sự thay đổi sau:
= x , i =1,2,3, được thay thế bằng x O , x 1 , x 2 ; và 2) Diện tích A e được thay thế bởi diện tích A ∆ 1 của tam giác con ∆1
Thay thế d eO trong phương trình (2.49) vào các phương trình (2.51), (2.52) và (2.53), sau đó sắp xếp lại ta được
Tương tự, cho tam giác con thứ hai ∆2 (tam giác O-2-3 ), độ cong của mặt võng
∆ 2 κ , biến dạng cắt γ ∆ 2 và biến dạng màng m 2 ε ∆ được biểu diễn bằng
∆ = ∆ ∆ ∆ ε b b b tương ứng, được tính tương tự như B b , S và B m của phương pháp DSG3 trong phương trình (2.38), (2.40) và (2.42) nhưng với 2 sự thay đổi sau: 1) Tọa độ của 3 nút
Trong bài viết này, các ký hiệu x, i = 1, 2, 3 được thay thế bằng x O, x 2, x 3 Diện tích A e cũng được thay thế bằng diện tích A ∆ 2 của tam giác con ∆2 Đối với tam giác con thứ ba ∆3 (tam giác O-3-1), các thông số như độ cong của mặt võng κ ∆ 3, biến dạng cắt γ ∆ 3 và biến dạng màng m 3 ε ∆ được biểu diễn một cách rõ ràng.
∆ = ∆ ∆ ∆ b b b b , s ∆ 3 = s 1 ∆ 3 s 2 ∆ 3 s 3 ∆ 3 , và ε m ∆ 3 = b m ∆ 3 1 b m ∆ 3 2 b m ∆ 3 3 tương ứng, được tính tương tự như B b , S và B m của phương pháp DSG3 trong phương trình (2.38), (2.40) và (2.42) nhưng với 2 sự thay đổi sau: 1) Tọa độ của 3 nút
= x , i =1,2,3, được thay thế bằng x O , x 3 , x 1 ; và 2) Diện tích A e được thay thế bởi diện tích A ∆ 3 của tam giác con ∆3
Áp dụng toán tử mềm hóa biến dạng dựa trên phần tử con trong phương pháp CS-FEM, các biến dạng uốn κ ∆ 1, κ ∆ 2, κ ∆ 3, biến dạng cắt γ ∆ 1, γ ∆ 2, γ ∆ 3, và biến dạng màng m 1 ε ∆ , ε m ∆ 2, ε m ∆ 3 sẽ được sử dụng để tạo ra các biến dạng uốn trơn κ e, biến dạng cắt trơn γ e và biến dạng màng trơn ε me trên phần tử tam giác Ω e.
= ∫ Φ Ω =∑ ∫ Φ Ω ε ε x ε x (2.65) với Φ e ( ) x là hàm làm trơn và thõa mãn tính chất đơn vị ( )d 1 e e
∫ x Áp dụng hàm trơn hằng như sau
∉Ω x x x (2.66) với A e là diện tích của phần tử tam giác, biến dạng uốn trơn κ e , biến dạng cắt trơn γ e và biến dạng màng trơn ε me trong phương trình (2.63), (2.64) và (2.65) trở thành
Bằng cách thay thế các phương trình (2.54), (2.57) và (2.60) vào phương trình (2.67), biến dạng uốn trơn κ e được biểu diễn qua công thức e = e κ Bd (2.70), trong đó B là ma trận gradient biến dạng uốn trơn được xác định theo biểu thức đã nêu.
Thay thế các phương trình (2.55), (2.58) và (2.61) vào phương trình (2.68) cho phép biểu diễn biến dạng cắt trơn γ e bằng công thức e = e γ Sd (2.72) Trong đó, S là ma trận gradient của biến dạng cắt trơn, được xác định theo biểu thức đã cho.
Thay thế các phương trình (2.56), (2.59) và (2.62) vào phương trình (2.69) cho phép biểu diễn biến dạng màng trơn ε me dưới dạng me = m e ε B d (2.74), trong đó B m là ma trận gradient biến dạng của màng trơn được xác định bởi biểu thức đã cho.
Ma trận độ cứng tổng thể K của phương pháp CS-DSG3 được lắp ráp bởi quá trình tương tự như trong phương pháp phần tử hữu hạn
K K (2.76) với K e là ma trận độ cứng phần tử trơn được tính theo công thức d ˆ d d e e e
Ma trận độ cứng phần tử trơn được ký hiệu là k, tính trong hệ tọa độ địa phương xyz Ma trận chuyển đổi tọa độ T được tính theo công thức (2.45).
Trong CS-DSG3, trọng tâm của tam giác chỉ được sử dụng để thiết lập công thức ma trận độ cứng phần tử Công thức ma trận độ cứng cuối cùng, được thể hiện trong phương trình (2.77), thay thế véc tơ chuyển vị nút của trọng tâm tam giác bằng véc tơ chuyển vị của ba đỉnh nút Điều này cho thấy không có bậc tự do nào bổ sung cho trọng tâm, dẫn đến ẩn số nút trong CS-DSG3 tương tự như ẩn số nút trong DSG3 trên cùng một lưới chia.
Từ các phương trình đã nêu, ma trận độ cứng trong phương pháp CS-DSG3 không phụ thuộc vào thứ tự các nút, đảm bảo rằng lời giải luôn ổn định khi thứ tự các nút thay đổi Hơn nữa, hạng của phần tử CS-DSG3 tương tự như phần tử DSG3, giúp duy trì tính ổn định theo thời gian.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHẦN TỬ 3D: FS-FEM-T4
P hần tử tứ diện cho miền lỏng FEM-T4
Trong nghiên cứu miền lỏng Ω f, biên giữa miền lỏng và miền rắn được gọi là biên tương tác, ký hiệu là ∂Ω sf Ngoài ra, miền lỏng còn có hai biên khác: biên áp suất, ký hiệu là p = p trên ∂Ω p, và biên gradient của áp suất theo hướng pháp tuyến n f ∇ = p f trên biên.
Mô hình miền lỏng được mô tả trong Hình 3.1, trong đó ứng xử của chất lỏng được xác định bởi phương trình sóng Chất lỏng trong mô hình này được giả định là không nhớt, không xoáy và có sự dịch chuyển nhỏ Các phương trình chính và điều kiện biên tổng quát được trình bày trong tài liệu [7, 8].
2 trong trê trên trên biên f p f z s sf p q c p c t t p p n p f
(3.1) và các điều kiện ban đầu
Dạng yếu của phương trình vi phân được hình thành bằng cách nhân công thức đầu tiên trong phương trình (3.1) với hàm trọng số ν f ∈ H 1 0, sau đó thực hiện tích phân trên miền lỏng f.
Áp suất động học p(t) được xác định trong phương trình ∫ (3.2), trong đó q(t) là khối lượng chất lỏng được thêm vào trên một đơn vị thể tích trong một khoảng thời gian nhất định Vận tốc âm thanh trong chất lỏng được ký hiệu là c0, và gradient của biến cũng đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến áp suất và chuyển động của chất lỏng.
∂ ∂ ∂ f = n fx n fy n fz n là véc tơ pháp tuyến trên biên hướng ra từ miền lỏng
Sử dụng lý thuyết Green-Gauss đối với tích phân thứ hai trong phương trình (3.2), dạng yếu có thể viết lại như sau
Do ∂Ω = ∂Ω ∪ ∂Ω ∪ ∂Ω f sf p z , phương trình (3.3) được viết lại như sau
(3.4) Áp dụng quan hệ, n f ∇ =p w trên biên ∂Ω z trong phương trình (3.1) và ν f =0 trên biên ∂Ω p ( vì ν f ∈H 1 0 ), chúng ta được phương trình có dạng
Giả sử miền lỏng Ω f được phân chia thành N nút và N phần tử khối tứ diện, trường áp suất p∈H 1 và hàm kiểm tra trọng số ν f ∈H 1 0 có thể được xấp xỉ một cách chính xác.
= p chứa các giá trị áp suất xấp xỉ tại các nút;
T f = c f c f c fN c chứa giá trị hàm kiểm tra được chọn tại các nút; và
1 2 no d f = N f N f N fN f Ν chứa hàm dạng phần tử hữu hạn tại các nút của miền lỏng Đầu tiên, bằng cách chọn c f =[ 1 0 0 ] T , chúng ta nhận được ν f =N f 1
Tương tự, bằng cách chọn N no f d véc tơ độc lập tuyến tính c f sao cho d d
= N chúng ta có được công thức phần tử hữu hạn cho miền lỏng từ phương trình (3.5) như sau
(3.7) và hệ phương trình chính cho miền lỏng có thể viết lại như sau f + f = + q s
Trong công thức (3.9), f s thể hiện lực tác dụng của miền rắn trên biên tương tác giữa miền rắn và miền lỏng; f q thể hiện lực bên trong miền lỏng.
P hần tử tứ diện được làm trơn cho miền lỏng FS-FEM-T4
Phương pháp FS-FEM-T4, tương tự như FEM-T4, cũng sử dụng lưới phần tử khối tứ diện và hàm dạng tương tự, đảm bảo tính liên tục của trường áp suất trên toàn miền bài toán Sự khác biệt chính giữa hai phương pháp là FEM-T4 tính ma trận độ cứng dựa trên phần tử, trong khi FS-FEM-T4 tính ma trận độ cứng dựa trên miền trơn liên kết với các mặt.
Trong phương pháp FS-FEM-T4, ma trận độ cứng được làm trơn, ký hiệu là K f, đóng vai trò quan trọng Phương pháp này rời rạc hóa miền bài toán tương tự như FEM chuẩn, bao gồm N n nút và N e phần tử tứ diện Kỹ thuật trơn hóa biến dạng được áp dụng thông qua các miền trơn xây dựng, giúp cải thiện độ chính xác và hiệu quả của phân tích.
Trong quá trình tích phân dựa trên bề mặt, miền lỏng Ω được chia thành các miền trơn Ω ( ) f k, liên kết với các bề mặt của các phần tử tứ diện.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các phần tử khối tứ diện trong lưới phần tử hữu hạn, với Ω = Ω và Ω ∩ Ω ( ) f i ( ) f j = ∅ cho i≠ j, trong đó N f face là tổng số mặt Đối với các phần tử này, miền trơn Ω ( ) f k liên kết với mặt k được hình thành bằng cách kết nối 3 nút của mặt với 2 trọng tâm của 2 phần tử tứ diện liền kề, như minh họa trong Hình 3.2.
Hai phần tử khối tứ diện liền kề và miền trơn Ω ( ) f k được kết nối với mặt chung k trong phương pháp FS-FEM-T4 Toán tử làm trơn dựa trên mặt được áp dụng, trong đó gradient áp suất ∇p trong phương trình (3.5) được sử dụng để tạo ra gradient áp suất trơn ∇p ( ) k trên miền trơn Ω ( ) f k liên kết với mặt k.
∇ = ∫ ∇ Φ x Ω (3.10) với Φ ( ) f k ( ) x là hàm làm trơn và thõa mãn tính chất đơn vị
∫ x (3.11) Áp dụng hàm trơn hằng như sau
: nút phần tử : trọng tâm phần tử (H,I)
Mi ền trơn Ω ( ) k của 2 tứ diện kết hợp liên kết với mặt chung k
Phần tử 2 ( khối tứ diện BCDE)
Phần tử 1 ( khối tứ diện ABCD)
= ∫ Ω là thể tích của miền trơn Ω ( ) f k và được tính như sau
= ∫ Ω = ∑ (3.13) trong đó N ( ) f k là tổng số phần tử xung quanh mặt k (N ( ) f k =1 cho các mặt biên, và
N f =2 cho các mặt bên trong) V f ( ) j là thể tích của phần tử thứ j xung quanh mặt k.
Trong phương pháp FS-FEM-T4, hàm áp suất thử ( )p x giống như phương trình (3.6) của phương pháp FEM và vì vậy, các véc tơ lực f s và f q trong phương pháp FS-
FEM-T4 cũng được tính tương tự như trong phương pháp FEM-T4
Thế ( )p x của phương trình (3.6) vào phương trình (3.10), gradient áp suất được làm trơn ∇p ( ) k trên miền trơn Ω ( ) f k có thể được viết lại theo dạng ma trận của áp suất nút
Công thức ∇ = ∑ B x p (3.14) mô tả tổng số nút của các phần tử có cùng mặt chung k, trong đó N n ( ) k = 4 cho các mặt biên và N n ( ) k = 5 cho các mặt bên trong Ma trận gradient áp suất trơn B fI ( x k ) trên miền trơn Ω ( ) f k được tính toán dựa trên các yếu tố này.
B x B (3.15) trong đó B j là ma trận gradient áp suất tương thích tiêu chuẩn của phần tử thứ j xung quanh mặt k, được tính bởi công thức
Ma trận độ cứng được trơn hóa K f của hệ được lắp ráp bởi quá trình tương tự như trong phương pháp FEM-T4
K K (3.17) với K k fIJ là ma trận độ cứng phần tử trơn trên miền Ω k f và được tính bởi
0 k d 0 f k T T k fI fJ fI fJ fIJ c c V f
CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHÂN TÍCH TƯƠNG TÁC RẮN – LỎNG
Mô hình bài toán tương tác rắn – lỏng
Trong bài toán tương tác giữa rắn và lỏng, miền lỏng được ký hiệu là Ω f và miền rắn là Ω s Biên giữa hai miền này được gọi là biên tương tác, ký hiệu là ∂Ω sf Ngoài ra, miền lỏng còn có biên áp suất p = p trên ∂Ω p và biên gradient áp suất theo hướng pháp tuyến n f ∇ = p f trên biên ∂Ω z Đối với miền rắn, có biên chuyển vị u s = u trên ∂Ω u và biên lực n q s s = t s trên ∂Ω t.
Hình 4.1 Mô hình của bài toán tương tác rắn - lỏng
Trong nghiên cứu hệ tương tác rắn - lỏng, ứng xử của miền rắn được mô tả bằng phương trình vi phân động học trong môi trường liên tục với chuyển vị nhỏ, trong khi ứng xử của chất lỏng được biểu diễn qua phương trình sóng, giả định chất lỏng không nhớt, không xoáy và có dịch chuyển nhỏ Điều kiện biên giữa miền rắn và miền lỏng yêu cầu sự liên tục về chuyển vị và áp suất giữa hai miền Miền tương tác được trình bày như sau.
Miền tương tác s trê trê s n f n sf n sf n p n
Phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp cho hệ tương tác vỏ – chất lỏng
Tại biên giữa miền rắn và miền lỏng, ký hiệu ∂Ω sf, các hạt chất lỏng và rắn chuyển động đồng thời theo phương pháp tuyến của biên tương tác Các véc tơ pháp tuyến của biên được xác định là n=n x n y n z = n fx n fy n fz = −n sx −n sy −n sz Điều kiện biên liên tục theo chuyển vị được diễn đạt lại như sau: sf sf s ∂Ω = f ∂Ω u u hoặc trên s = f ∂Ω sf nu nu Đồng thời, điều kiện liên tục theo biến áp suất cũng được viết lại một cách tương ứng.
Trong phương trình (4.4), với u f = [u fx, u fy, u fz, β fx, β fy, β fz] T đại diện cho chuyển vị của các hạt chất lỏng, p là áp suất chất lỏng và q s là lực phân bố trên một đơn vị diện tích Bằng cách áp dụng phương trình (4.4), véc tơ lực f f trong phương trình (2.29) có thể được biểu diễn thông qua áp suất chất lỏng.
Hiện tượng kết hợp trong miền lỏng được mô tả qua thành phần lực f s trong phương trình (3.8) Để hiểu rõ hơn, cần áp dụng mối quan hệ giữa áp suất và gia tốc trong miền lỏng.
Trong phương trình (4.3), điều kiện biên liên tục chuyển vị được thể hiện qua ∂ u (4.6) Lực tác động lên chất lỏng có thể được mô tả thông qua thành phần gia tốc của miền rắn.
Khi đó, thành phần lực f s trong phương trình (3.8), mô tả hiện tượng tương tác có thể được viết lại như sau
Chúng ta sẽ xây dựng một ma trận kết hợp không gian để mô tả sự tương tác giữa hai miền rắn và lỏng, được gọi là ma trận d sf.
(4.9) theo đó các lực miêu tả sự tương tác f f trong công thức (4.5) và f s trong công thức (4.8) có thể được viết lại như sau f = f f Hp (4.10)
Kết hợp các phương trình (2.29), (2.32), (3.8), (4.10) và (4.11), phương trình tương tác rắn - lỏng có thể được viết lại bằng một hệ phương trình không đối xứng như sau
4.3 THÀNH LẬP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN KẾT HỢP CS-DSG3/FS-FEM CHO BÀI TOÁN TƯƠNG TÁC VỎ - CHẤT LỎNG
Sự khác biệt giữa phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và phương pháp phần tử hữu hạn trơn (FS-FEM-T4) nằm ở cách tính toán ma trận độ cứng Trong FEM, ma trận độ cứng K f và K s cho miền lỏng và miền rắn được xác định dựa trên các phần tử Ngược lại, trong FS-FEM-T4, ma trận độ cứng trơn K f cho miền lỏng được tính từ miền trơn liên kết với các mặt, trong khi phương pháp CS-DSG3 tính toán ma trận độ cứng K s cho miền rắn dựa trên miền trơn liên kết với các phần tử con Dựa vào phương trình (4.12), hệ phương trình cho bài toán tương tác rắn-lỏng sử dụng phương pháp kết hợp CS-DSG3/FS-FEM được xác định như sau.
(4.13) trong đó K f và K s trong phương trình (4.12) đã được thay thế tương ứng bởi K f trong phương trình (3.17) và K s trong phương trình (2.76)
4.4 PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC BÀI TOÁN TƯƠNG TÁC VỎ - CHẤT LỎNG
Phương pháp CS-DSG3 và FS-FEM-T4 là những phương pháp ổn định cho cả không gian và thời gian, rất phù hợp để phân tích dao động tự do cũng như dao động cưỡng bức.
Nếu các lực giảm chấn được đưa vào phương trình cân bằng động học, hệ phương trình (4.13) cho các bài toán tương tác rắn - lỏng sử dụng phương pháp kết hợp CS-DSG3/FS-FEM sẽ được mô tả như sau.
(4.15) trong đó C là ma trận giảm chấn Sử dụng giảm chấn Rayleigh, ma trận C là tổ hợp tuyến tính của hai ma trận K và M như sau α β
C M K (4.16) với α và β là các hệ số giảm chấn Rayleigh
Nếu không xét thành phần giảm chấn và thành phần lực, phương trình (4.14) được rút gọn thành phương trình vi thuần nhất
Bằng cách xem các dao động là điều hòa với tần số gốc ω có dạng
.e i t ω x x (4.18) thì phương trình dao động tự do (4.17) dẫn đến bài toán trị riêng có dạng
Phương trình (K − ω²M)x = 0 mô tả biên độ chuyển vị nút của hệ kết cấu khi dao động và xác định dạng dao động, trong đó x là biên độ, ω là tần số góc riêng của kết cấu Độ lớn của tần số riêng của kết cấu được xác định bởi các yếu tố cụ thể trong hệ thống.
2 f ω = π (4.20) với f là tần số dao động của hệ
Phương trình (4.19) là một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, và nó chỉ có nghiệm không tầm thường đối với x khi định thức của ma trận (K − ω²M) bằng 0.
Điều kiện K M (4.21) dẫn đến một phương trình bậc n đối với ω², cho ra n nghiệm thực dương, tương ứng với n giá trị dương của tần số góc ω Những giá trị này chính là n tần số riêng ω i Từ đó, chúng ta có thể xác định n véc tơ riêng x i bằng cách thay thế giá trị ω i vào phương trình (4.19) và giải để tìm x i Các véc tơ x i này biểu thị biên độ dao động của các nút, được gọi là dao động riêng (mode shape) của kết cấu tại tần số riêng tương ứng ω i.
4.5 SƠ ĐỒ KHỐI CHƯƠNG TRÌNH GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA HỆ KẾT HỢP
Hình 4.2 Sơ đồ khối chương trình xác định tần số dao động tự do của bài toán tương tác vỏ - chất lỏng.
Mô phỏng bài toán bằng Ansys
- Xây dựng mô hình, chia lưới phần tử lỏng
- Xuất tọa độ nút và phần tử lỏng sang Matlab
Phân tích bài toán bằng Matlab
- Đọc dữ liệu phần tử, nút lỏng từ Ansys
- Xây dựng lại mô hình khối lỏng 3D
- Xây dựng mô hình miền rắn 2D từ biên lỏng
Tính toán phần tương tác
- Xác định phần tử và nút tham gia tương tác
- Tính ma trận tương tác H
- Các tần số dao động riêng của hệ
- Mode dao động riêng của hệ
Phân tích động lực học bài toán tương tác vỏ – chất lỏng
Phương pháp CS-DSG3 và FS-FEM-T4 đảm bảo sự ổn định cả về không gian và thời gian, làm cho chúng trở thành lựa chọn lý tưởng cho các bài toán phân tích dao động tự do cũng như phân tích dao động cưỡng bức.
Nếu các lực giảm chấn được đưa vào phương trình cân bằng động học, hệ phương trình (4.13) cho các bài toán tương tác rắn - lỏng sử dụng phương pháp kết hợp CS-DSG3/FS-FEM sẽ được mô tả như sau.
(4.15) trong đó C là ma trận giảm chấn Sử dụng giảm chấn Rayleigh, ma trận C là tổ hợp tuyến tính của hai ma trận K và M như sau α β
C M K (4.16) với α và β là các hệ số giảm chấn Rayleigh
Nếu không xét thành phần giảm chấn và thành phần lực, phương trình (4.14) được rút gọn thành phương trình vi thuần nhất
Bằng cách xem các dao động là điều hòa với tần số gốc ω có dạng
.e i t ω x x (4.18) thì phương trình dao động tự do (4.17) dẫn đến bài toán trị riêng có dạng
Phương trình (K − ω²M)x = 0 (4.19) mô tả biên độ chuyển vị của các nút trong hệ kết cấu khi dao động, từ đó xác định dạng dao động Tần số góc riêng ω của kết cấu quyết định độ lớn của tần số riêng, ảnh hưởng đến hành vi động lực học của hệ thống.
2 f ω = π (4.20) với f là tần số dao động của hệ
Phương trình (4.19) là một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, và nó chỉ có nghiệm không tầm thường đối với x khi định thức của ma trận (K - ω²M) bằng không.
Điều kiện K M (4.21) tạo ra một phương trình bậc n đối với ω², dẫn đến n nghiệm thực dương, tương ứng với n giá trị tần số góc ω Những giá trị này chính là n tần số riêng ω i Từ đó, ta có thể tìm n véc tơ riêng x i bằng cách thay giá trị ω i vào phương trình (4.19) và giải để có x i Các véc tơ x i này biểu diễn biên độ dao động của các nút, được gọi là dao động riêng (mode shape) của kết cấu tại tần số riêng ω i.
4.5 SƠ ĐỒ KHỐI CHƯƠNG TRÌNH GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA HỆ KẾT HỢP
Hình 4.2 Sơ đồ khối chương trình xác định tần số dao động tự do của bài toán tương tác vỏ - chất lỏng.
Mô phỏng bài toán bằng Ansys
- Xây dựng mô hình, chia lưới phần tử lỏng
- Xuất tọa độ nút và phần tử lỏng sang Matlab
Phân tích bài toán bằng Matlab
- Đọc dữ liệu phần tử, nút lỏng từ Ansys
- Xây dựng lại mô hình khối lỏng 3D
- Xây dựng mô hình miền rắn 2D từ biên lỏng
Tính toán phần tương tác
- Xác định phần tử và nút tham gia tương tác
- Tính ma trận tương tác H
- Các tần số dao động riêng của hệ
- Mode dao động riêng của hệ
Sơ đồ khối chương trình giải bài toán dao động tự do của hệ kết hợp
Trong chương này, chúng tôi trình bày các ví dụ phân tích dao động của ba loại bể chứa nước: bể hình trụ, bể hình cầu và bể hình nón cụt Phương pháp kết hợp CS-DSG3/FS-FEM được áp dụng để nghiên cứu tương tác giữa vỏ và chất lỏng trong các cấu kiện này.
Bài viết trình bày các ví dụ số được tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab, trong đó kết quả từ chương trình lập trình được so sánh với kết quả từ các phương pháp kết hợp khác và phần mềm Ansys.
![4.1 MÔ HÌNH BÀI TOÁN TƯƠNG TÁC RẮN – LỎNG [5, 7, 8, 13, 14] - Phân tích dao động tự do của vỏ mindlin có xét đến tương tác của chất lỏng bằng phương pháp kết hợp CS DSG 3FS FEM](https://media.store123doc.com/figures/002/699/mo-hinh-toan-tuong-tac-ran-long-2699354.png)
