Biến dạng lượng tử tổng quát khi q bằng căn đơn vị

LỜI CẢM ƠN Đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan, người đã hướng dẫn tận tình tôi hoàn thành luận văn này. Cô đã cung cấp tài liệu và truyền thụ cho tôi những kiến thức mang tính khoa học và hơn nữa là phương pháp nghiên cứu khoa học. Sự quan tâm, bồi dưỡng của cô đã giúp tôi tự tin và vượt qua những khó khăn bỡ ngỡ trong quá trình hoàn thiện luận văn cũng như trong quá trình học tập và nghiên cứu của tôi. Đối với tôi, cô luôn luôn là tấm gương sáng về tinh thần làm việc không mệt mỏi, lòng hăng say với khoa học, lòng nhiệt thành quan tâm bồi dưỡng thế hệ trẻ. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại phòng sau Đại học, Khoa Vật lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua. Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Trần Thị Huyền Mai LỜI CAM ĐOAN Tên tôi là: Trần Thị Huyền Mai, học viên cao học khóa 2010 - 2012 chuyên ngành Vật lí lí thuyết và Vật lí toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tôi xin cam đoan đề tài: “Biến dạng lượng tử tổng quát khi q bằng căn đơn vị” là công trình nghiên cứu, thu thập của riêng tôi. Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác. Các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Nếu có gì không trung thực trong luận văn, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Trần Thị Huyền Mai MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lí do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2 5. Phương pháp nghiên cứu 2 6. Cấu trúc luận văn 2 NỘI DUNG 3 Chƣơng 1: Dao động tử biến dạng tổng quát 3 1.1 Dao động tử biến dạng tổng quát 3 1.2 Dao động tử q – biến dạng 10 1.3 Phân bố thống kê của dao động tử q – biến dạng 32 Chƣơng 2: Tính phi tuyến của biến dạng lƣợng tử tổng quát 38 2.1 Tính phi tuyến của biến dạng lượng tử tổng quát 38 2.2 Phương trình sóng biến dạng tổng quát 48 Chƣơng 3: Biến dạng lƣợng tử tổng quát khi q bằng căn đơn vị 50 3.1 Biến dạng lượng tử tổng quát khi q bằng căn đơn vị 50 3.2 Sự gián đoạn của không gian pha cho dao động tử biến dạng tổng quát với q bằng căn đơn vị 56 KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Vật lý học được xem là ngành khoa học cơ bản chi phối tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác, là một trong những môn khoa học tự nhiên nghiên cứu những quy luật đơn giản nhất và tổng quát nhất của các hiện tượng tự nhiên, nghiên cứu những tính chất, cấu trúc của vật chất và những quy luật của sự vận động của vật chất. Nhìn vào lịch sử vật lý, ta thấy rằng các nhà khoa học đã nhiều lần biến dạng các quy luật vật lý cơ bản để tạo nên các lý thuyết mới đáp ứng nhu cầu nghiên cứu. Lý thuyết mới là tổng quát hơn và chứa lý thuyết ban đầu như là một trường hợp giới hạn khi tham số biến dạng tiến đến một giá trị đặc biệt. Trong những năm gần đây, dao động tử biến dạng lượng tử đã thu hút được sự quan tâm đặc biệt của nhiều nhà vật lý bởi những ứng dụng của chúng như nghiên cứu nghiệm của phương trình Yang - Bascter lượng tử, lý thuyết trường Conformal hữu tỉ, lý thuyết trường 2 chiều với những thống kê phân số, lý thuyết siêu đối xứng Đặc biệt người ta thấy nghiên cứu biến dạng lượng tử tỏ ra rất hữu hiệu khi nghiên cứu quang lượng tử, sự rung động của hạt nhân nguyên tử, vật lý của vật chất đông đặc. Các mô hình với nhóm lượng tử rất lý thú về mặt nhận thức, nhưng lại chưa đủ các kết quả thực nghiệm để khảo sát hệ quả biến dạng q trong các quá trình vật lý thực tế. Hiện nay Kobayshi và Suzuki đã trình bày cơ học lượng tử trên một vòng tròn với một phép biến dạng q và đã chỉ ra khả năng rằng chúng ta có thể tìm thấy ý nghĩa vật lý của vài nhóm lượng tử khi tham số biến dạng q bằng căn đơn vị. Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài: “Biến dạng lượng tử tổng quát khi q bằng căn đơn vị”. 2 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề tài: “Biến dạng lượng tử tổng quát khi q bằng căn đơn vị” là nghiên cứu về dao động tử biến dạng tổng quát, tính phi tuyến của biến dạng lượng tử tổng quát, biến dạng lượng tử tổng quát khi q bằng căn đơn vị. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về dao động tử lượng tử, biến dạng q, biến dạng tổng quát, đặc biệt là nghiên cứu dao động tử biến dạng tổng quát khi q bằng căn đơn vị. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các dao động tử lượng tử, đặc biệt là dao động tử biến dạng tổng quát khi q bằng căn đơn vị. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu của đề tài sử dụng 3 phương pháp chính: - Phương pháp lý thuyết nhóm đối xứng - Phương pháp giải tích toán học - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử 6. Cấu trúc luận văn Chương 1: Dao động tử biến dạng tổng quát Chương 2: Tính phi tuyến của biến dạng lượng tử tổng quát Chương 3: Biến dạng lượng tử tổng quát khi q bằng căn đơn vị 3 NỘI DUNG CHƢƠNG I: DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT Trong chương này, chúng tôi sẽ viết tổng quan về các dao động tử lượng tử, dao động tử biến dạng tổng quát, dao động tử q – biến dạng. Đồng thời đưa ra các vấn đề cơ bản của lý thuyết biến dạng. 1.1 Dao động tử biến dạng tổng quát 1.1.1 Dao động tử biến dạng tổng quát Biến dạng tổng quát của dao động tử điều hòa có thể được cho bởi hệ thức giao hoán cơ bản:   aa g a a ,   (1.1.1) trong đó a, a  là các toán tử Hermitic liên hợp. Trong đại số của dao động tử bình thường, hàm g(x) được định nghĩa như sau:   g x 1 x. (1.1.2) Khi đó sử dụng (1.1.1) và (1.1.2) ta thu được hệ thức giao hoán: a,a aa a a 1.         (1.1.3) Toán tử số dao động tử N có dạng: N a a.   Kết hợp với (1.1.3) ta có:     N,a a a,a a a,a a a ,a a,            N,a a a,a a a,a a a ,a a .                             4 Vậy toán tử số dao động tử N được định nghĩa thông qua hệ thức giao hoán:   N,a a , N,a a.      (1.1.4) Giả sử toán tử số dao động tử N được biểu diễn thông qua các toán tử sinh, hủy theo hệ thức:   N f a a .   (1.1.5) Chúng ta sẽ tìm sự liên hệ giữa các hàm   fx và   gx                   n n n nn n n a, a a a a a a a a aa a a a a g a a a a a,            (1.1.6) Tương tự, ta cũng thu được:                   n n n nn n n a , a a a a a a a a aa a a a a a g a a a a .                      (1.1.7) Các phương trình (1.1.6) và (1.1.7) dẫn đến:           a,f a a f g a a f a a a,       (1.1.8)           a ,f a a a f g a a f a a .           (1.1.9) Lưu ý các công thức (1.1.8) và (1.1.9) chúng ta thấy nếu chọn hàm:       f g x 1 f x . (1.1.10) thì phương trình (1.1.4) và (1.1.5) thỏa mãn. 5 Như vậy, từ phương trình (1.1.10) nếu biết hàm bổ trợ   gx thì hàm cơ sở   fx sẽ hoàn toàn được xác định. Và đó là một hàm giải tích thực xác định trên trục thực (dương). Nếu gọi   Fx là hàm ngược của hàm   fx , tức là: 1 Ff   hay     F f x x. (1.1.11) thì hàm   gx được xác định thông qua hàm   fx như sau:       g x F 1 f x . (1.1.12) Trong hệ thức (1.1.10), nếu ta thay x bằng   aa  thì với định nghĩa (1.1.1), biến dạng tổng quát của dao động tử sẽ được biểu diễn thông qua hệ thức giao hoán:     f aa f a a 1.   (1.1.13) Đây là hệ thức giao hoán biến dạng của hệ thức (1.1.3). Trong hệ thức giao hoán biến dạng (1.1.13) thì hàm   fx và hàm   Fx được gọi là hàm cơ sở (hàm cấu trúc) của lý thuyết biến dạng còn hàm   gx được gọi là hàm bổ trợ. Ví dụ một số dạng hàm cấu trúc   Fx thường gặp: - Hàm cấu trúc của dao động tử điều hòa:   F x = x. - Hàm cấu trúc của dao động tử điều hòa q – biến dạng:   xx 1 qq F x . qq      - Hàm cấu trúc của dao động tử điều hòa biến dạng:   x q1 F x . q1    6 1.1.2 Các vấn đề cơ bản của lý thuyết biến dạng 1.1.2.1 Tác dụng của toán tử  a, a lên vector riêng của toán tử số N Như mục trên đã nói, giả sử   fx là hàm thực và a, a  là 2 toán tử liên hợp Hermitic thỏa mãn (1.1.13):     f aa f a a 1,   Khi đó toán tử   N f a a   liên hệ với các toán tử a, a  theo hệ thức giao hoán sau:   a,N a, a ,N a .      Gọi n là cơ sở các vector riêng của toán tử số dao động tử N: N n n n . (1.1.14) Các phương trình (1.1.4) ngụ ý rằng các toán tử a , a  là các toán tử sinh, hủy   a n n n 1 , (1.1.15)   a n n 1 n 1 .     (1.1.16) trong đó   n là 1 hàm số của n . Sử dụng các phương trình (1.1.1), (1.1.15) và (1.1.16) ta có:     aa n a n 1 n 1 n 1 n ,       (1.1.17)     a a n a n n 1 n n ,     (1.1.18) đồng thời:         aa n g a a n g a a n g n n .     (1.1.19) Từ các phương trình (1.1.17) và (1.1.19) ta có:       n 1 g n , 7 hay:         f n 1 f g n . (1.1.20) So sánh với công thức (1.1.10) ta có:       f n 1 1 f n .   Do 1 F f   nên từ đây ta có thể kết luận:     n F n . (1.1.21) Với giả thiết rằng   F 0 0, (1.1.22) ta thu được:   00 hay a 0 0. (1.1.23) 1.1.2.2 Cấu trúc đại số Lie biến dạng Từ phương trình (1.1.16) ta có vector trạng thái riêng của toán tử số   N f a a   được biểu diễn bởi công thức:     n 1 n a 0 , n!   (1.1.24) trong đó ta định nghĩa:       mn k 1 k 1 n ! k F k .    (1.1.25) Các vector trạng thái riêng này cũng là các vector trạng thái riêng của toán tử năng lượng:   A H a a aa , 2   (1.1.26) với các trị riêng tương ứng là:             N AA E n 1 n F n 1 F n . 22       (1.1.27) [...]... q  k  k  1 q  a k q N q  a  k  1 q  qa  a  k k q q aa  k q a  k  1 q  k q  q  k k  1 q  q  k q k  1 q  k qk  q k   q  q  k 1 q q  q 1     k  1 q k  1 q Vì n q là vector riêng của N với trị riêng n: Nn Nên  N q q n n n q q   n q n q Kết hợp với phương trình (1.2.17) ta có: a a   N q Xuất phát từ hệ thức (1.2.12) ta có: aa   qa  a  q  N  q. .. c 1 q a q   a 0  cN 1 q c c 1 q aa  0 a  qa a  0   1 q  c q0 0 c  1 1  1 q 1 , Với n  2 :   a a 2 a a  a  2 q  c a qc 1  2 q  c  qc 2   qc 2  a 1  q   cN  2 q c q a  a 1  qa a  1 2   2 q  c q a  2  2 q  ! c q a  2  2 q  ! c q cN q  a   aa  0 2  qc 2   qa a  0 0  qc  q  2 c   2 q 2 , Suy ra: c a a 2   2 q 2 ... là:  n q  qn  q n q  q 1 (1.2.16) 15 Dễ dàng chứng minh được rằng: q aa  n   n q n q , q a a n   n  1 q n q (1.2.17) Với n  0 : a a 0  0 0  0 q 0 q , Với n  1: a a 1  a a  a 1 q a q 1 q a 0  N 1 q aa  0  qa  a  0  a q 0 0  a  0  1 q 1 , Với n  2 :   a a 2 a a  a  2 q q 1a   2 q 1  1   q 1 2   q 1 2  a  2 q qa  a  aa   2 q ! q a ... qa   k q c  k  1 q a a k  c k  q ck  q  k q  k 1  q k  q ck  c   q ck  q k  1   k  1 q k  1 c  q q   Suy ra phương trình (1.2.77) đúng với n  k  1 Vậy phương trình (1.2.77) đúng với mọi n Vì vậy: c a  a   N q , Ta chứng minh: c aa    N  1 q 31 Từ (1.2.71) ta có: c aa   qa  a  q cN  q  N q  q cN q N  q cN q  q cN c q q q N 1  q cN1  q. ..   Q, P      N  1 i q (1.2.27)    N q Toán tử Hamiltonian được biểu diễn qua toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P có dạng: 1 2 1 P  m 2Q 2 2m 2 1    a  a  aa   2 1    N q   N  1 q 2 H  (1.2.28)  Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q được xác định như sau: Hn q   En n q  1   N q   N  1 q n 2  En   q  En n 1   n q   n  1 q 2  q n ... dạng q tổng quát bao gồm các dao động tử biến dạng q thông thường và cả các dao động tử có thống kê vô hạn 28 Hệ các dao động tử boson biến dạng q tổng quát đặc trưng bởi các toán tử sinh, hủy dao động tử a  , a thỏa mãn hệ thức giao hoán: aa   qa a  q cN , (1.2.71) trong đó q, c là các tham số + Với c  1 thì (1.2.71) trở về dạng: aa   qa a  q  N , (1.2.72) Phương trình (1.2.72) là biến dạng. ..  N,a  q N/2    N,a   q N/2  a q N/2  A        (1.2.21) Từ hệ thức giao hoán biến dạng cơ bản (1.2.12) và công thức (1.2.19) ta làm biến đổi sau: aa   qa  a  q  N , q  N/2 AA  q  N/2  qA  q  N/ 2q  N/2 A  q  N , q  N AA   qA  q  N A  q  N , q  N AA   qq  N 1 AA  q N , AA   q 2 A  A  1 18 Ta dẫn tới hệ thức giao hoán kiểu Arik – Coon: AA  q 2A A... q  N  q  N q  q  N q N  q N q N 1  q  N q q  q  q 1 q  q 1  N 1   N  1 q q k q 17 Trong không gian Fock với vector cơ sở là vector trạng thái n a  a   N q , thì: (1.2.18) aa    N  1 q Rất thú vị khi đề cập đến trường hợp q  e q  i m Lúc này  m  0 và không gian Fock bị chia ra thành các không gian con m – chiều không liên kết với nhau bởi toán tử a, a  Mỗi... Khi q  1 thì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q sẽ trở về phổ năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều: En  1  2n  1 n  0, 1, 2 2 (1.2.30) 1.2.1.3 Dao động tử boson biến dạng đa mode Đối với các dao động tử boson biến dạng q với định nghĩa (1.2.12), (1.2.22) việc mở rộng cho hệ đa mode hoàn toàn đơn giản 20 Dao động tử boson biến dạng đa mode được mô tả bởi các toán tử. .. xung 14 Suy ra:  Q   P  2 2 2  4  2n  1  2 2 4 1.2.1.2 Dao động tử boson biến dạng đơn mode Dao động tử boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử hủy và sinh dao động tử a, a  theo hệ thức giao hoán sau: aa   qa a  q  N , (1.2.12) trong đó q là thông số biến dạng, N là toán tử số dao động tử Trong phương trình (1.2.12) nếu q  1 thì trở về hệ thức dao động tử điều hòa (1.2.1): . Biến dạng lượng tử tổng quát khi q bằng căn đơn vị là nghiên cứu về dao động tử biến dạng tổng quát, tính phi tuyến của biến dạng lượng tử tổng quát, biến dạng lượng tử tổng quát khi q bằng. lƣợng tử tổng quát 38 2.1 Tính phi tuyến của biến dạng lượng tử tổng quát 38 2.2 Phương trình sóng biến dạng tổng quát 48 Chƣơng 3: Biến dạng lƣợng tử tổng quát khi q bằng căn đơn vị 50 3.1 Biến. trường lượng tử 6. Cấu trúc luận văn Chương 1: Dao động tử biến dạng tổng quát Chương 2: Tính phi tuyến của biến dạng lượng tử tổng quát Chương 3: Biến dạng lượng tử tổng quát khi q bằng căn đơn