Biến dạng lượng tử tổng quát khi q bằng căn đơn vị

LỜI CẢM ƠN Đầu tiên xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan, người hướng dẫn tận tình hoàn thành luận văn Cô cung cấp tài liệu truyền thụ cho kiến thức mang tính khoa học phương pháp nghiên cứu khoa học Sự quan tâm, bồi dưỡng cô giúp tự tin vượt qua khó khăn bỡ ngỡ trình hoàn thiện luận văn trình học tập nghiên cứu Đối với tôi, cô luôn gương sáng tinh thần làm việc không mệt mỏi, lòng hăng say với khoa học, lòng nhiệt thành quan tâm bồi dưỡng hệ trẻ Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cô công tác phòng sau Đại học, Khoa Vật lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội Giáo sư, Tiến sĩ trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho kiến thức quý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua Cuối cùng, xin chân thành gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện cho suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Trần Thị Huyền Mai LỜI CAM ĐOAN Tên là: Trần Thị Huyền Mai, học viên cao học khóa 2010 - 2012 chuyên ngành Vật lí lí thuyết Vật lí toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin cam đoan đề tài: “Biến dạng lượng tử tổng quát q đơn vị” công trình nghiên cứu, thu thập riêng Các luận cứ, kết thu đề tài trung thực, không trùng với tác giả khác Các thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Nếu có không trung thực luận văn, xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Trần Thị Huyền Mai MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn NỘI DUNG Chƣơng 1: Dao động tử biến dạng tổng quát 1.1 Dao động tử biến dạng tổng quát 1.2 Dao động tử q – biến dạng 10 1.3 Phân bố thống kê dao động tử q – biến dạng 32 Chƣơng 2: Tính phi tuyến biến dạng lƣợng tử tổng quát 38 2.1 Tính phi tuyến biến dạng lượng tử tổng quát 38 2.2 Phương trình sóng biến dạng tổng quát 48 Chƣơng 3: Biến dạng lƣợng tử tổng quát q đơn vị 50 3.1 Biến dạng lượng tử tổng quát q đơn vị 50 3.2 Sự gián đoạn không gian pha cho dao động tử biến dạng tổng quát với q đơn vị 56 KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Vật lý học xem ngành khoa học chi phối tất ngành khoa học tự nhiên khác, môn khoa học tự nhiên nghiên cứu quy luật đơn giản tổng quát tượng tự nhiên, nghiên cứu tính chất, cấu trúc vật chất quy luật vận động vật chất Nhìn vào lịch sử vật lý, ta thấy nhà khoa học nhiều lần biến dạng quy luật vật lý để tạo nên lý thuyết đáp ứng nhu cầu nghiên cứu Lý thuyết tổng quát chứa lý thuyết ban đầu trường hợp giới hạn tham số biến dạng tiến đến giá trị đặc biệt Trong năm gần đây, dao động tử biến dạng lượng tử thu hút quan tâm đặc biệt nhiều nhà vật lý ứng dụng chúng nghiên cứu nghiệm phương trình Yang - Bascter lượng tử, lý thuyết trường Conformal hữu tỉ, lý thuyết trường chiều với thống kê phân số, lý thuyết siêu đối xứng Đặc biệt người ta thấy nghiên cứu biến dạng lượng tử tỏ hữu hiệu nghiên cứu quang lượng tử, rung động hạt nhân nguyên tử, vật lý vật chất đông đặc Các mô hình với nhóm lượng tử lý thú mặt nhận thức, lại chưa đủ kết thực nghiệm để khảo sát hệ biến dạng q trình vật lý thực tế Hiện Kobayshi Suzuki trình bày học lượng tử vòng tròn với phép biến dạng q khả tìm thấy ý nghĩa vật lý vài nhóm lượng tử tham số biến dạng q đơn vị Từ lý trên, chọn đề tài: “Biến dạng lượng tử tổng quát q đơn vị” 2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài: “Biến dạng lượng tử tổng quát q đơn vị” nghiên cứu dao động tử biến dạng tổng quát, tính phi tuyến biến dạng lượng tử tổng quát, biến dạng lượng tử tổng quát q đơn vị Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu dao động tử lượng tử, biến dạng q, biến dạng tổng quát, đặc biệt nghiên cứu dao động tử biến dạng tổng quát q đơn vị Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu dao động tử lượng tử, đặc biệt dao động tử biến dạng tổng quát q đơn vị Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu đề tài sử dụng phương pháp chính: - Phương pháp lý thuyết nhóm đối xứng - Phương pháp giải tích toán học - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử Cấu trúc luận văn Chương 1: Dao động tử biến dạng tổng quát Chương 2: Tính phi tuyến biến dạng lượng tử tổng quát Chương 3: Biến dạng lượng tử tổng quát q đơn vị NỘI DUNG CHƢƠNG I: DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT Trong chương này, viết tổng quan dao động tử lượng tử, dao động tử biến dạng tổng quát, dao động tử q – biến dạng Đồng thời đưa vấn đề lý thuyết biến dạng 1.1 Dao động tử biến dạng tổng quát 1.1.1 Dao động tử biến dạng tổng quát Biến dạng tổng quát dao động tử điều hòa cho hệ thức giao hoán bản: aa   g  a a  , (1.1.1) a, a  toán tử Hermitic liên hợp Trong đại số dao động tử bình thường, hàm g(x) định nghĩa sau: g  x    x (1.1.2) Khi sử dụng (1.1.1) (1.1.2) ta thu hệ thức giao hoán: a,a    aa   a a  Toán tử số dao động tử N có dạng: N  a a Kết hợp với (1.1.3) ta có:  N,a   a a,a   a  a,a   a a  ,a   a,  N,a    a  a,a    a  a,a    a a  ,a    a  (1.1.3) Vậy toán tử số dao động tử N định nghĩa thông qua hệ thức giao hoán:  N,a    a  ,  N,a   a (1.1.4) Giả sử toán tử số dao động tử N biểu diễn thông qua toán tử sinh, hủy theo hệ thức: N  f  a a  (1.1.5) Chúng ta tìm liên hệ hàm f  x  g  x  a,  a  a n   a  a  a n   a a n a     aa   a   a a  a n n   (1.1.6)   g  a a    a a  a, n n Tương tự, ta thu được: a  ,  a  a n   a   a  a n   a  a n a      aa   a    a a  a  n n    (1.1.7)  a  g  a  a    a  a  n n Các phương trình (1.1.6) (1.1.7) dẫn đến:    a,f  a a   f g  a a   f  a a  a,     (1.1.8)  a  ,f  a a   a  f g  a a   f  a a    (1.1.9) Lưu ý công thức (1.1.8) (1.1.9) thấy chọn hàm: f  g  x     f  x  phương trình (1.1.4) (1.1.5) thỏa mãn (1.1.10) Như vậy, từ phương trình (1.1.10) biết hàm bổ trợ g  x  hàm sở f  x  hoàn toàn xác định Và hàm giải tích thực xác định trục thực (dương) Nếu gọi F  x  hàm ngược hàm f  x  , tức là: F  f 1 hay F  f  x    x (1.1.11) hàm g  x  xác định thông qua hàm f  x  sau: g  x   F 1  f  x   (1.1.12) Trong hệ thức (1.1.10), ta thay x  a  a  với định nghĩa (1.1.1), biến dạng tổng quát dao động tử biểu diễn thông qua hệ thức giao hoán: f  aa    f  a a   (1.1.13) Đây hệ thức giao hoán biến dạng hệ thức (1.1.3) Trong hệ thức giao hoán biến dạng (1.1.13) hàm f  x  hàm F  x  gọi hàm sở (hàm cấu trúc) lý thuyết biến dạng hàm g  x  gọi hàm bổ trợ Ví dụ số dạng hàm cấu trúc F  x  thường gặp: - Hàm cấu trúc dao động tử điều hòa: F  x  = x - Hàm cấu trúc dao động tử điều hòa q – biến dạng: F x   qx  qx q  q 1 - Hàm cấu trúc dao động tử điều hòa biến dạng: F x   qx  q 1 1.1.2 Các vấn đề lý thuyết biến dạng 1.1.2.1 Tác dụng toán tử a, a  lên vector riêng toán tử số N Như mục nói, giả sử f  x  hàm thực a, a  toán tử liên hợp Hermitic thỏa mãn (1.1.13): f  aa    f  a a   1, Khi toán tử N  f  a a  liên hệ với toán tử a, a  theo hệ thức giao hoán sau: a, N   a, a  , N   a  Gọi n sở vector riêng toán tử số dao động tử N: N n n n (1.1.14) Các phương trình (1.1.4) ngụ ý toán tử a  , a toán tử sinh, hủy an  a n  n  n  , (1.1.15)  n  1 n  (1.1.16)  n  hàm số n Sử dụng phương trình (1.1.1), (1.1.15) (1.1.16) ta có: aa  n  a a a n  a  n  1 n   n  1 n n  n   n  n , , (1.1.17) (1.1.18) đồng thời: aa  n  g  a a  n  g  a a n   g n  n Từ phương trình (1.1.17) (1.1.19) ta có: n  1  g n  , (1.1.19) hay: f  n  1  f  g  n  (1.1.20) So sánh với công thức (1.1.10) ta có: f  n  1   f  n  Do F  f 1 nên từ ta kết luận:  n   F  n  (1.1.21) F    0, (1.1.22) Với giả thiết ta thu được: 0  hay a  (1.1.23) 1.1.2.2 Cấu trúc đại số Lie biến dạng Từ phương trình (1.1.16) ta có vector trạng thái riêng toán tử số N  f  a a  biểu diễn công thức: n   n ! a   n , (1.1.24) ta định nghĩa: m n  n !   k   F  k  k 1 (1.1.25) k 1 Các vector trạng thái riêng vector trạng thái riêng toán tử lượng: H A  a a  aa   ,  (1.1.26) với trị riêng tương ứng là: EN  A A n  1  n    F  n  1  F  n    2 (1.1.27) 51 1/ Lấy q đơn vị dạng q  e i m  m  2, 3, + Với m  ta có đại số (3.1.1) trở thành:  N,a   a,  N,a    a  , aa   a  a  1, tức đại số boson thông thường + Với m  đại số (3.1.1) trở thành:  N,a   a,  N,a    a  , aa   a  a  1, tức đại số fermion + Như với m bất kỳ, đại số (3.1.1) mô tả hạt Trong (3.1.1), liên hệ a, a  , N là: a a   N , (3.1.2) aa    N  1 Khi q  đại số trở trường hợp boson thông thường, a  toán tử liên hiệp Hermit a Tuy nhiên tham số biến dạng q số phức (căn đơn vị) điều không đại số (3.1.1) không bất biến với phép liên hợp Hermit Ta gọi a * liên hợp Hermit a Khi lấy liên hợp Hermit đại số (3.1.1) ta thu được:  N,a    a  ,  N,  a       a   ,   a  a   ta có N  N  (3.1.3)  f   N  a   a    1,  52 Phương trình (3.1.3) không tương thích với (3.1.1) Do hai toán tử a  , a  đóng vai trò toán tử sinh nên ta thiết lập chuyển đổi từ a  đến a  sau: a   G  N  a  (3.1.4) Bây ta xác định dạng cụ thể G  N  cho a   a   thỏa  mãn đại số (3.1.3) Đưa (3.1.4) vào phương trình cuối (3.1.3), ta thu được: aG   N  a   f   N  a aG   N   1, G   N  1 aG 1  N  a   f   N  G 1  N  a G   N  1 a  1, (3.1.5) G   N  1 G 1  N  1  N  1  f   N  G   N  G 1  N   N   Bây ta xét đại lượng a   a   Sử dụng phương trình (3.1.2)  (3.1.4) ta có: a   a    a  G  N  a    a aG  N    N G  N  ,   (3.1.6) a   a    G  N  a    a    G  N   a a   G  N  N    *  (3.1.7) So sánh (3.1.6) (3.1.7) ta thấy G  N  phải thỏa mãn hệ thức: G  N   N  G  N   N  (3.1.8) Hệ thức truy hồi (3.1.5) lựa chọn lời giải dễ dàng cho G  N  thỏa mãn (3.1.8) G  N    N Khi phương trình (3.1.4) trở thành: a    N a  ,  a    a   N   (3.1.9) Bây ta xét biểu diễn đại số trường hợp q  e i 2 m hay  m  Ta đưa vào hệ vector sở n không gian Fock trạng thái riêng toán tử số N theo hệ thức: 53 N n =n n , n  0, 1, 2, (3.1.10) Như với đại số (2.2.1) ta có: a n  h n  n 1 , (3.1.11) a n  g n  n 1 Giả sử tồn trạng thái thỏa mãn a  ta buộc phải có h    Cho h  n   ( n  1) lưu ý đến (3.1.2), (3.1.11), ta có: aa  n   N  1 n   n  1 n , (3.1.12) aa  n  ag  n  n   g  n  a n  và: (3.1.13)  g  n  h  n  1 n  g  n  n Từ phương trình (3.1.12) (3.1.13) ta thu được:  n  1  g  n  (3.1.14) Vậy toán tử hủy, sinh a, a  thỏa mãn: a  0, a n  n  , (n  1), (3.1.15) a  n   n  1 n  ,  n   Từ giả thiết  m  , ta có: a  m    m m  Suy trạng thái m  trạng thái cao Như phổ trở nên hữu hạn chiều Với m số chiếm lớn  m  1 trạng thái cho phép , , , m  Vì biểu diễn cho toán tử là: a n  n  1, 2,, m  1 ,   n  1 n   n  0, 1, 2,, m  1 ,  n   n  0, 1, 2,, m  1 , a  m  a  n  n  n  a  0, a n  n  a n     n  0, 1, 2,, m  1  0, (3.1.16) 54 2/ Bây thảo luận biểu diễn vô hạn chiều đại số (3.1.1) với q đơn vị Từ đại số (3.1.1) ta biết:  k  1, 2, 3, a  km   (3.1.17) Điều áp đặt làm ta không thu trạng thái km cách tác động toán tử nâng lên km  Như trạng thái cao m  Nhưng đưa vào dạng toán tử sau: a    m A   m! , A  a m (3.1.18) Từ phương trình (3.1.15) (3.1.18) ta có: A  km   k  1  k  1 m , A km   k  1 m , A  (3.1.19) Điều chứng tỏ ta thu trạng thái km cách tác động toán tử nâng A  lên trạng thái  k  1 m Sử dụng phương trình (3.1.19) ta suy ra:  AA   A  A  km   AA  km  A  A km  A  k  1  k  1 m  A   k  1 m (3.1.20)   k  1 km  k km  km Do toán tử A, A thỏa mãn đại số boson bình thường: AA  A A  (3.1.21) Như toán tử số cổ điển N c định nghĩa bởi: a  A A  m Nc  am  m! (3.1.22) 55 Sử dụng đại số (3.1.1) hệ thức (3.1.2), xác định quan hệ toán tử số cổ điển N c với toán tử số biến dạng tổng quát N thông qua hệ thức:  a   Na   m 1 Nc m 1  m! a    m 1 a m1  N   m  1   m!  N  N  1  N  m  1   m! (3.1.23) Khi N Hermitic q đơn vị, ta dễ dàng kiểm tra N c Hermitic Từ điều thu được: k r  a   m   a   r A   a    a        km  r !  m!k  r !  r !  km  r k  r  0, 1,, m  1 (3.1.24) Điều có nghĩa biểu diễn vô hạn chiều đại số dao động tử biến dạng tổng quát phân tích thành biểu diễn đại số boson cổ điển biểu diễn hữu hạn chiều đại số dao động tử biến dạng tổng quát Một cách hình tượng ta dùng hình vẽ sau đây: A 56 hình vuông nhỏ gạch chéo ứng với trạng thái cổ điển, hình vuông lớn để trống ứng với biểu diễn m – chiều dao động tử biến dạng Các trạng thái phạm vi biểu diễn m – chiều biến đổi qua nhờ toán tử a, a  Hình vẽ lặp lại đến vô trạng thái cổ điển nối với toán tử A, A  làm thành biểu diễn vô hạn chiều 3.2 Sự gián đoạn không gian pha cho dao động tử biến dạng tổng quát với q đơn vị Biểu diễn không gian Fock xác định vector riêng (theo công thức (1.1.32)): a  0, a    n n n! (3.2.1) 1/ Tương tự trường hợp dao động tử điều hòa thông thường, ta xét toán tử vị trí: X a  a (3.2.2) Sự lựa chọn hoàn toàn tùy ý Chúng chứng tỏ điểm thảo luận không phụ thuộc vào lựa chọn cụ thể trên, mà lựa chọn dẫn đến không gian pha (dpdx) mạng với biên mở Một khả khác đưa nhờ “phân tích cực” Sự phân tích dẫn đến không gian pha mạng hữu hạn đóng, có nghĩa dẫn đến hình xuyến mạng Giả sử x x vector riêng trị riêng toán tử X, thỏa mãn: X x x x (3.2.3) 57 Khi q đơn vị, x vector không gian Fock có chiều nêu Vì dạng tổng quát là: m 1 m 1 cn x  n   cn  n ! n 0 a  n 0  n  n ! (3.2.4) Lấy toán tử X xác định theo công thức (3.2.2) tác động lên trạng thái x xác định theo công thức (3.2.4), sử dụng (3.2.1), ta có: Xx  m 1  cn n 0 a a  m1   cn n 1 m2   cn1 n 0 n   n !  n !  n   n ! m 1  cn n 0 a   n 1  n ! m2 n 1   cn n 0 m1 n   cn 1 n 1  n ! 1  n !  n  1! n 1  n ! n  n (3.2.5) Mặt khác từ công thức (3.2.3) (3.2.4) ta có: m 1 X x  n 0 xcn  n ! n (3.2.6) So sánh công thức (3.2.5) (3.2.6) ta thu hệ thức truy hồi cho hệ số c n : c1  2xc0 ,  cn 1  2cn   n  cn 1 , c   m (3.2.7) Những hệ thức truy hồi ràng buộc hệ số c n đa thức bậc n theo x Vài giá trị đầu hệ số c n liệt kê theo phương trình sau: c1  2xc0 , c2   2x  1 c0 , 58 c3       1  2 2x  2x  c0 ,   c4  4x  1   2  3 x  13 c , Như ta biết, đa thức Hermite thông thường có dạng: dn  x2 H n 1  x    1 e e , dx n n x2 (3.2.8) thỏa mãn hệ thức truy hồi: Hn 1  x   2xHn  x   2nHn 1  x  (3.2.9) Đa thức Hermite biến dạng định nghĩa tương tự: Hn 1  x   2xHn  x   2 n  Hn 1  x  , đó: (3.2.10) H1  x   0, H0  x   So sánh (3.2.7) (3.2.10) thu mối liên hệ hàm cn  x  đa thức Hermite biến dạng H n  x  cn  x   n Nx Hn  x  , (3.2.11) N x thừa số chuẩn hóa Như điều kiện hệ phương trình (3.2.7) thỏa mãn dãy giá trị gián đoạn trị riêng x Những trị riêng nghiệm phương trình bậc m: cm  x   , dạng đa thức c m xác định theo công thức (3.2.11) Số lượng nghiệm đa thức bậc m m nghiệm thực toán tử X (xác định công thức (3.2.2)) toán tử Hermit Điều chứng tỏ q đơn vị, toán tử vị trí X có trị riêng gián đoạn Những giá trị gián đoạn toán tử vị trí X ghi số j theo quy ước: x j : j  J,  J  1, , J  1, J, đó: x j nghiệm đa thức Hermite biến dạng Hm  x  , m  2J  59 2/ Một lần làm tương tự với trường hợp toán tử xung lượng: P a  a i (3.2.12) Đặt p p vector riêng trị riêng tương ứng toán tử P: P p p p (3.2.13) Khi q đơn vị p vector không gian Fock m- chiều Khi tương tự trường hợp toán tử vị trí X, vector p có dạng tổng quát: m 1 p  n 0 m 1 dn n ! n  n 0 a   n  n ! (3.2.14) Với trình giống với X, ta có: d1  i 2pd ,  d n 1  i 2pd n   n  d n 1 , d   m (3.2.15) Các hệ thức truy hồi thỏa mãn với giá trị gián đoạn trị riêng p Điều q đơn vị dẫn đến gián đoạn phổ toán tử xung lượng P Bằng cách so sánh (3.2.15) định nghĩa đa thức Hermite (3.2.8) ta kết luận rằng: dn  p   n  n i H n  p  , Np (3.2.16) p j (với j  J,, J ) nghiệm đa thức Hermite bậc m: Hm  p j   Hm  p j   0, j  J,,  J, m  2J  (3.2.17) 60 Chúng ta lưu ý phương trình hoàn toàn giống phương trình thu cho trị riêng toán tử X Như vậy, phổ toán tử X P hoàn toàn hai trường hợp xuất đa thức Hermite biến dạng giống Như mục phân tích biểu diễn vô hạn chiều đại số biến dạng tổng quát q bậc m đơn vị thành biểu diễn vô hạn chiều đại số boson thông thường biểu diễn hữu hạn chiều đại số biến dạng Trong trường hợp q đơn vị không gian pha dao động tử biến dạng gián đoạn trị riêng toán tử vị trí xung lượng nghiệm đa thức Hermite bậc m 61 KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu, luận văn đạt số kết sau: Các kết luận án tóm tắt sau: 1/ Viết tổng quan dao động tử lượng tử 2/ Giải thích dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát dạng dao động tử phi tuyến thông thường với phi tuyến đặc thù 3/ Tìm hiểu dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát q đơn vị  Phân tích biểu diễn vô hạn chiều đại số biến dạng tổng quát thành biểu diễn vô hạn chiều đại số boson không biến dạng biểu diễn hữu hạn chiều đại số biến dạng  Chỉ q đơn vị không gian pha dao động tử điều hòa gián đoạn nêu rõ mối quan hệ giá trị gián đoạn với nghiệm đa thức Hermite Trong khoảng thời gian giới hạn, cố gắng để trình bày hoàn chỉnh luận văn không tránh khỏi sai sót Vì vậy, mong nhận đóng góp quý báu quý Thầy, Cô bạn để hoàn thiện luận văn nghiên cứu sâu điều kiện cho phép 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đào Vọng Đức, Phù Chí Hòa (2007), Nhập môn lý thuyết trường lượng tử, Viện khoa học vật liệu [2] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), Cơ sở lý thuyết vật lý lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội [3] Nguyễn Thị Hà Loan (1998), “Commutation relations for deformed quantum fielf”, Tuyển tập báo cáo hội nghị VLLT lần thứ 22 (Toàn quốc) [4] C.T.V Ba and H.H.Bang (1999), “Generalized deformation with q being a root of unity”, Tuyển tập báo cáo hội nghị VLLT lần thứ 24 (Toàn quốc), pp 47-53 [5] C.T.V.Ba and H.H.Bang (2000), “Quantum group and the standard model”, Tuyển tập báo cáo hội nghị VLLT lần thứ 24 (Toàn quốc), pp 11-15 [6] C.T.V Ba and H.H.Bang (2002), “Generalized deformed fied equations”, Comm in Phys 12 (1), pp 34-40 [7] H.H.Bang (1997), “Nonlinearity of generalized deformed oscillstors and nonlinear field equations”, II Nuovo Cimento B1 (12), pp 1507-1514 [8] Beckers J and Debergh N (1991), “On a general framework for qparticles, paraparticles and q-paraparticles through deformations”, J Phys A24 (21), pp L1277-L1284 [9] Biedenham L.C (1989), “The quantum group SUq   and a q – analogue of the boson operators”, J Phys A22 (18), pp L873-L878 [10] Bonatsos D and Daskaloyannis C (1993), “Equivalence of deformed fermionic algebras”, J Phys A26 (7), pp 1589-1600 63 [11] Bonatsos D., Daskaloyannis C., Kolokotronis P and Lenis D (1995), “Quantum algebras in nuclear structure”, nucl-th/9512007 [12] Chaichian M., Gonzalez F.Z and Montonen C (1993), “Statistics of q – oscillators, quons and relations to fractional statistics”, J Phys A26 (16), pp 4017-4034 [13] Chaichian M and Kulish P (1990), “Quantum Lie superalgebras and q– oscillators”, Phys Lett B234 (1,2), pp 72-80 [14] Chakrabarti R and Jagannathan R (1992), “On the number operators of single-mode q-oscillators”, J Phys A25 (23), pp 6393-6398 [15] Chang Z (1995), “Quantum group and quantum symmetry”, Physics Reports 262 (3,4), pp 137-225 [16] Chaturvedi S., Kapoor A.K., Sandhya R and Srinisavan V (1991), “Generalized commutation relations for a single-mode oscillator”, Phys.Rev A43 (8), pp 4555-4557 [17] Chaturvedi S and Srinisavan V (1991), “Aspects of q-oscillator quantum mechanics”, Phys Rev A44 (12), pp 8020-8026 [18] Chung K.S and Chung W.S (1995), “New expression of number operator for the q-deformed boson algebra including the q=0 case”, II Nuovo Cimento 110B (4), pp 409-414 [19] Daskaloyannis C (1991), “Generalized deformed oscillator and nonlinear algebras”, J Phys A24 (15), pp L789-L794 [20] Dao Vong Duc (1994), “Generalized q- deformed oscillators and their statistics”, Preprint ENSLAPP - A-494/94, Annecy, France [21] Dao Vong Duc (1998), “Statistics of generalized q-deformed quantum oscillators”, Frontiers in quantum Phys, Springer 1998, pp 272-276 [22] Finkelstein R.J (1995), “q- field theory”, Lett Math Phys 34 (2), pp 169-176 64 [23] Finkelstein R.J (1996), “q gauge theory”, Int J Mod Phys A11 (14), pp 733-746 [24] Finkelstein R.J (1999), “Gauged q- fields”, hep- th/9906135 [25] Floreanini R and Vinet L (1990), “q- analogues of the parabose and parafermi oscillators and representations of quantum algebras”, J phys A23 (23), pp L1019-L1024 [26] Gray R W and Nelson C A (1990), “A completeness relation for the q- analogue coherent states by q- integration”, J Phys A23 (18), pp L945-L950 [27] Jannussis A (1991), “Quantum group and the Lie- admissible qalgebra”, Hadronic Joumal 14 (3), pp 257-275 [28] Jannousiss A., Brodimas G and Migniani R (1991), “Quantum groups and Lie- admissible time evolution”, J Phys A24 (14), pp L775-L778 [29] Ju G., Tao J., Liu Z and Wang M (1995), “The eigenvectors of qdeformed creation operator a q and their properties”, Mod Phys Lett A10 (8), pp 669-675 [30] Kobayashi T and Suzuki T (1993), “Quantum mechanics with qdeformed commutators and periodic variables”, J Phys A26 (21), pp 6055-6066 [31] Kulish P.P and Damaskinsky E V (1990), “On the q oscillator and the quantum algebra suq (1,1)”, J Phys A23 (9), pp L415-L420 [32] Kumari M Kr., Shanta P., Chaturvedi S and Srinivasan V (1992), “On q- deformed para oscillators and para- q oscillators”, Mod Phys Lett A7 (28), pp 2593-2600 [33] Man’ko V.I., Marmo G., Solimeno S and Zaccaria F (1993), “Physical nonlinear aspects of classical and quantum q- ocsillators”, Int J Mod Phys A8 (20), pp 3577-3597 65 [34] Man’ko V.I., Marmo G., Solimeno S and Zaccaria F (1993), “Correlation functions of quantum q- ocsillators”, Phys Lett A176 (3,4), pp 173-175 [35] Man’ko V.I., Marmo G., and Zaccaria F (1995), “Deformed field equations”, Phys Lett A197 (21), pp 95-99 [36] Martin-Delgado M.A (1991), “Planck distribution for a q- boson gas”, J Phys A24 (21), pp L1285-L1292 [37] McDermott R.J and Solomon A.I (1994), “Double squeezing in generalized q- coherent states”, J Phys A27 (2), pp L15-L20 [38] Watts P (1997), “Toward a q- deformed standard model”, J Geom Phys 24 (1), pp 61-81