Dao động tử biến dạng tổng quát

Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS- TS Nguyễn Thị Hà Loan quan tâm bảo, tận tình hướng dẫn cô suốt trình học tập đến hoàn thành luận văn Chính quan tâm tận tình bảo cô tạo động lực cho em có thêm niềm tin, cố gắng để thực luận văn mong muốn có phát triển Em xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa, thầy giáo, cô giáo khoa Vật Lí- Trường Đại học sư phạm Hà Nội tận tình giảng dạy, quan tâm bảo em suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp sát cánh bên suốt thời gian học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2011 Kiều Văn Thực LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với chân trọng lòng biết ơn sâu sắc Những kết nêu khoá luận chưa công bố công trình khác Hà Nội, tháng 11 năm 2011 Học viên Kiều Văn Thực MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ 1.1 Dao động tử Boson biến dạng 1.1.1 Dao động tử Boson 1.1.2 Dao động tử Boson biến dạng q 10 1.2 Dao động tử Fermion biến dạng 12 1.2.1 Dao động tử Fermion 12 1.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng q 13 1.3 Dao động tử có thống kê vô hạn 14 1.4 Dao động tử biến dạng q - tổng quát 15 1.5 Dao động Paraboson biến dạng 20 1.5.1 Dao động Paraboson 20 1.5.2 Dao động Paraboson biến dạng 20 1.6 Đại số lượng tử SU(2) 22 1.6.1 Biểu diễn dao động tử đại số SU(2) 22 1.6.2 Đại số biến dạng tham số SU(2)q 25 1.6.3 Đại lượng biến dạng hai tham số SU (2) pq 28 CHƯƠNG II: DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT 32 2.1 Dao động tử biến dạng tổng quát 32 2.2 Các vấn đề lý thuyết biến dạng 35 2.2.1 Tác dụng toán tử a, a+ lên vector riêng toán tử số N 35 2.2.2 Cấu trúc đại số Lie biến dạng 36 2.2.3 Phép đồng nhân, hệ số Clebsh- Gordan 39 CHƯƠNG III THỐNG KÊ CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ 3.1 Phân bố thống kê toán tử F 42 3.2 Phân bố thống kê 42 3.2.1 Phân bố thống kê dao động tử Boson bién dạng – q 42 3.2.2 Phân bố thống kê dao động từ Fermion biến dạng – q 43 3.3 Phân bố thống kê dao động tử có có thống kê vô hạn 44 3.4 Phân bố thống kê dao động tử biến dạng – q tổng quát 45 3.5 Phân bố thống kê dao động tử Paraboson 46 3.6 Phân bố thống kê dao động tử Paraboson biến dạng – q 47 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khi nghiên cứu hệ vật lý, ta thường gặp tính chất đối xứng chúng Đối xứng đóng vai trò quan trọng vật lý đại Đối xứng chuẩn dẫn đến lý thuyết chuẩn, đối xứng không gian tinh thể sở vật lý chất rắn, đối xứng conform đối xứng quan trọng lý thuyết dây…… Vì vậy, phát triển vật lý đại gắn liền với việc nghiên cứu đối xứng Trong năm gần đối xứng lượng tử mà cấu trúc toán học dựa nhóm lượng tử mở rộng nhóm Lie xâm nhập vào nhiều lĩnh vực vật lý Phát minh Macfarlane Biedenham thực hiện, đại số lượng suq(2) thuật ngữ q- dao động tử làm nảy sinh việc áp dụng đối xứng lượng tử vấn đề thực vật lý Nhìn vào lịch sử vật lý, ta thấy nhà vật lý nhiều lần biến dạng quy luật vật lý Lý thuyết (đã biến dạng) tổng quát chứa lý thuyết ban đầu trường hợp giới hạn tham số biến dạng tiến đến giá trị đặc biệt Ví dụ: Cơ học tương đối tính trở thành học Newton tham số biến dạng   v  hay học lượng tử cho lại kết c học cổ điển giới hạn S S v   (S tác dụng) Vì tham số   c tham số thứ nguyên, ý nghĩa vật lý biến dạng q kết hợp với số vật lý Phải nói ý tưởng nhóm lượng tử đối xứng lượng tử ý tưởng mẻ, có tính đột phá Nội dung ý tưởng đưa lý thuyết thoát khỏi phạm vi nhóm cổ điển, điều dẫn đến nhiều thống kê với hạt đoán nhận: Thống kê phân số (hạt anyon), thống kê q- biến dạng (hạt quon), thống kê- biến dạng (hạt guon), thống kê para (parafermion, paraboson …) Nhóm lượng tử đối xứng lượng tử có khả đưa đến phát triển lý thuyết trường lượng tử, lý thuyết hạt bản, vũ trụ học đặt vấn đề toán học lý thuyết biểu diễn nhóm lượng tử Nghiên cứu đối xứng lượng tử công việc cần thiết, đại dẫn đến nhiều kết Với mong muốn nghiên cứu số vấn đề theo phương hướng phát triển biến dạng lượng tử lý thuyết trường lượng tử vật lý hạt bản, chọn nghiên cứu đề tài ‘Dao động tử biến dạng tổng quát’ Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu số kiến thức tổng quan nhóm lượng tử dao dộng tử biến dạng tổng quát Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu dao động tử biến dạng tổng quát Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đại số lượng tử dao động tử biến dạng ,Dao động tử biến dạng tổng quát tính thống kê dao động tử lượng tử Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp nghiên cứu VLLT - VLT -Các phương pháp nhóm đối xứng lượng tử Những đống góp đề tài Đưa tổng quan dao động lượng tử, biểu diễn dao động lượng tử tính thống kê dao động lượng tử Đây tài liệu hữu ích cho quan tâm tới dao động lượng tử CHƯƠNG I DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ 1.1 Dao động tử Boson biến dạng 1.1.1 Dao động tử Boson Hệ thức giao hoán dao động tử Boson đơn mode thỏa mãn hệ thức  a, a    (1.1) Toán tử số dao động N có dạng: N  aa (1.2) Trong đó: a: toán tử hủy dao động tử a  : toán tử sinh dao động tử Kết hợp (1.1) với (1.2) ta có: (1.3)  N , a   aa  , a    a  a  , a    a, a  a   a  N , a    aa  , a     a  a  , a     a, a   a   a  (1.4) Xét không gian Fock với trạng thái chân không thỏa mãn điều kiện a =0 (1.5) Trạng thái n trạng thái có n dao động tử thực không gian Fock với sở trạng thái riêng chuẩn hóa có dạng:  n n a   n! n = 0, 1, 2, … (1.6) Ta có toán tử tọa độ Q toán tử xung lượng P liên hệ với toán tử dao động a, a  sau: Q  a  a   2m Pi m  a  a Khi hệ thức giao hoán toán tử tọa độ Q toán tử xung lượng P là: i  a   a  a   a     2 i  a, a     a  , a    i  a, a    Q, P     (1.7) Thế (1.1) vào (1.7) suy ra:  Q, P   i (1.8) Toán tử Hamiltonian biểu diễn sau: 2     P  m 2Q   a  a  a  a    2m 4     a a  aa    2a  a   a, a     2 (1.9)   N    H   Phổ lượng dao dộng điều hòa xác định phương trình hàm riêng trị toán tử H: H n  En n H Suy ra:    N  1 n   2n  1 n 2 En    2n  1 n= 0, 1, 2,… (1.10) Nhận xét: Công thức (1.10) công thức xác định lượng dao động tử điều hòa chiều học lượng tử giải cách xác Từ hệ thức (1.8) dẫn đến hệ thức bất định Heisenberg:  Q   P  2 2   2n  1  4 (1.11) Thật vây, ta thấy: (1.12) Q  nQ n 0 P  n P n 0 Do độ lệch toàn phương  Q  ,  P  tọa độ xung lượng là:  Q   Q  Q   Q  2 n  a  a  n  2m 2  n a  a n  n aa  n  2m 2  n 2N  n  2m    2   2n  1 2m  P  P   P   P  m n  a  a  n  2   n a  a n  n aa  n  2m 2  n 2N  n  2m 2   2n  1 2m    Suy ra:  Q   P  2 2   2n  1  4 (1.13) 1.1.2 Dao động tử Boson biến dạng q Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q mô tả toán tử hủy sinh dao động tử a, a  theo hệ thức sau: aa   qa  a  q  N (1.14) Với q thông số biến dạng Trong phương trình ( 1.14) q=-1 trở hệ thức dạng dao động tử (1.1) Toán tử số dao động tử thỏa mãn phương trình hàm riêng,trị riêng: N n q n n (1.15) q Trong đó:  n n q a    nq ! (1.16) an  n n 1  n  1 a n  (2.3a) n 1 (2.3b) ký hiệu  n  hàm số n Từ (2.1) (2.3a) có a a n  a  n n    n n (2.4a) n    n  1 n (2.4b) Tương tự, từ (2.1) (2.3b) có  n  1 aa  n  a Với hàm bổ trợ g(x) định nghĩa đại số dao động tử bình thường g  x  1 x (2.5) thu hệ thức giao hoán:  a, a    aa   a  a  (2.6) Toán tử số N định nghĩa thông qua hệ thức giao hoán:  N , a    a   N , a   a , (2.7) giả sử toán tử số N biểu diễn thông qua toán tử sinh, hủy theo hệ thức: N  f aa  (2.8) tìm liên hệ hàm f ( x) g ( x) : Sử dụng (2.1), có  a,  a  a n   a  a  a n   a  a n a      n n  g  a a    a a  a (2.9) Tương tự thu   (2.10)  (2.11) a ,  a an   a g  a a  n   a an    Các phương trình (2.9) (2.10) dẫn đến     a, f  a  a    f g  a  a   f  a  a  a       a  , f  a  a    a  f g  a  a   f  a  a     (2.12) Lưu ý công thức (2.10) (2.11), thấy chọn hàm f  g  x   f  x (3.13) phương trình (2.7) (2.8) thỏa mãn Như vậy, từ (2.13) biết hàm bổ g  x hàm sở f  x hoàn toàn xác định hàm giải tích thực xác định trục (dương) thực Nếu gọi F  x hàm ngược hàm f  x , tức F  f 1 , hay F  f  x   x (2.14) hàm g  x xác định thông qua hàm f  x sau: g  x  F 1 f  x  (2.15) f  g  x   f  x Tronghệ thức (2.13)    ta thay x a a với định nghĩa (2.1), biến dạng tổng quát dao động tử biểu diễn thông qua hệ thức giao hoán f  aa    f  a  a   (2.16) Đây hệ thức giao hoán biến dạng hệ thức (2.6) Trong hệ thức giao hoán biến dạng (2.16) hàm f  x  (và hàm F  x  ) gọi hàm sở (và hàm cấu trúc) lý thuyết biến dạng, hàm g  x  gọi hàm bổ trợ Sử dụng (2.8) được:    F  N   F f  a  a  , N  f a  a  Sử dụng (2.13), coi x  a  a được:   (2.17)  (2.18) F  N   F f  aa   aa Hoàn toàn tương tự  F  N  1  F f  a  a    g  a  a   aa  Từ thu hệ thức giao hoán biến dạng:  a, a    aa   a  a  F  N  1  F  N  (2.19) II Các vấn đề lý thuyết biến dạng 2.1 Tác dụng toán tử a, a+ lên vector riêng toán tử số N Như mục nói, giả sử f(x) hàm thực a, a+ hai toán tử liên hợp Hecmitic thỏa mãn f(aa+) – f(a+a)= (2.20) toán tử N = f(a+a) thỏa mãn  a, N   a  a  , N   a  (2.21) Gọi n sở vector riêng toán tử số N N n n n Các phương trình aa   g (a  a ),  a, a     N , a   a,  N , a    a  (2.22) ngụ ý toán tử a+, a toán tử sinh, hủy a n  a n  n (2.23) n 1  n  1 (2.24) n 1 Trong ký hiệu  n  hàm số n Sử dụng (2.1), (2.15) (2.16) ta có:  n  1 aa  n  a a a n  a  n n    n  1 n , (2.25) n    n n , (2.26) aa  n  g (a  a ) n  g  a  a n   g  n  n (2.27) Đồng thời Từ (2.17) (2.19) suy  n  1  g  n hay f  n  1  f  g  n (2.28) So sánh với công thức (2.10) ta có f  n  1   f  n Do F= f-1 nên từ kết luận  n   F (n) (2.29) Với giả thiết F(0)=0 (2.30) Ta thu  0  0, hay a0 0 (2.31) 2.2 Cấu trúc đại số Lie biến dạng Ta có vector trạng thái riêng toán tử số N = f  a  a  biểu diễn công thức n   n !  n a  (2.32) Trong ta định nghĩa m n  n !    k    F  k  k 1 k 1 (2.33) Các vector trạng thái riêng vector trạng thái riêng toán lượng H A  a a  aa    (2.34) Với trị riêng tương ứng EN  A A  n  1   n    F (n  1)  F (n)   2 (2.35) Theo (2.1), (2.5) (2.12) ta có a+a = F(N),  (2.36)  aa   g  F  N    F  f  F  N    F  N  1 (2.37) Như hệ thức giao hoán biến dạng trở thành aa    F  N  1  F  N  (2.38) Đối với dao động tử q-biến dạng, theo phần liệt kê ta có Khi q số thực hàm cấu trúc F(x) xác định công thức F ( x)  q x  q  x e x  e  x sinh( x)  x x  , q  q 1 e e sinh  (2.39) Trong q  e  thực Nếu q số phức hàm cấu trúc F ( x)  q x  q  x ei x  e  i x sinh( x)  i  , q  q 1 e  e  i sinh  (2.40) Với q  ei  thực Sử dụng hàm cấu trúc dạng xây dựng lại số Lie biến dạng Giả sử  X a ij biểu diễn sở đại số tập dao động tử biến dạng Khi toán tử  a   ai   a  a j ij (2.41) ij Là toán tử gây (generator) biến dạng đại số lượng tử biến dạng Bây xem xét cách thực nhóm lượng tử biến dạng SU(2) thông qua hệ dao động tử biến dạng hai mode J   a1 a2 , J   a2 a1 ,   a1 a1  a2 a2  , L   a1 a1  a2 a2  (2.42) J0  Từ phương trình J   a1 a2 , J   a2 a1 , J3  (2.43)  N1  N  Trong biến dạng SU(2) ta tìm N1  a1 a1  L  J , (2.44) N  a 2 a  L  J Sau số biến đổi đơn giản ta thu hệ thức giao hoán đại số biến dạng SU(2) sau:  J0 , J    J ,  J0 , J    J  ,  J  , J    H ( L  J , L  L0 ),  L, J    0,  L, J   0, (2.45) Trong hàm H(x,y) định nghĩa H ( x, y )  F1 ( x) F2 ( y  1)  F1 ( x  1) F2 ( y ) (2.46) Nếu đại số SU(2) đối xứng hiểu dao động tử biến dạng nhau, tức F1(x) = F2(x) = F(x) hàm F(x,y) hàm phản đối xứng H(x,y) = -F(x,y) (2.47) Nếu  véc tơ riêng trạng thái hai dao động tử (2.48) N1  0, N  0, 2.3 Phép đồng nhân, hệ số Clebsh- Gordan Khi sử dụng mệnh đề công thức (2.23), (2.24) (2.29) ta chứng minh mệnh đề sau (Phép đồng nhân, hệ số Clebsh- Gordan) Xét hệ dao động tử đa mode (2 mode) với toán tử a1, a2 thỏa mãn hệ thức giao hoán f1 (ai ai )  f i (ai )  1, i = 1, 2, (2.49) Ta có không gian biểu diễn nhóm SU(2) không gian Fock với sở vecto trạng thái riêng toán tử số N n  n1 , n2  n1  n1 a  a    n1 ! n2 ! (2.50) Để xác định giá trị riêng toán tử J0 định nghĩa công thức cua bién dạng S(U2) a1a1  p 1a1 a1  q N1 , a2 a2  p 1a2 a2  p N2 , ta cho J0 tác động lên trạng thái riêng n toán tử số N J0 n  m m  Do ta có  1 a1 a1  a2 a2  n   N1 n  N n    n1  n2   2 m  (n1  n2 ) (2.52) Tương tự giá trị riêng toán tử L xác định L n  l n , l  (n1  n2 ) (2.53) Từ ( 2.44) ( 2.45) ta thu N1 = l + m, n2 = l- m (2.54) (2.51) Trạng thái riêng n (2.49) xác định hai tham số n1 n2 viết lại thông qua l, m nhờ (2.53) l, m   l m  l m a  a  l  m1 !l  m2 ! , (2.55) Trong  i  Fi ( )  fi 1 ( ), i  1, 2, (2.56) Vì lưu ý hàm số cấu trúc mode khác khác Sử dụng công thức  N i , a j   ai ij ,  N i , a j    a i ij Và (2.24), (2.43) (2.55) dễ dàng tìm kết sau J  l , m  a1 a2 n1 , n2   n2 2 n1 , n2   n1  11  n2 2 n1  1, n2   l  m  11 l  m2  a1 (2.57) l, m  , J  l , m  a2 a1 n1 , n2   n1 1 n1  1, n2  n1 1  n2  12 n1  1, n2   l  m1 l  m  12  a2 (2.58) l, m 1 , Và J0 l, m  m l, m , L l, m  l l, m (2.59) (2.60) Làm tương tự trình xây dựng cách thực cho nhóm lượng tử biến dạng SU(3) cho nhóm cổ điển biến dạng nói chung Vấn đề đồng nhân nhóm SU(2) biến dạng, liên quan chặt chẽ với việc tính hệ số Clebsh- Gordan vấn đề thời nhà vật lý nghiên cứu Do điều kiện (2.61) Fi  (l  m)  Phải thỏa mãn (vì Fi tương ứng số hạt) nên phương trình (2.56) (2.59) đưa mối ràng buộc trị số cho phép l m Lý thuyết tổng quát trình bày ứng dụng cho nhóm biến dạng phi tuyến cần thiết cho đối xứng bị phá vỡ CHƯƠNG III THỐNG KÊ CỦA CÁC DAO ĐỘNH TỬ LƯỢNG TỬ 3.1 Phân bố thống kê toán tử F Phân bố thống kê toán tử F định nghĩa qua công thức F  Tr e H F  z (3.1) Z hàm phân bố  Z  Tr e  H    e  n  n 0 1  e   (3.2) Hàm phân bố Z xác định tính chất nhiệt động hệ thống kê  kT K số Boltzman, T nhiệt độ H Hamitonian mà thông thường có dạng H  N ,  lượng dao động hạt 3.2 Phân bố thống kê  Hàm Green đại lượng vật lý F tương ứng với toán tử F định nghĩa: F   Tr  e  N  F Z (3.3)  Z  Tr  e   N    n e   N n n 0  Z  e   N n 0   e   (3.4) 3.2 Phân bố thống kê dao động tử boson biến dạng – q Phân bố thống kê dao động tử Boson biến dạng q phân bố thống kê a  a : 1  Tr  e   N a  a    n e   N a  a n Z Z n 0  1    n e  N  N q n   e   N  N q Z n 0 Z n0 aa      N q n  q  n e Z n0 q  q 1  1     N  n    N  n  e q  e q   Z q  q 1  n 0 n 0    1  1  1    1    Z q  q   qe 1 q e  q  q 1  e    1  Z q  q 1   q  q 1  e   e2  aa  e   1   q  q 1  e    e  (3.5) Khi giới hạn q=1thì phân bố trở phân bố Bose- Einstein thông thường học lượng tử biết a a  e  1 (3.6) 3.2.2 Phân bố thống kê dao động tử fermion biến dạng – q Phân bố thống kê dao động tử Fermion biến dạng q phân bố thống kê bb : 1  Tr  e   N  b  b    n e  N b  b n Z Z n0  1    n e   N   N q n   e  N nq Z n 0 Z n 0 bb  n q n   1 q  n    e  N Z n 0 q  q 1  n 1     N  1 n    N  e q    e  q    1    Z q  q  n 0 n0    1  1  1  1      Z q  q  1 q e  qe  q  q 1  e    1  Z q  q 1   q  q 1  e   e  bb  e2  e     q  q 1  e    (3.7 ) Khi giới hạn q=1 phân bố trở phân bố thông thường học lượng tử mà ta biết bb  e 1 (3.8 )  3.3 Phân bố thống kê dao động tử có thống kê vô hạn Với thống kê vô hạn ta có phân bố thống kế sau: 1  Tr  e  N a  a    n e   N a  a n Z Z n0  1    n e  N n   e   N Z n0 Z n 0 aa  ( vì: a  a =1 a  a n  n Và b b n  n n  ) (3.9 ) n  Cuối ta được:  a  a  b  b  e  (3.10) 3.4 Phân bố thống kê dao động tử biến dạng – q tổng quát Đối với dao động tử Boson biến dạng q tổng quát ta có phân bố thống kê sau: 1  Tr  e   N a  a    n e  N a  a n Z Z n 0  1  c c   n e   N  N q n   e   N  N q Z n 0 Z n 0 aa      N q n  q cn e Z n0 q  qc  1     n    c n  e q    e q    Z q  q c  n 0 n 0    1  1  c    c    Z q  q   qe 1 q e    q  qc  e  1 Z q  q c   q  q c  e   e  aa  e   q c 1   q  q 1  e    e  (3.11) Đối với dao động tử Fermion biến dạng q tổng quát ta có phân bố thống kê sau: 1  Tr  e   N b b    n e   N  b  b n Z Z n 0  1  c c   n e   N   N q n   e   N  nq Z n 0 Z n0 bb  n cn n    N  q   1 q e  Z n0 q  qc   n 1     c n  e q      e  q   c  Z q  q  n 0 n 0    1  1  c  c      Z q  q  1 q e  qe   1  e  e 1 q  q  e  q   bb  c e2     c 1  e e     q  q c  e   q c 1 (3.12) Nếu q=1 vàc=-1thì (3.11) (3.12) trở thống kê thông thường (3.6) (3.8) Nếu q  0, c  ta thu thống kê vô hạn (3.10) 3.5 Phân bố thống kê dao động tử paraboson Từ định nghĩa (3) có phân bố thống kê toán tử a  a aa  Tr e  N a  a  Z Tính toán sở phương tình an  f ( n) n  a n  f ( n  1) n  Cho kết aa   P e   1 e   (3.13) Trong trường hợp giới hạn p  phương trình (3.13)  P e   1 a a  e    cho lại công thức Bose-Einstein thông thường aa p 1  e 1  (3.14) 3.6 Phân bố thống kê dao động tử paraboson biến dạng – q Từ định nghĩa aa  Tr e  H a  a  Z aa  Tr e  N a  a  Z ta có phân bố thống kê toán tử a  a aa  Tr e  N a  a  Z Tính toán sở phương trình 1 N c N (c)  aa  n     1 n  p q    1 n  1q  n 2      N (c) N (c)  1 a  a n     1 nq    1 n  p  1q  n 2   aa  n  q n  1  1n    p 1 1 N    n 1    1  n 1 a  n a   q 1c K f ( N ) q cN a   K 0   n2   1 n 1  (1 c ) K  q  1q c 1( p 1)( 1) f ( N  1)q cN a    K 0    N cho kết  e   a a  q  qc    q p e    q cp e          q c e 2   1  q e (3.15) KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu luận văn đạt số kết sau: Đưa dao động tử lượng tử (dao động tử Boson biến dạng, dao động tử), dao động tử Fermion biến dạng dao động tử có thống kê vô hạn, dao động tử biến dạng – q, paraboson….) Đưa vấn đề lý thuyết biến dạng cấu trúc đại số Lie biến dạng, phép đồng nhân Clebsh- Gordan… Tính thống kê dao động tử lượng tử (thống kê toán tử F, thống kê dao động tử Boson, Fermion biến dạng q , thống kê vô hạn, thống kê paraboson, paraboson biến dạng)