Dao động tử Para Boson

1 M U 1.Lý chn ti: i xng l c tớnh ph bin nhiu h vt lớ Vic tỡm kim nhng i xng v s vi phm nú mt cỏch tun t kim soỏt c, cng nh vic tỡm kim nhng i lng bt bin vt lớ l phng phỏp ch ng ph bin cụng cuc khỏm phỏ cỏc nh lut vt lớ Ngụn ng toỏn hc ca lý thuyt i xng l lý thuyt nhúm Lý thuyt i xng lng t ly nhúm lng t lm c s l mt hng nghiờn cu thu hỳt s quan tõm ca nhiu nh vt lý thi gian gn õy Nhúm lng t l cỏc kiu bin dng ca i s Lie thụng thng m s thu li c tham s bin dng cú giỏ tr bng n v [1,2] ng dng ca nhúm lng t vt lý tr nờn ph bin vi vic a vo hỡnh thc lun dao ng t iu hũa bin dng [3,4], chng hn nh ó tỡm c biu din boson ca i s lng t SUq(2) v ng dng gii phng trỡnh Yang Baxter [5] i s lng t cũn cú nhiu ng dng cỏc ngnh vt lý khỏc, nh nghiờn cu v chui spin, cỏc anyoins, quang lng t, s quay v dao ng ca ht nhõn nguyờn t; v ng dng lý thuyt trng conformal T ú chỳng ta nhn thy rng, i s lng t cú lp i xng rng hn lp i xng Lie v bao gm i xng Lie nh trng hp c bit Nhúm lng t v i s bin dngc kho sỏt thun li hỡnh thc lun dao ng t iu hũa, năm gần việc nghiên cứu nhóm l-ợng tử đại số biến dạng đ-ợc kích thích thêm quan tâm ngày nhiều đến hạt tuân theo thống kê khác với thống kê Bose Einstein thống kê Fermi - Dirac nh- thống kê para Bose, para Fermi, thống kê vô hạn, thống kê biến dạng , với t- cách thống kê mở rộng Cho đến cách mở rộng đáng ý khuôn khổ đại số biến dạng Nhóm l-ợng tử đại số l-ợng tử đ-a đến phát triển lí thuyết hạt Nghiờn cu v dao ng t para boson nm hng nghiờn cu trờn, ó thu hỳt c s quan tõm nghiờncu ca nhiu nh khoa hc v ó t c nhiu kt qu cú ý ngha vt lý ht nhõn nguyờn t, vt lý ht c bn Vỡ vy ti cú ý ngha khoa hc; ú l lý tụi chn ti Dao ng t para boson lm lun thc s ca mỡnh 2.Mc ớch nghiờn cu: - Nghiờn cu v dao ng t para boson 3.Nhim v nghiờn cu: t c mc ớch nghiờn cu cn thc hin cỏc nhim v sau: - Nghiờn cu v vit tng quan v hỡnh thc lun dao ng t iu hũa tuyn tớnh - Nghiờn cu cỏc dao ng t boson v cỏc dao ng t fermion - Nghiờn cu cỏc dao ng t para boson 4.Phng phỏp nghiờn cu: - Phng phỏp lý thuyt trng lng t - Phng phỏp lý thuyt nhúm Nhng úng gúp mi v khoa hc, thc tin ca ti - Kho sỏt h cỏc dao ng t para boson Chng BIU DIN S HT CA DAO NG IU HềA 1.1 Dao ng iu hũa Xột chuyn ng mt chiu theo trc Ox ca mt ht cú lng m chu tỏc dng ca lc chun n hi F kx ( k l h s chun n hi ) Trong c hc c in, chuyn ng ca ht c din t bng phng trỡnh nh lut II Newton F ma d 2x dt kx mx '' k x '' x m x '' x 0, kx m vi k hay m k , m l tn s gúc Ht thc hin dao ng iu hũa quanh v trớ cõn bng ca nú x vi A l biờn dao ng, A.sin( t ), l pha ban u ca dao ng Ta cú: ng nng T : T mv 2 mx& mA2 2 cos ( t ) Th nng V : V Fdx kx mA2 2 sin ( t ) Nng lng ton phn E ca ht: E T V mA2 cos ( t m A2 Vy ng vi mi giỏ tr ca ) mA2 2 sin ( t ) , nng lng cú th cú nhng giỏ tr liờn tc, t l thun vi biờn A Vn tc ca ht nh mt hm ca ta v dx dy A sin( t A Gi x ) x2 A2 l chu kỡ dao ng Xỏc sut m ht v mụ nm khong t x dx vi dx vdt bng dwCD ( x) dt dx x2 A A2 1.2 Biu din ta ca dao ng iu hũa H ang xột c gi l dao ng t iu hũa Th nng ca ht l: kx V ( x) m 2 x Toỏn t Hamiltonian cú dng H T U p 2m d 2m dx H kx 2 kx Trng thỏi lng t ca ht vi nng lng E c din t bng hm súng ( x ) tha phng trỡnh Schrodinger (phng trỡnh chuyn ng ca ht vi mụ) H ( x) [ E ( x) d 2m dx 2 kx ( x)] E ( x) (1.1) t mk 14 ) m 2E m k 2E ( Dựng bin khụng th nguyờn: (*) x Thay vo phng trỡnh (1.1) ta c: (1.1) 2 d2 m 2mE [ x ] ( x ) ( x) dx 2 d2 2m [ x ] ( x) ( x) dx 2 d2 2 [ + ] ( ) d ( )2 d2 [ d + ] ( ) ( x) [ vi ( ) d2 d 2 + ] ( ) 0, ( ) hu hn ti (1.2) v gii ni Dỏng iu ca ( ) lõn cn l: ( ) : exp( ) Nghim (1.2) cú dng: ( ) v( )exp( ) (1.3) vi v( ) l hm cn xỏc nh Thay (1.3) vo (1.2) ta c d2 [ d 2 + ] v( )exp( ) d [v '( )exp( ) v( ) exp( d 2 2 )] ( )v( )exp( ) [v ''( ) v( ) v( ) v ''( ) 2v '( ) ( 2v '( ) v( ) 1)v( ) 0, v( )]exp( ) (1.4) ú: v '( ) dv( ) d v ''( ) d 2v( ) d Ta tỡm hm v( ) di dng chui v( ) n an (a0 0) (1.5) n v '( ) n nan (n 1)an n n (1.5') n v ''( ) n (n 1)nan (n 2)(n 1)an n n (1.5'') n Thay (1.5), (1.5'), (1.5'') vo (1.4) ta c [(n 1)(n 2)an 2nan [(n 1)(n 2)an (2n ( 1)an ] n n 1)an ] n (1.6) n T (1.7) ta cú h thc truy toỏn an 2n an (n 2)(n 1) ( ) gii ni hu hn no ú 2n thỡ chui v( ) phi b ngt mt bc n 2n V theo (*) thỡ nng lng E ca dao ng ch cú th nhn cỏc giỏ tr giỏn on E En (n ) (n 0,1,2 ) (1.7) Trờn õy l biu thc v ph nng lng ca dao ng t iu hũa tuyn tớnh, vi cỏc c im sau: + c im 1: Ph nng lng ca dao ng t iu hũa tuyn tớnh ch cú th nhn cỏc giỏ tr giỏn on + c im 2: Cỏc mc nng lng cỏch u nhau, hiu gia cỏc mc nng lng lin k l hng s E + c im 3: Nng lng thp nht ca dao ng t iu hũa tuyn tớnh ng vi n=0, c gi l nng lng khụng Mc khụng ca nng lng l E0 h Nng lng khụng tng ng vi dao ng khụng m ta khụng th tr b c bng cỏch h nhit chng hn Núi khỏc i, cú xut hin nng lng khụng nờn dao ng t lng t khụng th trng thỏi ngh, nhit khụng tuyt i phn ln cỏc h nm mc nng lng thp nht(mc c bn), nhng ú cỏc nguyờn t thc hin dao ng Nnglng khụng ca dao ng ó quan sỏt c cho ỏnh sỏng tỏn x trờn tinh th nm nhit gn khụng tuyt i + c im 4: Cỏc mc nng lng ca dao ng t iu hũa tuyn tớnh khụng suy bin, hay bc suy bin ca cỏc mc nng lng g=1 Nng lng thp nht ca dao ng t iu hũa ng vi n l: E0 c gi l nng lng khụng S tn ti ca nng lng thp nht E0 ch cú th gii thớch c trờn c s lý thuyt lng t Tht vy, nu gi bt nh ca nng lng, xung lng v ta l E , p, x S tn ti nng lng E0 gn lin vi h thc bt nh gia ta v xung lng ca ht p x Vỡ E p2 2m k x2 k p x m Quy c chn gc tớnh nng lng trựng vi nng lng khụng E0 Khi ú nng lng ca dao ng t iu hũa ch cú th cú nng lng l bi ca nng lng E n ú chớnh l gi thuyt Planck: nng lng ca mt dao ng t iu hũa bng mt bi nguyờn ca lng t nng lng xỏc nh dng tng minh ca hm súng ( x ) ta lu ý rng vi 2n phng trỡnh (1.4) tr thnh v ''( ) v '( ) 2nv( ) Mt khỏc a thc Hermite li tha phng trỡnh H n ''( ) H n '( ) 2nH n ( ) 0, so sỏnh hai phng trỡnh trờn ta cú v( ) ( ) Nn H n ( ), vi N n l h s chun húa v ú 2 ( x) n ( x) N n H n ( x)exp( S dng iu kin chun húa i vi hm Nn n ( x ) dx n x ) ( x) H n2 ( )e d (**) 1, ú a thc Hermite cú dng tng minh n H n ( ) ( 1) e (2 )2 n n e n(n 1) (2 ) n 1! n(n 1)(n 2)(n 3) (2 ) n 2! t: I H n2 ( )e d 10 Tớnh tớch phõn I ú I t u 2 n H ( )e ( 1) n d ( 1) dn Hn ( ) n e d dn H n ( ); dv d e d n1 du Suy v I 2 n dn Hn ( ) n e d d , d H n ( )d d dn e d n1 ( 1) n d dn Hn ( ) n e d d d Tớch phõn tng phn tớch phõn trờn n ln ta thu c ( 1)n ( 1) n e I dn H n ( )d d n dn H n ( ) n(n 1)(n 2) 1.2n n d (***) 2n.n! p dng tớch phõn Poisson I 2a ta cú e d x ne ax dx (2n 1) , 2n 2n Thay cỏc kt qu vo (***) ta c I Thay I vo (**) ta cú: 2n.n! 39 2n z Wn = z ep np ! (3.41) Nhn xột: T (3.35) ta thy rng gii hn Shot Noice bt thng F/4 luụn luụn ln hn gii hn Shot Noice bỡnh thng vỡ F>1 vi p>1 H thc (3.40) chng t rng, c trng z ca trng thỏi kt hp bt thng l nh hn s ht trung bỡnh v s khỏc bit ny tng theo bc p ca thng kờ para Trng hp c bit vi trng thỏi chõn khụng , ta cú: %2 Q p P% 0 Khi p = ta thu c kt qu quen thuc i vi trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t boson: zNz Wn z 2 nz = e z 2n z n! (3.42) T (3.42), ta thy xỏc sut tỡm thy n ht trng thỏi kt hp l hm phõn b Poisson Cỏc trng thỏi cú hm phõn b Poisson l mt trng thỏi c in Vy trng thỏi kt hp l mt trng thỏi c in 40 %2 n n Q n 16 P% n Vy thng giỏng lng t ca ta v xung lng trng thỏi kt hp luụn ng vi bt nh ti thiu suy t h thc bt nh T kt qu trờn ta cú th kt lun rng cỏc dao ng t cú thng kờ para boson c xem nh l s bin dng ca dao ng t boson 3.4 Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t para boson bin dng 3.4.1 Dao ng t boson bin dng q tng quỏt Trong bi bỏo [10], Giỏo s o Vng c ó ngh mt kiu bin dng q tng quỏt m bao gm c cỏc dao ng t bin dng q thụng thng v cỏc dao ng t cú thng kờ vụ hn nh l trng hp c bit, ú cỏc toỏn t sinh, hy dao ng t tha h thc giao hoỏn sau: aa qa a cN q , (3.43) ú q, c l hai tham s Nh vy c h thc (3.43) tr v h thc ca bin dng q thụng thng: aa V c 0,q qa a N q h thc (3.43) tr v h thc ca cỏc dao ng t cú thng kờ vụ hn: aa 1, H thc giao hoỏn (3.43) s dn ti h thc: a a n q a n n a n c q a n cN q , õy chỳng ta s dng ký hiu s bin dng c ký hiu nh sau: (3.44) 41 x c q q x q cx c q q i s (3.43) cú th c thc hin khụng gian Fock vi c s l cỏc vộc t trng thỏi riờng ó chun húa ca toỏn t s dao ng t N nh sau: n a n ! n c q khụng gian ny ta cú cỏc h thc: a a N c q aa N (3.45) c q 3.4.2 Dao ng t para-boson bin dng q tng quỏt Da vo h thc (3.14), chỳng tụi xut mt kiu bin dng ca dao ng t para boson, bng cỏch lm bin dng n s ht n v cỏc tha s liờn quan n bc ca thng kờ para c xut nh sau: n aa 1 c n 1q a a n n q p 1q n (3.46) 1 c c n c n p 1q n T cụng thc (3.46) chng t rng khụng gian Fock vi c s l vộc t trng thỏi riờng n ca toỏn t s dao ng t N cú cỏc biu thc sau: aa N c q a a N c q 1 1 n c p q (3.47) n c p , q v h thc giao hoỏn bin dng ca cỏc dao ng t para boson nh sau: a,a aa a a N c q (3.48) N c q N c p q 42 i s (3.48) cú th c thc hin khụng gian Fock vi cỏc vộc t c s l cỏc vộc t trng thỏi riờng ó chun húa ca toỏn t N n a c n p n (3.49) , ! q ú: n c np q n c c c p 1q q c np với n chẵn q c ! 1p q c 2p q với n lẻ c n p q q 3.4.3 Phõn b thng kờ para-bose bin dng q tng quỏt Da vo h thc (3.47) chỳng tụi tớnh c phõn b thng kờ ca a a vi kt qu nh sau: c a a e e p 1q q qc e q1 c e2 , (3.50) t (3.50), q=1 chỳng ta thu c phõn b thng kờ i vi cỏc dao ng t para - boson a a p e , e2 (3.51) p chỳng ta cú phõn b thng kờ i vi h cỏc dao ng q tng quỏt: a a e e q q e c q1 c , (3.52) v t ú s thu c kt qu ca M.Chaichian [8] cho thng kờ i vi h dao ng t boson bin dng q thụng thng c a a e e q q1 e , (3.53) 43 c chỳng ta thu li phõn b thng kờ vụ hn: 0,q a a (3.54) e 3.4.4 Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t para-boson bin dng q tng quỏt i vi cỏc dao ng t Para-Boson bin dng q tng quỏt, trng thỏi kt hp z tha phng trỡnh hm riờng, tr riờng ca toỏn t hy dao ng t az zz cú dng nh sau: n n z z a C z z c n n ! p q z C z (3.55) n n, c n n ! p q vi C(z) l hng s chun húa C z z2 e (3.56) , p x ú e l hm m Para bin dng q tng quỏt c nh ngha qua p cụng thc x e p x n c n p ! q Tớnh toỏn da vo h thc (3.48) chỳng tụi chng minh c cỏc toỏn t ta Q v toỏn t xung lng P tuõn theo h thc giao hoỏn sau: P,Q ih N c q N c q N p c q (3.57) 44 Cỏc biu thc v bin thiờn ton phng ca ta v xung lng trong trng thỏi kt hp cú dng: Q z 2 z 1F P%z z (3.58) vi: z2 F e z 2n n c p n ! p c n q c q n p c q q S ht trung bỡnh trng thỏi kt hp v xỏc xut trng thỏi kt hp cú n ht l: zNz z z2 W e n z2 ep z2 ep (3.59) z n p p 2n (3.60) c ! q vi: 1x e p d e dx x p n n n p c q x n 45 3.5 Kt lun chng Trong chng ny chỳng tụi ó nghiờn cu mt cỏch h thng v dao ng t para boson, Cỏc kt qu chớnh t c l: + Tỡm c cỏc h thc giao hoỏn ca cỏc toỏn t sinh, hy dao ng t para boson, tớnh thng kờ para boson + ó xõy dng c trng thỏi kt hp, tớnh cỏc biu thc v thng giỏng lng t (phng sai) ca ta v xung lng, tớnh s ht trung bỡnh trng thỏi kt hp v xỏc sut trng thỏi kt hp cú n ht cho dao ng t para boson +Tỡm c cỏc h thc giao hoỏn ca cỏc toỏn t sinh, hy dao ng t para boson bin dng q tng quỏt, tớnh thng kờ para Bose bin dng q tng quỏt + ó xõy dng c trng thỏi kt hp, tớnh cỏc biu thc v phng sai ca ta v xung lng, tớnh s ht trung bỡnh trng thỏi kt hp v xỏc sut trng thỏi kt hp cú n ht cho dao ng t bin dng q tng quỏt 46 KT LUN Qua vic thc hin ti Dao ng t para bose, chỳng tụi ó t c mt s kt qu sau: + Chng minh c rng: Cỏc toỏn t sinh ht boson v hy ht boson tuõn theo h thc giao hoỏn Cũn cỏc i vi dao ng t fermion phi tuõn theo nguyờn lý cm Pauli, nờn toỏn t sinh ht fermion v hy ht fermion tuõn theo h thc phn giao hoỏn + Xõy dng cỏc h thc v tỏc dng ca toỏn t sinh ht , hy ht lờn cỏc vộct c s ca khụng gian Fock, t ú chỳng tụi tỡm c biu din ma trn cho cỏc toỏn t sinh ht , hy ht v toỏn t s ht c hai trng hp boson v fermion + Xut phỏt t biu thc trung bỡnh thng kờ theo hp chớnh tc ln ca mt i lng vt lý F c biu hin bi toỏn t F$, da vo cỏc h thc toỏn t ó thu c trờn chỳng tụi xõy dng c phõn b thng kờ BoseEinstein v phõn b thng kờ Fermi-Dirac theo phng phỏp khỏc vi phng phỏp Cỏc ụ Boltzmann, v phng phỏp Gibbs quen thuc + Tỡm c cỏc h thc giao hoỏn ca cỏc toỏn t sinh, hy dao ng t para boson, tớnh thng kờ para boson 47 + ó xõy dng c trng thỏi kt hp, tớnh cỏc biu thc v thng giỏng lng t (phng sai) ca ta v xung lng, tớnh s ht trung bỡnh trng thỏi kt hp v xỏc sut trng thỏi kt hp cú n ht cho dao ng t para boson +Tỡm c cỏc h thc giao hoỏn ca cỏc toỏn t sinh, hy dao ng t para boson bin dng q tng quỏt, tớnh thng kờ para Bose bin dng q tng quỏt + ó xõy dng c trng thỏi kt hp, tớnh cỏc biu thc v phng sai ca ta v xung lng, tớnh s ht trung bỡnh trng thỏi kt hp v xỏc sut trng thỏi kt hp cú n ht cho dao ng t bin dng q tng quỏt TI LIU THAM KHO [1] Nguyn Quang Bỏu, Vt lớ thng kờ, NXB HQG H Ni 2003 [2] Hong Ngc Long (2003), C s vt lý ht c bn, Nxb.Thng kờ H Ni [3] Hong Ngc Long (2003), Nhp mụn lý thuyt trng v mụ hỡnh thng nht in yu, Nxb.Thng kờ H Ni [4] Nguyn Vn Hiu, Nguyn Bỏ n (2003), C s lý thuyt ca vt lýlng t, Nxb HQG H Ni [5] A.J.Macfarlame (1989), On q -annalogues of the Quantum Harmonic Osdil - lator and the Quantum Group SU (2)q, J.Phys A: MAth Gen,( 22) 4581 [6].H.S.Green (1953), A Generalized Method of Field Quantization,Phys.Rev,(90),270 [7] L.C Biedenhar (1989), The quantum group SUq (2) and a q - analoque of the Boson operators, J Phys A: Math Gen 22, 1873 [8] M Chaichian, R Gonzalez Felipe and C Montonen (2006), Statistics of q - Oscillators, quons and relations to fractional Statistics, J Phys Lett B5,187 - 193 48 [9] M Chaichian, P.P Kulish (1990), quantum superalgebras, q - oscillators and application, Preprint CE RN - TH 5969/90 [10] D.V.DUC (1994), Generalised q- Deformed oscillators and Their Statistics, Preprint ESNLAPP-A-494/94, Marseille [11] R Chakrbarti and R, Jagarnathan (1992), On the number operators of single - mode q - oscillators, J Phys A: Math.Gen 25 , 6393 - 6398 [12] S Chartuvedi, V Srinivasan (2001), Aspects of q - oscillators quantum Mechanics, Phys Rev A44, 8020 - 8023 [13] Loan N.T.H (1996), Deformed Oscillators and Their Statistics, Communications in Physics, Volume 6, Number [14] L.T.K.Thanh (1999), Coherent States for Deformed Para Boson Oscillators, Comm.In Phys, (4),242-248 [15] Luu Thi Kim Thanh (2009), The Average Energy for the q-Deformed Harmonic Oscillator, Com in Phys Vol 19, No 2, 124 128 [16] Tran Thai Hoa, Luu Thi Kim Thanh, Mai Thi Linh Chi, Luong Khanh Toan (2010),The Applications of Q-Deformed Statistics in Phonomenon of Bose-Einstein Condensation for the Q-Deformed Gases, The 35th national Conference on Theoretical Physics TP H Chớ Minh, 35 49 MC LC M U 1.Lý chn ti: 2.Mc ớch nghiờn cu: 3.Nhim v nghiờn cu: 4.Phng phỏp nghiờn cu: i tng nghiờn cu Nhng úng gúp mi v khoa hc, thc tin ca ti Chng :BIU DIN S HT CA DAO NG IU HềA 1.1.Dao ng iu hũa 1.2 Biu din ta ca dao ng iu hũa 1.3 Biu din s ht ca dao ng iu hũa 1.4 Kt lun chng Chng2: DAO NG T BOSON V DAO NG T FERMION 2.1 Cỏc h thc giao hoỏn ca toỏn t sinh, hy dao ng t 50 2.2 Cỏc h thc giao hoỏn ca toỏn t sinh, hy boson 2.3 Cỏc h thc giao hoỏn ca toỏn t sinh, hy fermion 2.3 Phõn b thng kờ Bose-Einstein v phõn b thng kờ Fermi-Dirac 2.5 Kt lun chng 2: Chng 3: DAO NG T PARA BOSON 3.1 Dao ng t para-boson 3.2 Thng kờ para Bose 3.3 Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t para-boson 3.3.1 nh ngha trng thỏi kt hp 3.3.2 Mt s tớnh cht ca trtng thỏi kt hp 3.4 Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t para boson bin dng 3.4.1 Dao ng t boson bin dng q tng quỏt 3.4.2 Dao ng t para-boson bin dng q tng quỏt 3.4.3 Phõn b thng kờ para-bose bin dng q tng quỏt 3.4.4 Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t para-boson bin dng q tng quỏt 3.5 Kt lun chng KT LUN TI LIU THAM KHO 51 LI CM N! Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti PGS.TS Lu Th Kim Thanh ngi ó tn tỡnh hng hn, giỳp tụi sut quỏ trỡnh hon thnh lun Xin trõn trng cm n cỏc thy giỏo, cụ giỏo Khoa Vt Lý, c bit l cỏc thy, cụ phũng Sau i hc Trng i hc S phm H Ni ó to mi iu kin thun li cho tụi thi gian hc v nghiờn cu Xin gi li cm n n gia ỡnh, bn bố, ng nghip, ó luụn ng viờn, giỳp tụi lun c hon thnh H Ni, thỏng nm 2013 Tỏc gi inh Mnh Dng 52 LI CAM OAN Tụi xin cam oan rng s liu v kt qu nghiờn cu lun ny l trung thc v khụng trựng lp vi cỏc ti khỏc Tụi cng xin cam oan rng mi s giỳp cho vic thc hin lun ny ó c cm n v cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, thỏng nm 2013 Tỏc gi inh Mnh Dng 53