Tìm phonon âm bằng hình thức luận dao động tử biến dạng của mạng tinh thể

Ví dụ chúng liên quan đến những vấn đề đa dạng trong Vật lý lí thuyết như nghiên cứu nghiệm của phương trình Yâng – Blaster lượng tử, vấn đề tán xạ ngược lượng tử, mẫu hoà tan chính xác

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan, người đã hướng dẫn tôi thực hiện luận văn này Cô đã cung cấp những tài liệu và truyền thụ cho tôi những kiến thức mang tính khoa học và hơn nữa là phương pháp nghiên cứu khoa học Sự quan tâm, bồi dưỡng của

cô đã giúp tôi vượt qua những khó khăn trong qua trình hoàn thành luận văn cũng như trong quá trình học tập và nghiên cứu Đối với tôi, cô luôn

là tấm gương sáng về tinh thần làm việc không mệt mỏi, lòng hăng say với khoa học, lòng nhiệt thành quan tâm bồi dưỡng thế hệ trẻ

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Vật Lý trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 và các thầy cô trong phòng sau đại học, tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành khóa học

Hà Nội, tháng 7 năm 2016

Học viên thực hiện

Nguyễn Minh Hùng

LỜI CAM ĐOAN

Trong quá trình nghiên cứu luận văn về đề tài: “Phonon âm trong hình thức luận dao động biến dạng”, tôi đã thực sự cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu đề tài để hoàn thành khóa luận Tôi xin cam đoan luận văn này được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình hiệu quả của PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan Đây là đề tài không trùng với các đề tài khác và kết quả đạt được không trùng với kết quả của các tác giả khác

Hà Nội, tháng 7 năm 2016

Học viên thực hiện

Nguyễn Minh Hùng

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Những đóng góp mới của đề tài 2

NỘI DUNG 3

Chương 1 DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ 3

1.1 Dao động mạng tinh thể 3

1.1.1 Dao động tử điều hòa 3

1.1.2 Dao động mạng tinh thể 5

1.2 Phonon âm 8

1.2.1 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa 8

1.2.2 Phonon âm 9

Chương 2 DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG CỦA MẠNG TINH THỂ 15

2.1 Dao động biến dạng của mạng tinh thể: 15

2.1.1 Dao động biến dạng –q 15

2.1.2 Dao động biến dạng –q của mạng tinh thể 16

2.2 Phonon âm trong hình thức luận dao động mạng tinh thể biến dạng: 18

2.2.1 Phổ năng lượng của dao động biến dạng –q: 18

2.2.2 Phonon âm trong hình thức luận dao động mạng tinh thể biến dạng 19 Chương 3 DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG –(q, R) CỦA MẠNG TINH THỂ 22

3.1 Dao động biến dạng –(q, R) của mạng tinh thể: 22

3.1.1 Dao động biến dạng –(q, R) 22

3.1.2 Dao động biến dạng –(q, R) của mạng tinh thể 23 3.2 Phonon âm trong hình thức luận biến dạng –(q, R) 25 3.2.1 Phổ năng lượng của dao động biến dạng –(q, R) 25 3.2.2 Phonon âm trong hình thức luận dao động biến dạng –(q, R) của mạng tinh thể 27 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Biến dạng lượng tử có nhiều dạng khác nhau và chỉ trong thời gian gần đây việc thống nhất các dạng mới được nghiên cứu đầy đủ Dao động biến dạng lượng tử đang được nhiều nhà Vật lý trong và ngoài nước nghiên cứu bởi chúng có nhiều ứng dụng trong các mô hình Vật lý Ví dụ chúng liên quan đến những vấn đề đa dạng trong Vật lý lí thuyết như nghiên cứu nghiệm của phương trình Yâng – Blaster lượng tử, vấn đề tán xạ ngược lượng tử, mẫu hoà tan chính xác trong Cơ học thống kê, trong quang lượng tử, sự quay và sự rung động của hạt nhân và đặc biệt là trong môi trường đậm đặc, dao động mạng tinh thể

Theo xu hướng trong và ngoài nước, tôi áp dụng hình thức luận dao động biến dạng để nghiên cứu về tính chất vật lý của môi trường đậm đặc Một trong những ứng dụng đó là nghiên cứu phonon âm

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu phonon âm bằng hình thức luận dao động biến dạng của mạng tinh thể

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm phonon âm bằng hình thức luận dao động biến dạng của mạng tinh thể

4 Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu dao động mạng tinh thể biến dạng

- Tìm toán tử năng lượng của dao động mạng tinh thể

- Giải phương trình để tìm phonon âm trong hình thức luận dao động mạng tinh thể biến dạng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các kiến thức trong Vật lý thống kê, cơ học lượng tử và các phương pháp giải tích toán học

- Các phương pháp nghiên cứu của Vật lý lí thuyết và Vật lý toán

- Các phương pháp nghiên cứu của Vật lý chất rắn

6 Những đóng góp mới của đề tài

Viết tổng quan vể dao động mạng tinh thể biến dạng, áp dụng giải phương trình để tìm phonon âm của dao động mạng tinh thể và có thể tìm hiểu các cơ sở cho các quá trình lượng tử hóa mới

NỘI DUNG Chương 1 DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ

1.1 Dao động mạng tinh thể

1.1.1 Dao động tử điều hòa

Để nghiên cứu các hệ vật lý cụ thể khác nhau, người ta thường sử dụng một số mô hình lượng tử trong vật lý hiện đại Một trong số các mô hình đó là dao động tử lượng tử

Các toán tử sinh a, toán tử hủy a của dao động tử lượng tử thỏa mãn

= a a

= ( a + 1) a

= a +

= Toán tử số dao động N xác định dương và N N Gọi n là vecto riêng của toán tử N ứng với trị riêng n trong không gian Hilbert Ta có

Có nghĩa là nếu n là một vecto riêng của toán tử N ứng với trị riêng n thì

a n và a n là vecto riêng của toán tử N ứng với trị riêng (n – 1) và (n +1)

a n a n n a n a n , … là dãy các vecto riêng của N ứng với các trị riêng … n – 2, n – 1, n, n + 1, n + 2, …

Vì N là toán tử xác định dương (các trị riêng của nó phải không âm) nên dãy sẽ có kết thúc nào đó ở cận dưới Giá trị riêng của cận dưới này là n = 0

Vì vậy ta định nghĩa một vecto đặc biệt 0 trong không gian Hilbert có tính chất sau:

0 0



Ở đây 0 là trạng thái chân không

Ta có N 0 0 nên 0 là vecto riêng của N ứng với trị riêng bằng không Dãy các toán tử a tác dụng lên chân không

tả chuyển động của tập thể các nguyên tử chứ không phải chuyển động của từng nguyên tử riêng lẻ Các kích thích sơ cấp chuyển động trong thể tích tinh thể như là các chuẩn hạt (phonon) có năng lượng và xung lượng xác định Chúng ta đi xem xét với từng trường hợp của mạng tinh thể.Chuỗi các nguyên tử cùng loại xếp đặt cách đều nhau một khoảng bằng a (hằng số

mạng tinh thể) trên trục Ox, mỗi nguyên tử có khối lượng M và dao động xung quanh vị trí cân bằng của nó

Tọa độ của nguyên tử thứ n ở vị trí cân bằng:

Độ dịch chuyển của nguyên tử thứ n:

(t) u( ,t) Giả thiết thế năng giữa 2 nguyên tử kề nhau , ở các nút thứ n và n+1 tỉ lệ với độ dời bình phương tương đối (t) (t)] và bỏ qua tương tác giữa các nút không kề nhau Khi đó thế năng toàn phần của hệ là:

U ∑ ( ) ( ) Trong đó: là hệ số tỉ lệ

Động năng toàn phần của hệ:

T ∑ ( )

Xung lượng của nguyên tử thứ n ứng với tọa độ ( ) là:

(t) M ( )Động năng toàn phần:

T ∑ (t) Năng lượng toàn phần của hệ:

E ∑ (t) + ∑ ( ) ( ) Khi lượng tử hóa ta thay hàm (t) bằng toán tử xung lượng ̂ và hàm ( ) bằng toán tử tọa độ suy rộng ̂ Hamiltonian của hệ trở thành:

H

∑ (t) + ∑ ( ) ( ) (8) Giữa các toán tử ̂ và ̂ có các hệ thức giao hoán:

[ ̂ ̂] = iћ

[ ̂ ̂ ] = 0

[ ̂ ̂ ] = 0

Các toán tử ̂ và ̂ tương ứng với nút thứ n và phụ thuộc vào tọa độ của nút này Ta khai triển các toán tử này theo các sóng phẳng với vectơ sóng nằm trong vùng Brillouin thứ nhất: ̂

√ ∑ ̂ (9)

̂

√ ∑ ̂ (10)

Nhân hai vế của (9) với rồi lấy tổng ∑ :

∑ ̂ =

√ ∑ ( ) ̂

Theo khai triển Fourier ta có: √ ∑ ( )

Nên: ∑ ̂ = √ ∑ ̂

√ ̂

Hay ̂

√ ∑ ̂ (11)

Tương tự nhân 2 vế của (10) với rồi lấy tổng ∑

̂

√ ∑ ̂ (12)

Ta có các hệ thức giao hoán sau: [ ̂ ̂] = iћ

[ ̂ ̂ ] = 0

[ ̂ ̂ ] = 0 Mặt khác thay (9) và (10) vào (8) ta được:

̂ = ∑ (

̂ ̂ ( ) ̂ ̂)Thay:

( ) ( ) Cuối cùng ta được:

̂ ∑ ( ̂ ̂ ( ) ̂ ̂) (13)

1.2 Phonon âm

1.2.1 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa

Toán tử năng lượng của dao động tử điều hòa có dạng

Toán tử xung lượng p và toán tử tọa độ x có thể biểu diễn qua các toán

tử sinh  a , toán tử hủy  a dao động theo hệ thức sau:

22

Các toán tử sinh  a , toán tử hủy  a có thể biểu diễn ngược lại qua

các toán tử xung lượng p và toán tử tọa độ x như sau:

1212

12

12

√ ( ) ̂ √ ( )( ̂ ̂ ) (18)

√ ̂ = -i√ ( )( ̂ ̂ ) (19) Trong các biểu thức trên ̂ và ̂ là các toán tử mới được biểu diễn ngược lại qua ̂ và ̂ như sau:

Từ (18) và (19) ta suy ra:

̂ √

( )( ̂ ̂ )

̂ √ ( )( ̂ ̂ ) Hay ta có:

Suy ra (13) trở thành:

̂ ∑ ( )( ̂ ̂ ̂ ̂ ) (21) Theo hệ thức giao hoán (20) ta có:

Như vậy có thể coi mạng tinh thể dao động như một hệ nhiều hạt mà

là các toán tử hủy và sinh hạt có vec tơ sóng k xung lượng k và năng lượng ( ) Các hạt này là các lượng tử trong dao động của mạng tinh thể gọi là các phonon

Trong thực tế ta không có các hạt thật mà chỉ có các trạng thái dao động khác nhau của mạng tinh thể được mô tả giống như một hệ hạt có nghĩa là các phonon không phải là các hạt thật mà chỉ là các giả hạt hay còn gọi là các chuẩn hạt Dao động của chuỗi nguyên tử cùng loại là các sóng âm và các phonon trong trường hợp này gọi là các phonon âm Việc nghiên cứu phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể quy về bài toán tìm các véc tơ riêng

và trị riêng của Hamiltonian (21) trong đó các toán tử ̂ và ̂ thỏa mãn các

hệ thức giao hoán (20) Để làm điều này ta đưa vào toán tử số dao động :

= (23)

Hệ thức giao hoán giữa toán tử với các toán tử có dạng: [ ] = (24)

[ ] =

Từ hệ thức giao hoán (20) ta có thể chứng minh hệ thức (24) như sau:

[ , ] = = = ( + 1) =

= [ , ] = = = ( ) = +

| ⟩ = ( )

√ | ⟩

= ( )

√ | ⟩ = ( )( )

√ | ⟩ = ( ) ( )

√ | ⟩ =

√

( )

√( ) | ⟩ = ( )

√

( )

√( ) | ⟩ = √ | ⟩

| ⟩ = ( )

√ | ⟩ = ( )

√ | ⟩ = √( ) ( )

√( ) | ⟩ = √( )| ⟩

Để tìm phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử cùng loại chúng ta giải phương trình:

| ⟩ = | ⟩ (29) Hay thay H từ công thức (21) vào biểu thức (29) ta thu được:

∑ ( ) | ⟩ = | ⟩ (30) ∑( ) ( ){ | ⟩ + | ⟩} = | ⟩

∑( ) ( ){( )| ⟩ + | ⟩} = | ⟩ ∑( ) ( ){( )| ⟩ + | ⟩} = | ⟩

∑( ) ( ){( ) }| ⟩ = | ⟩ ∑ ( )( ) ( )| ⟩ = | ⟩

Vậy:

= ∑( ) ( )( )

Chương 2 DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG CỦA MẠNG TINH THỂ

2.1 Dao động biến dạng của mạng tinh thể:

2.1.1 Dao động biến dạng –q [2]

Dao động biến dạng –q được mô tả bởi các toán tử sinh dao động a,

toán tử hủy dao động a , tuân theo các hệ thức giao hoán

Từ hệ thức (31) và (36) ta có thể chứng minh được các hệ thức sau:

| ⟩ = | ⟩

= | ⟩

Từ công thức (31) ta có:

| ⟩ = (q + )| ⟩ = (q + )| ⟩ = q | ⟩ + | ⟩ = q | ⟩ + | ⟩ = (q + )| ⟩ = (q

)| ⟩ =

| ⟩ =

| ⟩ = | ⟩

2.1.2 Dao động biến dạng –q của mạng tinh thể [2]

Ở phần này ta xây dựng dao động biến dạng –q của mạng tinh thể, nó là

cơ sở để nghiên cứu dao động mạng tinh thể theo những quá trình lượng tử hóa mới

Các toán tử sinh dao động  a k , toán tử hủy dao động  a k ứng với

vecto sóng k thỏa mãn các hệ thức giao hoán biến dạng –q như sau:

k q

a n

√ | ⟩ = ( )

√ | ⟩

= | ⟩ = √ | ⟩

| ⟩ = ( )

√ | ⟩ = √ ( )

√ | ⟩ = √ | ⟩

2.2 Phonon âm trong hình thức luận dao động mạng tinh thể biến dạng:

2.2.1 Phổ năng lượng của dao động biến dạng –q:

Toán tử năng lượng H của dao động biến dạng –q được biểu diễn qua

các toán tử sinh dao động a, toán tử hủy dao động a theo hệ thức

12

12

Từ đó suy ra phổ năng lượng En có dạng

2.2.2 Phonon âm trong hình thức luận dao động mạng tinh thể biến dạng:

Toán tử năng lượng của dao động biến dạng –q của mạng tinh thể có thể biểu diễn qua các toán tử sinh dao động a k, toán tử hủy dao động a k

 là lấy tổng theo vecto sóng k trong vùng Brillouin thứ nhất

Để tìm phổ năng lượng của dao động biến dạng –q của mạng tinh thể ta cần giải phương trình

k

k q n k q

H n E n (51) Thay (47) và (50) vào phương trình (51) ta có

Như vậy phổ năng lượng của dao động biến dạng –q của mạng tinh thể

sẽ có dạng từng đám cách không đều nhau, trong mỗi đám có nhiều vạch phổ phân bố gần nhau nhưng khoảng cách giữa các vạch cũng không đều nhau Dao động mạng tinh thể biến dạng –q ta đang xét được diễn tả bằng Hamiltonian (50) với các toán tử thỏa mãn các hệ thức giao hoán (39) Vì vậy có thể coi dao động mạng tinh thể biến dạng –q như hệ nhiều hạt với là toán tử sinh hạt có véc tơ sóng k xung lượng ћk và năng lượng

ћ (k) còn là toán tử hủy hạt như thế Các hạt này là các lượng tử trong biến dạng –q của mạng tinh thể và gọi là các phonon âm –q

Ta tìm các phương trình chuyển động:

= { } =

= ∑( ) ( )[

=

(√ )

(√ ) (√ ) (√ ) = { } + √ [ (√[ ] )( ) +

(√[ ] )( )]

=

lnq

= ( ) Trong đó: ћ = lnq Thay vào trên ta có:

= ∑( ) ( ) (-i) ( ) = ∑ ( )( ) (**) = { }

=

Chương 3 DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG –(q, R) CỦA MẠNG TINH THỂ

3.1 Dao động biến dạng –(q, R) của mạng tinh thể:

3.1.1 Dao động biến dạng –(q, R) [9]

Toán tử sinh a, toán tử hủy a của dao động biến dạng –(q, R) thỏa mãn

các hệ thức giao hoán sau:

aaqa a qN R (56)

Ở đây q, là những thông số biến dạng thực

R là toán tử phản xạ thỏa mãn các điều kiện:

0 : là trạng thái chân không thỏa mãn điều kiện:

 n 0  q  n 0

a a a   n  a (62) Trong đó n = 0, 1, 2, …

Ở đây sử dụng kí hiệu

1

n n

n   n  n  n   (66) Dùng hệ thức (56), (59) và (65) có thể chứng minh được

3.1.2 Dao động biến dạng –(q, R) của mạng tinh thể [8]

Toán tử sinh  a k , toán tử hủy  a k của dao động biến dạng –(q, R) của

mạng tinh thể ứng với vecto sóng k thỏa mãn các hệ thức giao hoán sau:

R là toán tử phản xạ, có tính chất Hecmit (Hermitian) và thỏa mãn

k q

a n

k k

k q

n n

Vì n k q là trạng thái riêng của toán tử số dao động N cho nên: k

√ | ⟩ =

√

( )

√ | ⟩ =

√ | ⟩ = √ | ⟩

| ⟩ = ( )

√ | ⟩ = √ ( )

√ | ⟩ = √ | ⟩

3.2 Phonon âm trong hình thức luận biến dạng –(q, R)

3.2.1 Phổ năng lượng của dao động biến dạng –(q, R) [8]

Toán tử năng lượng của dao động điều hòa biến dạng –(q, R) một chiều

có dạng

2

H   aa a a (76)

Để tìm phổ năng lượng của dao động điều hòa biến dạng –(q, R) chúng

ta cần giải phương trình sau