DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG R(Q)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI PHẠM THỊ HỒNG LÊ DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG R(Q) Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết Vật lí Toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Thị Hà Loan HÀ NỘI, 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan, người tận tình giúp đỡ bảo cung cấp cho kiến thức tảng để hoàn thành luận văn Cô người giúp ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc Cô Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cô công tác phòng sau Đại Học, Khoa Vật Lí Trường Đại học sư phạm Hà Nội Giáo sư, Tiến sĩ trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho kiến thức quý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua Cuối cùng, xin chân thành gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện cho suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Hà Nội, tháng 07 năm 2013 Tác giả Phạm Thị Hồng Lê LỜI CAM ĐOAN Tên là: Phạm Thị Hồng Lê, học viên cao học khóa 2011 – 2013 chuyên ngành Vật lí lí thuyết Vật lí toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin cam đoan đề tài: “Dao động tử biến dạng R(q)”, kết nghiên cứu thu thập riêng Các luận cứ, kết thu đề tài trung thực, không trùng với tác giả khác Nếu có không trung thực luận văn xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Phạm Thị Hồng Lê MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn NỘI DUNG Chƣơng 1: Dao động tử biến dạng 1.1 Dao động tử Boson biến dạng 1.1.1 Dao động tử Boson 1.1.2 Dao động tử Boson biến dạng q 1.2 Dao động tử Fermion biến dạng 17 1.2.1 Dao động tử Fermion 17 1.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng q 18 1.3 Dao động tử Paraboson biến dạng 22 1.3.1 Dao động tử Paraboson 22 1.3.2 Dao động tử Paraboson biến dạng q 27 1.4 Dao động tử biến dạng R 28 Chƣơng 2: Phân bố thống kê dao động tử biến dạng 32 2.1 Định nghĩa thống kê dao động tử 32 2.2 Phân bố thống kê dao động tử Boson biến dạng 33 2.3 Phân bố thống kê dao động tử Fermion biến dạng 34 2.4 Phân bố thống kê dao động tử Paraboson biến dạng 35 2.5 Phân bố thống kê dao động tử biến dạng R 37 Chƣơng 3: Dao động tử biến dạng R(q) 39 3.1 Dao động tử biến dạng R(q) 39 3.2 Phân bố thống kê dao động tử biến dạng R(q) 43 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Vật lý học xem ngành khoa học chi phối tất ngành khoa học tự nhiên khác, môn khoa học tự nhiên nghiên cứu quy luật đơn giản tổng quát tượng tự nhiên, nghiên cứu tính chất, cấu trúc vật chất quy luật vận động vật chất Nhìn vào lịch sử vật lý, ta thấy nhà khoa học nhiều lần biến dạng quy luật vật lý để tạo nên lý thuyết đáp ứng nhu cầu nghiên cứu Trong năm gần đây, việc nghiên cứu đại số biến dạng q thu hút quan tâm nhiều nhà vật lý Bởi cấu trúc toán học chúng liên quan đến vấn đề đa dạng vật lý lý thuyết lý thuyết tán xạ ngược lượng tử, mẫu hòa tan xác học thống kê, lý thuyết trường Comfomal hữu tỉ, lý thuyết trường hai chiều với thống kê phân số… Đặc biệt người ta thấy nghiên cứu biến dạng lượng tử tỏ hữu hiệu nghiên cứu quang lượng tử, rung động hạt nhân nguyên tử, vật lý vật chất đông đặc Bên cạnh biến dạng R quan tâm Đại số Heisenberg biến dạng R mô tả hạt có spin cao Biến dạng R(q) biến dạng tổ hợp biến dạng R biến dạng q Lý thuyết nhóm đối xứng vấn đề vật lý lý thuyết Sự hiểu biết nhóm Lie đại số nhóm Lie trở nên cần thiết, công cụ chủ yếu vật lý lý thuyết đại Gần đại số Lie người ta quan tâm đến biến dạng đại số Lie Đặc biệt biến dạng pha trộn biến dạng R biến dạng q Từ lý trên, chọn đề tài: “Dao động tử biến dạng R(q)” 2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu dao động lượng tử biến dạng q, biến dạng R biến dạng R(q) Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử biến dạng - Nghiên cứu dao động biến dạng R(q) Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu dao động lượng tử, biểu diễn dao động lượng tử tính thống kê dao động lượng tử biến dạng R(q) Phƣơng pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp vật lý lý thuyết vật lý toán - Sử dụng phương pháp lí thuyết nhóm đối xứng Cấu trúc luận văn Luận văn gồm ba chương: Chương 1: Dao động tử biến dạng Chương 2: Thống kê dao động tử biến dạng Chương 3: Dao động tử biến dạng R(q) NỘI DUNG CHƢƠNG I: DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG Trong chương này, viết tổng quan dao động tử lượng tử, dao động boson biến dạng, dao động tử fecmion biến dạng, dao động tử Paraboson biến dạng dao động tử biến dạng R 1.1 Dao động tử boson biến dạng 1.1.1 Dao động tử boson Dao động tử boson đơn mode đặc trưng hệ thức giao hoán: a,a (1.1.1) Toán tử số dao động tử N biểu diễn theo toán tử hủy dao động tử a toán tử sinh dao động tử a có dạng: N a a đó: (1.1.2) a: toán tử hủy dao động tử a : toán tử sinh dao động tử Kết hợp (1.1.1) với (1.1.2) ta có: N, a a a, a a aa aa a (a a aa )a (aa a a )a a, a a a N, a a a, a a aa a a a a (aa a a) a a, a a Như vậy: N,a a, N,a a (1.1.3) Không gian Fock không gian mà vector sở trạng thái với số hạt xác định Trong không gian Fock, trạng thái chân không định nghĩa trạng thái thỏa mãn điều kiện: a0 (1.1.4) Đưa vào sở không gian Fock n trạng thái riêng toán tử số dao động tử ứng với trị riêng n: n a n n! n=0, 1, 2, Ta chứng minh: Nn nn Nn a an Thật vậy: a a a n! n n a a a n! n a a, a n! (1.1.5) a n a n! n n a n! nn n Bây giờ, ta chứng minh rằng: a, a n n n a (1.1.6) Với n 1: a,a Với n 2: a, a a a,a a,a a 2a Nhận thấy (1.1.6) với n 1, Dùng phương pháp quy nạp, giả sử biểu thức (1.1.6) với n a, a k k k a Ta phải chứng minh biểu thức (1.1.6) với n a, a k a k a, a a k a a,a k k a k , tức là: a k a k 1: k k Vậy phương trình (1.1.6) với n k Suy (1.1.6) với n Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ Q toán tử xung lượng P liên hệ với toán tử hủy, sinh dao động a, a sau: 32 CHƢƠNG 2: THỐNG KÊ CỦA CÁC DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG Trong chương này, trình bày định nghĩa thống kê dao động tử, thống kê dao động tử boson biến dạng, thống kê dao động tử fecmion biến dạng, thống kê dao động tử para biến dạng, thống kê dao động tử biến dạng R nhận thấy thông số biến dạng tiến đến giá trị phân bố thống kê dao động tử biến dạng trở thành thống kê thông thường chưa biến dạng 2.1 Định nghĩa thống kê dao động tử Phân bố thống kê toán tử F định nghĩa qua công thức: F Tr e H F Z (2.1.1) Z tổng thống kê, xác định tính chất nhiệt động hệ, phản ánh trạng thái nội hệ, Z gọi hàm trạng thái (hay hàm phân bố) có dạng: H Z Tr e với (2.1.2) , k số Bolzmann, T nhiệt độ hệ H Hamiltonian kT hệ, vết lấy theo đầy đủ trạng thái hệ, trường hợp đơn giản ta có H với N (2.1.3) lượng dao động hạt Vậy ta có: Z Tr e ne n N N n 33 n e n e e n e e n lim n e 1 e 1 e e e (2.1.4) 2.2 Thống kê dao động tử boson biến dạng Phân bố thống kê dao động tử Boson biến dạng q phân bố thống kê a a : a a Tr e Z Zn N a a N ne Nqn e Zn qn q n q q1 n 1 Zq q 1 Zq q e n 1 qe 1 Zq q 11 n n q n e n 1 q 1e q q 1e q q 1e e q n 34 e e e q q e e e e e e q q e e2 e e q q 1e e2 1 e e2 q q 1 e e (2.2.1) Khi giới hạn q tiến tới a a e trở phân bố Bose - Einstein thông thường 2.3 Thống kê dao động tử fermion biến dạng Phân bố thống kê dao động tử Fermion biến dạng q phân bố thống kê b b b b Tr e Z Zn Zn N b b N ne b bn N ne N b n e Zn e Zn e Zn n n n n n q b nn b n n qn q q 35 1 Zq q 1 Zq q n e n q n q n n 1 n e e q 1 e q 1 e q q1 Zq q 11 e q q1 e 1 Z e q q e e 1 e2 e2 q q 1 e e2 e e q q 1e e2 Khi giới hạn q =1 b b e 1 e (2.3.1) phân bố thống kê (2.3.1) trở phân bố thống kê dao động tử Fermion thông thường 2.4 Thống kê dao động tử Paraboson biến dạng Từ định nghĩa ta có phân bố thống kê toán tử a a a a Tr e Z N a a Từ phương trình (1.3.29) ta có: a a Zn Z Z ne N N n (c) q e n e n n n n (c) q (c) q 1 (c) p 1q e n (c) p 1q e n (c) n p 1q n 1 n n (2.4.1) n n e n n 36 Tính tổng I1 n (c) q e n e n ta có: n I1 n q n q cn q qc q q n qe c n n 1 q q qe 1 qce c q qc e q qc q qc e e (q q c )e e q qc n Tổng I2 e n qce n q c 1e q c 1e 2 q c 1e tổng cấp số nhân lùi vô hạn với công bội n q e , nên: n I2 e 1 e n n Thay I1 ,I2 vào (2.4.1) ta được: a a e e e q qc 1 (c) p 1q e q c 1e (c) = e e2 q qc e e2 q qc e p 1q qc 1 e e (c) = e p 1q qc e e 1 e 37 (c) = e e2 p 1q e q qc e qc e2 1 Khi q ta thu phân bố thống kê dao động tử paraboson thông thường: a a p e e2 (2.4.2) Khi p = ta lại thu phân bố thống kê hệ dao động tử biến dạng q tổng quát: a a Đặc biệt p 1,c e e q q e c q1 (2.4.3) c ta thu hệ dao động tử boson biến dạng q thông thường: a a e q q1 e e2 (2.4.4) 2.5 Thống kê dao động tử biến dạng R Từ định nghĩa ta có phân bố thống kê toán tử a a Tr e Z a a N e Zn Z N N e a a n n 1 e n Tính toán với số hạng: ne n n d d e n n n n (2.5.1) n n 1 n 38 d d e e e n e 1 n e n e e e e e e e Z 1 e n e n Suy ra: a a e e e e e e e e e e a a 1 e e e 1 (2.5.2) 39 CHƢƠNG 3: DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG R(q) Trong chương này, nghiên cứu dao động tử biến dạng R(q) tổ hợp biến dạng R biến dạng q, đưa biểu diễn tính phổ lượng chúng Ngoài tính thống kê dao động tử biến dạng R(q) 3.1 Dao động tử biến dạng R(q) Đại số Heisenberg biến dạng R(q) sinh toán tử sinh, hủy a ,a toán tử phản xạ R thỏa mãn hệ thức sau: aa a a aR qRa R (3.1.1) a R q 1Ra R2 đây, q thông số biến dạng thực thông số Cho phép đưa vào sở không gian Fock n Cn a n trạng thái chân không thỏa mãn: a0 00 R0 Cn hệ số chuẩn hóa xác định từ điều kiện n n , n,n, Từ hệ thức (3.1.1) ta chứng minh rằng: a, a n q n q n R a n (3.1.2) 40 Thật vậy: Với n = 1, ta có: a,a R Với n = 2: a,(a )2 a a,a a,a a a (1 νR) (1 νR)a 2a ν(a R Ra ) 2a ν(1 q )Ra q2 νR a q1 Với n = 3: a,(a )3 (a )2 a,a a,(a ) a (a ) (1 νR) (2a ν(1 q )Ra )a 3(a ) (a ) νR νR(a ) 3(a ) q νR(a ) 3(a ) ν(q q νq 1R(a ) νR(a ) νq 1R(a ) 1)R(a ) 1 q3 νR (a ) 1 q Nhận thấy (3.1.2) với n =1, 2, Giả sử (3.1.2) với n =k, tức là: a,(a ) k q q k k R a k Ta chứng minh (3.1.2) với n = k+1 Thật vậy: a,(a ) k a k a,(a ) k a a,a k (a ) (1 R) q k q k R a k a 41 k k a a k k a q k k a k k q q R q k q (k 1) k R q1 q q a 1 q q k R a k R a k k k R a R a k k k Suy (3.1.2) với n =k+1 Hệ quả: a an n aa n n q n (3.1.3) q n dùng kí hiệu: n q n q q n Suy ra: a n n n n, n q (3.1.4) ! n,n, n q ! n q n q q Trong không gian Fock toán tử a a , aa viết dạng: qN q a a N aa qN 1 N q (3.1.5) 42 *Chứng minh: N qN q n a an n a a n Từ hệ thức (3.1.2): a a a a q q n n n qn q N qN q n n Vậy không gian Fock, a a viết dạng: a a N qN q Trong trường hợp đặc biệt: p q N,a a (3.1.6) Chúng ta có kết dao động Paraboson đơn mode: (p 1) ( 1) N a,a a a N aa p (3.1.7) Chúng ta tìm phổ lượng dao động biến dạng R(q): Q h 2m P i m h a a a a Hamitolnion dao động biến dạng R(q) có dạng: H m Q2 P2 2m (3.1.8) 43 h aa h a,a H H H a a (3.1.9) h qN qN 2N q Hệ thức bất định R(q) biểu diễn sau: Q,P ih a,a ih (3.1.10) R Phổ lượng dao động biến dạng R(q) cho hệ thức: Hn đây: En h aa n a a a qn n! có: E n n 2 qn 2 q E0 (3.1.11) Trong trường hợp: q=1 có: E n q n n h (3.1.12) h h , phổ lượng dao động tử biến dạng R(q) trở phổ lượng dao động tử biến dạng R 3.2 Thống kê dao động tử biến dạng R(q) Từ hệ thức (3.1.4) (3.1.5) ta tính phân bố thống kê: a a Zn Zn N ne a an ne N e Zn N n N qN q qN q n 44 Tính toán với số hạng, ta có: ne e n n e n qn e q n qne q n q 1 qe Z n e n n 1 e 1 qe Do ta có: a a e e e e (q 1)e q 1 qe e e 1 e qe q 1 qe 1 e 45 KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu, luận văn đạt số kết sau: 1/ Viết tổng quan dao động tử lượng tử 2/ Viết tổng quan dao động tử biến dạng 3/ Tính phân bố thống kê dao động tử biến dạng 4/ Chỉ thông số biến dạng tiến đến giá trị giới hạn đại số biến dạng trở đại số chưa biến dạng, đại số biến dạng tổng quát đại số chưa biến dạng Từ hi vọng đại số biến dạng mô tả tượng vật lý gần với thực nghiệm 5/ Đặc biệt trình bày số kết loại biến dạng tổ hợp biến dạng R biến dạng q dao động tử biến dạng R(q) Đó biến dạng quan tâm thời gian gần Trong khoảng thời gian giới hạn, cố gắng để trình bày hoàn chỉnh luận văn không tránh khỏi sai sót Vì vậy, mong nhận đóng góp quý báu quý Thầy, Cô bạn để hoàn thiện luận văn nghiên cứu sâu điều kiện cho phép 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Ngọc Long, “Cơ Sở Vật Lý Hạt Cơ Bản”, Hoàng Ngọc Long, NXB thống kê 2006 [2] Nguyen Thi Ha Loan and N.H.Ha, “Conherent states for R(q)-Deformed Oscillators” , com.in phys Vol 16 No4, December 2006, p 239-243 [3] N.T.H.Loan and N.H.Ha , “(q,R) - deformend Heisenberg algebra and statistics of quantum oscillators”, com.in phys.Vol 13 No4 December 2003 , P 240-244 [4] N.T.H.Loan and N.H.Ha, “Oscillator Representation of R(q)-Deformend Virasoro Alegebra” , com.in phys Vol 15 No4 December 2005, P 238241 [5] Dao Vong Duc, “Frontiers in quantum physics” , Springer 1988,P272 [6] Chang Z (1995), “Quantum group and quantum symmetry”, Physics Reports 262 (3,4), pp 137-225 [7] Daskaloyannis C (1991), “Generalized deformed oscillator and nonlinear algebras”, J Phys A24 (15), pp L789-L794 [8] C.T.V Ba and H.H.Bang (2002), “Generalized deformed fied equations”, comm in Phys 12 (1), pp.34-40 [9] C.T.V.Ba and H.H.Bang (2000), “Quantum group and the standard model”, Tuyển tập báo cáo hội nghị VLLT lần thứ 24 (Toàn quốc), pp 11-15 [10] H.H.Bang (1997), “Nonlinearity of generalized deformed oscillstors and nonlinear field equations”, II Nuovo Cimento B1 (12), pp 1507-1514