Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha

Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THẢO DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG VÀ SỰ GIÁN ĐOẠN CỦA KHÔNG GIAN PHA Chuyên ngành : Vật lí lí thuyết Vật lí toán Mã số : 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên xin chân thành cảm ơn: PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan, người hướng dẫn thực luận văn này. Cô cung cấp tài liệu truyền thụ cho kiến thức mang tính khoa học phương pháp nghiên cứu khoa học. Sự quan tâm, bồi dưỡng cô giúp vượt qua khó khăn trình hoàn thành luận văn trình học tập nghiên cứu tôi. Đối với tôi, cô gương sáng tinh thần làm việc không mệt mỏi, lòng hăng say với khoa học, lòng nhiệt thành quan tâm bồi dưỡng hệ trẻ. Tôi chân thành cảm ơn Ban Chủ Nhiệm Khoa Vật Lý Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội thầy cô giáo tận tình giảng dạy, tạo điều kiện giúp hoàn thành khóa học. Hà Nội, tháng năm 2014. Học viên Nguyễn Thị Thảo LỜI CAM ĐOAN Trong trình nghiên cứu luận văn đề tài: Dao động tử biến dạng gián đoạn không gian pha, thực cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu đề tài để hoàn thành khóa luận. Tôi xin cam đoan luận văn hoàn thành nỗ lực thân với hướng dẫn bảo tận tình hiệu PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan. Đây đề tài không trùng với đề tài khác kết đạt không trùng với kết tác giả khác. Hà Nội, tháng năm 2014. Học viên Nguyễn Thị Thảo MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa . Lời cảm ơn . Lời cam đoan . Mục lục MỞ ĐẦU . NỘI DUNG . Chương 1. HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG LƯỢNG TỬ 1.1. Dao động lượng tử Boson 1.1.1.Dao động tử Boson . 1.1.2.Dao động tử Boson biến dạng- q 1.1.3.Dao động tử Boson biến dạng – Q . 1.2. Dao động lượng tử Fermion . 10 1.2.1. Dao động tử Fermion 10 1.2.2. Dao động tử Fermion biến dạng- q . 11 1.3. Thống kê dao động lượng tử .14 Chương 2. KHÔNG GIAN PHA 17 2.1.Khái niệm không gian pha 17 2.1.1. Định nghĩa không gian pha . 17 2.1.2. Các yếu tố không gian pha 17 2.2. Sự gián đoạn liên tục không gian pha 20 Chương 3. SỰ GIÁN ĐOẠN CỦA KHÔNG GIAN PHA 21 3.1. Hình thức luận dao động lượng tử thông số biến dạng đơn vị 21 3.1.1. Dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát . 21 3.1.2. Hình thức luận dao động lượng tử thông số biến dạng đơn vị 23 3.2. Biểu diễn hữu hạn chiều biểu diễn vô hạn chiều . 24 3.2.1. Biểu diễn hữu hạn chiều đại số biến dạng 24 3.2.2. Biểu diễn vô hạn chiều đại số biến dạng 27 3.3. Sự gián đoạn không gian pha 29 KẾT LUẬN . 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO . 35 MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Dao động tử biến dạng có ưu điểm so với dao động tử chưa biến dạng. Đại số lượng tử dựa hình thức luận dao động lượng tử. Từ hình thức luận dao động lượng tử ta xây dựng đại số lượng tử. Đại số lượng tử tỏ hiệu nghiên cứu rung động hạt nhân, giải phương trình phi tuyến,…Như vậy, việc nghiên cứu đại số lượng tử cần thiết [1], [2], [4],[5],[6],[8]. Khi thông số biến dạng tiến tới giá trị đại số biến dạng trở đại số thông thường. Khi thông số biến dạng đơn vị biểu diễn vô hạn chiều đại số biến dạng tách thành biểu diễn hữu hạn chiều đại số biến dạng biểu diễn vô hạn chiều đại số chưa biến dạng [3],[11],[12]. Đề tài nghiên cứu tách không gian pha biểu diễn vô hạn chiều đại số biến dạng thành không gian pha biểu diễn hữu hạn chiều đại số biến dạng biểu diễn vô hạn chiều đại số chưa biến dạng. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử biến dạng - Nghiên cứu gián đoạn không gian pha 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử biến dạng thông số biến dạng C - số thông số biến dạng đơn vị - Nghiên cứu tách không gian pha thông số biến dạng q đơn vị 4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử biến dạng gián đoạn không gian pha 5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nhóm lượng tử - Phương pháp lí thuyết trường lượng tử 6. Những đóng góp đề tài - Viết tổng quan dao động lượng tử - Nghiên cứu dao động lượng tử thông số biến dạng C- số thông số biến dạng đơn vị - Nghiên cứu tách từ biểu diễn vô hạn chiều đại số biến dạng thành biểu diễn hữu hạn chiều đại số biến dạng biểu diễn vô hạn chiều đại số chưa biến dạng. CHƯƠNG 1. HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG LƯỢNG TỬ Trong thực tế hệ dao động tử thường hệ phi điều hòa, để giải trực tiếp toán phi điều hòa vấn đề phức tạp, người ta thường lí tưởng hoá toán cách giải toán cho dao động tử điều hòa, sau dùng phương pháp hiệu đính để nghiên cứu dao động tử phi điều hòa. Do chương bắt đầu việc nghiên cứu dao động tử điều hòa. Khi nghiên cứu hệ vật lý dùng đại số Lie nhóm Lie vấp phải khó khăn giải toán mẫu hòa tan xác học thống kê. Do người ta có nhu cầu mở rộng đại số thành đại số lượng tử, nhóm thành nhóm lượng tử, dao động tử thành dao động tử biến dạng. Khi mở rộng người ta thấy giải số vấn đề dao động phi tuyến. Vì chương nghiên cứu cụ thể hệ dao động tử Boson,dao động tử Fermion thông thường, dao động tử Boson biến dạng-q, dao động tử fermion biến dạng- q, đồng thời phân biệt dao động tử Boson biến dạng- q dao động tử Boson biến dạng- Q. 1.1. Dao động lượng tử Boson 1.1.1. Dao động tử Boson[2], [6], [16] Những hạt có spin nguyên gọi hạt Boson. Các toán tử sinh dao động tử , toán tử hủy dao động tử dao động tử Boson tuân theo hệ thức giao hoán: éë a, a + ùû = (1.1.1) toán tử số dao động N là: N = a+a Trong đó: a toán tử hủy dao động tử (1.1.2) a+ toán tử sinh dao động tử Từ (1.1.1) (1.1.2) suy ra: [ N , a ] = éë a + a, a ùû = a éë a + , a ùû + [ a, a ] a + = -a (1.1.3) éë N , a + ùû = éë a + a, a + ùû = a+ (1.1.4) Xét không gian Fock với trạng thái chân không thỏa mãn: a =0 (1.1.5) Trạng thái riêng n toán tử số dao động N chuẩn hóa có dạng: a ) ( = + n n n! n = 0,1,2, . (1.1.6) Toán tử tọa độ Q toán tử xung lượng P biểu diễn qua toán tử sinh, hủy dao động tử sau: Q= h a+ + a ) ( 2mw P=i mhw + (a - a) Suy hệ thức giao hoán toán tử tọa độ Q toán tử xung lượng P: é ù h mh w + a+ + a ) , i a - a )ú ( ( ë 2mw û [Q , P ] = ê = ih é( a + + a ) , ( a + - a ) ù û 2ë = ( ih éë a , a + ùû - éë a + , a ùû ) = ih éë a, a + ùû (1.1.7) Kết hợp (1.1.7) với (1.1.1) ta có: [Q, P] = ih (1.1.8) Toán tử Hamiltonian định nghĩa biểu thức: H= P + mw 2Q 2m 2 hw + hw + a - a) + a + a) ( ( 4 hw + = a a + aa + ) ( =- = hw 2a + a + éë a, a + ùû = hw ( N + 1) ( ) (1.1.9) Phương trình hàm riêng, trị riêng toán tử Hamiltonian: H n = En n hw hw ( N + 1) n = ( 2n + 1) n 2 Phương trình cho phép ta xác định phổ lượng dao động tử điều hòa: En = hw ( 2n + 1) Từ hệ thức (1.1.8) ta có: n = 0,1,2, (1.1.10) 21 Chương 3. SỰ GIÁN ĐOẠN CỦA KHÔNG GIAN PHA Trong chương nghiên cứu dao động tử biến dạng tổng quát thông số biến dạng q đơn vị, đồng thời chứng minh biểu diễn vô hạn chiều đại số biến dạng tổng quát phân tích thành biểu diễn hữu hạn chiều đại số biến dạng tổng quát biểu diễn vô hạn chiều đại số dao động tử cổ điển. Mặt khác toán tử tọa độ xung lượng dao động tử biến dạng q đơn vị có trị riêng gián đoạn, không gian pha dao động tử biến dạng gián đoạn. 3.1. Hình thức luận dao động lượng tử thông số biến dạng đơn vị[1], [3], [4] 3.1.1. Dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát Dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát cho hệ thức giao hoán bản: aa + = g ( a + a ) (3.1.1) + a, a toán tử liên hợp hermit. Với dao động tử thông thường thì; g ( x) = 1+ x (3.1.2) Từ (3.1.1) (3.1.2) ta có: éë a , a + ùû = (3.1.3) Toán tử số dao động N thỏa mãn hệ thức giao hoán: [ N , a ] = -a éë N , a + ùû = a + (3.1.4) 22 + Giả sử toán tử số N toán tử sinh, hủy dao động tử a , a có mối liên hệ sau: N = f ( a+a ) (3.1.5) Khi hàm f ( x ) liên hệ với hàm g ( x ) theo hệ thức: f ( g ( x)) = + f ( x ) (3.1.6) Thật vậy, từ (3.1.1) ta có: é a, ( a + a )n ù = a ( a + a )n - ( a + a ) n a êë úû = ( aa + ) a - ( a + a ) a n = (( n ) n n Tương tự ta dễ dàng chứng minh được: é a + , ( a + a )n ù = -a + êë úû (( ) g ( a a ) - ( a+ a ) a + ) ) g ( a+a ) - ( a+a ) a n n (3.1.7) (3.1.8) Từ (3.1.6) (3.1.7) suy ra: ) ( ( ) é a , f ( a a )ù = -a ( f ( g ( a a ) ) - f ( a a ) ) ë û é a, f ( a + a ) ù = f g ( a + a ) - f ( a + a ) a ë û + + + + (3.1.9) (3.1.10) Kết hợp (3.1.5), (3.1.6) (3.1.9), (3.1.10) ta thu (3.1.4). + Trong (3.1.6), thay x a a (3.1.1) có dạng: f ( aa + ) - f ( a + a ) = (3.1.11) 23 3.1.2. Hình thức luận dao động lượng tử thông số biến dạng đơn vị + Xét đại số dao động tử biến dạng tổng quát sinh a, a N đóng vai trò toán tử hủy, sinh toán tử số: [ N , a ] = -a éë N , a + ùû = a + aa + - f ( N ) a + a = (3.1.12) Trong đó: f (N ) = Lấy q đơn vị dạng [ N + 1] - [N ] q=e 2p i m ( m = 2,3, ) + Với m = ta có (3.1.12) trở thành [ N , a ] = -a éë N , a + ùû = a + aa + - a + a = Tức đại số Boson thông thường + Với m = đại số (3.1.12) trở thành: [ N , a ] = -a éë N , a + ùû = a + aa + + a + a = Tức đại số Fermion Như với m bất kì, đại số (3.1) mô tả hạt mới. Trong (3.1) liên hệ a, a + , N là: 24 a+a = [ N ] aa + = [ N + 1] (3.1.13) Khi q = đại số trở trường hợp Boson thông thường, a + toán tử liên hiệp hermit a. Tuy nhiên tham số biến dạng q số phức (căn đơn vị) điều không đại số (3.1.12) không bất biến với phép liên hợp hermit. 3.2. Biểu diễn hữu hạn chiều biểu diễn vô hạn chiều [1], [3],[11], [15] 3.2.1. Biểu diễn hữu hạn chiều đại số biến dạng Ta gọi A* liên hợp hermit A . Lấy liên hợp hermit (3.1.12) ta được: éë N , a* ùû = a* é N , ( a + )* ù = - ( a + )* ëê ûú (a ) + * a* - f * ( N ) a* ( a + ) = (3.2.1) * ta có N = N * Phương trình (3.2.1) không tương thích với (3.1.12). Do hai toán tử a* a + đóng vai trò toán tử sinh nên ta thiết lập chuyển đổi từ a + đến a* sau: a + = G ( N ) a* (3.2.2) Bây ta xác định dạng cụ thể G(N) cho a + ( a + ) thỏa * mãn đại số (3.2.1). Đưa (3.2.2) vào phương trình cuối (3.2.1), ta thu được: aG* ( N ) a* - f * ( N ) a*aG* ( N ) = G* ( N + 1) aG -1 ( N ) a + - f * ( N ) G -1 ( N ) a + G* ( N + 1) a = 25 G * ( N + 1) G -1 ( N + 1) aa + - f * ( N ) G * ( N ) G -1 ( N ) a + a = G* ( N + 1) G -1 ( N + 1) [ N + 1] - f * ( N ) G* ( N ) G -1 ( N ) [ N ] = (3.2.3) ( ) . Sử dụng (3.1.13) (3.2.3) ta có: + + Xét đại lượng a a * a + ( a + ) = a + ( G ( N ) a * ) = aa + G * ( N ) = [ N ] G * ( N ) * * (3.2.4) a + ( a + ) = ( G ( N ) a* )( a + ) = G ( N ) ( a + a ) = G ( N ) [ N ] * * * * (3.2.5) So sánh (3.2.4) (3.2.5) ta thấy G(N) phải thỏa mãn hệ thức: G* ( N ) éë N * ùû = G(N) [N ] (3.2.6) Hệ thức truy hồi (3.2.3) lựa chọn lời giải dễ dàng cho G(N) thỏa mãn (3.2.2) G [ N ] = [ N ] . Khi (3.2.2) trở thành: a + = [ N ] a* (a ) + * = a* [ N ] (3.2.7) i Bây ta xét biểu diễn trường hợp q=e 2p m hay [ m] = . Ta đưa vào hệ vecto sở j = p j - J , , + J không gian Fock trạng thái riêng toán tử số N theo hệ thức: N n =n n ; n = 0,1,2 (3.2.8) Như với đại số (3.1.12) ta có: a n = h (n) n -1 a+ n = g ( n) n +1 (3.2.9) 26 Giả sử tồn trạng thái thỏa mãn a = ta buộc phải có h ( 0) = . Cho h ( n ) = (n ³ 1) lưu ý đến (3.1.13) (3.2.9) ta có: aa + n = [ N + 1] n = [ n + 1] n (3.2.10) aa + n = ag ( n ) n + = g ( n ) a n + = g ( n ) h ( n + 1) n = g ( n ) n Từ (3.2.10) (3.2.11) ta thu được: (3.2.11) [ n + 1] = g ( n ) (3.2.12) + Vậy a, a thỏa mãn: a =0 a n = n -1 ( n ³ 1) a + n = [ n + 1] n + ( n ³ 0) (3.2.13) Từ giả thiết [ m] = ta có: a + m - = [ m] m = Suy trạng thái m - trạng thái cao nhất. Như phổ trở nên hữu hạn chiều. Với m số chiều lớn ( m-1) trạng thái cho phép , , , m - . Vì biểu diễn cho toán tử là: a = 0; a n = n - (n = 1,2, .,m-1) a+ n = [ n + 1] n + (n = 0,1,2, .,m-1) a* n = n + (n = 0,1,2, .,m-1) (3.2.14) 27 a* n - = (a ) + * n = [ n] n - * (n = 0,1,2, .,m-1) 3.2.2. Biểu diễn vô hạn chiều đại số biến dạng Bây ta nghiên cứu biểu diễn vô hạn chiều đại số (3.1.12) với q đơn vị. Từ đại số (3.1.12) ta biết: a + km - = (k = 1,2,3 ) (3.2.15) Điều áp đặt làm ta không thu trạng thái km cách tác động toán tử nâng lên km - . Như trạng thái cao m - . Nhưng đưa vào dạng toán tử sau: A+ = ( ) a+ m [ m ]! am A= [ m ]! (3.2.16) Từ (3.2.13) (3.12.16) ta có: A+ km = ( k + 1) ( k + 1) m A km = ( k - 1) m (3.2.17) A =0 Điều chứng tỏ ta thu trạng thái km cách tác động toán tử nâng A+ lên trạng thái Sử dụng (3.2.17) ta suy ra: ( k - 1) m . 28 ( AA + - A+ A ) km = AA+ km - A+ A km = A ( k + 1) ( k + 1) m - A+ ( k - 1) m = ( k + 1) km - k km (3.2.18) = km Do toán tử A, A+ thỏa mãn đại số Boson bình thường: AA+ - A+ A = (3.2.19) Như toán tử số cổ điển N c định nghĩa bởi: (a ) A= + m Nc = A + am [ m ]! (3.2.20) Sử dụng đại số (3.1.12) hệ thức (3.1.13) ta xác định quan hệ toán tử số cổ điển N c với toán tử số biến dạng tổng quát N thông qua hệ thức: (a ) [N ]a = + m -1 Nc m -1 [ m]! a ) ( = + m -1 = a m -1 éë N - ( m - 1) ùû [ m ]! [ N ][ N - 1] .[ N - m + 1] [ m ]! Khi N hermitic q đơn vị ta dễ dàng kiểm tra N c hermitic. Từ điều ta thu được: k r é( a + ) m ù ( a + ) r A+ ) ( a + ) ( a ) = êë ( úû = (3.2.21) [ km + r ]! ([ m]!)k [ r ]! [ r ]! + km + r k 29 ( Với r = 0,1, ,m-1) Điều có nghĩa biểu diễn vô hạn chiều đại số dao động tử biến dạng tổng quát phân tích thành biểu diễn đại số Boson cổ điển biểu diễn hữu hạn chiều đại số dao động tử biến dạng tổng quoát. 3.3. Sự gián đoạn không gian pha Biểu diễn không gian Fock xác định vecto riêng: a =0 (a ) + n n = ([ n]!) 1/2 (3.3.1) 1/ Tương tự trường hợp dao động tử điều hòa thông thường, ta xét toán tử vị trí: a + a+ X= (3.3.2) Sự lựa chọn hoàn toàn tùy ý. Ta chứng tỏ điểm nghiên cứu không phụ thuộc vào lựa chọn cụ thể trên, mà lựa chọn dẫn đến không gian pha (dpdx) mạng với biên mở. Một khả khác đưa nhờ “ phân tích cực”. Sự phân tích dẫn đến không gian pha mạng hữu hạn đóng, có nghĩa dẫn đến hình xuyến mạng. Giả sử x x vectơ riêng trị riêng toán tử X thỏa mãn: X x =x x (3.3.3) Khi q đơn vị, x vec tơ không gian Fock có chiều nêu trên, dạng tổng quát là: 30 m -1 x =å n=0 m -1 = å cn n =0 cn [ n ]! (a ) n + n [ n]! (3.3.4) Lấy toán tử x xác định theo công thức (3.3.2) tác động lên trạng thái x xác định theo công thức (3.3.4), sử dụng (3.3.1) ta có: X x = å cn n =0 m -1 = å cn n =1 a ( a+ ) n m -1 [ n ]! [ n ] [ n ]! [ n ]! + å cn n =0 m-2 n -1 + å cn n=0 m- = cn +1 å n=0 m -1 n +1 [ n ]! [ n + 1]! [ n ]! m-1 n + cn-1 å n =1 [ n]! (a+ ) n +1 [ n]! [ n] n (3.3.5) Mặt khác từ (3.3.3) (3 3.4) ta có: m -1 X x =å n =0 xcn [ n] ! n (3.3.6) So sánh (3.3.5) (3.3.6) ta thu hệ thức truy hồi cho hệ số cn : ìc1 = xc0 ïï ícn +1 = 2cn - [ n ] cn -1 ïc = ïî m Những hệ thức truy hồi ràng buộc hệ số cn đa thức bậc n theo x. 31 Một số giá trị đầu hệ số cn liệt kê theo phương trình sau: c1 = xc0 c2 = ( x - [1]) c0 c3 = (( ) ) x - ([1] + [ 2]) x c0 Như ta biết, đa thức Hermit thông thường có dạng: d n - x2 H n +1 ( x ) = ( -1) e e dx n n x2 (3.3.8) Và thỏa mãn hệ thức truy hồi: H n +1 ( x ) = xH n ( x ) - 2nH n -1 ( x ) (3.3.9) Đa thức Hermit biến dạng định nghĩa tương tự: H n +1 ( x ) = xH n ( x ) - [ n ] H n -1 ( x ) (3.3.10) đó: H -1 ( x ) = 0; H ( x ) = So sánh (3.3.7) (3.3.10) ta thu mối liên hệ hàm cn ( x ) đa thức hermit biến dạng H n ( x ) : 2- n / cn ( x ) = Hn ( x) Nx (3.3.11) Trong N x thừa số chuẩn hóa. Như điều kiện hệ phương trình (3.3.7) thỏa mãn dãy giá trị gián đoạn trị riêng x. Những trị riêng nghiệm phương trình bậc m: cm ( x ) = , dạng đa thức cm xác định theo công thức (3.3.11). Số lượng nghiệm đa thức bậc m m 32 nghiệm thực toán tử X toán tử Hermit. Điều chứng tỏ q đơn vị toán tử vị trí X có trị riêng gián đoạn. Những giá trị gián đoạn toán tử vị trí X ghi số j theo quy ước: x j : j = - J , - J + 1, , J - 1, J Trong x j nghiệm đa thức hermit biến dạng H m ( x ) , m = J + 2/ Làm tương tự với toán tử xung lượng: a - a+ P= i Đặt p p vecto riêng trị riêng tương ứng toán tử P, thỏa mãn: P p =p p (3.3.12) Khi q đơn vị p vecto không gian Fock m chiều. Khi tương tự trường hợp toán tử vị trí X, vecto p có dạng tổng quát: m -1 p =å n =0 dn [n] ! m -1 n =å n =0 (a ) + n [ n ]! (3.3.13) Với trình giống với X ta có: ì d1 = i pd ïï í d n +1 = i pd n + [ n ] d n -1 ïd = ïî m (3.3.14) Các hệ thức truy hồi thỏa mãn với giá trị gián đoạn trị riêng p. Điều q đơn vị dẫn đến gián đoạn 33 phổ toán tử xung lượng P. Bằng cách so sánh (3.3.14) định nghĩa đa thức Hermit (3.3.8) ta kết luận rằng: i - n 2- n /2 dn ( p ) = Hn (- p) Np p j ( với j = p j - J , , + J ) nghiệm đa thức hermit bậc m. Như vậy, phổ toán tử X P hoàn toàn hai trường hợp xuất đa thức Hermit biến dạng giống nhau. Như mục ta phân tích biểu diễn vô hạn chiều đại số biến dạng tổng quát q bậc m đơn vị thành biểu diễn vô hạn chiều đại số Boson thông thường biểu diễn hữu hạn chiều đại số biến dạng. Trong trường hợp q đơn vị không gian pha dao động tử biến dạng gián đoạn trị riêng toán tử vị trí xung lượng nghiệm đa thức biến dạng hermit bậc m. 34 KẾT LUẬN Các kết luận văn sau: 1/ Nghiên cứu dao động tử điều hòa thông thường dao động tử điều hòa biến dạng. 2/ Nghiên cứu gián đoạn liên tục không gian pha. 3/ Tìm hiểu dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát q đơn vị: - Phân tích biểu diễn vô hạn chiều đại số biến dạng tổng quát thành biểu diễn vô hạn chiều đại số Boson không biến dạng biểu diễn hữu hạn chiều đại số biến dạng. - Chỉ q đơn vị không gian pha dao động tử điều hòa gián đoạn nêu rõ mối quan hệ giá trị gián đoạn với nghiệm đa thức Hermit. 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Arik M and Coon D.D. (1976), “Hilbert spaces of analytic functions and generalized coherent states”, J.Math.Phys.17(40,pp.524-527. [2] Aringazin A.K. ( 1990), “Validity of Pauli’s principle in the branch of hadraomic mechanics”, Had. Jour. 13(2), pp.183 – 190. [3] C.T.V. Ba and H.H.Bang(1999), “Generalized deformation with q being a root of unity”, Tuyển tập báo cáo hội nghị VLLT lần thứ 24 ( Toàn quốc), pp.47.53. [4] H.H.Bang(1995), “ Some physical consequences of the general deformations”, Mod. Phys. Lett. A10 (8), pp.1293-1298. [5] Bonatsos D. and Daskaloyannis. C. (1993), “ Equivalence of deformed fermionic algebras”, J. Phys. A26(7), pp. 1589 – 1600. [6] Bonatsos D., Daskaloyannis C and Kolokotronis P. (1995), “Genezalized deformed oscillators and algebra”, hep – th/9512083. [7] Chaichian M., Gonzalez F.R. and Montonen C. (1993), “ Statistics of q – oscillators, quons and relations to fractional statistics”, J. Phys. A26(16), pp. 4017 – 4034. [8] Chakrabarti R. and Jagannathan R. (1992), “ On the number operators of single-mode q-oscillators”, J. Phys. A25 (23), pp. 6393-6398. [9] Chaturvedi S., Kapoor A.K., Sandhya R. and Srinisavan V. (1991), “Genezalized commutation relations for a single – mode oscillator”, Phys. Rev. A43(8), pp. 4555 – 4557. 36 [10] Chung K.S and Chung W.S (1995), “ New expression of number operator for the q-deformed Boson algebra including the q = case”, II Nuovo Cimento 110B (4), pp. 409-414. [11] Daskloyannis C. (1991), Genezalized deformed oscillator. And nonlinear algebras”, J. Phys. A24 (15), pp. L789 – L794. [12] Falco L.D. and Mignani R. (1996), “ Bosonic and fermionic realizations of an operator deformed heisenberg- Weyl algebra”, Nuo. Cim. A109 (2), pp.195-199. [13] Ju G., Tao J., Liu Z. and Wang M. (1995), “the eigenvectors of qdeformed creation operator aq+ and their properties”, Mod. Phys. Lett A10 98), pp. 669-675. [14] Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường(2003),"Bài tập vật lý lý thuyết tập 2”, nhà xuất Giáo Dục. [ 15] Vũ Thanh Khiết (2002), “ Nhiệt động lực học vật lý thống kê”, nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội. [16] Odaka K., Kishi T. and Kamefuchi S. (1991), “On quantization of simple harmonic oscillators”, J. Phys A24 (11), pp. L591 – L596. [...]... KHễNG GIAN PHA 2.1.Khỏi nim khụng gian pha [14], [15] 2.1.1 nh ngha khụng gian pha Khụng gian pha l mt khụng gian quy c biu din s bin i trng thỏi vi mụ ca mt h ht hay mt h dao ng Cỏc ta ca khụng gian pha l cỏc thụng s c lp xỏc nh trng thỏi vi mụ ca h Khụng gian pha thng l khụng gian nhiu chiu Khụng gian pha ca mt h N ht núi chung l 2fN chiu ( f l s bc t do ca mt ht trong h) Vớ d nh, khụng gian pha. .. do) l khụng gian sỏu chiu 2.1.2 Cỏc yu t c bn ca khụng gian pha Trng thỏi ca h c xỏc nh bi cỏc giỏ tr ca tt c cỏc ta v xung lng suy rng v c biu din trong khụng gian pha bng mt im gi l im pha Khi trng thỏi ca h thay i theo thi gian, im pha s chuyn ng v vch mt ng cong gi l qu o pha, mi im pha trờn qu o pha s tng ng vi mt trng thỏi no ú ca h Khụng gian pha ch l mt khụng gian quy c, vỡ th qu o pha cng s... khụng gian pha Cỏc phng trỡnh Hamilton luụn xỏc nh mt cỏch n tr tớnh cỏch ca h, t ú ta suy ra rng, cỏc qu o pha ca h khụng th ct nhau trong khụng gian pha, vỡ nu nh vy thỡ ng vi mi giao im ca chỳng s cú hai nghim ca phng trỡnh Hamilton Nh vy, i vi mi im ca khụng gian pha, ch cú mt qu o pha i qua hiu rừ hn v khụng gian pha, sau õy chỳng ta s tỡm hiu v qu o pha ca dao ng t iu hũa mt chiu 18 Dao ng... thi ca dao ng t c biu din bng mt im ca elip, theo thi gian im ú s dch chuyn theo elip ú Nh vy qu o pha ca dao ng t iu hũa l mt elip, hon ton khỏc vi qu o thc ca nú l mt ng thng Qua bi toỏn ny ta ó thy rừ hn v s khỏc nhau gia qu o pha v qu o thc ca mt h 2.2 S giỏn on v s liờn tc ca khụng gian pha [14], [15] Khụng gian pha cú th l giỏn on hoc liờn tc Khụng gian pha ca dao ng t iu hũa c gii hn phn dao ng... + j0 ) Bõy gi ta s tỡm cỏch biu din trng thỏi ca dao ng t ny trong khụng gian pha Dao ng t cú mt bc t do nờn khụng gian pha l khụng gian hai chiu vi cỏc ta suy rng q v xung lng suy rng p T cỏc phng trỡnh thụng s ca qu o pha ca dao ng t iu hũa mt chiu ta cú: q2 p2 + 2 = sin 2 (wt + j0 ) + cos 2 (wt + j0 ) = 1 2 q0 p0 Phng trỡnh ny cho thy qu o pha ca dao ng t iu hũa mt chiu l mt elip cú cỏc bỏn trc... mt khụng gian cú gii hn Trong khụng gian ny ta suy rng ca dao ng t cú th nhn cỏc giỏ tr trờn mt ng thng,cỏc giỏ tr ny l liờn tc, ng vi mi giỏ tr ca ta cú mt giỏ tr ca xung lng Ta v xung lng ca dao ng t iu hũa nhn cỏc giỏ tr liờn tc, do ú khụng gian pha ca dao ng t iu hũa l liờn tc Ph nng lng ca dao ng t iu hũa c xỏc nh theo cụng thc (1.1.10), ph ny nhn cỏc giỏ tr giỏn on, do ú khụng gian pha xỏc... ở ỷ Dao ng t bin dng vi cỏc toỏn t sinh, hy A+ , A c gi l dao ng t Boson bin dng - Q H dao ng ny cú th bin i v dng (1.1.15) nhng nghiờn cu bin dng ny s n gin hn 1.2 Dao ng lng t Fermion [2], [5], [9], [12] 1.2.1 Dao ng t Fermion Cỏc toỏn t hy,sinh dao ng t fermion tha món h thc phn giao hoỏn: {b, b } = 1 + (1.2.1) 2 + v b = ( b ) = 0 2 Toỏn t s dao ng N cú dng: N = b +b Trong ú: b l toỏn t hy dao ng... nh ph nng lng ca dao ng t iu hũa l giỏn on i vi dao ng t bin dng khi thụng s bin dng bng cn n v, cỏc tr riờng ca toỏn t xung lng v toỏn t v trớ l nghim ca a thc Hermite bin dng, cỏc tr riờng ny nhn cỏc giỏ tr giỏn on, dn n khụng gian pha khi ú cng l giỏn on S giỏn on v s liờn tc ca khụng gian pha s c chỳng tụi tip tc nghiờn cu c th hn trong chng 3 21 Chng 3 S GIN ON CA KHễNG GIAN PHA Trong chng ny... Trong khụng gian Fock vi vộc t c s l vec t trng thỏi n q ta cú: b +b = [ N ]q bb + = [ N + 1]q Khi q = 1 ta cú dao ng t Fermion thụng thng Khi ú khụng gian Fock c phõn thnh khụng gian con hai chiu v nguyờn lý loi tr Pauli cú ( ) 2 + th suy ra t b = b 2 = 0 Biu din trờn l vụ hn chiu Vi nhng giỏ tr c bit ca q thỡ khụng gian Fock b chia ra thnh nhng khụng gian con khụng liờn kt vi nhau Mi khụng gian nh vy... tụi s nghiờn cu v dao ng t bin dng tng quỏt khi thụng s bin dng q bng cn n v, ng thi chng minh rng biu din vụ hn chiu ca i s bin dng tng quỏt cú th phõn tớch thnh biu din hu hn chiu ca i s bin dng tng quỏt v biu din vụ hn chiu ca i s dao ng t c in Mt khỏc chỳng tụi cng ch ra rng cỏc toỏn t ta v xung lng ca dao ng t bin dng khi q bng cn n v cú cỏc tr riờng giỏn on, v khụng gian pha ca dao ng t bin dng . hệ dao động tử Boson ,dao động tử Fermion thông thường, dao động tử Boson biến dạng- q, dao động tử fermion biến dạng- q, đồng thời phân biệt giữa dao động tử Boson biến dạng- q và dao động tử. không gian pha 17 2.1.2. Các yếu tố cơ bản của không gian pha 17 2.2. Sự gián đoạn và sự liên tục của không gian pha 20 Chương 3. SỰ GIÁN ĐOẠN CỦA KHÔNG GIAN PHA 21 3.1. Hình thức luận dao động. LUẬN DAO ĐỘNG LƯỢNG TỬ 3 1.1. Dao động lượng tử Boson 3 1.1.1 .Dao động tử Boson 3 1.1.2 .Dao động tử Boson biến dạng- q 7 1.1.3 .Dao động tử Boson biến dạng – Q 8 1.2. Dao động lượng tử Fermion