Phonon âm trong hình thức luận dao động biến dạng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN MINH HÙNG PHONON ÂM TRONG HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN MINH HÙNG PHONON ÂM TRONG HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết Vật lí toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN HÀ NỘI, 2016 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan, người hướng dẫn thực luận văn Cô cung cấp tài liệu truyền thụ cho kiến thức mang tính khoa học phương pháp nghiên cứu khoa học Sự quan tâm, bồi dưỡng cô giúp vượt qua khó khăn qua trình hoàn thành luận văn trình học tập nghiên cứu Đối với tôi, cô gương sáng tinh thần làm việc không mệt mỏi, lòng hăng say với khoa học, lòng nhiệt thành quan tâm bồi dưỡng hệ trẻ Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô Khoa Vật Lý trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội thầy cô phòng sau đại học, tạo điều kiện giúp hoàn thành khóa học Hà Nội, tháng năm 2016 Học viên thực Nguyễn Minh Hùng LỜI CAM ĐOAN Trong trình nghiên cứu luận văn đề tài: “Phonon âm hình thức luận dao động biến dạng”, thực cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu đề tài để hoàn thành khóa luận Tôi xin cam đoan luận văn hoàn thành nỗ lực thân với hướng dẫn bảo tận tình hiệu PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan Đây đề tài không trùng với đề tài khác kết đạt không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2016 Học viên thực Nguyễn Minh Hùng MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Những đóng góp đề tài NỘI DUNG Chương DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ 1.1 Dao động mạng tinh thể 1.1.1 Dao động tử điều hòa 1.1.2 Dao động mạng tinh thể 1.2 Phonon âm 1.2.1 Phổ lượng dao động tử điều hòa 1.2.2 Phonon âm Chương DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG CỦA MẠNG TINH THỂ 15 2.1 Dao động biến dạng mạng tinh thể: 15 2.1.1 Dao động biến dạng –q 15 2.1.2 Dao động biến dạng –q mạng tinh thể 16 2.2 Phonon âm hình thức luận dao động mạng tinh thể biến dạng: 18 2.2.1 Phổ lượng dao động biến dạng –q: 18 2.2.2 Phonon âm hình thức luận dao động mạng tinh thể biến dạng 19 Chương DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG –(q, R) CỦA MẠNG TINH THỂ 22 3.1 Dao động biến dạng –(q, R) mạng tinh thể: 22 3.1.1 Dao động biến dạng –(q, R) 22 3.1.2 Dao động biến dạng –(q, R) mạng tinh thể 23 3.2 Phonon âm hình thức luận biến dạng –(q, R) 25 3.2.1 Phổ lượng dao động biến dạng –(q, R) 25 3.2.2 Phonon âm hình thức luận dao động biến dạng –(q, R) mạng tinh thể 27 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Biến dạng lượng tử có nhiều dạng khác thời gian gần việc thống dạng nghiên cứu đầy đủ Dao động biến dạng lượng tử nhiều nhà Vật lý nước nghiên cứu chúng có nhiều ứng dụng mô hình Vật lý Ví dụ chúng liên quan đến vấn đề đa dạng Vật lý lí thuyết nghiên cứu nghiệm phương trình Yâng – Blaster lượng tử, vấn đề tán xạ ngược lượng tử, mẫu hoà tan xác Cơ học thống kê, quang lượng tử, quay rung động hạt nhân đặc biệt môi trường đậm đặc, dao động mạng tinh thể Theo xu hướng nước, áp dụng hình thức luận dao động biến dạng để nghiên cứu tính chất vật lý môi trường đậm đặc Một ứng dụng nghiên cứu phonon âm Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu phonon âm hình thức luận dao động biến dạng mạng tinh thể Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm phonon âm hình thức luận dao động biến dạng mạng tinh thể Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu dao động mạng tinh thể biến dạng - Tìm toán tử lượng dao động mạng tinh thể - Giải phương trình để tìm phonon âm hình thức luận dao động mạng tinh thể biến dạng Phƣơng pháp nghiên cứu - Sử dụng kiến thức Vật lý thống kê, học lượng tử phương pháp giải tích toán học - Các phương pháp nghiên cứu Vật lý lí thuyết Vật lý toán - Các phương pháp nghiên cứu Vật lý chất rắn Những đóng góp đề tài Viết tổng quan vể dao động mạng tinh thể biến dạng, áp dụng giải phương trình để tìm phonon âm dao động mạng tinh thể tìm hiểu sở cho trình lượng tử hóa NỘI DUNG Chƣơng DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ 1.1 Dao động mạng tinh thể 1.1.1 Dao động tử điều hòa Để nghiên cứu hệ vật lý cụ thể khác nhau, người ta thường sử dụng số mô hình lượng tử vật lý đại Một số mô hình dao động tử lượng tử Các toán tử sinh a  , toán tử hủy a dao động tử lượng tử thỏa mãn hệ thức giao hoán  a, a    (1) Toán tử số dao động N biểu diễn qua toán tử sinh a  , toán tử hủy a theo hệ thức: N  aa (2) Toán tử số dao động N , toán tử sinh a  , toán tử hủy a thỏa mãn hệ thức giao hoán  N , a   a (3)  N , a    a  Thật vậy: [N,a] = Na – aN = aa a a = aa ( a + 1)a = aa aa – a = a [N, ]=N = N a a = = ( a + 1) a a+ = Toán tử số dao động N xác định dương N  N  Gọi n vecto riêng toán tử N ứng với trị riêng n không gian Hilbert Ta có N n n n (4) Từ hệ thức (3) (4) ta chứng minh được: Na n  (aN  a ) n  a  N  1 n  a  n  1 n   n  1 a n Na  n  (a  N  a  ) n  a   N  1 n (5)  a   n  1 n   n  1 a  n Có nghĩa n vecto riêng toán tử N ứng với trị riêng n a n a  n vecto riêng toán tử N ứng với trị riêng (n – 1) (n +1) Chứng minh tương tự ta có … a n , a n , n , a  n ,  a   n , … dãy vecto riêng N ứng với trị riêng … n – 2, n – 1, n, n + 1, n + 2, … Vì N toán tử xác định dương (các trị riêng phải không âm) nên dãy có kết thúc cận Giá trị riêng cận n = Vì ta định nghĩa vecto đặc biệt không gian Hilbert có tính chất sau: 20 Như phổ lượng dao động biến dạng –q mạng tinh thể có dạng đám cách không nhau, đám có nhiều vạch phổ phân bố gần khoảng cách vạch không Dao động mạng tinh thể biến dạng –q ta xét diễn tả Hamiltonian (50) với toán tử thỏa mãn hệ thức giao hoán (39) Vì coi dao động mạng tinh thể biến dạng –q hệ nhiều hạt với toán tử sinh hạt có véc tơ sóng k xung lượng ћk lượng ћ (k) toán tử hủy hạt Các hạt lượng tử biến dạng –q mạng tinh thể gọi phonon âm –q Ta tìm phương trình chuyển động: ={ } = =∑ ( ) ( )[ =∑ ( ) ( ) ( ) ( ( )] ) Ta đặt: = = (√ ) (√ = (√ = { [ [ }+√ [ ] )( )] lnq (√ ) (√ ] ) )( (√ ) )+ 21 ( = ) Trong đó: ћ = lnq Thay vào ta có: =∑ ( ) ( ) ∑( = ={ ) ( (-i) ) ( ) (**) } = =∑ ( ) ( )[ =∑ ( ) ( ) ( ) ( ( )] ) Ta đặt: = = (√ ) (√ (√ )) ) (√ ) Tính toán tương tự ta có kết quả: ( = Thay vào ta có: =∑ =∑ ) ( ) ( ) ( ) i ( ) ( ) (**) Từ phương trình (**) ta suy tần số dao động biến dạng –q mạng tinh thể ( )= ( ) ( ) phụ thuộc vào biên độ dao động dao động biến dạng –q mạng tinh thể dao động phi tuyến 22 Chƣơng DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG –(q, R) CỦA MẠNG TINH THỂ 3.1 Dao động biến dạng –(q, R) mạng tinh thể: 3.1.1 Dao động biến dạng –(q, R) [9] Toán tử sinh a  , toán tử hủy a dao động biến dạng –(q, R) thỏa mãn hệ thức giao hoán sau: aa  qaa  q N  R (56) Ở q, thông số biến dạng thực R toán tử phản xạ thỏa mãn điều kiện: R2  (57) Ra   a  R  Ra  aR  (58) Toán tử R toán tử Hecmit (Hermitian) N toán tử số dao động thỏa mãn hệ thức giao hoán  N , a   a (59)  N , a    a  Chúng ta đưa vào sở không gian Fock m  cm  a   m Trong đó: (60) cm : hệ số chuẩn hóa : trạng thái chân không thỏa mãn điều kiện: a 0 0 1 (61) N 0 R  r , r  1 Tác dụng toán tử a  a lên trạng thái  a   có dạng n 23 a  a  a     nq  a   n n (62) Trong n = 0, 1, 2, … Ở sử dụng kí hiệu  nq q n   1   nq   q 1 n  nq  qn  qn q  q 1 (63) (64) Ta chọn r  1 Trong không gian Fock, hệ vecto riêng toán tử số dao động chuẩn hóa có dạng a   n n q   nq ! (65) n n '   n ,n ' Ở sử dụng kí hiệu nq !  nq n  1q n  2q 1q (66) Dùng hệ thức (56), (59) (65) chứng minh Nn q n n q (67) 3.1.2 Dao động biến dạng –(q, R) mạng tinh thể [8] Toán tử sinh  ak  , toán tử hủy  ak  dao động biến dạng –(q, R) mạng tinh thể ứng với vecto sóng k thỏa mãn hệ thức giao hoán sau: ak ak'  qak'ak  q  N k  kk '   R  ak , ak '    ak , ak'   Ở q, thông số biến dạng thực, (68) 24 R toán tử phản xạ, có tính chất Hecmit (Hermitian) thỏa mãn hệ thức sau: R2  Rak  ak R  (69) Rak  ak R  N k toán tử số dao động ứng với vecto sóng k, thỏa mãn hệ thức giao hoán  N k , ak '   ak kk ' (70)  N k , ak'   ak' kk ' Vecto trạng thái biến dạng (q, R), mà vecto riêng toán tử số dao động N k , chuẩn hóa, không gian Fock có dạng nk Ở q q  a   nk k  nk q ! (71) q trạng thái thỏa mãn điều kiện sau: ak 00 N R0 q q q q 0 1 0 r (72) q r  1 Ở sử dụng ký hiệu sau:  nk q q nk  q  nk  q  q 1  nk q q nk   1 k   nk q   q 1 n  nk q !   nk q  nk  1q  nk  2q 1q (73) 25 Vì nk trạng thái riêng toán tử số dao động N k cho nên: q N k nk  nk nk q q (74) Từ hệ thức (68) (70) dễ dàng chứng minh ak nk ak nk  q q   nk  1q  nk q nk  q nk  q (75) Thật vậy: | ( ⟩ = | ⟩ √ ( = ) ) | ⟩ √ ( = √ = | ⟩ | = ( √ | ⟩ | ⟩ √ √ =√ ) ⟩ ) | ⟩ =√ =√ ( ) | ⟩ √ | ⟩ 3.2 Phonon âm hình thức luận biến dạng –(q, R) 3.2.1 Phổ lượng dao động biến dạng –(q, R) [8] Toán tử lượng dao động điều hòa biến dạng –(q, R) chiều có dạng H   aa   aa  (76) Để tìm phổ lượng dao động điều hòa biến dạng –(q, R) cần giải phương trình sau 26 H n  En n q (77) q Dùng công thức (64) (75) phương trình (76) có dạng   (a  ) n q   N q n  (aa  a a )   N  1  n  1 2 q  nq !  En     n q n q q (a  ) n  nq !  En n  En n q q Từ suy En   n  1 q   n q  Trong  n  1q  q  nq  q  n   1  n Vì phổ lượng dao động điều hòa biến dạng –(q, R) chiều có dạng En   n  q  1 nq  q  n   1   (78) Đối với dao động điều hòa biến dạng –(q, R) nhiều chiều (giả sử m chiều chẳng hạn) toán tử lượng có dạng m H q   H i (79) i 1 Để tìm phổ lượng giải phương trình H q n1, n2 , , nm  Eq n1, n2 , , nm (80) Ở n1 , n2 , , nm   a   a   n1  nm m  n1 q !  nm q ! 0,0, ,0 (81) Thay (79) (81) vào (80) giải nhận phổ lượng dao động điều hòa biến dạng –(q, R) nhiều chiều (m chiều) 27 Eq      q  1  n1 q   n2 q    nm q  q  n1  q  n2   q  nm (82) n1 n2 nm   1   1    1     3.2.2 Phonon âm hình thức luận dao động biến dạng –(q, R) mạng tinh thể Toán tử lượng dao động biến dạng –(q, R) mạng tinh thể có dạng H   (1) k  k  a a  ak ak   k k (83) Để tìm phổ lượng dao động biến dạng –(q, R) mạng tinh thể cần giải phương trình sau H nk q  Enk nk (84) q Thay hệ thức (82) vào phương trình (83) ta có  (1)  (1)  (1) k  k  k k  k   k   ak ak  ak ak  nk  N n k k q  Enk nk   1q   N k q nk   1q   nk q nk q q q  Enk nk  Enk nk q q Từ suy phổ lượng dao động biến dạng –(q, R) mạng tinh thể có dạng: (1) Enk   k  k  n  1 k q   nk q  (85) Như Enk phụ thuộc vào thông số biến dạng theo công thức (85) Dao động biến dạng –(q, R) mạng tinh thể diễn tả lý thuyết lượng tử Hamiltonian (83) với toàn tử thỏa mãn hệ thức giao hoán (68) coi mạng tinh thể dao động hệ nhiều hạt mà 28 toán tử sinh hạt có véc tơ sóng k xung lượng ћk lượng ћ (k) toán tử hủy hạt Các hạt lượng tử biến dạng –(q, R) mạng tinh thể gọi phonon âm –(q, R) Ta chọn lại gốc tọa độ cho toán tử lượng dao động biến dạng (q,R) mạng tinh thể viết dạng: H=∑ ( ) ( ) ta biểu diễn toán tử sinh, hủy ( , ) dao động biến dạng (q,R) mạng tinh thể qua toán tử sinh, hủy ( , ) dao động bình thường mạng tinh thể sau: =√ =√ =√ =√ Ta tìm phương trình chuyển động: ={ } = =∑ ( ) ( )[ =∑ ( ) ( ) =∑ ( ) ( ) = ∑( ( ) ) ( ) ( )] ) (√ ) ( ) ) ( (√ =∑ ( ) (√ (√ (-i)[ ) )] ( ) + ν] (***) 29 Ta tính: ={ } = =∑ ( ) ( )[ =∑ ( ) ( ) ( =∑ ( ) ( ) i[ =∑ ( ) ( ) ( )] ) ( ) ν] + ( ) (***) Từ phương trình (***) ta suy tần số dao động biến dạng – (q,R) mạng tinh thể ( )= ( ) ( ) phụ thuộc vào biên độ dao động dao động biến dạng –(q,R) mạng tinh thể dao động phi tuyến 30 KẾT LUẬN Luận văn sử dụng hình thức luận dao động biến dạng để xây dụng dao động biến dạng mạng tinh thể đưa khái niệm phonon biến dạng Luận văn đạt số kết sau: Nghiên cứu viết tổng quan dao động mạng tinh thể, tính phổ lượng dao động mạng tinh thể Xây dựng dao động mạng tinh thể biến dạng –q, tính phổ lượng đưa khái niệm phonon âm –q Xây dựng dao động mạng tinh thể biến dạng –(q, R) tính phổ lượng đưa khái niệm phonon âm –(q, R) 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt: [1] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), Cơ sở lý thuyết vật lý lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Thị Hà Loan (2016) Phổ lượng dao động biến dạng mạng tinh thể, Tạp chí khoa học ĐHSPHN2 số 43 Tiếng anh: [3] Chaichian M , Gonzalez F.R and Montonen C (1993), “Statistics of qoscillators, quons and relations to fractional statistics”, J Phys A26 (16), PP.4017-4034 [4] Chakrabarti R and Jagannathan R (1992), “On the number operators of single-mode q-oscillators”, J Phys A25 (23), PP.6393-6398 [5] Chaturvedi S., Kapoor A K., Sandhya R and Srinisavan V (1991), “Generalized commutation relations for a single-mode oscillator”, Phys Rev A43 (8), PP.4555-4557 [6] D V Duc (1994), “Generalized q-deformed oscillators and their statistics”, preprint ENSLAPP-A-494/94, Annecy, France [7] D V Duc (1998), “Statistics of generalized q-deformed quantum oscillators”, Frontiers in quantum physics, Springer 1998, PP.272-276 [8] Nguyen Thi Ha Loan, Nguyen Anh Sang and Do Thi Thu Thuy, The statistical distribution of (q, R)-deformed crystal lattice viration for generic atomic string, Journal of physics: Conference series 627( 2015) 012016 [9] Nguyen Thi Ha Loan and Nguyen Hong Ha,(2013) (q, R)-deformed Heisenberg algebra and statics of quantum oscillators, Com in phys Vol 13, No [...]... tinh thể là một dao động phi tuyến 30 KẾT LUẬN Luận văn đã sử dụng hình thức luận dao động biến dạng để xây dụng dao động biến dạng của mạng tinh thể và đưa ra khái niệm về phonon biến dạng Luận văn đã đạt được một số kết quả chính như sau: 1 Nghiên cứu và viết tổng quan về dao động mạng tinh thể, tính phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể 2 Xây dựng dao động mạng tinh thể biến dạng –q, tính phổ... phổ năng lượng En có dạng  En  n  1 q 2   n q  (49) Như vậy phổ năng lượng của dao động biến dạng –q bị gián đoạn và các vạch quang phổ không cách đều nhau 2.2.2 Phonon âm trong hình thức luận dao động mạng tinh thể biến dạng: Toán tử năng lượng của dao động biến dạng –q của mạng tinh thể có thể biểu diễn qua các toán tử sinh dao động ak , toán tử hủy dao động ak theo hệ thức H   (1)  k... biến dạng –q của mạng tinh thể là một dao động phi tuyến 22 Chƣơng 3 DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG –(q, R) CỦA MẠNG TINH THỂ 3.1 Dao động biến dạng –(q, R) của mạng tinh thể: 3.1.1 Dao động biến dạng –(q, R) [9] Toán tử sinh a  , toán tử hủy a của dao động biến dạng –(q, R) thỏa mãn các hệ thức giao hoán sau: aa  qaa  q N  R (56) Ở đây q, là những thông số biến dạng thực R là toán tử phản xạ thỏa mãn... biểu thức (29) ta thu được: ∑ ∑( ( ) ) ∑( | { ( ) ) ∑( ) ( ) ⟩+ )| {( {( ( ) | ⟩+ )| | ⟩} = | ⟩+ | ⟩ ⟩} = | ⟩= ⟩} = | ⟩ | ⟩ | ⟩ (30) 14 ∑( ∑( ) ) ( ) {( ) ( )( )| ⟩= =∑ ( ) ⟩= }| | | ⟩ ⟩ Vậy: ( )( ) 15 Chƣơng 2 DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG CỦA MẠNG TINH THỂ 2.1 Dao động biến dạng của mạng tinh thể: 2.1.1 Dao động biến dạng –q [2] Dao động biến dạng –q được mô tả bởi các toán tử sinh dao động a  , toán tử hủy dao. .. được phổ năng lượng của dao động điều hòa biến dạng –(q, R) nhiều chiều (m chiều) 27 Eq     1  q  1  n1 q   n2 q    nm q  q  n1  q  n2   q  nm 2 (82) n1 n2 nm   1   1    1     3.2.2 Phonon âm trong hình thức luận dao động biến dạng –(q, R) của mạng tinh thể Toán tử năng lượng của dao động biến dạng –(q, R) của mạng tinh thể có dạng H   (1) k  k ... (44) Từ các hệ thức (39), (40) và (42) có thể chứng minh được rằng ak nk ak nk q q    nk  1q  nk q nk  1 q (45) nk  1 q Thật vậy: | ⟩ = = = ( ) | ⟩ √ ( √ ) | ⟩ ( √ ) | ⟩ 18 | = | =√ | ( ⟩ = ⟩ ⟩ ) | ⟩ √ ( =√ ) | ⟩ √ | =√ ⟩ 2.2 Phonon âm trong hình thức luận dao động mạng tinh thể biến dạng: 2.2.1 Phổ năng lượng của dao động biến dạng –q: Toán tử năng lượng H của dao động biến dạng –q được biểu... (q )| ⟩ + )| ⟩ = (q | ⟩ = = = | ⟩ | ⟩ 2.1.2 Dao động biến dạng –q của mạng tinh thể [2] Ở phần này ta xây dựng dao động biến dạng –q của mạng tinh thể, nó là cơ sở để nghiên cứu dao động mạng tinh thể theo những quá trình lượng tử hóa mới Các toán tử sinh dao động  ak  , toán tử hủy dao động  ak  ứng với vecto sóng k thỏa mãn các hệ thức giao hoán biến dạng –q như sau: 17 ak ak'  qak ak '  q... như thế Các hạt này là các lượng tử trong biến dạng –(q, R) của mạng tinh thể và gọi là các phonon âm –(q, R) Ta có thể chọn lại gốc tọa độ sao cho toán tử năng lượng của dao động biến dạng (q,R) của mạng tinh thể viết dưới dạng: H=∑ ( ) ( ) ta có thể biểu diễn toán tử sinh, hủy ( , ) dao động biến dạng (q,R) của mạng tinh thể qua các toán tử sinh, hủy ( , ) dao động bình thường của mạng tinh thể như... của toán tử số dao động N k cho nên: q N k nk  nk nk q q (74) Từ những hệ thức (68) và (70) dễ dàng chứng minh được rằng ak nk ak nk  q q   nk  1q  nk q nk  1 q nk  1 q (75) Thật vậy: | ( ⟩ = | ⟩ √ ( = ) ) | ⟩ √ ( = √ = | ⟩ | = ( √ | ⟩ | ⟩ √ √ =√ ) ⟩ ) | ⟩ =√ =√ ( ) | ⟩ √ | ⟩ 3.2 Phonon âm trong hình thức luận biến dạng –(q, R) 3.2.1 Phổ năng lượng của dao động biến dạng –(q, R) [8]... 1 n  En n  En n Vậy phổ năng lượng của dao động tử điều hòa En   2  2n  1 1.2.2 Phonon âm Để tìm phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể ta hãy đưa toán tử năng lượng của dao động mạng tinh thể ở công thức (13) về dạng viết trong biểu diễn lượng tử hóa lần thứ hai bằng cách đặt như sau: √ √ ( )̂ ̂ = -i√ √ ( ) ( ) (̂ (̂ ̂) ̂) (18) (19) Trong các biểu thức trên ̂ và ̂ là các toán tử mới được