Luận văn tần số của dao động biến dạng

B GIO DC V O TO TRNG I H NI HC s PHM HONG HNH PHNG TN S CA DAO NG BIN DNG LUN VN THC S KHOA HC VT CHT H NI, 2015 B GIO DC V O TO TRNG I s PHM H NI HC HONG HNH PHNG TN S CA DAO NG BIN DNG Chuyờn ngnh : Vt lớ lớ thuyt v vt lý toỏn Mó s : 60440103 LUN VN THAC S KHOA HOC VT CHT H NI, 2015 LI CM N Em xin by t lũng bit n chõn thnh v sõu sc ti PGS.TS Nguyn Th H Loan v s quan tõm ch bo, tn tỡnh hng dn ca cụ sut quỏ trỡnh hc n hon thin on ny Chớnh s quan tõm tn tỡnh ch bo ca cụ ó to ng lc cho em thờm nim tin, s c gng thc hin lun ny v mong mun cú s phỏt trin tip theo Em xin trõn trng cm n Ban ch nhim khoa, cỏc thy giỏo, cụ giỏo Khoa Vt Lớ - Trng i hc S phm H Ni ó tn tỡnh ging dy, quan tõm ch bo em sut quỏ trỡnh hc v hon thin lun ny Tụi xin chõn thnh cm n túi gia ỡnh, bn bố v ng nghip ó luụn sỏt cỏnh bờn tụi sut thi gian hc v nghiờn cu hon thnh lun ny H Ni, thng nm 2015 Hc viờn Hong Hnh Phng LI CAM OAN Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu, tụi ó k tha nhng thnh qu nghiờn cu ca cỏc nh khoa hc, nh nghiờn cu vi s trõn trng v lũng bit n sõu sc nht Nhng trỡnh by lun l s tỡm hiu ca riờng tụi v khụng trựng lp vi lun khỏc H Ni, thng nm 2015 Hc viờn Hong Hnh Phng MC LC M U CHNG TễNG QUAN V DAO NG BIN DNG 1.1 Dao ng tũ iu hũa 1.2 Dao ng t bin dng 13 CHNG TN S CA DAO NG BIN DNG q BOSON 17 2.1 Dao ng t bin dng q Boson 17 2.2 Tn s ca dao ng bin dng q Boson 20 CHNG TN S CA DAO NG BIN DNG q fermion 26 3.1 Dao ng bin dng q fermion 26 3.1.1 Dao ng t bin dng q fermion n mode 26 3.1.2 Dao ng t q - bin dng a mode 29 3.2 Tn s ca dao ng q - fermion 30 KT LUN 34 TI LIU THAM KHO .35 M U Lý chn t nghiờn cu cỏc h vt lý thc ngi ta thng dựng mụ hỡnh lng t l dao ng lng t Mụ hỡnh ny c xem l cỏc mụ hỡnh gn ỳng ca chuyn ng ca cỏc h vt lý thc Vi chc nm gn õy nhiu nh vt lý nc v trờn th gii ó m rng hỡnh thc lun dao ng tũ iu hũa thnh hỡnh thc lun dao ng t bin dng nghiờn cu cỏc h vt lý thc vi mt hy vng rng cho cỏc kt qu gn vi thc nghim hn nghiờn cu h vt lý bng hỡnh thc lun dao ng t iu hũa Gn õy nhiu nh vt lý quan tõm nghiờn cu nhúm lng t, i s lng t [3, 4, 5] da trờn hỡnh thc lun dao ng t bin dng bi chỳng liờn quan n nhiu nghiờn cu cỏc mụ hỡnh vt lý, quang lng t, vt cht ụng c Dao ng bin dng l tng quỏt hn dao ng cha bin dng Dao ng cha bin dng ch l mt trng hp riờng ca dao ng bin dng thụng s bin dng tin n mt giỏ tr xỏc nh no ú [6] Dao ng t bin dng cú th xem nh dao ng phi tuyn vi tn s ph thuc vo biờn Cú nhiu kiu dao ng bin dng, mi kiu dao ng bin dng cú mt tn s dao ng khỏc c trng cho kiu bin dng ú Bit c tn s ca dao ng bin dng s bit c cỏc tớnh cht ca dao ng bin dng T ú m ng cho vic nghiờn cu cỏc ng dng ca dao ng t bin dng Trong lun ny tụi nghiờn cu tn s ca dao ng bin dng v ch tớnh cht phi tuyn ca cỏc dao ng bin dng 2 Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu tn s ca dao ng t bin dng Nhim v nghiờn cu - Nghiờn cu tn s ca dao ng t bin dng q boson - Nghiờn cu tn s ca dao ng t bin dng q Fermion i tng v phm vi nghiờn cu - Nghiờn cu dao ng bin dng q boson, tn s ca dao ng bin dng q boson - Nghiờn cu dao ng bin dng q Fermion, tn s ca dao ng bin dng q Fermion Phng phỏp nghiờn cu - Dựng phng phỏp nghiờn cu ca vt lý lý thuyt v vt lý toỏn - Dựng phng phỏp nghiờn cu ca nhúm i xng lng tũ v dao ng lng t - Dựng phng phỏp nghiờn cu ca vt lý thng kờ v c lng tũ D kin úng gúp ca ti - Vit tng quan v dao ng lng t a cỏch tỡm tn s ca dao ng t, lng t lm c s cho vic nghiờn cu cỏc ng dng ca dao ng t bin dng CHNG TễNG QUAN V DAO NG BIN DNG Trong chng ny chng tụi s trỡnh by tng quan v dao ng tũ iu hũa, dao ng t bin dng.[l] 1.1 Dao ng t iu hũa Toỏn t Hamiltonian ca dao ng t iu hũa cú dng: H =? -k x 2m dx (1.1) thun tin vit cỏc cụng thc õycng nh sau ny, thay cho cỏc toỏn t ta X v xung lng - i h d /d x tahóy dựng cỏc toỏn t ta v xung lng chớnh tc mi: x - > q = \fm x -ih = -i uv (1.2) (1.3) y 171 dx H thc giao hoỏn gia p v q l: p ,q - -iti (1.4) Biu din qua p v q, Hamiltonian (1.1) cú dng H =\[ p +>2^2) (!*5) Ta li t: p = f2 r q=ii L v S) (1-6) ( i -7) v cú H=\[pp++p+p )h d-8> Cỏc toỏn t v xut hin trờn cú th biu din ngc li qua p v q nh sau: (1.9) h ằ r ự D dng chng minh c rng cỏc toỏn tũ trờn tha h thc giao hoỏn =1 v ú Hamiltonian (1.8) thnh: / n H = p* p+ h (1.12) Vic nghiờn cu ph nng lng ca dao ng t iu hũa quy v bi toỏn tỡm cỏc vộct riờng ca Hamiltonian (1.12), ú cỏc toỏn t v + , > thon h thc giao hoỏn (1.11) lm iờu ú ta nh ngha mt toỏn t mi nh sau: N = p J3 (1.13) + v cú cỏc h thc giao hoỏn gia toỏn t ny vi cỏc toỏn t v 'n , p \ = - p hay N p =p N -lỡ (1.14) N ft* p = p * iV N + + l \| hay (1-15) Tht vy, theo nh ngha (1.13) v s dng h thc giao hoỏn (1.11) N ,p \ =N p - p N =p p p - p p * P = -(/? / =-fi (1.16) chớnh l h thc (1.14), v N ,fl =N fi - p * N =p p p =p [ p p -p p P -p p + = fi chớnh l h thc (1.15) Ký hiu nj l vộct riờng ca toỏn t N ng vi tr riờng n N n) = n n) T phng trỡnh (1.18) ta suy (1.18) 20 tỡm ph nng lng ca dao ng t bin dng q Boson ta phi gii phng trỡnh lm riờng, tr riờng sau: n \ ô ) ' = E-\n), h2 v - v A *A )\n )q = E , \ n ) q (2.24) S dng (2.15), (2.17) ta cú kt qu (2.24) n -\q +[n\ ) \ n)q = Eằ\n) T ú suy ra: En = h (2.25) Ph nng lng ca dao ng bin dng q boson cú dng nh (2.25) tc l nng lng giỏn on v cỏc mc khụng cỏch u 2.2 Tn s ca dao ng bn dng q Boson tỡm tn s dao ng ca dao ng tũ bin dng q Boson ta s xut phỏt t vic vit toỏn t nng lng ca dao ng t bin dng q Boson v dng chun ri biu din qua cỏc toỏn tũ sinh hy dao ng Boson bỡnh thng nh sau: Toỏn t nng lng ca dao ng boson bỡnh thng dao ng vi tn s co s cú dng; h P f) (2.26) Chn li gc ta H c dng n gin H =n (2.27) Dao ngt bin dng q Boson cú th xem nh l mt dao ng t phi tuyn vi tớnh phi tuyn th hin ch tn s dao ng ph thuc vo biờn 21 dao ng theo mt hm s no ú Khi ú toỏn t nng lng ca dao ng bin dng q Boson cú th c vit dng chun H =n (2.28) Toỏn t sinh, hy A+ , A ca dao ng t bin dng q Boson cú th c biu din qua cỏc toỏn t sinh, hy ca dao ng Boson bỡnh thng ò+, ò [4] nh sau: [JV] A+= V N A =ò (2.29) N T (2.29) ta thu c AA+=[N + l \ = f { ò ò > ) (2.30) Tớnh o hm ca toỏn tũ sinh A+ , hy A theo thi gian A = ễA+ dH ễA+ dH ụx dp dp ụx r ^ / =h =n 1A A+ aừA+ ^ ếA r dA+ ễA A + A A + AH Jp ừp dp V ừx ụx \ 3A+ ễAễA+ dp dp ụx =h (2.31) Ta tớnh: ếA ếA+ ếA ếA+ ừx dp dp ừx 22 ( ụ_ i/(/r) PF ụx V \ f { ò ò +) ò PF dp d_ ò4 ( \ f { ò ò +) PF dp ( ò \ f { ò ò +) òp ễX ò4 / ễ dp f ( ò ò +) V i òò+ ễ \ |/(/r ~dòò+ \ òò+ ) ửòò* dp V ^ f(ò ò *)\ ( ễ [ f { ò ò +V\ dòò+ { ò ò + ) dp ) \ /(/ ) \ i ò ' - f ( ò ò ' ) dò ò ' w J \ ^ ) 0ò ò * dòò* òò* PF { f ( +)) ròrò + > (/r ) òò' (òp) dp f{òP')](ửò [òò' j {ụp SF dp Tng t: ễ ' ễX V If(òò') ' V òò+ _ ( f(òò*y { /(/r) d_ /(/r) òò' dp òp i[/(/r) 2[ / òò * J òr " ( / r ) i OfJC ^ f o xl f c xù ' - ' cùx f(òP) ~ (ò rf + dò dp ếX ửò_ ò ++ ò ò ++ ò \ òò' fdpr - ò dp f ]J \ \ W p - ò W - dp \ ụx dò dò ễX /(/r) + ễX J \i +\ f ễX J òd 4dpr - dpf y J 23 / ( / r ) | rd ò d ò + d ò d ò + f { ò ò +) / ụx dp (+)2 | dp ụx 2ợ ^ / - ^( / r ) W j h A - i j) w /( /r ) / A = | , | ( dp dp ụx i / A++ a = mh = f ~ * y 17 A+è ếAếA+ dp y V * X y = mh {A,A+} = -ih r} Ta Cểkt qu: i + = { a +, h } =m J ễA^ -A + A / ) y 24 f Hò+ _ q -ò ò + ^ A += - i n y q q \ Rò+ _ q -ò ò + ln q = ifr V (2.37) q-q~l Tng t ta cú: A = h + _ ^ -ò ò + = h ^ -1 RR+ = it -q 4~ ^ -òò+ ln q (2.38) Dao ng t bin dng q Boson chớnh l dao ng phi tuyn vi tn s w thỡ ta cú th vit: A + = h A = -fi (2.39) (2.40) T (2.39), (2.40) hoc t (2.37), (2.38) ta tớnh c tn s ca dao ng t bin dng q boson W =6 _L_ -òò+ -ln q q-q õy ò, ò+ tng ng vi s mc kớch thớch hoc s ht T kt qu tớnh toỏn ó chng t rng dao ng t bin dng q Boson l mt dao ng t phi tuyn m tn s dao ng ph thuc vo nng lng 25 Kt luõn: Trong chng chng tụi ó trỡnh by mt cỏch h thng v dao ng t bin dng q Boson tớnh tn s ca dao ng t bin dng q boson v ch rng tn s ny ph thuc vo nng lng ca dao ng t bin dng q boson Nhng kt qu ny l c s cú th ỏp dng hỡnh thc lun dao ng t bin dng q Boson tớnh cỏc thụng s vt lý ca cỏc h ht cú spin nguyờn 26 CHNG TN S CA DAO NG BIN DNG q fermion Trong chng ny tụi nghiờn cu v vit tng quan v dao ng bin dng q ớermion, ch dao ng bin dng q fermion c xem nh mt dao ng phi tuyn vi tn s ca dao ng bin dng ph thuc vo biờn theo hm cosinehyperbolic v ong chng ny tụi cng tớnh tn s dao ng ca bin dng q ớermion 3.1 Dao ng bin dng q ớerniion 3.1.1, Dao ng t bin dng q f 'ermion n mode Cỏc toỏn t sinh, hy ca dao ng t bin dng q ớermion ký hiu l b+, b tha cỏc h thc giao hoỏn bb+- qb+b = q N, [N, b] = -b, [N, b+] = b+ (3.1) Trng thỏi riờng ó c chun húa ca toỏn t s dao ng q ớermion bin dng c xỏc nh theo cụng thc: (3.2) 27 õy s dng ký hiu: r - T ^ - H V q +q [n f ! = [n ] \ [ ằ - l ] \ [ l f (3.3) (3.4) Biu din trờn l vụ hn chiu i vi nhng giỏ tr c bit ca q thỡ khụng gian Fock b chia thnh nhng khụng gian khụng liờn kt vi Mi khụng gian nh vy thc hin mt biu din hu hn chiu ca i s (3.1) Nu xột riờng q = eiớmvi m e N , / n # thỡ ta cú: Khi m l thỡ [2m]b = Khi m = 4k + thỡ [m]b = -|b Khi m = 4k + (k > 1) thỡ =0 S chiu ca cỏc khụng gian khụng liờn kt l s nguyờn n nh nht tha mó [n]b = (Trng hp q = eirn l c bit vi vớ d n f :>i ^n+1^n\ nhng trng hp ny cho ta biu din vụ hn chiu) Vi q = thỡ khụng gian Fock c phõn thnh khụng gian hai chiu v nguyờn lý loi tr Pauli cú th suy ra: T b2 = V (b+f = Bõy gi chỳng ta bin i cỏc toỏn t (vi q thc) F = qN/2b, F+ = b+qN/2, ta thu c h thc giao hoỏn (3.5) 28 FF+ + q2F+F = (3.6) Nh vy biu din ca khụng gian Fock vi cỏc toỏn t múi c xỏc nh: F|0) = 0, (3.7) õy s dng ký hiu: [n =r'[n]h (3.8) , + qF tc l dn v c (3.8) Mt iu ỏng lu ý õy l nu dao ng t q fermion bin dng c nh ngha thụng qua (3.1) thỡ chng ta khụng tỡm c cỏc phộp bin i xỏc nh mi liờn h cỏc toỏn t sinh hy ca dao ng t q fermion bin dng v dao ng t fermion thụng thng (khụng bin dng) Tuy vy Chaichian v Kulish [3] ó a mt nh ngha khỏc cho dao ng t bin dng q fermion thay th cho (3.1) nh sau: 29 cc+ + qc+c = qM, [M,c] = - c , [M, c+] = c+ (3.9) r Trong trng hp ny nờu a vo cỏc toỏn t (3.10) thỡ chỳng ta s dn n h thc giao hoỏn Fermi thụng thng: C + c +c = 1, (3.11) iu ú cú ngha dao ng t q - fermion xỏc nh bi i s (3.9) l ch mt khụng gian biu din Fock (khụng bin dng) tm thng v ú cỏc dao ng t ú chớnh l cỏc fermion thụng thng 3.1.2 Dao ng t q - bin dng a mode Trong mc ny chỳng ta s xem xột cỏc h bin dng a mode i vi cỏc dao ng t q - bin dng boson v fermion vúi nh ngha (3.1), (3.6) tng ng, vic m rng cho h a mode hon ton n gin i vi h dao ng t boson q - bin dng a mode chng ta cú cỏc h thc giao hoỏn.: (3.12) v (3.13) 30 Cũn i vi h dao ng t q fermion bin dng a mode cỏc h thc giao hoỏn tr thnh: [* * ;] = $ # (3.14) v ^ + - [ ( ? - 1) ^ + 1] ^ [ W = , ] = -Ơ toỏn t hy dao ng Fermion nh sau: r) (3.18) 31 X = Thay (3.18) vo (3.17) ta cú: n ^r r Chn li gc ta cú dng n gin sau: n (3.19) Dao ng t Fermion bin dng l mt dao ng t phi tuyn vi tớnh phi tuyn th hin ch tn s dao ng ph thuc vo biờn dao ng theo mt hm s no ú m ta cn tỡm Toỏn t nng lng ca dao ng t Fermion bin dng cú th vit nh sau: H=h (3.20) Toỏn t sinh b +, hy b ca dao ng t Fermion bin dng cú th c biu din thụng qua cỏc toỏn t sinh, hy ca dao ng Fermon bỡnh thng [5] nh sau: (3.21) T (3.21) ta thu c: bb+ = [N + 1] = m +) Ta tớnh o hm ca cỏc toỏn t sinh b +, hy b theo thi gian: (3.22) 32 ; + db+ dH = db+ dH = (^+) S dng h thc (3.8) v kớ hiu (3.1) chỳng ta tớnh c: -+ - - l T qer b [...]... 3 TẦN SỐ CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG q fermion Trong chương 3 này tôi nghiên cứu và viết tổng quan về dao động biến dạng q íermion, chỉ ra dao động biến dạng q fermion được xem như một dao động phi tuyến với tần số của dao động biến dạng phụ thuộc vào biên độ theo hàm cosinehyperbolic và ừong chương này tôi cũng tính tần số dao động của biến dạng q íermion 3.1 Dao động biến dạng q íerniion 3.1.1, Dao động. .. tuyến mà tần số dao động phụ thuộc vào năng lượng 25 Kết luân: Trong chương 2 chứng tôi đã trình bày một cách hệ thống về dao động tà biến dạng q Boson tính tần số của dao động tử biến dạng q boson và chỉ ra rằng tần số này phụ thuộc vào năng lượng của dao động tử biến dạng q boson Những kết quả này là cơ sở để có thể áp dụng hình thức luận dao động tử biến dạng q Boson để tính các thông số vật lý của. .. lượng của dao động biến dạng q boson có dạng như (2.25) tức là năng lượng gián đoạn và các mức không cách đều nhau 2.2 Tần sổ của dao động bỉến dạng q Boson Để tìm tần số dao động của dao động tò biến dạng q Boson ta sẽ xuất phát từ việc viết toán tử năng lượng của dao động tử biến dạng q Boson về dạng chuẩn rồi biểu diễn qua các toán tò sinh hủy dao động Boson bình thường như sau: Toán tử năng lượng của. .. 1.2 Dao động tử bỉến dạng Toán tò Hamiltionian của dao động tử biến dạng: H = P -+ U 2m (1.44) Trong đó p là toán tò xung lượng , u là toán tò thế năng của dao động tò biến dạng Nếu chọn hệ tọa độ suy rộng thích hợp thì hoán tử Hamiltionian của dao động có dạng: H = - ị p 2 + Cử2* 2j Trong đó X là tọa độ suy rộng, 00 là (1.45) tần số góc của dao động biến dạng Xung lượng và tọa độ suy rộng của dao động. .. lượng của dao động boson bình thường dao động với tần số co sẽ có dạng; h ■ P f) (2.26) Chọn lại gốc tọa độ để H cổ dạng đơn giản H =n (2.27) Dao độngtử biến dạng q Boson có thể xem như là một dao động tử phi tuyến với tính phi tuyến thể hiện ở chỗ tần số dao động phụ thuộc vào biên độ 21 dao động theo một hàm số nào đó Khi đó toán tử năng lượng của dao động biến dạng q Boson có thể được viết ở dạng chuẩn... Trong chương này chứng tôi trình bày cụ thể về các hệ dao động tò biến dạng cho hệ các hạt có spin nguyên đó là các hạt boson Tìm tần số của dao động biến dạng này 2.1 Dao động tử biến dạng q Boson Toán tà sinh A+, toán tò hủy A dao động biến dạng thỏa mãn các hệ thức giao hoán AA+ - qA+A = q"N (2 1 ) Trong đó q là thông số biến dạng, N là toán tử số dao động thỏa mãn các hệ thức giao hoán [N,A] = - A (2... Dao động tử Fermion biến dạng là một dao động tử phi tuyến với tính phi tuyến thể hiện ở chỗ tần số dao động phụ thuộc vào biên độ dao động theo một hàm số nào đó mà ta cần tìm Toán tử năng lượng của dao động tử Fermion biến dạng có thể viết như sau: H=h (3.20) Toán tử sinh b +, hủy b của dao động tử Fermion biến dạng có thể được biểu diễn thông qua các toán tử sinh, hủy của dao động Fermon bình thường... q (2.38) У Dao động tà biến dạng q Boson chính là dao động phi tuyến với tần số w thì ta có thể viết: A + = ỉh A = -ỉfi (2.39) (2.40) Từ (2.39), (2.40) hoặc từ (2.37), (2.38) ta tính được tần số của dao động tà biến dạng q boson Ж W =6Ở _L_ „-ßß+ -ln q q-q Ở đây ß, ß+ tương ứng với số mức kích thích hoặc số hạt Từ kết quả tính toán đã chứng tỏ rằng dao động tà biến dạng q Boson là một dao động tử phi... được phổ năng lượng của dao động biến dạng h (1.61) Kết luận: Ở chương I xuất phát từ Hamiltonian của dao động tử chúng tôi đã biểu diễn được toán tử Hamiltonian qua các toán tử sinh hủy dao động, đưa ra véctơ trạng thái là véctơ riêng của toán tử số dao động, giải phương trình hàm riêng trị riêng của toán tà năng lượng để tìm phổ năng lượng của dao động tử Phổ năng lượng của các dao động tà đều nhận... Xung lượng và tọa độ suy rộng của dao động biến dạng có thể biến đổi qua toán tà sinh hủy dao động biến dạng a+, a như sau: P = iJ ^ 2 ị - (L46> -) ^ " ATI Thay (1.46) và (1.47) vào (1.45) ta có thể biểu diễn Hamiltionian của dao động tà biến dạng qua các toán tà sinh hủy dao động biến động a+, a như sau: H = —ịaa +a aj h (1.48) Toán tử sinh hủy dao động biến dạng thỏa mãn các hệ thức giao hoán sau: