Luận văn dàn thời gian tần số gabor và đồng nhất thức wexler raz

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI PHẠM ĐÌNH HÙNG DÀN THỜI GIAN - TAN số GARBOR VÀ ĐỒNG NHẤT THỨC WEXLER - RAZ LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI PHẠM ĐÌNH HÙNG DÀN THỜI GIAN - TAN số GABOR VÀ ĐỒNG NHẤT THỨC WEXLER - RAZ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN QUỲNH NGA Hà Nội, 2016 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô giáo TS Nguyễn Quỳnh Nga tận tâm truyền thụ kiến thức hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Phạm Đình Hùng Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng bảo hướng dẫn TS Nguyễn Quỳnh Nga Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn, kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Phạm Đình Hùng 55 Muc luc Mở đầu Lí chọn đề tài Khung R.J Duffin A.c Schaeffer [5] đưa thức vào năm 1952 Tuy nhiên, phải đến năm 1986, sau báo I Daubechies, A Grossmann Y.Meyer [3] khung nhà khoa học quan tâm rộng rãi Khung sử dụng nhiều lĩnh vực xử lý tín hiệu, xử lý hình ảnh, nén liệu, lý thuyết mẫu, lí thuyết mật mã, lí thuyết lượng tử, Một khung xem sở trực chuẩn suy rộng Nó cho phép biểu diễn vectơ không gian thành tổ hợp tuyến tính vô hạn vectơ khung, nhiên hệ số biểu diễn không Chính nhờ tính chất mà khung có nhiều ứng dụng quan trọng xử lý tín hiệu hình ảnh cho tính bền vững: chấ t lượng tín hiệu bị ảnh hưởng có nhiễu tiếng ồn tín hiệu khôi phục lại từ mẫu có độ xác thấp (xem [1]) D Gabor, nhà vật lí kĩ sư điện người Hungary, người nhận giải Nobel vật lý, năm 1946 [6] đưa ý tưởng khai triển hàm / thành chuỗi hàm bản, đươc xây dựng từ hàm L(R) phép tịnh tiến biến điệu Cụ thể hơn, ông đề xuất khai triển hàm / thành chuỗi z Cm,n9ma,nỊ3 m,n£ (1) hàm g m a n p định nghĩa 9ma,nạ (í) = {t - np) e~ 2 l ĩ i m a \ m,n£Z (2) với hàm cố định g tham số dịch chuyển thời gian, tần số a, ậ > Các hàm g m a n p (2) nhận nhờ dịch chuyển g dọc theo dàn A = /?z X aX mặt phẳng thời gian - tần số Các dàn thời gian - tần số Gabor{< 7mQ: n p} eZ xác định (2) công cụ tiềm để phân tích xử lý tín hiệu giọng nói âm nhạc Với mong muốn hiểu biết nhiều lý thuyết khung nói chung dàn thời gian - tần số Gabor nói riêng, đồng ý hướng dẫn TS Nguyễn Quỳnh Nga, định chọn: “Dàn thời gian - tần số Gabor Đồng thức Wexler Raz” làm đề tài luận văn cao học Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan sở lý thuyết khung dàn thời gian - tần số Gabor đồng thức Wexler - Raz 10 Nhiệm vụ nghiên cứu Nắm vững kiến thức sở bao gồm tính chất toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert, lý thuyết khung tổng quát không gian Hilbert Nghiên cứu dàn thời gian - tần số Gabor đồng thức Wexler - Raz Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: dàn thời gian - tần số Gabor đồng thức Wexler Raz Phạm vi nghiên cứu: Các báo, tài liệu nước liên quan đến dàn thời gian - tần số Gabor đồng thức Wexler - Raz Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức phương pháp giải tích hàm để tiếp cận vấn đề Thu thập nghiên cứu tài liệu có liên quan, đặc biệt báo nước vấn đề mà luận văn đề cập tới ( Cần thiết để có (2.35)), T* a ßTg a ß có nghịch đảo bị chặn Bằng cách hoán đổi vai trò (a,/3) V ã (^5 “) tronS Bổ đề 2.2.5 ta xây dựng K > hàm ĩpk: k = 0, , K — để K-l T i k , 1h , 1U T ^ 1l ß , 1l c i = ßIdL*( R) k=0 (2.36) *-1 ị T ik-,a,ßT^;*,ß = ~ I d l m k =0 Do (2.16) ta có T ĩk-, (2.37) a,ß R aßTg-a,ß ^ßT? / ß i/ a Ri/ a ß T^ k; ^ / a Lấy liên hợp hai vế (2.37), với ý R* ß = R ß, Rtị = Ri/ , ta a 'T* O rp _ 'T* J-g-aJ^aßJ-^^a^ — a a ß D TI _ ß1i>k-,1/ß,1/aK^ß19;°‘,ß Nhân vế (2.38) (2.37), sau lấy tổng theo k với ý R^ß = Id , R%ị = Id (2.36) ta in (2.38) ! *-1 — a Q2 Tịk',1 / ß ụ ,Va Tg-1 / ß ,i/„ T-.iịpiỊ^ Ri ¡ aß Tịk-} ¡ ¡ a k =0 Với / G l (R) ta có (2.39) ^ K -1 llTS;^/ỉ|2 = —T hlß}l a R x l«ß T ^lß}lJ ^ k =0 Nếu với c ẽ T z2(z2) biß}l a c A||c||2 < v ó i A > , B < o o (có nghĩa rằng, Tg.i/ ß i/ a bị chặn Tg.i / ß i / a T* / ß nghịch đảo bị chặn) (2.39) suy -^11 /II < I|ĨW/I| < -^11 /II v có ta sử dụng Ef= Q1 ||TW;1//!,1/ct/||2 = £11/112 (2.36) Định lý tóm tắt tất kết Định lý 2.3.3 Với g € L ( R ) , a, ¡3 > toán tử Tg.a định nghĩa (2.1) bị chặn từ L (M) —> l (z2) Tg.iị 1/ bị chặ n Hơn nữa, T*.a ạTg.a có nghịch đảo bị chặn Tg.1 Ịp 1Ị T*.iỵ lỵ có nghịch đảo bị chặn hàm đối ngẫu khung g hàm đ ối ngẫu Wexler - Raz gtt trùng nhau, tức {e0,o} € /2(z2) dãy (e0|o)fciỉ = ỏk, 0^ 1, 0- Ý nghĩa thực tiễn kết dẫn đến việc xây dựng đơn giản hàm đối ngẫu g so với xây dựng theo đệ quy trình bày [2] Trong trường hợp g (x) = 7T /e /2, a = 0.25, /3 = 2.0, ví dụ, ta có Ả ~ 1.600, B ~ 2.425 hàm đối ngẫu khung g tính sau K-¥ oc A+B 2 rp♦ A+B19\ÍU,2 g K = {Id \k Tg, U ĩ ) g lim g K m,n định nghĩa truy hồi A + B9 ra,71 Nếu viết B - A B + A 9- K II < C.I \K ) ~ c(0.2)* điều dân đến tính toán đệ quy A^ n , hội tụ theo tốc độ hàm số mũ theo K, Tính toán gtt thực mẹo với /2,I) e0,o = A + ( I d - + n r í'ịi' r ‘r'ỉ^ì) e o.o = K^> 00 e° = jị^e ĩ e* = J^e j + e* - Ã^B T g-/ Ạ T * g ,i/ Ạ Z K ■ Điều dẫn đến g* giới hạn Y, m n n ™ / 4n fi^ n tuân theo đệ quy tương tự A^ n Để có độ xác ta cần tính số lượng Ịi^ l J l (khoảng 1/4 số lượng A^n) đệ quy sử dụng ma trận nhỏ {g™/ 4n, g) phân rã nhanh theo m,n { m / i , n i g)- Một chứng minh độc lập Trong mục chứng minh hai hàm đối ngâu g vầ gtt cách trực tiếp, không dựa vào công thức Wexler - Raz Theo đó, ta giả sử {g m a , n p} m neZ khung (2.7) định nghĩa = {Tg-a,pTg-a,ạ) Tính chất cực trị g chỗ hệ số Cm,Tt (/'j 9ma,nfì) tạo hệ số khai triển (2.41) (2.40) / = £ [...]...11 Đóng góp mới của luận văn 12 Luận văn hy vọng sẽ là một tài liệu tổng quan về dàn thời gian - tần số Gabor và đồng nhất thức Wexler - Raz 13 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một vài khái niệm, kết quả cơ bản sẽ dùng trong chương sau Các kết quả này được tham khảo từ các tài liệu [1], [3], [5], [8], [10], Toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert Toán tử... Hilbert Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert K là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là tồn tại hằng số c > 0 sao cho ||Tz|| < c||æ|| , với mọi X £ H (1.1) Ký hiệu B(H : K) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào K Khi H = K thì B(H, K) được ký hiệu đơn giản là B(H) Chuẩn của T £ B(H,K) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất thỏa mãn (1.1) Nói một cách... (T) = {x