Luận văn dàn thời gian tần số gabor và đồng nhất thức wexler raz

BỘ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO TRƯ Ờ NG ĐẠI HỌC s PH Ạ M HÀ NỘ I PH Ạ M Đ ÌN H H Ù N G D À N TH Ờ I G IA N - T A N s ố G A R B O R VÀ Đ Ồ N G N H Ấ T TH Ứ C W E X L E R - RAZ L U Ậ N V Ă N T H Ạ C s ĩ T O Á N HỌC H À N Ộ I, 2016 BỘ GIÁO D Ụ C VÀ Đ À O TẠO TR Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s PH Ạ M HÀ NỘI P H Ạ M Đ ÌN H H Ù N G D À N TH Ờ I G IA N - T A N s ố G A B O R VÀ Đ Ồ N G N H Ấ T TH Ứ C W E X L E R - RAZ C h u yên ngành: T oán giải tích M ã số: 6 L U Ậ N VĂ N TH ẠC s ĩ T O Á N HỌC N gư i hư ớng dẫn k h oa học: TS N G U Y Ễ N Q U Ỳ N H N G A H N ộ i, 2016 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới cô giáo TS Nguyễn Quỳnh Nga tận tâm truyền thụ kiến thức hướng dẫn hoàn th àn h luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả P h m Đ ìn h H ù n g Lời cam đ o a n Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng bảo hướng dẫn TS Nguyễn Quỳnh Nga Trong trình nghiên cứu hoàn th àn h luận văn, kế thừ a kết nhà khoa học với trâ n trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả P h m Đ ìn h H ù n g M u c luc M đầu 1 K iến th ứ c chuẩn bị 1.1 Toán tử tuyến tính liên tục không gian H ilb e rt 1.2 Một số không gian 1.3 Phép biến đổi Fourier chuỗi F o u r ie r 1.4 Khung tổng quát không gian Hilbert 1.5 Khung G a b o r 192 D n th i gian —tầ n số G ab or đ ồn g n h ất th ứ c W exler — R az 27 2.1 Hàm đối ngẫu k h u n g 27 2.2 Đồng nh ất thức Wexler-Raz 31 2.3 Hàm đối ngẫu Wexler - Raz đồng với hàm đối ngẫu khung 45 2.4 Một chứng minh độc lập K ế t lu ận Tài liệu th a m khảo 51 54 55 M đ ầu L í d o c h ọ n đ ề tà i Khung R J Duffin A c Schaeffer [5] đưa thức vào năm 1952 Tuy nhiên, phải đến năm 1986, sau báo I Daubechies, A Grossm ann Y Meyer [3] khung nhà khoa học quan tâm rộng rãi Khung sử dụng nhiều lĩnh vực xử lý tín hiệu, xử lý hình ảnh, nén liệu, lý thuyết m ẫu, lí thuyết m ật mã, lí thuyết lượng tử, M ột khung xem m ột sở trực chuẩn suy rộng Nó cho phép biểu diễn vectơ không gian th àn h m ột tổ hợp tuyến tín h vô hạn vectơ khung, tu y nhiên hệ số biểu diễn không Chính nhờ tính chất m khung có nhiều ứng dụng quan trọng xử lý tín hiệu hình ảnh cho tính bền vững: chất lượng tín hiệu bị ảnh hưởng có nhiễu tiếng ồn tín hiệu khôi phục lại từ m ẫu có độ xác thấp (xem [1]) D Gabor, m ột nhà vật lí kĩ sư điện người Hungary, người nhận giải Nobel vật lý, năm 1946 [6] đưa ý tưởng khai triển m ột hàm / th àn h m ột chuỗi hàm bản, đươc xây dựng từ m ột hàm L 2(R) phép tịnh tiến biến điệu Cụ thể hơn, ông đề xuất khai triển hàm / th àn h chuỗi Cm,n9ma,nỊ3 m ,n £ z (1) hàm gma np định nghĩa 9ma,nạ (í) = {t - np ) e~2lĩima\ m,n£Z (2) với m ột hàm cố định g tham số dịch chuyển thời gian, tần số a, ậ > Các hàm gma np (2) nhận nhờ dịch chuyển g dọc theo m ột dàn A = /?z X a X m ặt phẳng thời gian - tần số Các dàn thời gian - tần số Gabor{ cho ||T z || < c||æ || , với X £ H (1.1) Ký hiệu B ( H : K ) tập tấ t toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào K Khi H = K B ( H , K ) ký hiệu đơn giản B ( H ) Chuẩn T £ B ( H , K ) định nghĩa số c nhỏ thỏa m ãn (1.1) Nói m ột cách tương đương, ||T || = su p { ||T x || : X £ H, ||a;|| < 1} = sup { ||T x || : X £ H,\\x\\ = 1} M ện h đề 1.1.1 Giả sử H, L , K không gian Hilbert Nếu T £ B (H , K ) tồn phần tử T* £ B (K , H ) cho (T*x, y ) = (x, T y ) , ( x £ K , y £ H ) Hơn nữa, i) (a S + b T Ỵ = ã S * + bT* ii) (R S Ỵ = S*R* iii) (T * y = T iv) r = I v) Nếu T khả nghịch T* khả nghịch (T -1 )* = (T*) 1, S , T ¡E B ( H , K ), R e B ( K , L ) a,b Gc Toán tử T* Mệnh đề 1.1.1 gọi toán tử liên hợp toán tử T M ện h đề 1.1.2 Giả s T GB ( H , K ) s & B ( K , L) M < imi M vzeií IISTII < IISII mi ■ »; Ill’ll = IIHI Khi iv) ||TT*|| = ||T ||2 Cho T ẽ B ( H ) T gọi toán tử tự liên hợp T* = T , u n ita T * T — TT* — I T gọi dương (ký hiệu T > 0) ( T x , x ) > với X E H Chú ý với T E B ( H ) th ì ( T * T x , x ) = (T x , T x } > với X E H Do T * T dương M ện h đề 1.1 Giả sử T E B ( H ) Khi i) T tự liên hợp ( T x , x ) thực với X E H Đặc biệt, toán tử dương tự liên hợp ii) T unita T ánh xạ bảo toàn chuẩn (hay tương đương bảo toàn tích vô hướng) từ H lên H M ện h đề 1.1.4 Nếu u E B (H ) toán tử tự liên hợp II^II = 11/11= sup1 IW,/)|- 41 CÓ m ặt bị chặn sau lấy hợp th àn h lấy tổng lại đảm bảo tính bị chặn.Ta kiểm tra xem toán tử tác động dãy sơ cấp ekß G l2 ( z 2) định nghĩa (ekji)m n = ổfc,mổz,nTa có toán tử w định = e R a ß T g -a ,ß T * ,i ! ß i ! a R i Ịaße kj Bây ta kiểm tra m , n , k , l e w (771QÍ, 7T./3) z (2.5) Áp dụng (2.10) ta nghĩa w (ạ có ^a ß T W ( - k / ß - i / a ') ipjj0ljß g , giao hoán với T h ật vậy, theo định nghĩa w (m a , n ß ) w với = E_kTi_] E - m a T nß Sử dụng Bổ đề 1.5.1 tính chất = E aE b E bE a : T aT b = T bT a f l , ỉ ) ẽ l , ta w (ma, n ß ) w —E = - m — m aa E _ k T n ß T i E _ k _ e ~ rim lT L E —m a ß —E = a _ k T L E _—m m aa T n ß w (/?’ “ ) w • với 42 Từ suy ( T v n ‘ / „ l/ ) f f , c : ß ä ) m ,n = ’w (m a [...]... Điểm { (m a , n ß ) } m neZ tạo thành m ột dàn trong R 2 và vì lý do này {gma nß} gian z eZ cũng được gọi là dàn thời tần số G abor hay dàn Gabor Dàn G abor là công cụ tiềm năng để phân tích và xử lý các tín hiệu như giọng nói và âm nhạc Định lý sau cho ta điều kiện cần để hệ G abor {gma nß} eZ là m ột khung trong L 2 (M) Đ ịn h lý 1.5 3 Giả sử g £ L 2 (M) và cho a, ß > 0 Khi đó, nếu {gma nß} là một... không gian L 2 [n, n + 1] có cơ sở trực chuẩn {e 2*im(*-n)X[0jii (x - n ) } meZ = {e2“ x[0,i] (x - ^ ) } meZ Từ đó L 2 (E) có cơ sở trực chuẩn là { e 27rimxXị0 !] (x — n)} eZ □ 27 Chương 2 D à n th ờ i g ia n — tầ n số G a b o r và đ ồ n g n h ấ t th ứ c W ex ler — R az Trong chương này chúng ta sẽ đi sâu vào nghiên cứu mối liên hệ giữa dàn thời gian - tần số G abor {gma nß} G abor eZ và dàn thời gian. .. các phần tử của Tg.a ß f + N {r*.a Ị^j với Tg a ß f là nghiệm có chuẩn l2 nhỏ nhất 2 2 Đ ồ n g n h ấ t th ứ c W e x le r -R a z Các kết quả của W exler -Raz trong [9] dựa trên m ột đồng nhất thức kết nối toán tử Tg.a ß với Tg 1jß \j ( tương ứng với tham số dàn đối ngẫu -) Đầu tiên ta sẽ phát biểu và chứng minh đồng nh ất thức này Đ ịn h lý 2 2 1 G i ả s ử f , g , h e L 2(R) v a a , ß > 0 d e T f aß,Tg.ajß... nghiên cứu mối liên hệ giữa dàn thời gian - tần số G abor {gma nß} G abor eZ và dàn thời gian - tần số tương ứng với dàn đối ngẫu ( y , - ) và các tính chất của chúng nhờ đồng nh ất thức Wexler - Raz Nội dung của chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [4], [9] 2 1 H àm đối ngẫu khung Cho g G L 2{m) và a , ß > 0 Ta kí hiệu Tg.a ß là toán tử đưa / G L 2(w) tới dãy { ( /, g m a ,n ß )}m n ez... X là không gian Banach Nếu u : X —> X bị chặn và II7"— u II < 1 thì u khả nghịch và u ~ l = Ỵh {I — u ) k Ngoài ra, k=1 Cho T : X ^ Y Trong luận văn chúng tôi cũng sử dụng các ký hiệu sau: N (T) = { x L 2 (M ), 0 xác định bởi Dc 9{x) = ^ g ( ị ) M ện h đề 1 5 7 Cho g £ L 2 (R), a , ß , c > 0 cho trước Giả sử rằng {gmanß} I 9°^ eZ là một khung Gabor Khi đó với gc := D cg, hệ Gabor nßc I /ồ một khung với các... /i = i=l E /¡, V / e H i=l Do {f k}^Li là m ột dãy Bessel và { ( / , G l2 (N), theo Hệ quả 1.4.11, chuỗi hội tụ không điều kiện Các hệ số khung □ fe)}¡°==1 có chuẩn l2 nhỏ nhất trong số tấ t cả các dãy biểu diễn / M ện h đề 1 4 1 4 Giả sử {fk}kLi là một khung của H và / G H Nếu f 00 có biểu diễn f = ckfk với các hệ số {cfc}fc=1 nào đó thì k=1 00 00 00 E M 2 = E l < / , s - 'A > f + E... ß ) với a , ß > 0 và g e L 2 (R) là hàm cố định Khung có dạng này còn được gọi là khung Weyl - Heisenberg Hàm g được gọi là hàm cửa sổ hay là phần tử sinh Chú ý khi nói về khung Gabor, ta hàm ý là khung cho toàn bộ L 2 (IR), nghĩa là, ta sẽ không làm việc với các khung cho các không gian con Hệ G abor {gma nß} eZ chỉ bao gồm các tịnh tiến với tham số n ß , n G và biến điệu với tham số m a ,m G z Điểm... các không gian Banach với chuẩn / 00 \ 1 /p ll/ll = ( / \ f { x ) \ pd x j '—OQ ' Đặc biệt, L 2 (M) là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn được xác định bởi 00 — 1 , / oc \ /2 f ( x ) g ( x ) d x , ll/ll = Ự \ f { x ) \ 2J 00 Tương tự ta ký hiệu b r ^ L 2 [ữ, 6] = ^ / : [ữ, 6] —» ■c Ị / đo được và / Ị / (x) 12dx < + oo ^ I a ) L 2 [ữ, 6] là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn... được gọi là chuỗi Fourier của / và {cjfc}feeZ được gọi là các hệ số Fourier 9 BỔ đề 1.3 2 Cho f , g G L 2 (o, Ị) với b > 0 và xét các chuỗi Fourier f ^ ; CỵẼỵ^g fcez ^ ; dkGỵ fcez íron