Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân

• Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO • • TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ NGÀ ÁP DỤNG GIẢI TÍCH THỜI GIAN - TẦN SỐ TRONG NGHIÊN cứu TOÁN TỬ TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 • •• LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC Ngưòi hướng dẫn khoa học: TS. Bùi Kiên Cường HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học, thầy giáo, cô giáo, toàn thể anh chị em học viên khóa 16 chuyên ngành Toán giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội động viên, giúp đỡ để tác giả có điều kiện tốt suốt trình hoàn thành luận văn. Đặc biệt, xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS. Bùi Kiên Cường định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giúp đỡ hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 201Ậ Tác giả Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS. Bùi Kiên Cường, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Áp dụng Giải tích thời gian - tần số nghiên cứu toán tử tích phân” hoàn thành nhận thức thân tác giả. Trong suốt trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Mục lục 1. Không gian hàm khả vi vô hạn giảm nhanh biến đổi Fourier 31 1. Biểu diễn Wigner 1. Hàm trọng không gian hỗn hợp chuẩn 2. Không gian biến điệu 1. Khung Gabor Không gian Wiener amalgam 3. Toán tử tích phân Fourier Chương 2. 1. tích phân Hầu2chéo hóa toán tử tích phân. khung Gabor Áp dụng giải tích thời gian - tần số nghiên cứu toán tử Tính. liên tục toán tử tích phân không gian biến điệu Tính liên toán tử tích 2.2tục . phân 1. M p Tính liên tục toán tử tích phân không gian biến điệu M p ’ q Tài liệu tham khảo 3 Mở đầu 1. Lí chọn đề tài Toán tử tích phân (FIO) công cụ toán học để nghiên cứu rộng rãi toán sinh phương trình đạo hàm riêng. Nguồn gốc lý thuyết toán tử tích phân Peter Lax giới thiệu năm 1957 nghiên cứu xây dựng hầu khả nghịch toán Cauchy phương trình hyperbol, sau nhà toán học sử dụng rộng rãi mô hình để biểu diễn nghiệm toán Cauchy, toán học lý thuyết toán ứng dụng. Đặc biệt, Helffer Robert ứng dụng toán tử tích phân để nghiên cứu tính chất phổ lớp toán tử elliptic toàn cục. Những năm gần đây, nhờ có phát triển lý thuyết giải tích thời gian tần số mà số lớp toán tử tích phân giải hầu chéo hóa nghiên cứu khung cảnh không gian biến điệu. Với mong muốn hiểu biết sâu giải tích thời gian - tần số toán tử tích phân, nghiên cứu giải toán tử tích phân không gian biến điệu, hướng dẫn TS. Bùi Kiên Cường, lựa chọn đề tài “Áp dụng Giải tích thời gian - tần số nghiên cứu toán tử tích phân” làm luận văn tốt nghiệp mình. 2. Mục đích nghiên cứu + Nắm khái niệm bản, tính chất giải tích thời gian - tần số toán tử tích phân không gian biến điệu. + Hệ thống hóa ứng dụng giải tích thời gian - tần số nghiên cứu giải phương trình tích phân. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tổng quan giải tích thời gian - tần số, không gian biến điệu ứng dụng vào toán tử tích phân, 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: giải tích thời gian - tần số, toán tử tích phân. + Phạm vi nghiên cứu: Các báo tài liệu nước liên quan đến đối tượng nghiên cứu. 5. Phương pháp nghiên cứu + Sử dụng kiến thức phương pháp giải tích hàm để tiếp cận vấn đề. + Thu thập nghiên cứu tài liệu có liên quan, đặc biệt báo nước vấn đề mà luận văn đề cập đến. 6. Đóng góp đề tài Luận văn tài liệu tổng quan lĩnh vực nghiên cứu đề tài. Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương sử dụng số ký hiệu khái niệm sau: 1.1. Không gian hàm khả vi vô hạn giảm nhanh biến đổi Fourier Ta ký hiệu 11\ = T ■ T, với T e Rd XY = X ■ Y tích vô hướng Rd. Với A = (cci, A ,A d), /3 = (/?!, /?2 , A ỉ ) € zị, ta nhắc lại ký hiệu D A X 13 phép lấy vi phân phép nhân toán tử d D“F = n *"/(*) = n ^/(*)’ j=l T = d j=l d Ta viết DX Ỉ\ DỊ — Ỵ2 DXJ A 2-dạng j =1 đối ngẫu. Định nghĩa 1.1. Không gian hàm giảm nhanh, ký hiệu S (Rd) tập hợp s ( R d ) = {^r (R d ) 11 X a D p i p ( x ) I < Ca>/J, Va; e Va, /3 00 Định lý 1.1. Không giãn s (Md) đầy đủ. Định nghĩa 1.2. Không gian hàm suy rộng tăng chậm, ký hiệu S' (Rd) không gian đối ngẫu «S(Má), tức không gian tất phiếm hàm tuyến tính liên tục S (Rd) với tô pô yếu*. Với / € S' (Md) , ■ K — > 00 , với IP e Khi ký hiệu UỊỊ —^ 0. Định lý 1.2. KHÔNG GIAN S' (Md) ĐẦY ĐỦ. Chúng ta sử dụng dấu ngoặc (/, G) để ký hiệu mở rộng tích vô hướng (/, G) — J Ỉ{T)G{T)DT L (lRd) lên S (Md) X S' (Md). Định nghĩa 1.4. Biến đổi Fourier chuẩn hóa hàm / € íS(Má) định nghĩa (1.1 Nhận xét 1.1. 1. Từ (ỊTTĨỊ) ta suy / < 00 ỊỊ/||r 2. Ta dùng ký hiệu ^r(/) để nhấn mạnh phép biến đổi Fourier toán tử tuyến tính tác động không gian hàm. 2,2 F(UJ) / F mật độ xác suất động lượng. Do 3. Nếu / tín hiệu, kĩ sư UJ tần số / (cư) J |/ (co) DUÚ xác suất chất điểm trạng thái / có động lượng / hiểu biên độ tần số UJ tín hiệu /. Trong vật lý, UJ biến động miền I c Ká. lượng Bổ đề 1.1. (Riemann - Lebesgue) NẾU F e L (Rd) THÌ / LIÊN TỤC ĐỀU VÀ lim |w|—>00 = Ký hiệu CQ (Rd) không gian Banach hàm liên tục triệt tiêu vô hạn. Khi Bổ đề Riemann - Lebesgue diễn đạt tính chất ánh xạ biến đổi Fourier sau /M T : ứ (:Rd) -> c0 (:Rd) . Nếu bỏ điều kiện mà biến đổi Fourier định nghĩa theo điểm công thức (1 .1 ), thác triển lên không gian hàm khác. Kết Định lý Plancherel mà nghiên cứu sau đây. Định lý 1.3. (Plancherel) Cho f € L n L (R d ). Khi ỉ Biến đổi T mở rộng thành toán tử unita L (R d ) vằ thoẩ mãn công thức Paseval (f, à) = (/, 9) ■ Định nghĩa 1.5. Cho / G L (Kd). Biến đổi Fourier ngược hàm /, ký hiệu T (/) định nghĩa T~ x (/) (x) = Ị f (u) e ĩ i x U ) duj, € R d . jR d (1.2) Từ định nghĩa ta có T~ L (/) = / với F(X ) = F(—X). Định lý 1.4. Nếu f £ L (R d ) vầ f £ L (R d ) f(x)= [ f (u) e * i x “du), Vx G R d jR d nghĩa lầ T~ x T lầ cấc toán tử ngược nhau. Định nghĩa 1.6. Cho / € S' (Rd). Biến đổi Fourier hàm suy rộng /, ký hiệu T J hàm suy rộng tăng chậm xác định ựf, v >) = (f,T v >), í-eS(R') biến đổi Fourier ngược hàm /, ký hiệu J- _1 F hàm suy rộng tăng chậm xác định (7-7,^) = f>eS(R'). Ký hiệu phép đối hợp G* G*(T ) = G(—T). Khi biến đổi Fourier ngược ĩiỵí) ■= -T7“1/^) = ta có = Ệ*,VIP € [...]... x ^)\ p dx) \jR d \JR d Khi P = Q ta viết đơn giản M P , P = M P y/A J ) Các chuẩn của không gian biến điệu là một độ đo của hàm suy rộng thời gian - tần số của / € S' Với sự mô tả định hướng của các tính chất, chúng ta sử dụng các hàm trọng trên mặt phẳng thời gian - tần số Theo đó V luôn là một hàm số liên tục, dương, chẵn, do đó ĩ;(0) = 1, V(Z ) = V(—Z) và V (Zị + Z 2 ) < V (zi) V (z 2 ), với... 1 < p < 00 Chuẩn toán tử của k€j A bị chặn bởi 1ИИ„_„ < к\1р'к\1г (1.31) (b) Giả sử K(x, у ) ỉầ hầm (đo được) trên R2d thỏa mẫn điều kiện sup / \K(x,y)\dy < Ki và sup I \K(x,y)\dx < K 2 d d d zeR JìL y£ủ JR d Khi đó toán tử tích phẫn A xấcđịnh bởi Af(x ) = f R đ K(x,y)f(y)dy là bị chặn từ Ư (Rd) vào L p (Md), tử trong fll.3ip 1 < p < 00, với biên giống chuẩntoán Chứng minh, (a) Áp dụng bất đẳng thức... mọi ZI,Z 2 G M 2 d Để nghiên cứu các toán tử tích phân Fourier, hầu hết chúng ta sử dụng các trọng đa thức xác định bởi V,(Z) = V,(X, RỊ) = (ZỴ = (l + |l| 2 + |l)|2) 1 ,2 = (X, RỊ) 6 RM Cho hàm cửa sổ G € s (R d ) khác không, /Lí € A 4 V , vầ 1 < p, Q < oo Không gian biến điệu MỲ Q (Rd) bao gồm tất cả các hàm suy rộng ôn hòa / e S ' (R ) thỏa mãn V g f e L ự (M ) (không d 2d gian hỗn hợp chuẩn có trọng)... Wigự,g)(x,w) = J f L + g (x - (1.7) Phân phối Wigner chéo là một biến đổi Fourier thời gian ngắn ở dạng 1.3 Hàm trọng và không gian hỗn hợp chuẩn Trong mục này chúng ta tìm hiểu về không gian hỗn hợp chuẩn (mixed- norm spaces) một lớp mở rộng của các không gian L P (R D ) và là nền tảng để xây dựng không gian hỗn hợp chuẩn có trọng Định nghĩa 1.9 Cho 1 < P,Q < oo, không gian hỗn hợp chuẩn, ký hiệu L P... số c > 0 thích hợp và ký hiệu A X B nếu C~ X B < A < CB với c > 0 thích hợp 1.4 Không gian biến điệu Cố định một hàm Schwartz g Ỷ 0 và xét biến đổi Fourier thời gian ngắn V g f của hàm / e /S"(Md) đối với g VJ Or, n) = (ỉ, M„T x g) = í 2 i t x)e~ ' '< dt với một biểu diễn thời gian - tần số của / cho trước Không gian biến điệu M P , Q là bao đóng của lớp Schwartz với chuẩn ll/IU™ = \\Vgf\\ L ™ = (... một L Q theo 00 Vì hàm UJ !-»■ lấy giá trị trong L Q nên không gian L™ có thể xem như một không gian L Q với các phần tử thuộc Ư Nếu P — Q, thì L™ = L P M là không gian Ư có trọng thông thường Hơn nữa, L™ (M2d) bao gồm tất cả những hàm / (đo được) thỏa mãn esssup 1 /(2 )1771 (2 ) < c hay 1 /(2 :)I < CM(Z)~ 1 , X e M2d (1-16) Theo định nghĩa về chuẩn của toán tử, ta có ll/L«, = supơ với mọi c 771 thỏa... minh tương tự như trong v Mệnh đề 1.1 ta cũng có L™ là không gian định chuẩn Ta sẽ chứng minh L™ là không gian Banach Giả sử {Ffc}, K = 1, 2 , là dãy Cauchy trong v L™ Khi đó dãy {MF K }, К = 1 , 2 , là dãy Cauchy trong L P , G Do L P , G là không gian Banach nên tồn tại hàm G G L m(z ) p,q sao cho lim mFỵ = G К—Ị oo thì F E L P ’ Q Hơn nữa \\Fk - F \\L™ = II m F k - mF \ \ LP,4 trong L Đặt F(Z)... (1.4) và hoặc viết d ư ớ i dạng toán tử T D a = (27XÌỶ^X 01 ? và T X a Định nghĩa 1.7 Biến đổi Fourier thời gian ngắn của một hàm /ẽ S'(Md) đốivới một hàm cửa sổ G G s (Rd) khác = (^-)'a'D A T suy rộng khôngđược định nghĩa bởi Vgf(x, rì) = (/, M v T x g) = í f(t)g(t - x)e~ 2 n i r Ị t dt J Rá Biến đổi Fourier thời gian ngắn xác định trên M d nhiều cặp của các không gian Banach Chẳng hạn, nó ánh xạ... minh □ Định nghĩa 1.13 Không gian LỰ = L Q ỈP, với trọng M, là không gian Banach của các dãy {A M n} , sao cho 1/p / / |am,n||,M := ị 2J I zJ \arn,nịrm(m’nY 71 \ m / I I < °0- Khi P = OO hoặc Q = OO thì chuẩn được chuyển thành cận trên đúng Ta ký hiệu c0 là không gian các dãy triệt tiêu tại vô cùng Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng ký hiệu A < B để chỉ A < CB với một hằng số c > 0 thích hợp và ký hiệu... tính tùy ý xác định trên L nghĩa là £, e {LFA Q Ỵ Bằng cách chứng minh tương tự như trong không gian Ư ta cũng suy ra tồn tại G e Ư^J Q ' sao cho Cự) = [ F(z)G(z)dz JR2d Vậy chứng tỏ {L^ 9 Y = Ư^J Q ' Mệnh đề được chứng minh □ Mở rộng quan hệ tích chập sau L 1 * L P c L P cho những không gian hỗn hợp chuẩn và sẽ được sử dụng thường xuyên Mệnh đề 1.4 a) Nếu m lầ v-ôn hòa, F e Ll(R2d) và G € L^lq(R2d) thì . Ngà Mục lục Áp dụng giải tích thời gian - tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Hầu chéo hóa toán tử tích phân đối với khung Gabor Tính liên tục của toán tử tích phân trên không gian biến. nghiên cứu mới về giải toán tử tích phân trong không gian biến điệu, dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường, tôi lựa chọn đề tài Áp dụng Giải tích thời gian - tần số trong nghiên cứu toán tử tích. hóa những ứng dụng của giải tích thời gian - tần số trong nghiên cứu giải phương trình tích phân. 5 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tổng quan về giải tích thời gian - tần số, không gian biến điệu