Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân

Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN TH NG P DNG GII TCH THI GIAN TN S TRONG NGHIấN CU TON T TCH PHN Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS. Bựi Kiờn Cng H NI, 2014 Li cm n Tụi xin chõn thnh cm n Phũng Sau i hc, cỏc thy giỏo, cụ giỏo, cựng ton th cỏc anh ch em hc viờn khúa 16 chuyờn ngnh Toỏn gii tớch Trng i hc S phm H Ni ó ng viờn, giỳp tỏc gi cú iu kin tt nht sut quỏ trỡnh hon thnh lun vn. c bit, tụi xin by t lũng cm n sõu sc ti TS. Bựi Kiờn Cng ó nh hng chn ti v tn tỡnh hng dn, giỳp tụi hon thnh lun ny. H Ni, thỏng 12 nm 2014 Tỏc gi Nguyn Th Ng Li cam oan Tụi xin cam oan, di s hng dn ca TS. Bựi Kiờn Cng, lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti p dng Gii tớch thi gian - tn s nghiờn cu toỏn t tớch phõn c hon thnh bi chớnh s nhn thc ca bn thõn tỏc gi. Trong sut quỏ trỡnh nghiờn cu thc hin lun vn, tỏc gi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n. H Ni, thỏng 12 nm 2014 Tỏc gi Nguyn Th Ng Mc lc M u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chng 1. Kin thc chun b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Khụng gian hm kh vi vụ hn gim nhanh v bin i Fourier . . . . . . . . . . . . 1.2. Biu din Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Hm trng v khụng gian hn hp chun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Khụng gian bin iu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5. Khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6. Khụng gian Wiener amalgam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.7. Toỏn t tớch phõn Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Chng 2. p dng gii tớch thi gian - tn s nghiờn cu toỏn t tớch phõn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1. Hu chộo húa toỏn t tớch phõn i vi khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Tớnh liờn tc ca toỏn t tớch phõn trờn khụng gian bin iu . . . . . . . . . . . . 37 2.2.1. Tớnh liờn tc ca toỏn t tớch phõn trờn Màp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.2. Tớnh liờn tc ca toỏn t tớch phõn trờn khụng gian bin iu M p,q . . 41 Ti liu tham kho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 47 M u 1. Lớ chn ti Toỏn t tớch phõn (FIO) l mt cụng c toỏn hc nghiờn cu rng rói cỏc bi toỏn sinh phng trỡnh o hm riờng. Ngun gc ca lý thuyt toỏn t tớch phõn l Peter Lax gii thiu nm 1957 nghiờn cu xõy dng hu kh nghch ca bi toỏn Cauchy i vi phng trỡnh hyperbol, sau ú cỏc nh toỏn hc ó s dng rng rói mụ hỡnh ny biu din nghim ca bi toỏn Cauchy, c toỏn hc lý thuyt v toỏn ng dng. c bit, Helffer v Robert ó ng dng toỏn t tớch phõn nghiờn cu tớnh cht ph ca mt lp toỏn t elliptic ton cc. Nhng nm gn õy, nh cú s phỏt trin ca lý thuyt gii tớch thi gian - tn s m mt s lp toỏn t tớch phõn c gii hu chộo húa v nghiờn cu khung cnh ca khụng gian bin iu. Vi mong mun hiu bit sõu hn v gii tớch thi gian - tn s v toỏn t tớch phõn, nhng nghiờn cu mi v gii toỏn t tớch phõn khụng gian bin iu, di s hng dn ca TS. Bựi Kiờn Cng, tụi la chn ti p dng Gii tớch thi gian - tn s nghiờn cu toỏn t tớch phõn lm lun tt nghip ca mỡnh. 2. Mc ớch nghiờn cu + Nm c nhng khỏi nim c bn, nhng tớnh cht ca gii tớch thi gian - tn s v toỏn t tớch phõn khụng gian bin iu. + H thng húa nhng ng dng ca gii tớch thi gian - tn s nghiờn cu gii phng trỡnh tớch phõn. 3. Nhim v nghiờn cu Trỡnh by tng quan v gii tớch thi gian - tn s, khụng gian bin iu v ng dng vo toỏn t tớch phõn, 4. i tng v phm vi nghiờn cu + i tng nghiờn cu: gii tớch thi gian - tn s, toỏn t tớch phõn. + Phm vi nghiờn cu: Cỏc bi bỏo v cỏc ti liu v ngoi nc liờn quan n i tng nghiờn cu. 5. Phng phỏp nghiờn cu + S dng cỏc kin thc v phng phỏp ca gii tớch hm tip cn . + Thu thp v nghiờn cu cỏc ti liu cú liờn quan, c bit l cỏc bi bỏo mi v ngoi nc v m lun cp n. 6. úng gúp ca ti Lun l mt ti liu tng quan v lnh vc nghiờn cu ca ti. Chng Kin thc chun b Trong chng ny tụi s s dng mt s ký hiu v khỏi nim sau: 1.1. Khụng gian hm kh vi vụ hn gim nhanh v bin i Fourier Ta ký hiu |t|2 = t ã t, vi t Rd v xy = x ã y l tớch vụ hng trờn Rd . Vi = (1 , , ., d ) , = (1 , , ., d ) Zd+ , ta nhc li ký hiu D v X i vi phộp ly vi phõn v phộp nhõn toỏn t d d tj j f D f= tj j f (t), v X f (t) = j=1 j=1 d ú t = (t1 , t2 , ., td ). Ta vit dx d = dxj dj i vi 2-dng j=1 i ngu. nh ngha 1.1. Khụng gian cỏc hm gim nhanh, ký hiu l S Rd l hp S Rd = C Rd X D (x) c, , x Rd , , Zd+ vi khỏi nim hi t c nh ngha nh sau: d Dóy {k } c gi l hi t n S Rd nu k=1 S R lim sup X D k (x) X D (x) = 0, , Zd+ . k xRn Ký hiu S_ lim k = . k nh lý 1.1. Khụng gian S Rd l y . nh ngha 1.2. Khụng gian cỏc hm suy rng tng chm, ký hiu bi S Rd l khụng gian i ngu ca S(Rd ), tc l khụng gian tt c cỏc phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn S Rd vi tụ pụ yu . Vi f S Rd , S(Rd ), ta vit (f, ) thay cho f () núi n giỏ tr ca phim hm f ti . d nh ngha 1.3. Dóy {uk } k=1 S (R ) c gi l hi t v S (Rd ) nu uk () k , vi mi S(Rd ). Khi ú ký hiu uk 0. nh lý 1.2. Khụng gian S Rd l y . Chỳng ta s dng du ngoc f, g ký hiu m rng ca tớch vụ hng f, g = f (t)g(t)dt trờn L2 Rd lờn S Rd ì S Rd . nh ngha 1.4. Bin i Fourier chun húa ca hm f S(Rd ) c nh ngha bi f() = Ff () = f (t)e2it dt. (1.1) Nhn xột 1.1. 1. T (1.1) ta suy f f 1. 2. Ta dựng ký hiu F(f ) nhn mnh rng phộp bin i Fourier l mt toỏn t tuyn tớnh tỏc ng trờn mt khụng gian hm. 3. Nu f l mt tớn hiu, i vi mt k s l mt tn s v f () c hiu l biờn ca tn s ca tớn hiu f . Trong vt lý, l bin ng lng v f() / f f 2 l mt xỏc sut ca ng lng. Do ú f () d l xỏc sut ca cht im trng thỏi f cú ng I lng ca nú I Rd . B 1.1. (Riemann - Lebesgue) Nu f L1 Rd thỡ f liờn tc u v lim f () = 0. || Ký hiu C0 Rd l khụng gian Banach ca cỏc hm liờn tc trit tiờu ti vụ hn. Khi ú B Riemann - Lebesgue din t tớnh cht ỏnh x ca bin i Fourier nh sau F : L1 Rd C0 Rd . Nu b i iu kin m bin i Fourier c nh ngha theo tng im bi cụng thc (1.1), chỳng ta cú th thỏc trin nú lờn cỏc khụng gian hm khỏc. Kt qu c bn l nh lý Plancherel m chỳng ta s nghiờn cu sau õy. nh lý 1.3. (Plancherel) Cho f L1 L2 (Rd ). Khi ú f = f . Bin i F m rng thnh toỏn t unita trờn L2 (Rd ) v tho cụng thc Paseval f, g = f, g . nh ngha 1.5. Cho f L1 Rd . Bin i Fourier ngc ca hm f , ký hiu F (f ) c nh ngha bi F (f ) (x) = f () e2ix d, x Rd . (1.2) Rd T nh ngha trờn ta cú F (f ) = f vi f (x) = f (x). nh lý 1.4. Nu f L1 Rd v f L1 Rd thỡ f () e2ix d, x Rd f (x) = Rd ngha l F v F l cỏc toỏn t ngc ca nhau. nh ngha 1.6. Cho f S Rd . Bin i Fourier ca hm suy rng f , ký hiu l Ff l hm suy rng tng chm xỏc nh bi (Ff, ) = (f, F) , S Rd v bin i Fourier ngc ca hm f , ký hiu l F f l hm suy rng tng chm xỏc nh bi F f, = f, F , S Rd . Ký hiu phộp i hp g l g (t) = g(t). Khi ú bin i Fourier ngc l f() := F f () = f () v ta cú = , S(Rn ). Phộp tnh tin v phộp bin iu (dch chuyn thi gian - tn s) c nh ngha ln lt bi Tx f (t) = f (t x) + l mt vi phụi trn trờn R2d ; + v u liờn tc Lipschitz; + bo ton dng i ngu, ngha l dx d = dy d. Trong phn ny chỳng tụi trỡnh by chng minh mt kt qu hu chộo húa cỏc toỏn t tớch phõn Fourier nh trờn i vi mt khung Gabor. õy chỳng ta xột trng hp cỏc biu trng chớnh quy. nh ngha 2.1. Vi N N cho trc, biu trng R2d c gi l chớnh quy, nu vi mi || 2N tn ti C > cho vi z = (x, ), |z (z)| C , z R2d h. k. n , || 2N. (2.3) Mc ớch ca chỳng ta l nghiờn cu cỏc tớnh cht ca ma trn toỏn t tớch phõn Fourier T i vi mt khung Gabor. n gin, chỳng ta xột mt khung cht chun húa G (g, , ), vi g S Rd . nh lý 2.1. Xột mt hm pha tha (1.39) v (1.40), v mt biu trng tha (2.3). Khi ú tn ti CN > cho | T gm,n , gm ,n | CN z (m , n) (n , m) 2N . (2.4) Chng minh. Nhc li rng cỏc dch chuyn thi gian - tn s hoỏn v qua tỏc ng ca bin i Fourier: (Tx f ) = Mx f v (M f ) = T f, ngoi chỳng tha h thc giao hoỏn Tx M = e2ix M Tx . S dng cỏc tớnh cht ny, ta cú th vit T gm,n , gm ,n = T gm,n (x)Mn Tm g(x)dx Rd 33 e2i(x,) (x, )Tn Mm g()Mn Tm g(x)dxd = Rd Rd M(0,m) T(0,n) e2i(x,) (x, ) g()Mn Tm g(x)dxd = Rd Rd g ()dxd T(m ,0) M(n ,0) M(0,m) T(0,n) e2i(x,) (x, ) g(x) = Rd Rd e2i[(x+m ,+n)(n ,m)ã(x+m ,)] (x + m , + n) g (x) g ()dxd. = Rd Rd Vỡ l trn, nờn ta khai trin (x, ) thnh chui Taylor lõn cn ca (m , n) v thu c (x + m , + n) = (m , n) + z (m , n) ã (x, ) + 2,(m ,n) (x, ) , ú phn d c cho bi (x, ) (1 t) ((m , n) + t(x, )) dt . (2.5) ! 2,(m ,n) (x, ) = ||=2 Do ú, ta vit e2i{[z (m ,n)(n ,m)]ã(x,)} e2i2,(m ,n) (x,) ì | T gm,n , gm ,n | = Rd Rd ì(x + m , + n) g (x) g (x)dxd| . Vi N N, s dng ng thc (1 z )N e2i{[z (m ,n)(n ,m)]ã(x,)} = (z (m , n) (n , m)) 2N 2i{[z (m ,n)(n ,m)]ã(x,)} e , v ly tớch phõn tng phn ta c | T gm,n , gm ,n | = (z (m , n) (n , m)) 2N 34 e2i{[z (m ,n)(n ,m)]ã(x,)} Rd Rd ì (1 z )N e2i2,(m ,n) (x,) (x + m , + n) g (x) g () dxd . Theo cụng thc Leibniz, tha s 2i2,(m ,n) (x,) (1 z )N e (x + m , + n) g(x) g () cú th biu din di dng e 2i2,(m ,n) (z) C,, p || 2,(m ,n) (z) ì ||+||+||2N ì z (z + (m , n)) z ( g g) (z) , ú p || 2,(m ,n) (z) l a thc c xõy dng bi cỏc o hm ca 2,(m ,n) cú bc ln nht l ||. T (1.40) ta suy z 2,(m ,n) (z) = O z , kt hp vi gi thit (2.3) v gi thit g S Rd ta thu c bt ng thc (2.4). Chỳ ý. Tng quỏt hn, chỳng ta cú th xột cỏc biu trng tha bt ng thc |z (z)| C à(z), z R2d h.k.n, || 2N, (2.6) vi Mv v cỏc hm ca s g tng quỏt hn. Tht vy, theo lp lun trờn v s dng z (z + (m , n)) C (z + (m , n)) C C v(z)à(m , n), ta suy | T gm,n , gm ,n | CN à(m , n) z (m , n) (n , m) 2N . Do ú tớch phõn C,, p || 2,(m ,n) (z)v(z)z ( g g) (z) dz R2d ||+||+||2N 35 (2.7) hi t. iu ny ỳng nu z 2N v(z)z ( g g) (z) L1 . Bõy gi chỳng ta gi s cú thờm gi thit (1.40) i vi pha v vit (2.4) di dng tin li hn ỏp dng tớnh liờn tc ca cỏc toỏn t tớch phõn Fourier phn tip theo. Ta cn b sau. B 2.1. Xột mt hm pha . Khi ú |x (m , n) n | + | (m , n) m| |x(m, n) m | + |(m, n) n | , (2.8) ú (y, ) (x, ) l phộp bin i chớnh tc c xõy dng bi . Chng minh. Ta ch cn chng minh cỏc bt ng thc sau | (m , n) m| |x(m, n) m | , |x (m , n) n | |(m, n) n | C | (m , n) m| . (2.9) (2.10) Lu ý rng, theo (2.2) ta cú y = (x(y, ), ) (y, ) R2d (2.11) x (x, ) = ( (x, ) , ) (x, ) R2d . (2.12) v Do ú, ta cú m = (x(m, n), n), suy | (m , n) m| = | (m , n) (x(m, n), n)| |x(m, n) m | , ú bt ng thc sau cựng suy t yu t, vi mi c nh, ỏnh x x (x, ) cú ỏnh x ngc Lipschitz, vi hng s Lipschitz khụng 36 i i vi . T ú ta cú (2.9). chng minh (2.10) lu ý rng, theo (2.12) ta cú x (m , n) n = ( (m , n) , n) n = (m + (m , n) m, n) n = (m, n) n + O ( (m , n) m) , ú bt ng thc cui cựng suy t cụng thc Taylor i vi hm y (y, n), thờm vo ú l hm cú o hm b chn. T ú suy (2.10). Kt hp B 2.1 trc vi (2.4) ta thu c kt qu sau. nh lý 2.2. [5] Xột mt hm pha tha (i), (ii) v (iii) nh ngha 1.15 v mt biu trng tha (2.3). Gi s g S Rd . Khi ú tn ti mt hng s CN > cho | T gm,n , gm ,n | CN (m, n) (m , n ) 2N , (2.13) ú l phộp bin i chớnh tc c xõy dng bi . 2.2. Tớnh liờn tc ca toỏn t tớch phõn trờn khụng gian bin iu 2.2.1. Tớnh liờn tc ca toỏn t tớch phõn trờn Màp Trong phn ny ta nghiờn cu tớnh liờn tc ca cỏc toỏn t tớch phõn Fourier trờn khụng gian bin iu Màp liờn quan n mt hm trng Mvs , s 0. Chỳng ta cn b sau. 37 B 2.2. Xột mt li v mt toỏn t K xỏc nh trờn dóy (Kc) = K, c , ú sup |K, | < , sup |K, | < . Khi ú K liờn tc trờn lp () vi mi p v ỏnh x khụng gian c0 () cú gii hn vo chớnh nú. Chng minh. Phn th nht ca b l tiờu chun Schur c in (xem [7], B 6.2.1). Phn th hai ca B c chng minh nh sau: Vỡ chỳng ta bit rng K liờn tc trờn l v khụng gian cỏc dóy ch cú hu hn cỏc phn t khỏc trự mt c0 , nờn ch cn ch rng K ỏnh x mi dóy ch cú hu hn cỏc phn t khỏc vo c0 . iu ny suy t yu t mt dóy ch cú hu hn cỏc phn t khỏc bt kỡ thuc l1 v ú, vỡ K liờn tc trờn l1 nờn nú ỏnh x l1 c0 . Bõy gi ta phỏt biu kt qu sau. nh lý 2.3. Xột mt hm pha nh ngha 1.15 v mt biu trng tha (2.3). Gi s s < 2N 2d, v Mvs . Vi mi p p < , T thỏc trin thnh mt toỏn t liờn tc t Mà vo Màp , v . vi p = nú thỏc trin thnh mt toỏn t liờn tc t M vo M l bao úng ca S Rd Mà . Hn na, lu Nhc li rng M ý rng Mvs . Tht vy, vs ca . 38 vs , nh tớnh cht song lipschitz Chng minh. Trc ht ta chng minh rng Tf p Mà C f Màp , vi mi f S Rd . Bt ng thc ny chng minh nh lý i vi trng hp p < , vỡ S Rd trự mt Màp . Ta thy rng, vỡ L nờn T xỏc nh mt toỏn t b chn t M vo L M . Do ú, vi mi f S Rd ta cú T f M v t nh lý 1.7 suy f Cg (f ) p Mà p v Tf Màp Cg (T f ) làp . Mt khỏc, khai trin (1.36) tha i vi f hi t M . Do ú f, gm,n T gm,n Tf = m,n hi t M , suy Cg (T f )m ,n = T f, gm ,n = T gm,n , gm ,n m,n = T gm,n , gm ,n Cg (f )m,n . m,n T ú dn n chỳng ta cn chng minh rng toỏn t {cm,n } T gm,n , gm ,n cm,n (2.14) m,nZd p p b chn t vo . iu ny suy t tiờu chun Schur (B 2.2) nu ta ch rng, t Km ,n ,m,n = T gm,n , gm ,n 39 (m , n ) , ((m, n)) ta cú Km ,n ,m,n lm,n lm ,n (2.15) Km ,n ,m,n lm ,n lm,n . (2.16) v Theo (2.13) ta cú |Km ,n ,m,n | (m, n) (m , n ) 2N +s (m , n ) . (2.17) (m, n) (m , n ) s ((m, n)) Biu thc thng sau cựng (2.17) b chn vỡ l vs -ụn hũa, ú ta cú (2.15). Cui cựng, vỡ l hm song lipschitz, nờn ta cú | (m, n) (m , n )| (m, n) (m , n ) , (2.18) t ú suy (2.16). Trng hp p = ta chng minh tng t bng cỏch s dng nh lý 1.8 (vi p = q = ) v phỏt biu cui B 2.2. Chỳ ý. Trng hp c bit v nh lý 2.3 cho ta tớnh liờn tc trờn khụng gian bin iu khụng trng M p . Hn na, nu p = 2, thỡ chỳng ta cú c kt qu v tớnh liờn tc L2 ca Asada v Fujiwara [1]. nh lý 2.3 cng ỏp dng i vi = vt vi |t| s. Trong trng hp ú chỳng ta cú c tớnh liờn tc trờn Mvt bi vỡ vt 40 vt . 2.2.2. Tớnh liờn tc ca toỏn t tớch phõn trờn khụng gian bin iu M p,q Trong phn ny chỳng ta nghiờn cu tớnh liờn tc ca cỏc toỏn t tớch phõn Fourier trờn khụng gian bin iu M p,q vi p = q. Vi cỏc gi thit ca nh lý 2.3, cỏc toỏn t nh vy cú th khụng b chn p = q. |x|2 Vỡ chng hn vi hm pha (x, ) = x + v biu trng = 1, xỏc nh mt toỏn t b chn trờn M p,q , ngoi tr trng hp p = q. S cn tr õy v c bn l ỏnh x x x (x, ) cú giỏ tr khụng b chn. mc ny, chỳng ta s thy, vi cỏc pha tng quỏt, nu mt ỏnh x nh vy cú giỏ tr vi ng kớnh hu hn, u i vi , thỡ toỏn t tng ng b chn trờn M p,q . chng t iu ny, chỳng ta cn kt qu sau. Mnh 2.1. Xột mt toỏn t xỏc nh trờn cỏc dóy i vi li = Zd ì Zd bi Km ,n ,m,n cm,n . (Kc)m ,n = m,n . lm , thỡ K liờn tc trờn ln1 lm (i) Nu K ln ln1 lm . (ii) Nu K ln ln1 lm lm , thỡ K liờn tc trờn ln lm lm v thờm na K lm (iii) Nu K ln ln1 lm lm ln ln1 lm ,n lm,n p lm,n lm ,n , thỡ toỏn t K liờn tc trờn lp,q = lnq lm vi mi p, q . (iv) Gi s cú cỏc gi thit (iii). Khi ú K liờn tc trờn lp,q , p, q . Nhc li rng, lp,q l bao úng ca khụng gian cỏc dóy cú hu hn cỏc phn t khỏc lp,q . 41 Chng minh. (i) Ta cú Kc ln1 lm |Km ,n ,m,n | |cm,n | sup n m m,n |Km ,n ,m,n | sup |cm,n | sup n K n m m m c l1 ln ln1 lm m l1 l . (ii) Ta cú Kc ln lm |Km ,n ,m,n | |cm,n | sup n m sup n K m,n |Km ,n ,m,n | sup n m l1 ln ln1 lm m m m c |cm,n | l l1 . (iii) Vỡ phỏt biu ny ỳng vi p = q theo tiờu chun Schur c in, v ỳng vi (p, q) = (1, ) v (p, q) = (, 1) theo (i) v (ii), nờn bng phộp ni suy phc (xem cụng thc (3) trang 128 v cụng thc (15) trang 134 ca [12]) ta suy rng phỏt biu ny ỳng vi mi (p, q), tr trng hp q = , < p < . Vi cỏc trng hp ny chỳng ta lp lun bng phn chng nh sau. chng minh tớnh liờn tc ca K trờn l lp , ta ch cn ch rng vi p p cỏc dóy c = (cm,n ) ln lm bt k v d = (dm ,n ) ln1 lm vi dm ,n 0, ta cú (Kc)m ,n dm ,n m ,n Tht vy, ta cú 42 c p ln lm d p ln1 lm . (2.19) |Km ,n ,m,n | |cm,n | dm ,n (Kc)m ,n dm ,n m ,n m,n m ,n = |Km ,n ,m,n | dm ,n |cm,n | m,n c m ,n l lp Kd l1 lp , l toỏn t cú ht nhõn ma trn K m,n,m ,n = |Km ,n ,m,n |. Vỡ ú K tha cỏc gi thit nh i vi K, nờn nú liờn tc trờn l1 lp , t ú K suy (2.19). (iv) Bi vỡ K liờn tc trờn lp,q v theo nh ngha ca lp,q , nờn ta ch cn chng t rng K ỏnh x mi dóy cú s tn cựng lp,q . iu ny suy t yu t K ỏnh x mi dóy cú s tn cựng l1 lp,q K b chn trờn l1 . nh lý 2.4. Xột mt hm pha nh ngha 1.15 v mt biu trng tha (2.3) vi N > d. Gi s thờm iu kin sup |x (x, ) x (x , )| < . (2.20) Khi ú toỏn t tớch phõn Fourier T tng ng thỏc trin thnh mt toỏn p,q nu p = hoc t b chn trờn M p,q vi mi p, q < v trờn M q = . Chng minh. Lp lun ging nh chng minh nh lý 2.3, ta p ch cn chng minh tớnh liờn tc trờn lp,q = lnq lm nu p < v q < , hoc trờn lp,q nu p = hoc q = , ca toỏn t {cm,n } Tm ,n ,m,n cm,n , m,nZd 43 ú Tm ,n ,m,n = T gm,n , gm ,n . p dng Mnh 2.1, ta ch cn chng t rng {Tm ,n ,m,n } ln ln1 lm lm , (2.21) {Tm ,n ,m,n } ln ln1 lm lm , (2.22) bi vỡ chỳng ta ó cú t (2.13) v (2.18) l {Tm ,n ,m,n } lm,n lm ,n lm ,n lm,n . Bõy gi ta chng minh (2.21). T (2.4) v (2.10) suy |Tm ,n ,m,n | N + |x (m , n) n | + | (m , n) m| + | (m, n) n | + | (m , n) m| N (1 + | (m, n) n |) N N (1 + | (m , n) m|) . Theo (2.2) ta cú (y, ) = x (x(y, ), ) , (y, ) R2d , ú t gi thit (2.20) suy (m, n) = (0, n) + O(1). T ú ta cú c (2.21). Tip theo ta chng minh (2.22). Tng t nh trờn, t (2.13) v (2.9) suy |Tm ,n ,m,n | N + |x (m , n) n | + | (m , n) m| + |x (m , n) n | + |x (m, n) m | N (1 + |x (m , n) n |) 44 N N (1 + |x (m, n) m |) . Theo (2.20) ta cú x (m , n) = x (0, n) + O(1), suy + |x (m , n) n | + |x (0, n)| n + |n (n )| , (2.23) ú l hm ngc ca hm song lipschitz x (0, ). Do ú ta thu c (2.22). nh lý c chng minh. Vớ d 2.1. p dng nh lý 2.4 i vi cỏc pha dng (x, ) = x + a(x, ), ú x a(x, ) C, vi mi || + || 2. Trng hp c bit a(x, ) = a() khụng ph thuc vo x v biu trng = 1, toỏn t tớch phõn Fourier dn n mt toỏn t nhõn Fourier e2ix e2ia() f()d T f (x) = Rd v ta li thu c kt qu ca [2] (nh lý 5) v tớnh liờn tc ca T trờn M p,q , p, q . nh lý 2.5. Vi d v l = [d/2] + 1, gi s rng l 2lkh vi v L C vi || 2l v vi hng s C no ú. Khi ú 45 = eià W (Fl1 , ) v ú H l b chn vi mi khụng gian bin iu Mp,q vi p, q . õy, H l toỏn t nhõn Fourier cú dng ()f()e2ix d. H f (x) = Rd 46 Ti liu tham kho [1] K. Asada and D. Fujiwara (1978), On some oscillatory transformation in L2 (Rn ), Japan J. Math., 4:299361. [2] A. Bộnyi, K. Grăochenig, K. A. Okoudjou and L. G. Rogers (2007), Unimodular Fourier multipliers for modulation spaces, J. Funct. Anal., 246(2):366-384. [3] E. J. Candộs and L. Demanet (2005), The curvelet representation of wave propagators is optimally sparse, Comm. Pure Appl. Math., 58:1472-1528. [4] E. Cordero and K. Grăochenig (2003), Time-frequency analysis of localization operators, J. Funct. Anal., 205(1):107131. [5] Elena Cordero, Fabio Nicola and Luigi Rodino (2010), Timefrequency analysis of Fourier integral operators, Commun. Pure Appl. Anal. 9, No 1, 121. [6] H. G. Feichtinger and K. Grăochenig (1997), Gabor frames and timefrequency analysis of distributions, J. Funct. Anal., 146(2):464495. [7] K. Grăochenig (2001), Foundations of time-frequency analysis, Birkhăauser, Boston. [8] K. Grăochenig and M. Leinert (2004), Wieners lemma for twisted convolution and Gabor frames, J. Amer. Math. Soc., 17:118. 47 [9] K. Guo and D. Labate, Representation of Fourier Integral Operators using Shearlets, J. Fourier Anal. Appl., to appear. [10] P. Lax (1957), Asymptotic solutions of oscillatory initial value problems, Duke Math. J., 24:627646. [11] E. M. Stein (1993), Harmonic analysis, Princeton University Press, Princeton. [12] H. Triebel (1978), Interpolation theory, function spaces, differential operators, North-Holland. 48 [...]... nghĩa 1.17 Cho hàm f xác định trên Rd Toán tử tích phân Fourier T với biểu trưng σ và hàm pha Φ trên R2d được định nghĩa bởi ˆ e2πiΦ(x,η) σ(x, η)f (η)dη T f (x) = Rd 31 (1.42) Chương 2 Áp dụng giải tích thời gian - tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân 2.1 Hầu chéo hóa toán tử tích phân đối với khung Gabor Cho hàm f xác định trên Rd , nhắc lại toán tử tích phân Fourier T với biểu trưng σ và pha... với 1 ≤ p ≤ ∞ Chuẩn toán tử của k∈J A bị chặn bởi A 1/p lp →lp 1/p ≤ K1 K2 (1.31) (b) Giả sử K(x, y) là hàm (đo được) trên R2d thỏa mãn điều kiện |K(x, y)| dy ≤ K1 và sup sup x∈Rd Rd y∈Rd |K(x, y)| dx ≤ K2 Rd Khi đó toán tử tích phân A xác định bởi Af (x) = Rd K(x, y)f (y)dy là bị chặn từ Lp Rd vào Lp Rd , 1 ≤ p ≤ ∞, với biên giống chuẩn toán tử trong (1.31) 1/p Chứng minh (a) Áp dụng bất đẳng thức... Lp,q |Vg f (x, η)|p dx = Rd dη Rd Khi p = q ta viết đơn giản M p,p = M p Các chuẩn của không gian biến điệu là một độ đo của hàm suy rộng thời gian - tần số của f ∈ S 19 Với sự mô tả định hướng của các tính chất, chúng ta sử dụng các hàm trọng trên mặt phẳng thời gian - tần số Theo đó v luôn là một hàm số liên tục, dương, chẵn, do đó v(0) = 1, v(z) = v(−z) và v (z1 + z2 ) ≤ v (z1 ) v (z2 ), với mọi... Rd t t −2πiwt g x− e dt 2 2 (1.7) Phân phối Wigner chéo là một biến đổi Fourier thời gian ngắn ở dạng ẩn 1.3 Hàm trọng và không gian hỗn hợp chuẩn Trong mục này chúng ta tìm hiểu về không gian hỗn hợp chuẩn (mixed-norm spaces) một lớp mở rộng của các không gian Lp (Rd ) và là nền tảng để xây dựng không gian hỗn hợp chuẩn có trọng Định nghĩa 1.9 Cho 1 ≤ p, q < ∞, không gian hỗn hợp chuẩn, ký hiệu Lp,q... (z2 ) với mọi z1 , z2 ∈ R2d Để nghiên cứu các toán tử tích phân Fourier, hầu hết chúng ta sử dụng các trọng đa thức xác định bởi vs (z) = vs (x, η) = z s = 1 + |x|2 + |η|2 s/2 , z = (x, η) ∈ R2d Cho hàm cửa sổ g ∈ S Rd khác không, µ ∈ Mv , và 1 ≤ p, q ≤ ∞ p,q Không gian biến điệu Mµ Rd bao gồm tất cả các hàm suy rộng ôn hòa f ∈ S Rd thỏa mãn Vg f ∈ Lp,q R2d (không gian hỗn hợp chuẩn µ p,q có trọng)... gian định chuẩn Lp theo x, và một Lq theo m ω Vì hàm ω → F (., ω)m(., ω) lấy giá trị trong Lq nên không gian Lp,q m có thể xem như một không gian Lq với các phần tử thuộc Lp Nếu p = q, thì Lp,q = Lp là không gian Lp có trọng thông thường Hơn m m nữa, L∞ (R2d ) bao gồm tất cả những hàm f (đo được) thỏa mãn m esssup |f (z)|m(z) ≤ C hay |f (z)| ≤ Cm(z)−1 , x ∈ R2d Theo định nghĩa về chuẩn của toán tử, ... hợp và ký hiệu A B để chỉ A ≤ cB B nếu c−1 B ≤ A ≤ cB với c > 0 thích hợp 1.4 Không gian biến điệu Cố định một hàm Schwartz g = 0 và xét biến đổi Fourier thời gian ngắn Vg f của hàm f ∈ S (Rd ) đối với g f (t)g(t − x)e−2πiηt dt Vg f (x, η) = f, Mη Tx g = Rd với một biểu diễn thời gian - tần số của f cho trước Không gian biến điệu M p,q là bao đóng của lớp Schwartz với chuẩn 1/p q/p f M p,q = Vg f Lp,q... )∗ = Lp1 ,q với phép toán m m F, H = R2d F (z)H(z)dz với F ∈ Lp,q và H ∈ Lp ,q m 1/m Chứng minh a) Trước hết bằng cách chứng minh tương tự như trong Mệnh đề 1.1 ta cũng có Lp,q là không gian định chuẩn Ta sẽ chứng minh m Lp,q là không gian Banach Giả sử {Fk }, k = 1, 2, là dãy Cauchy trong m 15 Lp,q Khi đó dãy {mFk }, k = 1, 2, là dãy Cauchy trong Lp,q Do Lp,q m là không gian Banach nên tồn... như sau: α,β (Cg f )m,n = Cg f m,n := f, gm,n , (m, n) ∈ Λ, toán tử tổng hợp α,β Dg c = Dg c = cm,n Tm Mn g, c = {cm,n }(m,n)∈Λ (m,n)∈Λ 26 (1.33) và toán tử khung Gabor α,β Sg f = Sg f := Dg Sg f = f, gm,n gm,n (1.34) (m,n)∈Λ Từ (1.32) và (1.34) ta có nhận xét là tập hợp G(g, α, β) là khung Gabor đối với không gian Hilbert L2 Rd nếu Sg là toán tử bị chặn và khả nghịch trên L2 Rd Hay, tương đương với... ˆ (ω) = Dα f (ω) hoặc viết dưới dạng toán tử FDα = (2πi)|α| X α F và FX α = (1.4) i |α| α D F 2π Định nghĩa 1.7 Biến đổi Fourier thời gian ngắn của một hàm suy rộng f ∈ S Rd đối với một hàm cửa sổ g ∈ S Rd khác không được định nghĩa bởi f (t)g(t − x)e−2πiηt dt Vg f (x, η) = f, Mη Tx g = Rd Biến đổi Fourier thời gian ngắn xác định trên Rd nhiều cặp của các không gian Banach Chẳng hạn, nó ánh xạ L2 Rd . về giải tích thời gian - tần số, không gian biến điệu và ứng dụng vào toán tử tích phân, 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: giải tích thời gian - tần số, toán tử tích phân. +. gian - tần số và toán tử tích phân trong không gian biến điệu. + Hệ thống hóa những ứng dụng của giải tích thời gian - tần số trong nghiên cứu giải phương trình tích phân. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình. ngành Toán giải tích với đề tài Áp dụng Giải tích thời gian - tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả. Trong suốt quá trình nghiên cứu