Ký hiệu Txf(t) = f(t − x) và Mηf(t) = e2πiηtf(t). Với α, β > 0,
g ∈ L2 Rd, tập hợp các dịch chuyển thời gian - tần số
G(g, α, β) =gm,n := MnTmg với (m, n) ∈ αZd×βZd ,
được gọi là khung Gabor nếu tồn tại các hằng số dương A, B > 0 sao cho
AkfkL2 ≤X
m,n
|hf, TmMngi|2 ≤ BkfkL2, ∀f ∈ L2 Rd. (1.32) Nếu g ∈ M1, và khung Gabor TmMng; (m, n) ∈ αZd ×βZd là khung chặtc chuẩn hóa, bất đẳng thức (1.32) vẫn đúng với A= B, thì nó thác triển thành một khung Banach đối với không gian biến điệu Mp,q R2d, với chuẩn tương đương
kfkMp,q hf, TmMngim,n lp,q.
Tương ứng với G(g, α, β) ta định nghĩa toán tử hệ số Cg, ánh xạ các hàm thành các dãy như sau:
(Cgf)m,n = Cgα,βf m,n := hf, gm,ni, (m, n) ∈ Λ, (1.33) toán tử tổng hợp Dgc = Dα,βg c = X (m,n)∈Λ cm,nTmMng, c = {cm,n}(m,n)∈Λ
và toán tử khung Gabor
Sgf = Sgα,βf := DgSgf = X
(m,n)∈Λ
hf, gm,nigm,n. (1.34)
Từ (1.32) và (1.34) ta có nhận xét là tập hợp G(g, α, β) là khung Gabor đối với không gian Hilbert L2 Rd nếu Sg là toán tử bị chặn và khả nghịch trên L2 Rd. Hay, tương đương với Cg bị chặn từ L2 Rd
đến l2 αZd×βZd với miền giá trị đóng, nghĩa là, kfkL2 kCgfkl2. Nếu G(g, α, β) là khung Gabor đối với L2 Rd, thì hàm cửa sổ đối ngẫu
γ = Sg−1g được xác định và tập hợp G(γ, α, β) là một khung (gọi là khung đối ngẫu chính tắc của G(g, α, β)). Mọi hàm f ∈ L2 Rd đều có khai triển khung
f = X
(m,n)∈Λ
hf, gm,niγm,n = X
(m,n)∈Λ
hf, γm,nigm,n (1.35)
với sự hội tụ không điều kiện trong L2 Rd, và chuẩn tương đương
kfkL2 kCgfkl2 kCγfkl2.
Kết quả này thu được trong [7] (Mệnh đề 5.2.1). Đặc biệt, nếu γ = g và
kgkL2 = 1 thì khung được gọi là khung Gabor chặt chuẩn hóa và biểu thức (1.35) trở thành
f = X
(m,n)∈Λ
hf, gm,nigm,n. (1.36)
Nếu ta đòi hỏi tính chính quy nhiều hơn đối với hàm cửa sổ g, thì các kết quả trước có thể mở rộng cho không gian Banach thích hợp, như
Định lý 1.7. [6, 8] Cho µ ∈ Mv,G(g, α, β) là khung Gabor chặt chuẩn (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
hóa đối với L2 Rd, với lưới Λ = αZd ×βZd, và g ∈ Mv1. Ta định nghĩa
˜
µ= µ|Λ. Khi đó
i) Với mọi 1 ≤ p, q ≤ ∞, Cg :Mµp,q →lµp,q˜ và Dg :lp,qµ˜ →Mµp,q liên tục và,
nếu f ∈ Mµp,q, thì khai triển Gabor (1.36) hội tụ không điều kiện trong
Mµp,q với 1 ≤ p, q < ∞ và mọi trọng µ, và hội tụ yếu* không điều kiện
trong Mµ∞ nếu p = ∞ hoặc q = ∞.
ii) Các chuẩn sau là tương đương trên Mµp,q:
kfkMp,q
µ kCgfklp,q
˜
µ . (1.37)
Ký hiệuM˜µp,q là bao đóng của lớp Schwartz trong Mµp,q. Do đó,M˜µp,q =
Mµp,q nếu p < ∞ và q < ∞. Ta cũng ký hiệu ˜lp,qµ˜ là bao đóng của không gian các dãy số giới hạn 0 trong lµp,q˜ . Do đó ˜lµp,q˜ = lp,qµ˜ nếu p < ∞ và
q < ∞.
Định lý 1.8. Với các giả thiết của Định lý 1.7, với mọi 1 ≤ p, q ≤ ∞
toán tử Cg liên tục từ M˜µp,q vào ˜lµp,q˜ , trong khi toán tử Dg liên tục từ ˜lp,qµ˜
vào M˜µp,q.
Chứng minh. Vì Cg liên tục từ Mµp,q vào lp,qµ˜ nên ta chỉ cần chỉ ra rằng nếu f là hàm Schwartz thì Cg(f) ∈ ˜lµp,q˜ . Điều này suy ra từ Cg(f) ∈ lµ1˜. Tương tự, với Dg ta chỉ cần chỉ ra rằng nếu c là một dãy có số không tận cùng bất kì, thì Dg(c) ∈ M˜µp,q. Điều này có được là do Dg(c) ∈ Mµ1.