Luận văn một số đồng nhất thức và bất đẳng thức cho các khung trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— TRỊNH THỊ PHA MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO CÁC KHUNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội,2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— TRỊNH THỊ PHA MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO CÁC KHUNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chun ngành : Tốn Giải tích Mã số : 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học:TS Nguyễn Quỳnh Nga Hà Nội,2018 Lời cảm ơn Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Quỳnh Nga hướng dẫn bảo tận tình suốt trình làm luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Tốn trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học tốn giải tích K20 ln quan tâm, giúp đỡ suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Trịnh Thị Pha Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Một số đồng thức bất đẳng thức cho khung không gian Hilbert” kết trình tìm hiểu, nghiên cứu tác giả hướng dẫn TS Nguyễn Quỳnh Nga Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Trịnh Thị Pha Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khơng gian Hilbert tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Hilbert 1.2 Cơ sở trực chuẩn không gian Hilbert 12 1.3 Khung không gian Hilbert 15 1.3.1 1.3.2 Một số kiến thức sở khung không gian Hilbert 15 Khung việc xử lý tín hiệu 30 Một số đồng thức bất đẳng thức cho khung không gian Hilbert 2.1 33 Một số đồng thức bất đẳng thức cho khung 2.2 33 Các mối liên hệ kiểu Parseval cho khung đối ngẫu luân phiên Kết luận 54 59 i Tài liệu tham khảo 60 Mở đầu Lí chọn đề tài Khung R J Duffin A C Schaeffer [7] đưa năm 1952 họ nghiên cứu chuỗi Fourier khơng điều hòa Tuy nhiên phải đến năm 1986, sau báo I Daubechies, A Grossmann Y Meyer [6] khung nhà khoa học quan tâm rộng rãi Một khung xem sở trực chuẩn suy rộng Nếu {fi }i ∈I khung cho khơng gian Hilbert H vectơ f ∈ H biểu diễn tổ hợp tuyến tính (vơ hạn) phần tử fi Các hệ số không thiết Nhờ tính thừa mà khung có nhiều ứng dụng quan trọng xử lý tín hiệu hình ảnh chúng cho tính bền vững, chất lượng tín hiệu bị ảnh hưởng có nhiễu tiếng ồn tín hiệu khơi phục lại từ mẫu có độ xác tương đối thấp chúng cho phép dễ dàng phát đặc trưng tín hiệu, hình ảnh Ngồi khung sử dụng lý thuyết mẫu, mơ hình hóa hệ thống, truyền thông qua internet mạng không dây, Luận văn gồm có phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương tác giả nhắc lại số kiến thức chuẩn bị bao gồm định nghĩa tính chất tốn tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert, số kiến thức sở khung không gian Hilbert, khung việc xử lý tín hiệu Chương tác giả trình bày số đồng thức bất đẳng thức cho khung, mối liên hệ kiểu Parseval cho khung đối ngẫu luân phiên Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày đồng thức bất đẳng thức cho khung khơng gian Hilbert Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu đồng thức bất đẳng thức cho khung không gian Hilbert Đối tượng phạm vi nghiên cứu 4.1 Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức sở cần thiết: Toán tử tuyến tính bị chặn khơng gian Hilbert Một số khái niệm kết khung không gian Hilbert Một số đồng thức bất đẳng thức cho khung Các mối liên hệ kiểu Parseval cho khung đối ngẫu luân phiên 4.2 Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước liên quan đến đồng thức bất đẳng thức cho khung không gian Hilbert Phương pháp nghiên cứu + Sử dụng kiến thức giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề + Thu thập tài liệu báo đồng thức bất đẳng thức cho khung khơng gian Hilbert + Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất Đóng góp luận văn Trình bày tổng quan số đồng thức bất đẳng thức cho khung không gian Hilbert Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương tác giả nhắc lại số khái niệm kết cần đến phần Nội dung chương dựa tài liệu tham khảo [1], [2], [5], [6], [9] Phần đầu chương dành để trình bày số khái niệm tính chất tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Hilbert 1.1 Khơng gian Hilbert tốn tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert Trước tiên ta nhắc lại khái niệm khơng gian tuyến tính định chuẩn: Định nghĩa 1.1 Khơng gian tuyến tính định chuẩn khơng gian tuyến tính X trường K ( K = R K = C) với ánh xạ từ X vào tập R, kí hiệu đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau : (∀x ∈ X) ||x|| ≥ 0, ||x|| = ⇔ x = θ (θ kí hiệu phần tử khơng); (∀x ∈ X) (∀α ∈ K) ||αx|| = |α| ||x|| ; (∀x, y ∈ X) || x + y || ≤ ||x|| + ||y|| Số x gọi chuẩn vectơ x Ta kí hiệu khơng gian tuyến tính định chuẩn (X, ) Nếu X trang bị chuẩn ta kí hiệu X Các tiên đề 1, 2, 3, gọi hệ tiên đề chuẩn Phần tử K gọi vô hướng Định nghĩa 1.2 Dãy điểm {xn } khơng gian tuyến tính định chuẩn gọi dãy ( dãy Cauchy) , lim m,n→∞ xn − xm = Định nghĩa 1.3 Khơng gian tuyến tính định chuẩn X gọi không gian Banach, dãy X hội tụ Định nghĩa 1.4 Cho không gian tuyến tính X trường K ( K = R K = C) Ta gọi tích vơ hướng khơng gian X ánh xạ từ tích Descartes X × X vào K , ký hiệu ·, · , thỏa mãn tiên đề: (1) (∀x, y ∈ X) y, x = x, y K = C K = R; y, x = x, y Chúng ta ý với toán tử dương T ∈ B (H) f ∈ H, T f = suy T f, f = Điều ngược lại Nếu T f, f = 1 T f, f = T f, T f = T f = Từ T f = T f = Nếu vế Đồng thức khung Parseval vế lại Từ dẫn đến kết sau Định lý 2.6 Cho {fi }i∈I khung Parseval H Với J ⊂ I f ∈ H, điều sau tương đương | f, fi |2 = i∈J i∈J c | f, fi |2 = i∈J f, fi fi ⊥ i∈J f, fi fi i∈J c i∈J c f, fi fi f, fi fi f ⊥SJ SJ C f SJ f = SJ2 f SJ SJ C f = Chứng minh (1) ⇔ (2) Định lý 2.4 (3) ⇔ (4) điều suy từ đẳng thức sau f, fi fi , i∈J f, fi fi = SJ f, SJ C f = f, SJ SJ C f i∈J c 47 (5) ⇔ (6) điều suy từ Mệnh đề 2.5 (1) ⇔ (5) ta có 2 | f, fi | − i∈J f, fi fi = SJ f, f − SJ f, SJ f i∈J = SJ f, f − SJ2 f, f SJ − SJ2 f, f = Theo Mệnh đề 2.5 , SJ − SJ2 ≥ Từ vế phải đẳng thức SJ − SJ2 f = phần ý phát biểu trước Định lý 2.6 (1) ⇒ (4) Do (1), SJ f, f = SJ f, SJ f SJ SJ C f, f = SJ − SJ2 f, f = Từ suy (4) (4) ⇒ (6) Do Mênh đề 2.5 ta có SJ SJ C ≥ Do SJ SJ C f, f = SJ SJ C f = phần ý phát biểu trước Định lý 2.6 Định nghĩa đại lượng sau cho khung Parseval F = {fi }i∈I v+ (F ; J) = sup i∈J f, fi fi f f =0 v− (F ; J) = inf i∈J f, fi fi f f =0 + i∈J c | f, fi |2 i∈J c | f, fi |2 + (2.4) Ta gọi v+ (F ; J) số F J , v− (F, J) số F J Các tính chất số đưa định lý sau: Định lý 2.7 Các số v+ (F ; J) v− (F, J) có tính chất sau: 48 (i) ≤ v− (F, J) ≤ v+ (F ; J) ≤ 1; (ii) v− (F, J c ) = v− (F ; J)và v+ (F, J c ) = v+ (F ; J); (iii) v− (F, I) = v+ (F ; I) = 1và v− (F, ∅) = v+ (F ; ∅) = 1; (iv) Nếu {fi }i∈I sở trực chuẩn, với J ⊂ I ta có v− (F, J) = v+ (F ; J) = Chứng minh (i) Bất đẳng thức suy từ Định lý 2.5 Đối với bất đẳng thức thứ hai sử dụng Mệnh đề 1.12 2 | f, fi | ≥ f, fi fi i∈J i∈J Từ suy 2 | f, fi | + i∈J c | f, fi |2 + ≤ f, fi fi i∈J c i∈J | f, fi |2 = f i∈J (ii) (iii) suy từ Định lý (iv) Do fi , fj   0, i = j =  1, i = j nên ta có f, fi fi = f, fi fi i∈J c i∈J | f, fi |2 = i∈J c Vì | f, fi |2 + i∈J f, fi fi i∈J c 49 = f 2 Câu hỏi đặt liệu có tồn khung Parseval tập J cho v− (F, J) = Câu trả lời có Mệnh đề 2.6 Tồn khung Parseval F = {fi }i∈I cho với J ⊂ I, J = ∅ ta có: = v− (F, J) = v+ (F, J) = Chứng minh Ta lấy H = C F = {f1 , f2 }, f1 = f2 = √1 Nếu J = {1} , ta có | f, f1 f1 |2 + | f, f2 |2 = 2 |f | + |f | = |f | 4 Nếu J = {2} , ta nhận kết tương tự Bây giờ, câu hỏi liệu với khung Parseval F = {fi }i ∈I , mà sở trực chuẩn tồn J ⊂ I cho v− (F, J) = Nói chung, câu trả lời sai Mệnh đề 2.7 Nếu F = {f1 , f2 , f3 } khung Mercedes-Benz tức f1 = (0, 1) ; f2 = 3 √ ;− 2 ; f3 = với J ⊂ {1, 2, 3} , J = ∅ ta có v− (F, J) = = √ − ; 2 v+ (F, J) = Chứng minh Nếu J = {1}, ta có với f = (x, y), f, f1 f1 7 + | f, f2 |2 + | f, f3 |2 = x2 + y ≥ x + y2 9 50 Vì v− (F, J) = v+ (F, J) = Nếu J = {2}, ta có √ 17 f, f2 f2 + | f, f1 | + | f, f3 | = x + y + xy 18 √ = 14x2 + 14y + x + 3y 18 √ với đẳng thức xảy x = − 3y f, f2 f2 2 ≥ x + y2 , + | f, f1 |2 + | f, f3 |2 √ ≤ x2 + y , 18x2 + 18y − y − 3x 18 √ với đẳng thức xảy y = 3x Do v− (F, J) = 79 v+ (F, J) = = Nếu J = {3} , ta có √ 17 f, f3 f3 + | f, f1 |2 + | f, f2 |2 = x2 + y − xy 18 √ 14x2 + 14y + x − 3y = 18 √ với đẳng thức xảy x = 3y f, f3 f3 ≥ x + y2 + | f, f1 |2 + | f, f2 |2 √ 18x2 + 18y − y + 3x 18 √ với đẳng thức xảy y = − 3x = Do v− (F, J) = ≤ x2 + y , v+ (F, J) = Sử dụng tính chất (ii) từ Định lý 2.7 ta suy với J ⊂ I, J = ∅ ta có v− (F, J) = = v+ (F, J) = Các kết gợi ý nghiên cứu số sau cho khung tổng quát F = {fi }i∈I H J ⊂ I : 51 v+ (F ; J) = sup | f, fi | + i∈J c f =0 i∈I i∈J c v− (F ; J) = inf SJ f, f˜i i∈I | f, fi |2 | f, fi |2 + SJ f, f˜i i∈I (2.5) i∈I | f, fi | f =0 Nhận xét 2.5 Nếu {fi }i∈I khung Parseval số v+ (F ; J) v− (F, J) định nghĩa (2.5) trở số v+ (F ; J) v− (F, J) định nghĩa (2.4) Thật SJ f, f˜i SJ f, S −1 fi = | SJ f, fi |2 = i∈I i∈I i∈I 2 = SJ f = f, fi fi i∈J Ở ý S = IH {fi }i∈I khung Parseval Một số đánh giá số cho khung tổng quát suy từ Định lý 2.7 Mệnh đề 2.8 Cho {fi }i∈I khung H Khi với J ⊂ I , ta có v+ (F, J) = v+ (F o ; J) v− (F, J) = v− (F o ; J), F o = {fio }i∈I với fio = S − fi , i ∈ I 52 Chứng minh Với f = S f, S i∈J ta có − 12 fi S − 12 + fi S f, S i∈J c − 12 fi S2f S− i∈J = + f, fi fi | f, fi |2 i∈J c Sf, f S −1 SJ f, SJ f + = i∈I | −1 i∈J c f, fi |2 | f, fi |2 S −1 SJ f, SS SJ f + = | f, fi | i∈I = i∈I −1 SJ f, f˜i i∈I = + | f, fi |2 i∈J c | f, fi |2 SJ f, S fi i∈I = S −1 SJ f, fi i∈I | f, fi |2 i∈J c i∈I + i∈J c | f, fi |2 | f, fi |2 + | f, fi |2 i∈J c i∈I | f, fi | Ta lưu ý i∈J sup f, S − fi S − fi 1 i∈J = sup f, S − fi i∈J c f f =0 + S f, S − fi S − fi i∈J c S f, S − fi 1 1 + S2f S f =0 inf i∈J f,S − fi S − fi f f =0 = inf i∈J + f,S − fi i∈J c 2 1 S f,S − fi S − fi S2f S f =0 53 + i∈J c S f,S − fi Vì v+ (F, J) = v+ (F o ; J) v− (F, J) = v− (F o ; J) Từ Mệnh đề 2.8 ta suy số khung tổng quát thỏa mãn (i) - (iii) Định lý 2.7 2.2 Các mối liên hệ kiểu Parseval cho khung đối ngẫu luân phiên Trong phần này, tổng quát hóa kết từ Định lý 2.1 2.2 cho khung đối ngẫu luân phiên Chúng ta bắt đầu với kết đơn giản toán tử Định lý 2.8 Nếu U, V ∈ B (H) thỏa mãn U + V = IH , U ∗U + ∗ (V + V ) = V ∗ V + (U ∗ + U ) ≥ IH 2 Chứng minh Ta có 1 U ∗ U + (V ∗ + V ) = U ∗ U + (IH − U ∗ + IH − U ) = U ∗ U − (U ∗ + U )+IH 2 V ∗V + ∗ (U + U ) = (IH − U ∗ ) (IH − U ) + (U ∗ + U ) 2 = U ∗ U − (U ∗ + U ) + IH ∗ 1 3 = U − IH U − IH + IH ≥ IH 2 4 54 Định lý 2.9 Cho {fi }i∈I khung H {gi }i∈I khung đối ngẫu luân phiên {fi }i∈I Khi với J ⊂ I f ∈ H, ta có Re f, gi fi f, gi f, fi + i∈J c i∈J f, gi f, fi + = Re i∈J c ≥ f, gi fi i∈J f Chứng minh Với J ⊂ I ta định nghĩa toán tử LJ LJ f := i∈J f, gi fi Ta ý {fi }i∈I khung H với cận khung B nên {fi }i∈J dãy Bessel với cận Bessel B Do i∈J | f, gi |2 ≤ theo Hệ 1.3 i∈J i∈I | f, gi |2 < ∞ {fi }i∈J dãy Bessel nên f, gi fi hội tụ không điều kiện Xét ánh xạ TJ : l2 (J) → H xác định TJ {ck }k∈J := k∈J ck fk {ck }k∈J ∈ l2 (J) Do {fi }i∈J dãy Bessel nên TJ tuyến tính bị chặn với TJ ≤ √ với B Xét ánh xạ VJ : H → l2 (J) xác định VJ (f ) := { f, gi }i∈J với f ∈ H Rõ ràng VJ tuyến tính Hơn với f ∈ H ta có VJ (f ) | f, gi |2 ≤ D f = , i∈J D cận khung khung {gi }i∈I ( D cận Bessel dãy Bessel {gi }i∈J ) Từ VJ bị chặn Do LJ = TJ VJ TJ , VJ bị chặn nên LJ bị chặn Vì LJ ∈ B(H) Do LJ + LJ C = IH , từ 55 Định lý 2.8, ta có (L∗J c + LJ c ) f, f = L∗J c LJ c f, f + (L∗J + L∗J ) f, f ≥ f L∗J LJ f, f + f, gi fi + i∈J LJ C f, f + LJ C f, f f, gi fi = + i∈J c LJ C f, f + LJ C f, f LJ f, f + LJ f, f = Re ≥ f f, gi fi , f i∈J c = Re f, gi fi , f i∈J c tương tự LJ f, f + LJ f, f =Re i∈J f, gi f, f ta suy kết luận định lý Trong phần tiếp theo, chúng tơi trình bày kết tổng quát Xem xét dãy bị chặn số phức {ωi }i∈I Trong Định lý 2.8 ta lấy U f := (1 − ωi ) f, gi fi ωi f, gi fi , V f := i∈I i∈I Khi ta có kết sau Định lý 2.10 Cho {fi }i∈I khung H {gi }i∈I khung đối ngẫu luân phiên {fi }i∈I Khi với tất dãy bị chặn {ωi }i∈I 56 ta có (1 − ωi ) f, gi fi ωi f, gi fi , f + Re i∈I i∈I (1 − ωi ) f, gi f, fi + = Re i∈I ≥ ωi f, gi fi i∈I f Chứng minh Do {ωi }i∈I dãy số phức bị chặn nên tồn số c > cho |ωi | ≤ c với i ∈ I Do c2 i∈I i∈I i∈I |ωi |2 | f, gi |2 ≤ | f, gi |2 < ∞ {fi }i∈I khung nên theo Hệ 1.3 ωi f, gi fi hội tụ không điều kiện U ∈ B (H) Do U + V = IH nên ta áp dụng Định lý 2.8 U ∗ U f, f + 1 (V ∗ + V ) f, f = V ∗ V f, f + (U ∗ + U ) f, f 2 ≥ f hay U f, U f + 1 ( V f, f + f, V f ) = V f, V f + ( U f, f + f, U f ) 2 f ≥ Từ ωi f, gi fi i∈I (1 − ωi ) f, gi f, fi + Re i∈I = Re (1 − ωi ) f, gi fi ωi f, gi f, fi + i∈I i∈I Nhận xét 2.6 57 ≥ f Từ Định lý ta thu Định lý 2.9 lấy J ⊂ I   0, i ∈ J ωi =  1, i ∈ J C 58 Kết luận Luận văn trình bày lại cách hệ thống chi tiết vấn đề sau: • Tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Hilbert • Cơ sở trực chuẩn khung khơng gian Hilbert • Khung việc xử lý tín hiệu • Một số đồng thức bất đẳng thức cho khung • Các mối liên hệ kiểu Parseval cho khung đối ngẫu luân phiên 59 Tài liệu tham khảo Tài Liệu Tiếng Việt [1] Hoàng Tuỵ (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Phụ Hy, Hồng Ngọc Tuấn (2009), Giáo trình giải tích hàm ,NXB Khoa học Kỹ thuật Tài Liệu Tiếng Anh [3] R Balan, P G Casazza, D Edidin and G Kutyniok (2005),“Decompositions of frames and a new frame identity”, SPIE Proc.Vol.5914, 379-388 [4] R Balan, P G Casazza, D Edidin and G Kutyniok (2007), “A new identity for Parseval frames”, Proc Amer Math Soc Vol 308, 541-553 [5] O Christensen (2003), An introduction to frames and Riesz bases, Birkhăauser, Boston 60 [6] I Daubechies, A Grossman and Y Meyer (1986), “Painless nonorthogonal expansions”, J Math Phys.,Vol 27, 1271 - 1283 [7] R J Duffin and A C Schaeffer (1952), “A class of nonharmonic Fourier series”, Trans Amer Math Soc.,Vol 72, 341 - 366 [8] P Gavruta (2006), “On some identities and inequalities for frames in Hilbert spaces”, J Math Anal Appl Vol.321, 469-478 [9] R.V Kadison and J R.Ringrose (1983), Fundamentals of the theory of operator algebras, Vol 1, Academic Press, New York 61 ... 15 Khung việc xử lý tín hiệu 30 Một số đồng thức bất đẳng thức cho khung không gian Hilbert 2.1 33 Một số đồng thức bất đẳng thức cho khung 2.2 33 Các. .. kiến thức sở cần thiết: Tốn tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert Một số khái niệm kết khung không gian Hilbert Một số đồng thức bất đẳng thức cho khung Các mối liên hệ kiểu Parseval cho khung. .. báo đồng thức bất đẳng thức cho khung không gian Hilbert + Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất Đóng góp luận văn Trình bày tổng quan số đồng thức bất đẳng thức cho khung không gian