Khóa luận tốt nghiệp toán học: BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI, BẤT ĐẲNG THỨC BUNIACOVSKY VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN

MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài ......................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................. 1 4. Giả thiết khoa học ....................................................................................... 1 5. Đối tượng nghiên cứu ................................................................................. 1 6. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 2 7. Đóng góp của khóa luận .............................................................................. 2 8. Cấu trúc của khóa luận ................................................................................ 2 Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNIACOVSKY .............................................................................................. 3 1.1. Bất đẳng thức Bernoulli ........................................................................... 3 1.1.1. Bất đẳng thức Bernoulli dạng đơn giản .............................................. 3 1.1.2. Bất đẳng thức Bernoulli dạng suy rộng 1 ........................................... 4 1.1.3. Bất đẳng thức Bernoulli dạng suy rộng 2 ........................................... 5 1.1.4. Bất đẳng thức Bernoulli dạng suy rộng 3 ........................................... 6 1.2. Bất đẳng thức Buniacovsky ...................................................................... 7 1.2.1. Phát biểu bất đẳng thức Buniacovsky ................................................. 7 1.2.2. Các hệ quả ......................................................................................... 7 1.2.3. Các cách chứng minh bất đẳng thức Buniacovsky ............................. 8 1.2.4. Bất đẳng thức Buniacovsky mở rộng ............................................... 10 Chương 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNIACOVSKY TRONG GIẢI TOÁN .............. 13 2.1. Bất đẳng thức Bernoulli ......................................................................... 13 2.1.1. Bất đẳng thức Bernoulli trong các bài toán đại số ............................ 13 2.1.2. Bất đẳng thức Bernoulli trong các bài toán hình học và lượng giác .. 18 2.2. Bất đẳng thức Buniacovsky .................................................................... 21 2.2.1 Bất đẳng thức Buniacovsky trong các bài toán đại số........................ 21 2.2.2. Bất đẳng thức Buniacovsky trong một số bài toán hình học và lượng giác ............................................................................................................ 28 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 38 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Toán học là một môn khoa học đóng vai trò quan trọng trong cuộc sống và các ngành khoa học khác. Trong đó, bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức hay và có nhiều ứng dụng trong giải toán. Việc nghiên cứu về bất đẳng thức giúp học sinh, sinh viên tăng cường tính sáng tạo, sự kiên trì, ham học hỏi; tăng cường khả năng tính toán, khả năng tìm tòi lời giải bài toán và phát triển tư duy cho học sinh. Việc giải các bài tập về bất đẳng thức đôi khi không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả, nó đòi hỏi chúng ta phải có cách suy nghĩ logic, sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách logic hệ thống. Với cương vị là một sinh viên chuyên ngành sư phạm Toán sắp rời giảng đường đại học cùng lòng yêu thích bộ môn, tôi muốn đóng góp công sức nhỏ bé của mình giúp bạn đọc nắm vững khái niệm, các cách chứng minh và sự ứng dụng đa dạng của bất đẳng thức thông qua việc nghiên cứu bất đẳng thức Bernoulli, bất đẳng thức Buniacovsky và một số ứng dụng của nó trong giải toán ở trường phổ thông. Chính điều đó đã thôi thúc chúng tôi chọn khóa luận với đề tài: “Bất đẳng thức Bernoulli, bất đẳng thức Buniacovsky và một số ứng dụng trong giải toán”. 2. Mục đích nghiên cứu - Xây dựng một tài liệu tham khảo về chuyên đề Bất đẳng thức Bernoulli và bất đẳng thức Buniacovsky cho sinh viên ĐHSP Toán. - Nâng cao sự hiểu biết và hiệu quả học tập của bản thân. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về bất đẳng thức Bernoulli và bất đẳng thức Buniacovsky cụ thể là các cách chứng minh, các dạng suy rộng và ứng dụng của từng bất đẳng thức vào việc giải một số dạng toán trong chương trình trung học phổ thông. 4. Giả thiết khoa học Có thể dùng bất đẳng thức Bernoulli và bất đẳng thức Buniacovsky vào giải một số bài toán đại số, hình học và lượng giác ở ph

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

-* -

PHAN THỊ HƯƠNG

BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI, BẤT ĐẲNG THỨC

BUNIACOVSKY VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

TRONG GIẢI TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: TS Hoàng Ngọc Anh

Nhân dịp này, cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô, các bạn sinh viên và các đơn vị nói trên về sự ủng hộ, giúp đỡ quý báu

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Giả thiết khoa học 1

5 Đối tượng nghiên cứu 1

6 Phương pháp nghiên cứu 2

7 Đóng góp của khóa luận 2

8 Cấu trúc của khóa luận 2

Chương 1 BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNIACOVSKY 3

1.1 Bất đẳng thức Bernoulli 3

1.1.1 Bất đẳng thức Bernoulli dạng đơn giản 3

1.1.2 Bất đẳng thức Bernoulli dạng suy rộng 1 4

1.1.3 Bất đẳng thức Bernoulli dạng suy rộng 2 5

1.1.4 Bất đẳng thức Bernoulli dạng suy rộng 3 6

1.2 Bất đẳng thức Buniacovsky 7

1.2.1 Phát biểu bất đẳng thức Buniacovsky 7

1.2.2 Các hệ quả 7

1.2.3 Các cách chứng minh bất đẳng thức Buniacovsky 8

1.2.4 Bất đẳng thức Buniacovsky mở rộng 10

Chương 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNIACOVSKY TRONG GIẢI TOÁN 13

2.1 Bất đẳng thức Bernoulli 13

2.1.1 Bất đẳng thức Bernoulli trong các bài toán đại số 13

2.1.2 Bất đẳng thức Bernoulli trong các bài toán hình học và lượng giác 18

2.2 Bất đẳng thức Buniacovsky 21

2.2.1 Bất đẳng thức Buniacovsky trong các bài toán đại số 21

2.2.2 Bất đẳng thức Buniacovsky trong một số bài toán hình học và lượng giác 28

KẾT LUẬN 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO 38

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học đóng vai trò quan trọng trong cuộc sống và các ngành khoa học khác Trong đó, bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức hay và có nhiều ứng dụng trong giải toán Việc nghiên cứu về bất đẳng thức giúp học sinh, sinh viên tăng cường tính sáng tạo, sự kiên trì, ham học hỏi; tăng cường khả năng tính toán, khả năng tìm tòi lời giải bài toán và phát triển tư duy cho học sinh Việc giải các bài tập về bất đẳng thức đôi khi không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả, nó đòi hỏi chúng ta phải có cách suy nghĩ logic, sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách logic hệ thống Với cương vị là một sinh viên chuyên ngành sư phạm Toán sắp rời giảng đường đại học cùng lòng yêu thích bộ môn, tôi muốn đóng góp công sức nhỏ bé của mình giúp bạn đọc nắm vững khái niệm, các cách chứng minh và sự ứng dụng đa dạng của bất đẳng thức thông qua việc nghiên cứu bất đẳng thức Bernoulli, bất đẳng thức Buniacovsky và một số ứng dụng của nó trong giải toán

ở trường phổ thông

Chính điều đó đã thôi thúc chúng tôi chọn khóa luận với đề tài: “Bất

đẳng thức Bernoulli, bất đẳng thức Buniacovsky và một số ứng dụng trong giải toán”

2 Mục đích nghiên cứu

- Xây dựng một tài liệu tham khảo về chuyên đề Bất đẳng thức Bernoulli

và bất đẳng thức Buniacovsky cho sinh viên ĐHSP Toán

- Nâng cao sự hiểu biết và hiệu quả học tập của bản thân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về bất đẳng thức Bernoulli và bất đẳng thức Buniacovsky cụ thể là các cách chứng minh, các dạng suy rộng và ứng dụng của từng bất đẳng thức vào việc giải một số dạng toán trong chương trình trung học phổ thông

4 Giả thiết khoa học

Có thể dùng bất đẳng thức Bernoulli và bất đẳng thức Buniacovsky vào giải một số bài toán đại số, hình học và lượng giác ở phổ thông Các cách giải có

sử dụng hai bất đẳng trên có thể hiệu quả hơn

5 Đối tượng nghiên cứu

Tây Bắc

- Nghiên cứu nội dung, các dạng suy rộng và các cách chứng minh bất đẳng thức bernoulli và bất đẳng thức Buniacovsky, đồng thời ứng dụng để giải một

số bài toán đại số và hình học ở trường phổ thông

6 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu

- Phân tích, tổng hợp các kiến thức

- Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn

7 Đóng góp của khóa luận

Khóa luận sau khi hoàn thành sẽ làm tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Toán và giáo viên phổ thông

8 Cấu trúc của khóa luận

Khóa luận gồm phần mở đầu, phần nội dung gồm 2 chương và phần kết luận Phần nội dung bao gồm các chương sau:

Chương 1: Bất đẳng thức Bernoulli và bất đẳng thức Buniacovsky

Chương 2: Một số ứng dụng của bất đẳng thức Bernoulli và bất đẳng thức Buniacovsky trong giải toán

Chương 1 BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

BUNIACOVSKY 1.1 Bất đẳng thức Bernoulli

1.1.1 Bất đẳng thức Bernoulli dạng đơn giản

Nếu a 1 thì n N  ta có: 1 a n  1 na Dấu đẳng thức xảy ra khi và

chỉ khi hoặc a0 hoặc n 0, n 1

Chứng minh

Rõ ràng hai vế của bất đẳng thức bằng nhau khi n0 hoặc khi n 1 Khi

n 1 áp dụng bất đẳng thức Cauchy với n 1 số 1 và số 1 na, ta có:

      

1.1.2 Bất đẳng thức Bernoulli dạng suy rộng 1

Nếu a 1 thì với mọi số hữu tỉ r 1 , ta có:

1 a r  1 ra (*) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc a0 hoặc r 1

Chứng minh

Do r hữu tỉ 1 nên r m

n

 (với m, n là các số tự nhiên và m n ) Vì khi

1 ar < 0 , BĐT (*) hiển nhiên đúng, do đó ta chỉ quan tâm khi 1 ar 0  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho n số 1 ma

n

 và m n số 1, ta có:

n m

Cộng n bất đẳng thức theo từng vế ứng với i 1, n ta được bất đẳng thức (2) Từ

đó suy ra điều phải chứng minh

1.1.3 Bất đẳng thức Bernoulli dạng suy rộng 2

Cho a 1 và α là số thực ≥ 1 Ta có: 1 a    1 a Dấu đẳng thức xảy

ra  a 0 hoặc  1

Chứng minh Cách 1 Rõ ràng ta chỉ cần xét khi α là số vô tỉ Khi đó, tồn tại số hữu tỉ

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1x2 Ta cũng nói hàm f lõm trên  a;b

nếu bất đẳng thức trên có chiều ngược lại

 ta có bất đẳng thức:

thể giả sử bi   0, i 1, n (vì nếu bk 0 ta chỉ cần loại cặp a , bk k đi và cứ

làm như thế cho đến khi ta chỉ còn lại các cặp a , bj j với bj0) Trong (1)

thay  i b2i và i i

i

axb

 , suy ra bất đẳng thức Buniacovsky cần chứng minh

1.2.4 Bất đẳng thức Buniacovsky mở rộng

Mở rộng bất đẳng thức Buniacovsky cho 3 dãy số thực không

âm:a ;a ; ;a1 2 n; b ;b ;b1 2 n;c ;c ;c1 2 n ta luôn có:

Nếu A0 hoặc B 0 hoặc C 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì khi đó

cả hai vế của bất đẳng thức đều bằng 0

Tổng quát: Bất đẳng thức Buniacovsky mở rộng cho m dãy số thực không âm:

Cho m dãy số thực không âm: a ;a ; ;a1 2 n,b ;b ; ;b1 2 n, ,

K ;K ; ;K1 2 n

Chương 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI

VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNIACOVSKY TRONG GIẢI TOÁN 2.1 Bất đẳng thức Bernoulli

2.1.1 Bất đẳng thức Bernoulli trong các bài toán đại số

……… (i)

1

n x

Dấu “=” trong BĐT (i) xảy ra khi và chỉ khi xi 1 1 Do các bất đẳng thức đều

là các số dương nên nhân từng vế các BĐT từ (1) đến (n) ta có:

Dấu “” trong (*) xảy ra x1x2   xn 1

Lại theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

Dấu “” xảy ra khi và chỉ khi xi 1,  i 1, n (đpcm)

Ví dụ 3 Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, ta có:  n n

2.1.1.2 Một số bài toán có hướng dẫn

Bài 1 Cho A > 0 và a 1 cho trước Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên n0

sao cho với mọi số tự nhiên nn0 ta đều có: an A

t anA.tan B.tanCt anAtan B tanC (2)

Vì tam giác ABC nhọn nên dễ thấy:

t anAtan B tan C 3 3  (*)

Có thể chứng minh (*) như sau:

Vì hàm f x t anx là lồi với 0

n 3

2.1.2.2 Một số bài toán có hướng dẫn

Bài 1 Chứng minh rằng nếu 0

 2 cot gx  cot gx cot gx

cos x  1 sinx 1 sinx

 1 sinx cot gx 1 sin x cot gx  

i j

1 i j n i

Ví dụ 3 (Đề thi HSG lớp chuyên toán ĐHQG Hà Nội 2000-2001)

Với a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức

Áp dụng bất đẳng thức Buniacovsky, với mọi x, y, z ta có:

2.2.1.2 Một số bài toán có hướng dẫn

Ngoài ra g x 0 (hiển nhiên) nên 0g x 4

Ta lại có: f x g x    x2, suy ra:

Hướng dẫn

Giả sử ta có bất đẳng thức (1) đúng với x ,i 1,2, ,ni  Lấy

x x   x  1 và xn 2 ta được:

Đảo lại, với n 5 , (1) tương đương với:

Ví dụ 1 Chứng minh rằng nếu một tứ giác có 3 cạnh không lớn hơn 1 thì diện

tích của nó không lớn hơn 3 3

2 ABC

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1a2 a3 và p1p2 p3

Ví dụ 3 Gọi S là diện tích toàn phần của tứ diện ABCD Chứng minh rằng bất

Bổ đề 2: Cùng giả thiết như bổ đề 1 ta có:

S BCD S , S BCA S2, S DAB S3, S ABC S4

Thì S1S2 S3S4 S Áp dụng bổ đề 1 cho BCD và bổ đề 2 cho các tam giác CDA, DAB, ABC ta có:

2.2.2.2 Một số bài toán có hướng dẫn

Bài 1 Cho tứ diện ABCD với:

BC a , CAb, ABc, DAa ', DBb', DC c'

Gọi ha, hb, hc, hd lần lượt là các đường cao của tứ diện xuất phát từ các đỉnh

A, B, C, D Gọi r và R tương ứng là bán kính mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp tứ

r  h  h h h (4) (Chứng minh được bằng phương pháp thể tích) Từ (4) và sử dụng BĐT Cauchy

Đẳng thức xảy ra ở (1) khi và chỉ khi O G và ABCD là tứ diện gần đều, xảy ra

ở (3) khi và chỉ khi a b c a' b' c'     và ABCD là tứ diện đều; xảy ra ở (5)

    hay Sa Sb Sc Sd, tứ diện ABCD là gần đều

Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABCD là tứ diện đều

Bài 2 (Thi học sinh giỏi Toán Singapore, 2000-2001)

Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn 2 2  2 23

a b  c dChứng minh:

KẾT LUẬN

Với nhiệm vụ đặt ra, khoá luận đã trình bày một cách có hệ thống và tương đối đầy đủ các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Bernoulli và bất đẳng thức Buniacovsky bao gồm định nghĩa, hệ quả và các cách chứng minh bất đẳng thức trên Trên cơ sở đó, chúng tôi đã ứng dụng bất đẳng thức Bernoulli và bất đẳng thức Buniacovsky để giải một số dạng toán trong chương trình Trung học Phổ thông Cụ thể, chúng tôi đã sử dụng hai bất đẳng thức trên để giải một số dạng toán như: các bài toán đại số, các bài toán hình học và lượng giác Ở mỗi dạng chúng tôi đều đưa ra ba ví dụ minh họa và một số bài tập với lời hướng dẫn Như chúng ta đã biết các bất đẳng thức, bất phương trình có mặt khắp nơi trong mọi ngành của toán học, dù cổ sơ hay hiện đại Một bất đẳng thức sẽ trở thành quan trọng khi nó là cơ sở để suy ra nhiều bất đẳng thức khác Chúng tôi mong rằng khóa luận này sẽ trở thành một trong các tài liệu tham khảo hữu ích cho những bạn đọc quan tâm, hi vọng trong tương lai tôi và các bạn có thể từ bất đẳng thức Bernoulli và bất đẳng thức Buniacovsky thác triển thành nhiều bất đẳng thức khác qua đó ngày một vinh danh tên tuổi và những đóng góp to lớn của các nhà toán học

Do thời gian hạn chế, chắc chắn khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên để khoá luận hoàn thiện hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phan Đức Chính - Vũ Dương Thụy - Đào Tam - Lê Thống Nhất (2003), Các bài giảng luyện thi môn toán tập II, NXB Giáo dục

[2] Trần Văn Hạo (chủ biên) (2001), Chuyên đề luyện thi vào đại học (bất đẳng thức), NXB Giáo dục

[3] Trần Văn Hạo (chủ biên) (2001), Chuyên đề luyện thi vào đại học (lượng giác), NXB Giáo dục

[4] Vũ Thế Hựu - Nguyễn Vĩnh Cận - Dương Đức Kim (2010), Bộ đề thi tốt nghiệp THPT tuyển sinh đại học, cao đẳng môn toán, NXB ĐHSP Hà Nội [5] Nguyễn Văn Nho - Nguyễn Văn Thông (2008), Bài giảng cho học sinh chuyên toán (bất đẳng thức Cauchy và Buniacosvky), NXB Giáo dục

[6] Hoàng Huy Sơn (2005), Đại số sơ cấp, NXB Giáo dục