Khóa luận tốt nghiệp toán học: BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI, BẤT ĐẲNG THỨC BUNIACOVSKY VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN

MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài ......................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................. 1 4. Giả thiết khoa học ....................................................................................... 1 5. Đối tượng nghiên cứu ................................................................................. 1 6. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 2 7. Đóng góp của khóa luận .............................................................................. 2 8. Cấu trúc của khóa luận ................................................................................ 2 Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNIACOVSKY .............................................................................................. 3 1.1. Bất đẳng thức Bernoulli ........................................................................... 3 1.1.1. Bất đẳng thức Bernoulli dạng đơn giản .............................................. 3 1.1.2. Bất đẳng thức Bernoulli dạng suy rộng 1 ........................................... 4 1.1.3. Bất đẳng thức Bernoulli dạng suy rộng 2 ........................................... 5 1.1.4. Bất đẳng thức Bernoulli dạng suy rộng 3 ........................................... 6 1.2. Bất đẳng thức Buniacovsky ...................................................................... 7 1.2.1. Phát biểu bất đẳng thức Buniacovsky ................................................. 7 1.2.2. Các hệ quả ......................................................................................... 7 1.2.3. Các cách chứng minh bất đẳng thức Buniacovsky ............................. 8 1.2.4. Bất đẳng thức Buniacovsky mở rộng ............................................... 10 Chương 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNIACOVSKY TRONG GIẢI TOÁN .............. 13 2.1. Bất đẳng thức Bernoulli ......................................................................... 13 2.1.1. Bất đẳng thức Bernoulli trong các bài toán đại số ............................ 13 2.1.2. Bất đẳng thức Bernoulli trong các bài toán hình học và lượng giác .. 18 2.2. Bất đẳng thức Buniacovsky .................................................................... 21 2.2.1 Bất đẳng thức Buniacovsky trong các bài toán đại số........................ 21 2.2.2. Bất đẳng thức Buniacovsky trong một số bài toán hình học và lượng giác ............................................................................................................ 28 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 38 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Toán học là một môn khoa học đóng vai trò quan trọng trong cuộc sống và các ngành khoa học khác. Trong đó, bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức hay và có nhiều ứng dụng trong giải toán. Việc nghiên cứu về bất đẳng thức giúp học sinh, sinh viên tăng cường tính sáng tạo, sự kiên trì, ham học hỏi; tăng cường khả năng tính toán, khả năng tìm tòi lời giải bài toán và phát triển tư duy cho học sinh. Việc giải các bài tập về bất đẳng thức đôi khi không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả, nó đòi hỏi chúng ta phải có cách suy nghĩ logic, sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách logic hệ thống. Với cương vị là một sinh viên chuyên ngành sư phạm Toán sắp rời giảng đường đại học cùng lòng yêu thích bộ môn, tôi muốn đóng góp công sức nhỏ bé của mình giúp bạn đọc nắm vững khái niệm, các cách chứng minh và sự ứng dụng đa dạng của bất đẳng thức thông qua việc nghiên cứu bất đẳng thức Bernoulli, bất đẳng thức Buniacovsky và một số ứng dụng của nó trong giải toán ở trường phổ thông. Chính điều đó đã thôi thúc chúng tôi chọn khóa luận với đề tài: “Bất đẳng thức Bernoulli, bất đẳng thức Buniacovsky và một số ứng dụng trong giải toán”. 2. Mục đích nghiên cứu - Xây dựng một tài liệu tham khảo về chuyên đề Bất đẳng thức Bernoulli và bất đẳng thức Buniacovsky cho sinh viên ĐHSP Toán. - Nâng cao sự hiểu biết và hiệu quả học tập của bản thân. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về bất đẳng thức Bernoulli và bất đẳng thức Buniacovsky cụ thể là các cách chứng minh, các dạng suy rộng và ứng dụng của từng bất đẳng thức vào việc giải một số dạng toán trong chương trình trung học phổ thông. 4. Giả thiết khoa học Có thể dùng bất đẳng thức Bernoulli và bất đẳng thức Buniacovsky vào giải một số bài toán đại số, hình học và lượng giác ở ph

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC * PHAN THỊ HƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI, BẤT ĐẲNG THỨC BUNIACOVSKY VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƠN LA, NĂM 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC * PHAN THỊ HƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI, BẤT ĐẲNG THỨC BUNIACOVSKY VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn: TS. Hoàng Ngọc Anh SƠN LA, NĂM 2013 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện khoá luận này, em đã nhận được sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình, chu đáo của Thầy giáo GVC.TS Hoàng Ngọc Anh, sự giúp đỡ và tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong Khoa Toán – Lý – Tin, cũng như sự ủng hộ, động viên, góp ý của Thầy giáo chủ nhiệm và các bạn sinh viên lớp K50 ĐHSP Toán. Đồng thời, việc hoàn thành khoá luận đã nhận được sự giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi của phòng Đào tạo Đại học, Thư viện và một số phòng ban, khoa trực thuộc trường Đại học Tây Bắc. Nhân dịp này, cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô, các bạn sinh viên và các đơn vị nói trên về sự ủng hộ, giúp đỡ quý báu đó. Em xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Phan Thị Hương DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT BĐT Bất đẳng thức đpcm Điều phải chứngminh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lí do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1 4. Giả thiết khoa học 1 5. Đối tượng nghiên cứu 1 6. Phương pháp nghiên cứu 2 7. Đóng góp của khóa luận 2 8. Cấu trúc của khóa luận 2 Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNIACOVSKY 3 1.1. Bất đẳng thức Bernoulli 3 1.1.1. Bất đẳng thức Bernoulli dạng đơn giản 3 1.1.2. Bất đẳng thức Bernoulli dạng suy rộng 1 4 1.1.3. Bất đẳng thức Bernoulli dạng suy rộng 2 5 1.1.4. Bất đẳng thức Bernoulli dạng suy rộng 3 6 1.2. Bất đẳng thức Buniacovsky 7 1.2.1. Phát biểu bất đẳng thức Buniacovsky 7 1.2.2. Các hệ quả 7 1.2.3. Các cách chứng minh bất đẳng thức Buniacovsky 8 1.2.4. Bất đẳng thức Buniacovsky mở rộng 10 Chương 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNIACOVSKY TRONG GIẢI TOÁN 13 2.1. Bất đẳng thức Bernoulli 13 2.1.1. Bất đẳng thức Bernoulli trong các bài toán đại số 13 2.1.2. Bất đẳng thức Bernoulli trong các bài toán hình học và lượng giác 18 2.2. Bất đẳng thức Buniacovsky 21 2.2.1 Bất đẳng thức Buniacovsky trong các bài toán đại số 21 2.2.2. Bất đẳng thức Buniacovsky trong một số bài toán hình học và lượng giác 28 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Toán học là một môn khoa học đóng vai trò quan trọng trong cuộc sống và các ngành khoa học khác. Trong đó, bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức hay và có nhiều ứng dụng trong giải toán. Việc nghiên cứu về bất đẳng thức giúp học sinh, sinh viên tăng cường tính sáng tạo, sự kiên trì, ham học hỏi; tăng cường khả năng tính toán, khả năng tìm tòi lời giải bài toán và phát triển tư duy cho học sinh. Việc giải các bài tập về bất đẳng thức đôi khi không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả, nó đòi hỏi chúng ta phải có cách suy nghĩ logic, sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách logic hệ thống. Với cương vị là một sinh viên chuyên ngành sư phạm Toán sắp rời giảng đường đại học cùng lòng yêu thích bộ môn, tôi muốn đóng góp công sức nhỏ bé của mình giúp bạn đọc nắm vững khái niệm, các cách chứng minh và sự ứng dụng đa dạng của bất đẳng thức thông qua việc nghiên cứu bất đẳng thức Bernoulli, bất đẳng thức Buniacovsky và một số ứng dụng của nó trong giải toán ở trường phổ thông. Chính điều đó đã thôi thúc chúng tôi chọn khóa luận với đề tài: “Bất đẳng thức Bernoulli, bất đẳng thức Buniacovsky và một số ứng dụng trong giải toán”. 2. Mục đích nghiên cứu - Xây dựng một tài liệu tham khảo về chuyên đề Bất đẳng thức Bernoulli và bất đẳng thức Buniacovsky cho sinh viên ĐHSP Toán. - Nâng cao sự hiểu biết và hiệu quả học tập của bản thân. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về bất đẳng thức Bernoulli và bất đẳng thức Buniacovsky cụ thể là các cách chứng minh, các dạng suy rộng và ứng dụng của từng bất đẳng thức vào việc giải một số dạng toán trong chương trình trung học phổ thông. 4. Giả thiết khoa học Có thể dùng bất đẳng thức Bernoulli và bất đẳng thức Buniacovsky vào giải một số bài toán đại số, hình học và lượng giác ở phổ thông. Các cách giải có sử dụng hai bất đẳng trên có thể hiệu quả hơn. 5. Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu nội dung môn đại số sơ cấp đã được dạy ở trường Đại học 2 Tây Bắc. - Nghiên cứu nội dung, các dạng suy rộng và các cách chứng minh bất đẳng thức bernoulli và bất đẳng thức Buniacovsky, đồng thời ứng dụng để giải một số bài toán đại số và hình học ở trường phổ thông. 6. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu. - Phân tích, tổng hợp các kiến thức. - Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn. 7. Đóng góp của khóa luận Khóa luận sau khi hoàn thành sẽ làm tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Toán và giáo viên phổ thông. 8. Cấu trúc của khóa luận Khóa luận gồm phần mở đầu, phần nội dung gồm 2 chương và phần kết luận. Phần nội dung bao gồm các chương sau: Chương 1: Bất đẳng thức Bernoulli và bất đẳng thức Buniacovsky. Chương 2: Một số ứng dụng của bất đẳng thức Bernoulli và bất đẳng thức Buniacovsky trong giải toán. 3 Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNIACOVSKY 1.1. Bất đẳng thức Bernoulli 1.1.1. Bất đẳng thức Bernoulli dạng đơn giản Nếu a1 thì nN ta có:   n 1 a 1 na   . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc a0 hoặc n 0, n1 . Chứng minh Rõ ràng hai vế của bất đẳng thức bằng nhau khi n0 hoặc khi n1 . Khi n1 áp dụng bất đẳng thức Cauchy với n1 số 1 và số 1 na, ta có:   n 1 a 1 na    (đpcm) Dấu “  ” xảy ra 1 1 na a 0     . Ví dụ. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 10 10 10 7 8 9 (1) b) 2003 2003 2003 2000 2001 2002 (2) Giải a) (1) 10 10 79 1 88          Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có: 10 10 10 9 1 10 7 1 1 1 8 8 8 8                         (đpcm) b) (2) 2003 2003 2000 2002 1 2001 2001                Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có: 2003 2003 2003 2000 1 2003 2000 1 1 1 2001 2001 2001 2001                           n 1 1 1 1 na 1 na n       4 1.1.2. Bất đẳng thức Bernoulli dạng suy rộng 1 Nếu a1 thì với mọi số hữu tỉ r1 , ta có:   r 1 a 1 ra   (*) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc a0 hoặc r1 . Chứng minh Do r hữu tỉ 1 nên m r n  (với m, n là các số tự nhiên và mn ). Vì khi 1 ar < 0 , BĐT (*) hiển nhiên đúng, do đó ta chỉ quan tâm khi 1 ar 0 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho n số m 1a n  và mn số 1, ta có: n m mm 1 a 1 a 1 1 m nn 1a mn                          n m 1 a 1 ar        m r n 1 ar 1 a 1 a 1 ar       (đpcm). Dấu “=” xảy ra m 1 a 1 a 0 n      . Ví dụ. Chứng minh rằng nếu i x0   i 1,n và r là một số hữu tỉ và r1 thì: r r r r 1 2 n 1 2 n x x x x x x nn            (1) Chứng minh Nếu 1 2 n x x x 0    thì xảy ra đẳng thức. Giả sử 1 2 n x x x 0    , khi đó: (1) r r r 1 2 n r 1 2 n x x x n x x x n            r r r 1 2 n 1 n 1 n 1 n nx nx nx x x x x x x                             (2) 5 Theo bất đẳng thức Bernoulli ta có: rr i i i 1 1 n n 1 n nx nx nx 1 1 1 r 1 x x x x x x                                     Cộng n bất đẳng thức theo từng vế ứng với i 1,n ta được bất đẳng thức (2). Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 1.1.3. Bất đẳng thức Bernoulli dạng suy rộng 2 Cho a1 và α là số thực ≥ 1. Ta có:   1 a 1 a      . Dấu đẳng thức xảy ra a0 hoặc 1 . Chứng minh Cách 1. Rõ ràng ta chỉ cần xét khi α là số vô tỉ. Khi đó, tồn tại số hữu tỉ n r tăng và     n r n nn lim r lim 1 a 1 a         ( do tính liên tục của hàm số mũ). Theo dạng suy rộng 1 của bất đẳng thức Bernoulli, ta có:   n r n 1 a 1 r a   , n (2) Theo định lí về các phép tính giới hạn, ta có:       n r n nn lim 1 a lim 1 r a 1 a 1 a            . Cách 2. Xét hàm số:     f x 1 x 1 x      với 1x    , ta có:       11 f ' x 1 x 1 x 1               Do 1 nên ta có bảng biến thiên sau: [...]... x i , yi  0 12 Chương 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNIACOVSKY TRONG GIẢI TOÁN 2.1 Bất đẳng thức Bernoulli 2.1.1 Bất đẳng thức Bernoulli trong các bài toán đại số 2.1.1.1 Một số ví dụ Ví dụ 1 Chứng minh rằng: n  1, 2, ta có n 3  1 1    3  n2  n Giải Hiển nhiên bất đẳng thức đúng khi n  1 và dấu bằng xảy ra Giả sử bất đẳng thức đúng đến n  k , tức là... a1,a 2 , ,a n và b1,b2 , ,bn là 2 dãy số bất kì Rõ ràng ta có thể giả sử bi  0, i  1,n (vì nếu bk  0 ta chỉ cần loại cặp  a k ,bk  đi và cứ   làm như thế cho đến khi ta chỉ còn lại các cặp a j ,b j với b j  0 ) Trong (1) 2 thay i  bi và x i  ai , suy ra bất đẳng thức Buniacovsky cần chứng minh bi 1.2.4 Bất đẳng thức Buniacovsky mở rộng Mở rộng bất đẳng thức Buniacovsky cho 3 dãy số thực không...  1  x  Do x  0 và y x 1 y (2) y  1 , nên theo bất đẳng thức Bernoulli ta có: x 17 1  x  y x y  1  x  1  y x Vậy (2) đúng, suy ra đpcm 2.1.2 Bất đẳng thức Bernoulli trong các bài toán hình học và lượng giác 2.1.2.1 Một số ví dụ Ví dụ 1 Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng: tan n A  tan n B  tan n C  3  3n 2 trong đó n là số tự nhiên, n  1 Giải Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: tan... điều này là không thể xảy ra do x   0,   Vì vậy ta đi đến cos2x.cot gx  sin 2x (đpcm) 2.2 Bất đẳng thức Buniacovsky 2.2.1 Bất đẳng thức Buniacovsky trong các bài toán đại số 2.2.1.1 Một số ví dụ Ví dụ 1 Chứng minh bất đẳng thức: a3 b2  bc  c2  b3 c2  ac  c2  c3 a 2  ab  b2  3 ab  bc  ca  abc Giải Đặt S  a3 b2  bc  c2  b3 c2  ac  c 2  Ta có: 21 c3 a 2  ab  b 2  3 ab  bc ... 2  2  Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1  x 2 Ta cũng nói hàm f lõm trên a;b nếu bất đẳng thức trên có chiều ngược lại *Bất đẳng thức Jensen Nếu f  x  là hàm lồi trên  c1;c2 ;cn  thì với mọi x1, x 2 , , x n a;b và mọi số thực 1, 2, , n  0, n i  1 ta có bất đẳng thức: i 1 1f  x1   2f  x 2    n f  x n   f  1x1  2x 2   n x n  9 Chứng minh Hàm số f  x1 ... đúng, x i  BĐT (1) đúng x i ,i  1,n 2.2.2 Bất đẳng thức Buniacovsky trong một số bài toán hình học và lượng giác 2.2.2.1 Một số ví dụ Ví dụ 1 Chứng minh rằng nếu một tứ giác có 3 cạnh không lớn hơn 1 thì diện tích của nó không lớn hơn 3 3 4 Giải Giả sử AD là cạnh duy nhất của tứ giác lớn hơn 1 Đặt AC   , gọi M là trung điểm của AC Theo hệ thức lượng trong tam giác ABC ta có: a2 BA  BC  2BM ...  x n  x1  2n Giải Do 0  x i  1 i  1,n  với mọi 1,n ta có: 1  1 xi Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có: 1 1  x1 x 2   1 x1 x2 (1) Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi x 2  1 Lí luận tương tự ta có: 1 1  x 2 x3   1 x2 x3 (2) 14 ………………… 1 1  x n  x1  1  (i) xn x1 (n) Dấu “=” trong BĐT (i) xảy ra khi và chỉ khi x i 1  1 Do các bất đẳng thức đều là các số dương nên nhân... thi HSG lớp chuyên toán ĐHQG Hà Nội 2000-2001) Với a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức ab  bc  ca  abc Hãy chứng minh rằng: b 2  2a 2 c2  2b 2 a 2  2c2    3 ab bc ac Giải Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 1 a2  2 b2  1 b2  2 c2  1 c2  2 a2  3 24 Áp dụng bất đẳng thức Buniacovsky, với mọi x, y, z ta có: 12  12  12  x 2  y2  z2    x  y  z 2... i      i 1  i 1   i 1  Ở đây x , x , , x là các số thực cùng dấu và lớn hơn 1 nên: 1 2 n n x n 1  x i  0 i 1 Từ đó ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Dễ thấy 1.1.1 là hệ quả của 1.1.4 (khi các x đều bằng nhau và bằng a) i 1.2 Bất đẳng thức Buniacovsky 1.2.1 Phát biểu bất đẳng thức Buniacovsky Cho các số thực a1,a 2 , ,a n và b1,b2 , ,bn Khi đó: 2 2 2 2  a12  a 2   a n  b12... 3 , bất đẳng thức trên trở thành: xz  yz  xy  3  x  y  z  xyz   xz  yz  xy   3 x  y  z  xyz 2   xz  yz  xy   3x 2 yz  3y2xz  3z 2xy 2   xy  yz    yz  xz    xy  xz   0 (đúng) 2 2 2 Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1  a 2  a 3 và p1  p2  p3 Ví dụ 3 Gọi S là diện tích toàn phần của tứ diện ABCD Chứng minh rằng bất đẳng thức: