phương pháp sai phân và một số ứng dụng trong giải toán

Việc chứng minh dãy giảm là đơn giản: Điều cần chứng minh tương đương với: Ngày 21/3/2010 trong kỳ thi chọn học sinh giỏi toán lớp 12 tỉnh Hải Dương cũng có bài toán sử dụng phương phá

SAI PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

TRONG GIẢI TOÁN

Ngày 11/3/2010, trong kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia lớp 12 môn toán có câu số 2(5 điểm/20 điểm; Đề có 5 câu):

“Cho dãy số thực ( )an xác định bởi : a1 =5 và 1 1 1

1/ Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( )an

2/ Chứng minh rằng ( )an là dãy số giảm.”

Căn cứ vào dạng công thức dãy đã cho và câu hỏi 1/ cũng có thể nghĩ

ngay đến là sử dụng phương pháp sai phân.

( Việc chứng minh dãy giảm là đơn giản:

Điều cần chứng minh tương đương với:

Ngày 21/3/2010 trong kỳ thi chọn học sinh giỏi toán lớp 12 tỉnh Hải

Dương cũng có bài toán sử dụng phương pháp sai phân :

“ Cho dãy số { }u n thỏa mãn:

1

2 1

1

( 1; 2;3; ) 2010

n

u

n u

giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó”

Nhìn vào câu hỏi cũng có thể nghĩ đến phải dùng phương pháp sai phân cho dãy số { }u n .

Cụ thể là:

+) Dễ chứng minh dãy số tăng

+) Từ giả thiết suy ra:

Cho dãy số { }x n thỏa mãn

Cũng có thể dùng phương pháp sai phân vào đây:

Đặt v n =nx n; khi đó giả thiết đã cho có dạng: 12

Đến đây thì thật đơn giản, limu n = 4.

Vấn đề sai phân và ứng dụng của sai phân giải toán dãy số cũng

như giải toán nói chung đã được nhiều người quan tâm, cho dù mức độ cũng như dạng loại cũng có phần khác nhau Người viết bài này đã để tâm sưu tầm, tìm tòi và nghiên cứu khá sâu về sai phân, nay – qua quan sát các đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 cấp Tỉnh, cấp Quốc gia vừa diễn ra trong thời gian qua, thấy tầm quan trọng của phương pháp sai phân, nên xin được trao đổi tại đây; Mong góp phần nhỏ bé vào việc đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi của tỉnh nhà

LỜI NÓI ĐẦU:

Một trong các dạng toán hay và khó trong chương trình phổ thông

trung học là toán về dãy số , trong đó Sai phân và ứng dụng của sai phân

là phần rất quan trọng nó không những góp phần giải quyết các bài toán dãy

số mà còn giúp giải một số bài toán khác như: phương trình hàm, đa thức, bất đẳng thức Về bản chất sai phân là tìm cách tách một số hạng của dãy số

đã cho thành hiệu (hay tổng quát hơn là tổng đại số) của hai hay ba số hạng liên tiếp của dãy số khác Trong sách giáo khoa gần như không đề cập vấn

đề này, nhưng trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp vấn đề này thường hay được đề cập đến Các sách tham khảo hiện có một số bài toán có sử dụng phương pháp sai phân nhưng không phân tích chặt chẽ, không có hệ thống lý thuyết làm người đọc khó vận dụng Xuất phát từ mục đích để giảng dạy cho các học sinh giỏi và trao đổi với đồng nghiệp về lĩnh vực nói trên, nhưng phải phù hợp với học sinh phổ thông(khá, giỏi) tôi đã nghiên cứu kỹ lưỡng dạng và cách giải của từng loại bài, trình bày lại thông qua các Ví dụ, rồi khái quát thành phương pháp cho dễ vận dụng sau này Các dạng của sai phân còn được thể hiện sinh động hơn qua các ví dụ cụ thể lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, quốc gia và quốc tế Qua thực tế giảng dạy của bản thân cho học sinh tham gia các kỳ thi học sinh giỏi, tôi xin mạnh dạn trao đổi cùng các đồng nghiệp, với hy vọng là đóng góp một chút vào công cuộc đầy khó khăn nhưng cũng rất vinh dự này Vì là suy nghĩ của một người chắc không tránh khỏi thiếu sót, mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp và những người có cùng mối quan tâm

Nội dung của bài viết này có 5 phần:

1) Sai phân cấp I

2) Sai phân cấp I suy rộng(một số dạng cơ bản)

3) Sai phân cấp II

4) Sai phân cấp II suy rộng ( một số dạng cơ bản)

5) Một số bài toán ứng dụng sai phân ( muốn cung cấp thêm các ví dụ, mang tính thực tiễn giảng dạy)

Dưới đây là nội dung bài viết:

I) Sai phân cấp I:

Cho dãy { }U n : U1 cho trước , U n+1 =aU n+b( với a,b cho trước) hãy xác định

số hạng tổng quát U ncủa dãy số Ta gọi đó là phương trình sai phân cấp I ( tức là để tìm một số hạng của dãy cần biết một số hạng ngay trước nó).Đây là bài toán cơ bản có cách giải đơn giản:

+) Nếu a=1 thì dãy số là cấp số cộng công sai b nên U n =U1 + − (n 1)b

Phương pháp này gọi là Sai phân cấp I: Tức là tách một số hạng của dãy

thành hiệu hai số hạng liên tiếp của dãy mới, cũng có thể thay dấu bằng bởi các dấu lớn, nhỏ hơn mà ta sẽ thấy qua các ví dụ dưới đây, phương pháp này

Ví dụ 4:(Olympic Toán Việt Nam 1998)

Chứng minh rằng không tồn tại dãy { }x n thoả mãn cả hai điều kiện:

Theo giả thiết có: 1 ( )

Ví dụ 5: (Olympic Toán quốc tế 1968)

Tính tổng:S = 1

0

2 2

k k k

n

∞ +

k k k

n

∞ +

1 1

Ta chỉ cần chứng minh

1 0

1 1 1

Ví dụ 7:(Olympic Toán Bungari 1999)

Cho dãy các số nguyên { }a n thoả mãn :(n− 1)a n+1 = + (n 1)a n− 2(n− ∀ ∈ 1)( n N*)

Biết a1999 chia hết cho 2000 Tìm số n nhỏ nhất sao cho an chia hết cho 2000( n≥ 2)

a b

Như vậy bằng phương pháp sai phân ta xác định được an

Theo giả thiết 2000 là ước của a1999=1998(2+1999( 2 1)

Ví dụ 8:(Sai phân trong trong đa thức )

Tìm tất cả các đa thức f(x) ∈R[ ]x thoả mãn một trong các điều kiện sau:a) f(x+1)- f(x) = 0 ∀x

Ta sẽ đưa về bài toán a) bằng cách tìm một đa thức g(x) sao cho:

khi đó bài toán đã cho ⇔ ( (f x+ − 1) g x( + 1)) ( ( ) − f x −g x( )) 0 = ∀x

Theo a) ta có f(x)- g(x)=A( hằng số) hay f(x) = 1 2 1

khi đó giả thiết có dạng: (f(x+1)-g(x+1)) - 3(f(x)-g(x)) = 0 (∀x)

Dễ chứng minh đa thức h(x) thoả mãn h(x+1) - 3h(x) = 0 (∀x) là đa thức đồng nhất bằng 0 (đồng nhất hệ số)

Vậy f(x) = g(x) = - x - 3∀x

Ví dụ 9:(Sai phân trong phương trình hàm)

Tìm các hàm số xác dịnh trên R và thoả mãn một trong các điều kiện sau:a)f(x+1) = f(x) ∀x

b)f(x+2) = f(x) + 3x - 1∀x

c)f(x+1) = 3f(x) + x

d) f(x+1) = 3f(x) + 2x ∀x

Bước hai: Ta tìm hàm số g(x) = ax+b sao cho g(x+1) - 3g(x) = x (∀x)

− − +3xh(x), ở đó h(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 1 bất kỳ

d) Ta tìm hàm số g(x) = a.2xsao cho g(x+1) - 3 g(x) = 2x (∀x)

hay a.2x+1- 3a.2x=2x ∀x suy ra a = -1

Khi đó bài toán đã cho thành: f(x+1) - g(x+1) = 3(f(x)- g(x)) (∀x)

Cũng theo kết quả trên thì f(x) = 3x h(x) - 2x (∀x), trong đó h(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 1 tuỳ ý

e) Ta tìm hàm số g(x) = asinx + b cosx sao cho g(x+2)-g(x) = sinx (∀x )

Tiếp theo ta có giả thiết trở thành: f(x+2)- g(x+2) = f(x)-g(x).Vậy f(x)-g(x)

là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 (đã biết hàm tuần hoàn hoàn toàn xác định theo câu a)) Ngược lại nếu f(x) = g(x) + h(x) với h(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ

2 bất kỳ, g(x) xác định như trên ta chứng minh được f(x) thoả mãn yêu cầu

II

)Sai phân cấp I suy rộng :

Ta đã giải quyết được bài toán tìm Un thoả mãn Un+1=aUn+b với a, b là các hằng số và một vài ví dụ về áp dụng sai phân cấp I

Bây giờ ta sẽ giải bài toán phức tạp hơn: tìm Un thoả mãn

Un+1=aUn+f(n) trong đó f(n) là một trong các hàm: đa thức của n; sinn; cosn;

an Thông qua các ví dụ sau đây ta sẽ thấy ứng dụng sai phân rất mạnh,

và có thể nghiên cứu được quy luật để áp dụng

Ví dụ 1:

1

1 :

n

U U

= −



 = −

Khi đó (1) ⇔U n+1 + + + = (n 1) 2 2(U n+ +n 2)

1(*)

n

n n

U U

Nhận xét : Qua hai ví dụ trên thấy rằng nếu f(n) là đa thức của n có

bậc k thì ta tìm đa thức để sai phân cùng bậc k (khi hệ số Un khác 1); hoặc

U U

n n

U U

U U

Ta tìm g(n) = a.3n sao cho:

Vậy

1 1

n

n n

U U

n

U U

Ta tìm g(n) = a cosn + b sinn sao cho: g(n+1) - g(n) = cosn hay:

 vì định thức D = 2-2cos1 > 0 nên hệ có nghiệm duy

nhất là (a;b) Khi đó ta có: U n+1 −g n( + = 1) U n −g n n N( ) ∀ ∈ * suy ra

1

n

Với a, b xác định theo hệ trên

b) Nếu sử dụng cách 1 thì khá phức tạp, vì phải sử dụng đạo hàm

Ta sẽ dùng cách 2: Tìm hàm số g(n) = a cosn + b sinn, sao cho g(n+1)-2g(n)

= sinn ∀ ∈n N* Làm tương tự như trên: a,b là nghiệm của hệ phương trình

U U

Rõ ràng không thể chia hai vế của đẳng thúc đã cho cho 2n+1

Ta sẽ tìm hai hàm số : g(n)=an+b sao cho g(n+1) -2g(n) = n và h(n) = c3n

sao cho h(n+1)-2h(n) = 3n ∀ ∈n N* Giải ra ta có a = b = -1; c = 1 Khi đó giả thiết đã cho trở thành:U n+1 −g n( + − 1) h n( + = 1) 2(U n−g n( ) −h n( )) ∀ ∈n N*.

III) Sai phân cấp II:

Ta gọi biểu thức af(x+2)+bf(x+1)+cf(x) là sai phân cấp II của biến x

Phương trình sai phân cấp II thuần nhất: af(x+2)+bf(x+1)+cf(x) = 0(*) trong

đó x thuộc R hay thuộc N Ta xét cách giải và mở rộng cho phương trình không thuần nhất ( tức là vế phải của phương trình (*) là hàm số) thông qua các ví dụ

Ví dụ 1:

; :

n

U U R U

− +

Tổng quát: Nếu aU n+2 +bU n+1 +cU n = 0 và phương trình đặc trưng có hai

nghiệm phân biệt 1 ; 2 1n 2n *

n

U U R U

Tổng quát: phương trình sai phân mà trong đó phương trình đặc

trưng có 2 nghiệm phức liên hợp thì: n( sin )

a = a − a ; bằng quy nạp ta chứng minh được a n+2 = 2006a n+1− 2005a n

Đây là phương trình sai phân đã có cách giải tổng quát ở trên; ta có

U U

2 1 2

n

U R U

V

V+

= = ; Từ giả thiết sẽ suy ra được V n+2 =aV n+1+bV n

Giải phương trình sai phân cấp II này suy được Un

a a Z a a a a a Z a n N a

+ + − =

(hằng số;∀ ≥n 2) hay a n+1 =ta n −a n−1 ( ∀ ≥n 2)

Ví dụ 8:(Dự tuyển olympic quốc tế 1982)

Cho a∈N*;{ }a n :a0 = 0;a1 = 1;a n+1 = 2a n + − (a 1)a n−1.Với p0 là số nguyên cố định lớn hơn 2, hãy tìm giá trị bé nhất của a sao cho hai khẳng định sau đúng:a)Nếu p là số nguyên tố, p≤ p0thì a p pM

b)Nếu p là số nguyên tố, p> p0thì a pkhông chia hết cho p

IV)Sai phân cấp II suy rộng:

Tương tự sai phân cấp I , ta xét các phương trình sai phân dạng:

aU + +bU + +cU = f n ; trong đó f n( )là hàm đa thức của n, hàm mũ của n, hàm cosn, sinn

Ta có thể thấy phương pháp thông qua ví dụ cụ thể:

Ví dụ 1:(Trường hợp phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phân biệt khác 1)

Khi đó giả thiết suy ra V n+2 = 5V n+1 − 6 (V V n n =U n−g n( ))

Giải phương trình sai phân ta có 2.2 53

4

n n n

4 2 4

n n

U = g n − + , g(n) như trên Thử lại thoả mãn

Ví dụ 2:(Trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm x=1 là nghiệm đơn)

b = − + , hay 11 11 3 2

3

n n

n n n

Ta tìm g(n)= αcosn+ β sinnsao cho: ag n( + + 2) bg n( + + 1) cg n( ) =cosn hay:

Rõ ràng hệ có nghiệm duy nhất vì định thức D của ẩn khác 0

Gọi (α β ; )là nghiệm của hệ Đặt b n =a n−g n( ) Khi đó ta có phương trình sai

phân ab n+2 +bb n+1 +cb n = 0 Dù phương trình đặc trưng có nghiệm như thế nào

thì ta cũng đã giải được ở phần trên Vậy ta luôn xác định được dãy { }a n

Sau đây ta sẽ tiếp tục xét thêm với mục đích chính là cung cấp thêm bài tập

V) Một số ứng dụng của sai phân :

4 :

n

a a

b)Ta áp dụng sai phân:

Tìm một hàm g(x) = ax+b sao cho g(x) - 2 g'(x) = x(∀ ∈x R) Dễ dàng tìm được g(x) = x+2 Khi đó theo giả thiết ta có

Dễ thấy g x( ) = −e x cũng như câu b) ta có f x( ) =Ce12x−e x Thử lại thoả mãn

d) Ta tìm hàm số g(x) = acosx + bsinx sao cho g x( ) 2 '( ) − g x =cosx x( ∀ )

1 2

f x −g x −h x =Ce ∀ ∈x R hay

1 2

1 2ln 3

x x

k n k k

α +

a

=

∑Bài 5:

Cho dãy số dương { }a n thoả điều kiện: 2

THAY CHO LỜI KẾT:

Đây là những kết quả mà bản thân tôi qua thực tế nghiên cứu phục vụ cho giảng dạy cho đối tượng học sinh khá, học sinh giỏi tham dự các kỳ thi học sinh giỏi các cấp Bản thân đã cố gắng đúc rút lại thành phương pháp, chuyển tải đến người đọc một cách phù hợp: Thông qua các ví dụ cụ thể để làm đơn giản về mặt lý luận; còn về mặt ứng dụng, vì thời lượng bài viết có giới hạn, tôi cố gắng chọn lọc các ví dụ mang tính điển hình về phương pháp sai phân Hy vọng góp một phần nhỏ bé vào công tác giảng dạy toán phổ thông nói chung và đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng

Trong lời giải các ví dụ đã nêu, phương pháp sai phân không đòi hỏi phải chỉ ra hết các hàm g(n), (g(x)) thoả điều kiện sai phân đã nêu mà chỉ cần sự tồn tại g(n),(g(x)) là đủ để tìm f(n), ((f(x); an,Un, ) cần tìm Việc chỉ ra g(n), (g(x)), ban đầu đi tìm lời giải là dùng phương pháp mà toán học gọi là

“ thử và sai”; sau khi đã có kết quả thì chỉ cần nhớ để sử dụng Trong khuôn khổ bài viết, tôi không đi sâu phân tích cách chọn g(n),(g(x)) vì xét đến cùng

là học sinh cần cách giải, cách sử dụng sai phân vào giải toán Đây là điều

mà cá nhân tôi muốn sự cảm thông của quý đồng nghiệp

Cuối cùng xin chân thành cảm ơn sự quan tâm của các bạn đến bài viết này Xin trân trọng cảm ơn!

Phí Văn DươngPhòng GDTrH