Phương pháp lượng giác và một số ứng dụng trong hình học 2017

Phương pháp lượng giác và một số ứng dụng hình học. Tìm hiểu về phương pháp lượng giác và ứng dụng hình học. Phương pháp lượng giác và một số ứng dụng hình học. Tìm hiểu về phương pháp lượng giác và ứng dụng hình học. Mối quan hệ giữa phương pháp lượng giác và hình học

ĐOÀN VĂN TOÀN

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Đạo Dõng

Đà Nẵng - Năm 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng

được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Đoàn Văn Toàn

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2

6 Cấu trúc của luận văn 2

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 4

1.1 CÁC KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC 4

1.1.1 Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông 4

1.1.2 Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt 5

1.1.3 Các công thức lượng giác 5

1.1.4 Định lý hàm sin, hàm côsin, hàm tang trong tam giác 6

1.1.5 Các hệ thức lượng giác cơ bản 7

1.1.6 Một số bất đẳng thức cơ bản trong tam giác 9

1.1.7 Một số bất đẳng thức khác 10

1.2 CÁC KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC PHẲNG VÀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11

1.2.1 Phương trình dạng lượng giác của đường tròn 11

1.2.2 Phương trình dạng lượng giác của elíp 11

1.2.3 Phương trình dạng lượng giác của hypebol 12

1.2.4 Một số định nghĩa, khái niệm trong hình học không gian 12

1.2.5 Một số định lý, tính chất trong hình học không gian 13

1.2.6 Công thức tính diện tích hình chiếu của đa giác trên mặt phẳng 14

1.2.7 Công thức tính thể tích một số khối hình trong không gian 14

1.2 Hệ thức liên hệ về thể tích trong khối chóp tam giác 15

1.2 Công thức tính khoảng cách t một điểm t i đường thẳng 15

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯ NG GIÁC VÀO GI I TOÁN H NH HỌC…… 16

2.1 BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT 16

2.1.1 Biểu thức lượng giác 16

2.1.2 Giá trị l n nhất, nhỏ nhất liên quan đến diện tích tam giác 26

2.1.3 Giá trị l n nhất và nhỏ nhất của thể tích 31

2.2 BÀI TOÁN NHẬN DẠNG TAM GIÁC 36

2.2.1 Nhận dạng tam giác cân 36

2.2.2 Nhận dạng tam giác đều 43

2.2.3 Nhận dạng tam giác vuông 49

2.3 BÀI TOÁN VỀ ĐỘ DÀI CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC 54

2.3.1 Độ dài đường trung tuyến 54

2.3.2 Độ dài đường phân giác trong 59

2.3.3 Độ dài đường cao 63

2.4 BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH 67

2.4.1 Bài toán khoảng cách hình phẳng 67

2.4.2 Bài toán khoảng cách trong hình học không gian 74

2.5 BÀI TOÁN VỀ GÓC PHẲNG VÀ GÓC NHỊ DIỆN 78

2.5.1 Góc trong tam giác và tứ giác 78

2.5.2 Góc nhị diện 89

2.6 BÀI TOÁN VỀ DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH 93

2.6.1 Diện tích tam giác 93

2.6.2 Diện tích thiết diện 97

2.6.3 Thể tích 101

KẾT LUẬN……… 109 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KH O 110 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (Bản sao)

R : Bán kính đường tròn ngoại tiếp

r : Bán kính đường tròn nội tiếp

p : Nửa chu vi tam giác

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Qua thực tế giảng dạy Toán cho học sinh phổ thông trung học, tôi nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc nắm bắt các khái niệm, ứng dụng phương pháp lượng giác vào giải các chủ đề liên quan trong đại số, giải tích

và hình học Cùng v i sự định hư ng của PGS.TS Trần Đạo Dõng, tôi đã

chọn đề tài “PHƯƠNG PHÁP LƯ NG GIÁC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

TRONG H NH HỌC” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình

Trong luận văn này, trư c hết tôi gi i thiệu về các hệ thức lượng giác

và các đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác thể hiện trong chương trình Toán bậc phổ thông trung học Tiếp đó, ứng dụng các hệ thức lượng giác, đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác để giải một số dạng toán cơ bản trong hình học

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là khai thác công cụ phương pháp lượng giác để khảo sát một số chủ đề trong hình học thể hiện qua các dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị l n nhất, bài toán nhận dạng tam giác, bài toán xác định khoảng cách, nhằm góp phần nâng cao hiệu quả và chất lượng dạy học bộ môn Toán trong chương trình phổ thông trung học

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Chương trình Toán bậc trung học, đặc biệt là chuyên đề hình học lượng giác

- Các ứng dụng của lượng giác vào giải các bài tập hình học trong chương trình Toán bậc trung học

4 Phương pháp nghiên cứu

- Tham khảo tài liệu về chuyên đề lượng giác, chuyên đề hình học phẳng và hình học không gian

- Phân tích, tổng hợp, hệ thống các bài toán hình học giải bằng phương pháp lượng giác trong chương trình bậc trung học

- Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hư ng dẫn, đồng nghiệp

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Nâng cao hiệu quả dạy và học một số chủ đề cơ bản trong hình học thuộc chương trình Toán phổ thông trung học

- Phát huy tính tự học và sáng tạo của học sinh

6 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được chia làm 2 chương:

Chương 1 Các kiến thức liên quan

Trong chương 1, luận văn trình bày:

- Các kiến thức lượng giác cơ bản: tính chất, các công thức lượng, các

hệ thức lượng giác, đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác và một số bất đẳng thức đại số để làm cơ sở cho chương sau

- Các kiến thức về hình học phẳng và không gian như: dạng lượng giác của đường tròn, elíp, hypebol, công thức tính góc, khoảng cách, hình chiếu, các công thức tính thể tích hình không gian…

Chương 2 Ứng dụng phương pháp lượng giác vào giải toán hình học Trong chương 2, luận văn trình bày:

Một số ứng dụng của lượng giác vào giải các bài toán hình học trong chương trình Toán bậc trung học phổ thông Cụ thể là bài toán tìm giá trị nhỏ

nhất và giá trị l n nhất, bài toán nhận dạng tam giác, bài toán về độ dài đường đặc biệt trong tam giác, bài toán khoảng cách, bài toán về góc phẳng và góc nhị diện, bài toán về diện tích và thể tích

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Chương này nhắc lại các kiến thức cơ bản của lượng giác liên quan đến hình học, một số bất đẳng thức đại số, các kiến thức liên quan đến hình học phẳng, hình học không gian trong chương trình Toán trung học phổ thông để làm cơ sở cho chương sau Các chứng minh chi tiết có thể xem trong [6], [9], [10]

1.1 CÁC KIẾN THỨC LƯ NG GIÁC LIÊN QUAN ĐẾN H NH HỌC

1.1.1 Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, khi đó tỉ số lượng giác của các góc

được định nghĩa qua các cạnh như sau:

- Tỉ số giữa cạnh đối của góc B và cạnh huyền được gọi là sin của góc

Trong tam giác vuông ABC tính chất hàm sin, hàm tan của góc nhọn

này bằng hàm cos, hàm cot của góc nhọn kia và ngược lại

sin cos ; cos sin

tan cot ; cot tan

1.1.2 Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Trong lượng giác ta thường hay gặp một số trường hợp góc có liên quan như sau:

a Hai góc đối nhau: Hai góc đối nhau có cos bằng nhau; sin, tan, cot

d Hai góc phụ nhau: Hai góc phụ nhau có sin góc này bằng côsin góc

kia; tan góc này bằng cot góc kia

sin( - ) cos ; cos( - ) sin

1.1.3 Các công thức lượng giác

a Công thức cộng đối với sin và côsin

V i mọi góc lượng giác α, β, ta có:

cos( - ) cos cos sin sin ; cos( ) cos cos - sin sin sin( - ) sin cos - cos sin ; sin( ) sin cos cos sin

b Công thức cộng đối với tan

21 sin sin - cos( ) - cos( - )

21 sin cos sin( ) sin( - )

cos - cos -2sin sin

sin sin 2sin cos

1.1.4 Định lý hàm sin, hàm côsin, hàm tang trong tam giác

a Định lý hàm sin trong tam giác

Trong tam giác ABC v i BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

2sin sin sin

R

trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

b Định lý hàm côsin trong tam giác

Trong tam giác ABC v i BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

;2.2

c Định lý hàm tang trong tam giác

Trong tam giác ABC ta luôn có:

Nhận xét: Định lý hàm tang là hệ quả của định lý hàm sin Định lý hàm tang

có thể áp dụng để giải tam giác trong trường hợp biết được 2 góc và một cạnh

1.1.5 Các hệ thức lượng giác cơ bản

a Công thức tính diện tích tam giác

Trong tam giác ABC v i BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

b Công thức tính độ dài đường phân giác trong của tam giác

Trong tam giác ABC v i BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

c Công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác

Trong tam giác ABC v i BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

d Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Trong tam giác ABC v i BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

( ).tan ( ).tan ( ).tan

e Một số đẳng thẳng thức cơ bản trong tam giác

sin sin sin 4cos cos cos

sin Asin Bsin C2(1 cos cos cos ). A B C

cos cos cos 1 4sin sin sin

tanAtanBtanC tan tan tan A B C

cot cot cot cot cot cot

2 2 2 8

1cos cos cos

8

3 3sin sin sin

2

3cos cos cos

3sin sin sin

Các bất đẳng thức trên xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi tam giác ABC là

tam giác đều

    (1.1) Dấu bằng xảy ra trong (1.1) khi và chỉ khi a1a2   a n

1.2.1 Phương trình dạng lượng giác của đường tròn

Cho đường tròn (C) có phương trình chính tắc dạng:

Phương trình (1.5) là phương trình dạng lượng giác của đường tròn

1.2.2 Phương trình dạng lượng giác của elíp

Cho đường elíp (E) có phương trình chính tắc dạng:

(1.6)

Phương trình (1.6) là phương trình dạng lượng giác của đường elíp

1.2.3 Phương trình dạng lượng giác của hypebol

Cho đường hypebol (H) có phương trình chính tắc dạng:

2 2 tan

tan

x

a x

y

t b

Phương trình (1.7) là phương trình dạng lượng giác của đường hypebol

1.2.4 Một số định nghĩa, khái niệm trong hình học không gian

a Định nghĩa hình chóp

Cho đa giác A A A và điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó, 1 2 n

Nối S v i các đỉnh A A1, , , 2 A để được n tam giác: n SA A SA A1 2, 2 3, SA A n 1

Khi đó hình chóp được định nghĩa:

Hình gồm n tam giác đó và đa giác A A A gọi là hình chóp và được 1 2 n

kí hiệu là S A A A 1 2 n

, t [0,2 )

coscos

Chú ý: Nếu đáy của hình chóp là một tam giác, tứ giác, ngũ giác …thì

hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác, …

b Định nghĩa về thiết diện

Thiết diện (hay mặt cắt) của hình H khi cắt bởi một mặt phẳng (P) là phần chung của mặt phẳng (P) và hình H

c Khái niệm hình tứ diện

Cho bốn điểm A, B, C, B không đồng phẳng Hình gồm bốn tam giác

ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn là tứ diện) và

được kí hiệu là ABCD

Chú ý: Ta thường gọi là tứ diện vuông đối v i các hình tứ diện có một

đỉnh sao cho ở đó các cạnh đôi một vuông góc v i nhau

d Định nghĩa về mặt cầu

Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định cho trư c một khoảng R không đổi gọi là mặt cầu có tâm là O bán kính bằng R

e Định nghĩa về mặt nón

Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh một đường thẳng

cố định được gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản là mặt nón)

Chú ý: Hình nón là phần gi i hạn của mặt nón có 1 đỉnh và đáy là một

hình tròn

g Khái niệm về góc nhị diện

Góc nhị diện là góc tạo bởi hai mặt phẳng cắt nhau

1.2.5 Một số định lý, tính chất trong hình học không gian

a Định lý 3 đường vuông góc

Cho đường thẳng a có hình chiếu a’ trên mặt phẳng (P) Khi đó đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) vuông góc v i a khi và chỉ khi b vuông góc

v i a’

b Các định nghĩa về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

- Nếu đường thẳng a vuông góc v i mặt phẳng (P) ta nói góc giữa a và

(P) bằng 90 0

- Nếu đường thẳng a không vuông góc v i mặt phẳng (P) ta gọi góc giữa a và hình chiếu a’ của a trên (P) là góc giữa a và (P)

c Các định nghĩa về khoảng cách

- Khoảng cách t một điểm đến một mặt phẳng (hoặc một đường thẳng)

là khoảng cách t điểm đó đến hình chiếu của nó trên mặt phẳng (hoặc trên đường thẳng)

- Khoảng cách t đường thẳng a đến mặt phẳng (P) song song v i a là khoảng cách t một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P)

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách t một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

- Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đường thẳng cắt cả hai đường thẳng và vuông góc v i hai đường thẳng đó

1.2.6 Công thức tính diện tích hình chiếu của đa giác trên mặt phẳng

Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (P) và S'là diện tích

hình chiếu H 'của H trên mặt phẳng ( P') Khi đó ta có:

'

S = S.cos , trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng (P) và ( P')

1.2.7 Công thức tính thể tích một số khối hình trong không gian

Hình hộp chữ nhật: V abc

Khối chóp, tứ diện: 1

3 d

Khối nón: 3.

3

a

V Khối hình trụ: V S h d

Khối cầu: 4 3

.3

1.2.8 Hệ thức liên hệ về thể tích trong khối chóp tam giác

Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên SA, SB, SC lấy lần lượt các điểm

1.2.9 Công thức tính khoảng cách t một điểm t i đường thẳng

Trong mặt phẳng cho đường thẳng :ax by c  0 và một điểm ( ,M M)

M x y Khi đó ta có công thức tính khoảng cách t M đến ∆ như sau:

2.1 BÀI TOÁN T M GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT

Trong phần này, chúng tôi trình bày một số dạng bài toán về giá trị l n nhất, nhỏ nhất trong hình học phẳng và trong hình học không gian

2.1.1 Biểu thức lượng giác

Phương pháp giải: Đối v i bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và l n nhất

của các biểu thức lượng giác, trư c tiên chúng ta phân tích các biểu thức của bài toán, tìm mối liên hệ giữa các cạnh và góc để đưa biểu thức về dạng đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác đơn giản T đó, tìm được giá trị của biểu thức

Dư i đây là một số bài toán minh họa:

Bài toán 2.1 V i A, B, C là ba góc của tam giác Tìm giá trị l n nhất của

3

A B C  

Nhận xét: Bài toán 2.1 giải được dựa trên việc phân tích biểu thức đã cho và

sử dụng các bất đẳng thức lượng giác cơ bản

Bài toán 2.2 Cho tam giác ABC có a, b, c là 3 cạnh của tam giác Tìm giá trị

Giải:

Do a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên ta có thể giả thiết 0 a b c  

Suy ra 2 sinR A2 sinR B2 sin R C (2.8) (2.8)sinAsinBsinC

Suy ra A B C 

Do A B C  nên cosAcosBcosC

Áp dụng bất đẳng thức (1.3) cho hai dãy số

cos cos cos

Nhận xét: Biểu thức của Bài toán 2.2 được biến đổi bởi quan hệ giữa cạnh,

góc trong tam giác và kết hợp sử dụng bất đẳng thức (1.3) T đó đưa bài toán

về dạng bất đẳng thức lượng giác cơ bản

Bài toán 2.3 Trong tam giác ABC, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

(1x)(1 y)(1z) (1  xyz) , x y z, ,  (2.12) 0.Thật vậy,

Áp dụng bất đẳng thức (2.12) cho bài toán v i

1sin1sin1sin

x

A y

B z

sin sin sin

.3

sin sin sin

sin sin sin 3

Bất đẳng thức (2.14) xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi:

sin sin sin

.3

   

Áp dụng đẳng thức lượng giác: 3 3

sin sin sin

2

A B C  vào (2.14) ta thu được:

3

.sin sin sinA B C  3 (2.15)

Nhận xét: Bài toán 2.3 được giải dựa trên sử dụng bất đẳng thức Côsi và bất

đẳng thức lượng giác cơ bản 3 3

sin sin sin

2

Bài toán 2.4 Trong tam giác ABC, tìm giá trị l n nhất của biểu thức sau:

sin sin sin 2

.(sin sin sin )

sin sin sin sin sin sin

(sin sin sin ) 16.cos .cos .cos

8sin sin sin cos cos cos

2 2 2 2 2 2 tan tan tan

Sử dụng đẳng thức lượng giác sau:

1 tan tan tan tan tan tan

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số không âm:

tan tan ;tan tan ;tan tan

Nhận xét: Xuất phát t biểu thức đầu bài, dựa trên đẳng thức lượng giác cơ

bản sin sin sin 4cos cos cos

= sinA + sinB + sinC (2.29)

Áp dụng bất đẳng thức cơ bản: sinA + sinB + sinC 3 3

Nhận xét: Biểu thức cần xác định của Bài toán 2.6 được biến đổi bằng công

thức tính diện tích tam giác, t đó đưa được về dạng bất đẳng thức lượng giác

sinA + sinB + sinC 3 3

1 cos cos

3 2

B B

1 cos cos

3 2

C C

  1 2cos2

0;

sin

B C

  1 2cos2

0sin

C A

, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:

3

1 2cos 1 2cos 1 2cos

1 2cos 1 2cos 1 2cos

2 2 2

3 3

Sử dụng các đẳng thức và bất đẳng lượng giác sau:

cot cot cot cot cot cot

Nhận xét: Giá trị nhỏ nhất của Bài toán 2.7 tính được dựa trên mối liên hệ của

đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác cơ bản:

cot cot cot cot cot cot

Một số bài toán tham khảo

Bài toán 2.8 ([10]) Cho tam giác ABC nhọn, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức:

tan Atan Btan C

Bài toán 2.9 ([10]) Cho tam giác ABC, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2.1.2 Giá trị l n nhất, nhỏ nhất liên quan đến diện tích tam giác

Phương pháp giải: Đối v i dạng bài toán này, ta sử dụng công thức

tính diện tích tam giác thông qua độ dài các cạnh, góc trong tam giác

Dư i đây là một số bài toán minh họa:

Bài toán 2.12 ([5]) Xác định độ dài của đoạn thẳng ngắn nhất chia đôi diện

tích của tam giác ABC cho trư c

Theo công thức côsin ta có: MN2 CM2CN22CM CN .cosBCA (2.35)

Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho CM và CN ta được:

CM = CN và BCA là góc nhỏ nhất trong tam giác

Nhận xét: Trong Bài toán 2.12, chúng ta dựa vào công thức hàm côsin để xác

định độ dài đoạn MN Qua đó ta xác định được hư ng tìm giá trị nhỏ nhất đoạn MN bằng việc đưa biểu thức độ dài MN về dạng có chứa diện tích tam giác ABC

Tìm điều kiện để tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất

khiAB AC (theo bất đẳng thức Côsi)

Theo (2.38), ta có BC nhỏ nhất khi AB2AC2 nhỏ nhất, màAB2AC2 nhỏ nhất khi và chỉ khi AB AC (theo bất đẳng thức Côsi)

Vậy ta được chu vi tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất khi AB = AC

Nhận xét: Bài toán 2.13 giải được thông qua công thức tính diện tích tam giác

và công thức hàm côsin xác định được 3 cạnh của tam giác

BC) và diện tích S cho trư c, tìm điều kiện để độ dài cạnh BC là nhỏ nhất

BAC





có giá trị không đổi (2.40)

T (2.3 ) và (2.40) suy ra BC nhỏ nhất khi và chỉ khi 2 (AB AC )2 có giá trị

bằng 0

Vậy BC nhỏ nhất khi và chỉ khi AB = AC hay tam giác ABC cân tại A

Nhận xét: Trong Bài toán 2.14, BC được tính trực tiếp bằng hàm côsin và các

cạnh còn lại trong tam giác

Bài toán 2.15 ([3]) Cho đường thẳng (d) và đường tròn (C) có phương trình:

a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm A, B

b) Tìm tọa độ điểm K thuộc (C) sao cho chu vi tam giác ABC l n nhất

c) Tìm tọa độ điểm K thuộc (C) sao cho diện tích tam giác ABC l n nhất

t t

Vậy v i điểm (2K  2,2 2), diện tích tam giác ABC đạt giá trị l n

nhất bằng 4

Một số bài toán tham khảo

trư c Giá trị l n nhất của tổng bình phương độ dài các cạnh b và c bằng bao

nhiêu ?

Bài toán 2.17 ([5]) Cho tam giác ABC Tìm trên đường thẳng AB sao cho

tổng bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM và tam giác BCM là

nhỏ nhất

Bài toán 2.18 ( ĐHNT TPHCM – 7) Cho đường thẳng (d) và đường tròn

(E) có phương trình:

a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (E) tại hai điểm A, B

b) Tìm tọa độ điểm C thuộc (E) sao cho diện tích tam giác ABC l n nhất

2.1.3 Giá trị l n nhất và nhỏ nhất của thể tích

Phương pháp giải: Đối v i dạng bài toán này, ta xuất phát t công thức tính

thể tích các hình, các đại lượng có trong công thức tính thể tích được tính bằng các hàm lượng giác, giá trị l n nhất và nhỏ nhất của thể tích được biện luận qua giá trị các hàm lượng giác đó

Dư i đây là một số bài toán minh họa:

Bài toán 2.19 Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và

SA  (ABC), SC = a Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể

tích khối chóp l n nhất ?

Giải:

x a

Ta có BC AC nên BC SC( định lý ba đường vuông góc)

Suy ra SCA là góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC)

Thể tích V S ABC. đạt giá trị l n nhất khi (2.48) đạt giá trị l n nhất

Biểu thức (2.4 ) đạt giá trị l n nhất khi sin cosx 2x đạt giá trị l n nhất

Đặt P  sin cosx 2xsin (1 sin ).x  2x Khi đó:

(1 sin ) (1 sin ) 2sin

(1 sin )(1 sin )(2sin )

a

khi và chỉ khi sin 3

3

x 

Nhận xét: Giá trị l n nhất của thể tích V S ABC. trong Bài toán 2.1 được xác định thông qua bài toán tìm giá trị l n nhất của biểu thức lượng giác

Bài 2.20 Cho khối tứ giác đều S.ABCD sao cho khoảng cách t đỉnh A đến

mặt phẳng (SBC) bằng 2a V i giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy

của khối chóp thì thể tích của khối chóp nhỏ nhất ?

Nhận xét: Thông qua Bài toán 2.19, ta giải Bài toán 2.20 một cách tương tự

Giải:

K

x

O D

C S

E

H

Hình 2.2

Giả sử O là tâm của hình vuông ABCD Khi đó SO ( ABCD)

Gọi EH là đường trung bình của hình vuông ABCD ( E AD H BC ,  )

Đặt P  cos sinx 2xcos (1 cos ).x  2x

Lý luận tương tự như trong bài toán 2.1 ta thu được kết quả: 2 3,

Bài toán 2.21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

còn SA = a 2 vuông v i đáy M và N là các điểm di động trên BC, CD

tương ứng sao cho NAM 450 Xác định vị trí của M, N để hình chóp S.AMN

có thể tích đạt giá trị l n nhất, đạt giá trị nhỏ nhất Tìm các giá trị ấy

Giải:

α β

D S

C

B A

M

N

Hình 2.3