Nghiên cứu Một số phương pháp giải phương trình Diophante Luận văn toán học 2017

Nghiên cứu Một số phương pháp giải phương trình Diophante Luận văn toán học về một số phương pháp giải phương trình hay nhất 2017Nghiên cứu Một số phương pháp giải phương trình DiophanteNghiên cứu Một số phương pháp giải phương trình Diophante Luận văn toán học về một số phương pháp giải phương trình hay nhất 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VŨ THỊ TƯỜNG ANH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VŨ THỊ TƯỜNG ANH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN GIA ĐỊNH ĐÀ NẴNG - NĂM 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả Vũ Thị Tường Anh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cúu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE 1.1 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 1.2 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE 1.3 PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ 12 1.4 PHƯƠNG PHÁP SỐ HỌC MODULAR 16 1.5 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 19 1.6 PHƯƠNG PHÁP GIẢM VÔ HẠN FERMAT (FMID) 26 1.7 PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE HỖN HỢP 33 CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE CỔ ĐIỂN 37 2.1 PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE TUYẾN TÍNH 37 2.2 BỘ BA PYTHAGORE VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 42 2.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐÁNG CHÚ Ý KHÁC 51 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH KIỂU PELL 60 3.1 PHƯƠNG TRÌNH PELL: LỊCH SỬ VÀ ĐỘNG LỰC 60 3.2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PELL BẰNG CÁC PHƯƠNG PHÁP SƠ CẤP 62 3.3 PHƯƠNG TRÌNH ax2 – by2 = 69 3.4 PHƯƠNG TRÌNH PELL ÂM 71 KẾT LUẬN 75 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 76 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao) DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU     *  Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số nguyên Tập hợp số nguyên dương Tập hợp số nguyên âm Tập hợp số nguyên khác không Tập hợp số hữu tỉ Tập hợp số hữu tỉ dương Tập hợp số hữu tỉ âm Tập hợp số thực Tập hợp số thực dương Tập hợp số thực âm Hàm Euler        n  n Phần nguyên số thực n n d d n n chia hết cho d d chia hết n (d ước n) DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT UCLN(a, b) FMID VT VP Ước chung lớn a b Phương pháp giảm vô hạn Fermat Vế trái Vế phải MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình vô định hay gọi phương trình Diophante (Diophantine equation) phương trình có dạng f (x1 , x2 , , xn ) = (1) f hàm n biến với n ≥ Nếu f đa thức với hệ số nguyên (1) gọi phương trình Diophante đại số Một n x01 , x02 , , x0n ∈ Zn thỏa mãn phương trình (1) gọi nghiệm phương trình (1) Một phương trình có nhiều nghiệm gọi giải Liên quan đến phương trình Diophante, có ba vấn đề xuất hiện: Vấn đề 1: Phương trình có giải không? Vấn đề 2: Trong trường hợp giải được, số nghiệm hữu hạn hay vô hạn? Vấn đề 3: Trong trường hợp giải được, xác định tất nghiệm Người có công nhiều cho việc thiết lập cách giải phương trình Diophante nhà toán học Diophantus người xứ Alexandria (Ai Cập) Ông sống vào kỷ thứ III trước công nguyên Diophantus hệ thống tất toán phương trình vô định vào sách 13 tập có tên Số học Cho đến ngày sách tập với 189 toán Công trình Diophantus phương trình kiểu (1) tiếp tục nhà toán học Trung Quốc (thế kỷ thứ 3), Ả Rập (các kỷ 8-12) kết sâu Fermat, Euler, Lagrange, Gauss, Chủ đề chiếm phần quan trọng toán học đại qua công trình Gelfold, Matiasevic, Shenzel, Serpinsky, Thông qua việc giải phương trình Diophante, nhà toán học tìm tính chất sâu sắc số nguyên, số hữu tỉ, số đại số Giải phương trình Diophante đưa đến đời liên phân số, lý thuyết đường cong elliptic, lý thuyết xấp xỉ Diophante, thặng dư bình phương, số học modular, Phương trình Diophante có vai trò quan trọng toán học thực tế, nhà toán học giới nghiên cứu từ lâu, đề cập tới sách số học chiếm vị trí quan trọng nghiên cứu học tập Trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế, phương trình Diophante thường xuyên xuất hình thức khác đánh giá khó tính không mẫu mực Xuất phát từ tính thời phương trình Diophante nhu cầu muốn tìm hiểu số phương pháp giải phương trình Diophante, vấn đề quan trọng chương trình THPT, đặc biệt dành cho khối chuyên toán, định chọn đề tài với tên gọi: "Một số phương pháp giải phương trình Diophante" để tiến hành nghiên cứu Vấn đề mang tính thời đại số lý thuyết số Chúng hy vọng tạo tài liệu tham khảo tốt cho người bắt đầu tìm hiểu Phương trình Diophante hy vọng tìm số ví dụ minh họa đặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lĩnh vực Mục tiêu đề tài Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu phương trình Diophante, thông qua phương pháp việc giải phương trình Diophante, số phương trình Diophante cổ điển phương trình kiểu Pell Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài có nhiệm vụ nghiên cứu chương: – Chương giới thiệu phương pháp việc giải phương trình Diophante phân tích, số học modular, quy nạp toán học, phương pháp giảm vô hạn Fermat – Chương trình bày số phương trình Diophante cổ điển bao gồm tuyến tính, Pythagore số phương trình bậc cao – Chương tập trung phương trình kiểu Pell, lớp đặc biệt phương trình Diophante bậc hai Trong phần đưa vào ví dụ minh họa tiêu biểu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài phương trình Diophante qua số phương pháp giải Phạm vi nghiên cứu đề tài phương pháp giải phương trình Diophante, số phương trình Diophante cổ điển phương trình Diophante kiểu Pell Phương pháp nghiên cứu Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến Phương trình Diophante phương pháp giải Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Trao đổi qua email, blog, forum với chuyên gia phương trình Diophante Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến Các loại phương trình Diophante phương pháp giải nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu Phương trình Diophante Chứng minh chi tiết làm rõ số mệnh đề, đưa số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập Cấu trúc luận văn Nội dung đề tài chia thành chương: Chương 1: Các phương pháp giải phương trình Diophante Chương 2: Một số phương trình Diophante cổ điển Chương 3: Phương trình kiểu Pell CHƯƠNG CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE 1.1 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp bao gồm viết phương trình f (x1 , x2 , , xn ) = dạng f1 (x1 , x2 , , xn ) f2 (x1 , x2 , , xn ) fk (x1 , x2 , , xn ) = a f1 , f2 , , fk ∈ Z [X1 , X2 , , Xn ] a ∈ Z Cho nhân tử nguyên tố a, ta hữu hạn phân tích thành k nhân tử nguyên a1 , a2 , , ak Với cách phân tích cho ta hệ phương trình    f1 (x1 , x2 , , xn ) = a1     f (x , x , , x ) = a 2 n       f (x , x , , x ) = a k n k Việc giải tất hệ phương trình cho ta tập nghiệm đầy đủ (1) Chúng ta minh họa phương pháp số ví dụ trình bày sau: Ví dụ 1.1 Tìm tất nghiệm phương trình: x2 + y + + (x − y) (1 − xy) = (1 + xy) Giải Viết phương trình dạng x2 y − 2xy + + x2 + y − 2xy + (x − y) (1 − xy) = ⇔ (xy − 1)2 + (x − y)2 − (x − y) (xy − 1) = ⇔[xy − − (x − y)]2 = ⇔ (x + 1) (y − 1) = ±2 62 có vô số nghiệm d số dương số phương Phương trình Diophante bậc hai ax2 + bxy + cy + dx + ey + f = (3.1) với hệ số nguyên a, b, c, d, e, f thu gọn trường hợp phương trình dạng Pell Tiếp theo, ta phác họa phương pháp tổng quát rút gọn Phương trình (3.1) đại diện đường cônic mặt phẳng xOy , việc giải phương trình (3.1) số nguyên nghĩa tìm tất điểm đường cônic Ta giải phương trình (3.1) việc quy phương trình tổng quát đường cônic dạng tắc Ta giới thiệu biệt thức phương trình (3.1) ∆ = b2 − 4ac Khi ∆ < 0, đường cônic xác định (3.1) elip trường hợp phương trình cho có hữu hạn nghiệm Nếu ∆ = 0, đường cônic cho (3.1) parabol Nếu 2ae − bd = 0, phương trình (3.1) trở thành (2ax + by + d)2 = d2 − 4af không khó để giải phương trình Trong trường hợp 2ae − bd = 0, cách biểu diễn phép X = 2ax + by + d Y = (4ae − 2bd) y + 4af − d2 , phương trình (3.1) quy X + Y = 0, phương trình dễ giải Trường hợp thú vị ∆ > 0, đường cônic xác định (3.1) hypebol Sử dụng phép trên, phương trình (3.1) quy phương trình Pell tổng quát X − DY = N (3.2) Để minh họa cho phương pháp mô tả trên, ta xét phương trình 2x2 − 6xy + 3y = −1 Ta ý ∆ = 12 > 0, đường cônic tương ứng hypebol Phương trình viết lại sau x2 − (y − x)2 = biểu diễn phép X = x Y = y − x, ta quy phương trình Pell X − 3Y = 3.2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PELL BẰNG CÁC PHƯƠNG PHÁP SƠ CẤP Định lý 3.1 Nếu D số nguyên dương số phương phương trình: u2 − Dv = (3.3) 63 có vô số nghiệm nguyên dương nghiệm tổng quát cho (un , )n≥1 , un+1 = u0 un + Dv0 , vn+1 = v0 un + u0 , u1 = u0 , v1 = v0 (3.4) (u0 , v0 ) nghiệm bản, nghĩa nghiệm nhỏ khác (1, 0) Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh phương trình (3.3) có nghiệm Cho c1 ∈ Z, c1 > Ta chứng minh: ∃t1 , w1 ∈ Z, t1 , w1 ≥ cho √ t1 − w1 D < , w1 ≤ c1 c1 √ √ Thật vậy, xét lk = k D + , k = 0, c1 , kéo theo < lk − k D ≤ √ 1, k = 0, c1 , D số vô tỷ nên lk = lk k = k ∃i, j, p ∈ {0, 1, 2, , c1 } , i = j, p = 0, cho √ √ p−1 p p p−1 < li − i D ≤ < lj − j D ≤ c1 c1 c1 c1 √ p−1 p , , p = 1, c1 c1 + số có dạng lk − k D, k = 0, c1 c1 c1 Từ hai bất đẳng thức ta suy c1 ∈ √ (li − lj ) − (j − i) D < c1 Và đặt |li − lj | = t1 |j − i| = w1 √ w1 ≤ c1 dẫn đến t1 − w1 D < c1 √ √ Nhân bất đẳng thức với t1 + w1 D < 2w1 D + 1, vế theo vế, ta được: √ w1 √ t21 − w12 D < D + < D + c1 c1 √ Chọn c2 ∈ Z+ , c2 > c1 cho t1 − w1 D > , ta t2 , w2 ∈ Z+ c2 với tính chất √ t22 − Dw22 < D + |t1 − t2 | + |w1 − w2 | = 64 Tiếp tục trình này, ta tìm dãy cặp phân biệt (tn , wn )n≥1 thỏa mãn bất đẳng thức: √ t2n − Dwn2 < D + 1, ∀n ∈ Z+ Điều kéo theo ∃ (tnm , wnm )m≥1 ⊂ (tn , wn )n≥1 : t2 − Dw2 = k √ √ với k ∈ Z, k = 0, k ∈ −2 D − 1, D + Dãy chứa hai cặp (ts , ws ) , (tr , wr ) cho ts ≡ tr ( mod |k|), ws ≡ wr (mod|k|), ts wr − tr ws = 0, ts = tr ws = wr mâu thuẫn với |ts − tr | + |ws − wr | = Cho t0 = ts tr − Dws wr w0 = ts wr − tr ws Khi t20 − Dw02 = k (3.5) Mặt khác, t0 = ts tr − Dws wr ≡ t2s − Dw02 ≡ 0(mod|k|), điều kéo theo w0 ≡ 0(mod|k|) Cặp (t, w) t0 = t|k| w0 = w|k| nghiệm không tầm thường phương trình Pell (3.3) Ta chứng tỏ cặp (un , ) xác định (3.4) thỏa mãn phương trình Pell (3.3) Rõ ràng, (u0 , v0 ) nghiệm phương trình (3.3) Nếu (un , ) nghiệm phương trình này, u2n+1 − Dvn+1 = (u0 un + Dv0 )2 − D (v0 un + u0 )2 = u20 − Dv02 u2n − Dvn2 = 1, nghĩa (un+1 , vn+1 ) nghiệm phương trình (3.3) Không khó để thấy với số nguyên dương n, √ n √ un−1 + vn−1 D = u0 + v0 D √ √ Cho zn = un−1 + vn−1 D = u0 + v0 D (3.6) n ý z1 < z2 < < zn < Ta chứng minh tất nghiệm phương trình (3.3) có dạng (3.6) Thật vậy, phương trình (3.3) có nghiệm (u, v) √ cho z = u + v D dạng (3.6) zm < z < zm+1 , m ∈ Z 65 √ √ um − vm D < u0 + v0 D, < √ √ (uum − Dvvm )+(um v − uvm ) D < u0 +v0 D Mặt khác, (uum − Dvvm )2 − D (um v − uvm )2 = u2 − Dv u2m − Dvm = 1, nghĩa (uum − Dvvm , um v − uvm ) nghiệm (3.3) nhỏ (u0 , v0 ), mâu thuẫn với giả thiết (u0 , v0 ) nhỏ Khi < √ u+v D Nhận xét 3.1 1) Phương trình (3.3) viết dạng ma trận sau: un+1 = vn+1 un = Nếu u0 Dv0 v0 u0 un u0 Dv0 v0 u0 u0 Dv0 v0 u0 n = n u0 (3.7) v0 an bn cn dn an , bn , cn , dn tổ hợp tuyến tính λn1 , λn2 λ1 , λ2 giá trị u0 Dv0 Từ (3.7), suy riêng ma trận v0 u0 √ n √ n un = u0 + v0 D + u0 − v0 D (3.8) √ n √ n = √ u0 + v0 D − u0 − v0 D D 2) Nghiệm phương trình Pell cho trong hai dạng (3.6) (3.8) hữu ích việc tính xấp xỉ bậc hai số nguyên dương số phương Thật vậy, (un , ) nghiệm (3.3) √ √ un − D = un + D Vì un √ 1 − D= 0, (3.10) dạng thu hẹp phương trình Pell Mệnh đề 3.1 Nếu ab = k , với k ∈ Z, k > phương trình (3.10) nghiệm nguyên dương Chứng minh Giả sử phương trình (3.10) có nghiệm (x0 , y0 ) x0 , y0 ∈ Z+ Khi ax20 − by02 = rõ ràng a b số nguyên tố Từ điều kiện ab = k kéo theo a = k12 , b = k22 với k1 , k2 ∈ Z+ Ta có k12 x20 − k22 y02 = viết lại (k1 x0 − k2 y0 ) (k1 x0 + k2 y0 ) = Điều kéo theo < k1 x0 + k2 y0 = k1 x0 − k2 y0 = 1, mâu thuẫn Ta gọi giải thức Pell phương trình (3.10) u2 − abv = (3.11) Định lý 3.2 Giả sử phương trình (3.10) có nghiệm nguyên dương lấy (A, B) nghiệm nhỏ Nghiệm tổng quát phương trình (3.10) (xn , yn )n≥0 , xn = Aun + bBvn , yn = Bun + aAvn (3.12) (un , )n≥0 nghiệm tổng quát giải thức Pell (3.11) Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh (xn , yn ) nghiệm phương trình 3.10 Thật vậy, ax2n − byn2 = a(Aun + bBvn )2 − b(Bun + aAvn )2 = aA2 − bB u2n − abvn2 = 1.1 = Ngược lại, cho (x, y) nghiệm phương trình (3.10) Khi (u, v) nghiệm giải thức Pell (3.11), u = aAx − bBy 70 v = Bx − Ay , nghiệm giải thức Pell (3.11) Giải hệ phương trình tuyến tính với ẩn x y , cho ta x = Au+bBv y = Bu+aAv , nghĩa (x, y) có dạng (3.12) Ví dụ 3.3 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 6x2 − 5y = Giải Nghiệm nhỏ phương trình (A, B) = (1, 1) Phương trình giải thức Pell có nghiệm (11, 2) Nghiệm tổng quát phương trình xem xét là: xn = un + 5vn , yn = un + 6vn , n = 0, 1, , (un , )n≥0 nghiệm tổng quát giải thức Pell, nghĩa un+1 = 11un + 60vn , vn+1 = 2un + 11vn , n = 0, 1, với u0 = 11, v0 = Một dạng gần với nghiệm tìm thấy cách sử dụng công thức (3.8) Ta √ √ √ √ n n − 30 + 30 xn = 11 + 30 + 11 − 30 12 12 √ √ √ √ n n + 30 − 30 yn = 11 + 30 + 11 − 30 10 10 Ví dụ 3.4 Tìm tất số nguyên dương n thỏa mãn 2n + 3n + số phương Giải Cho 2n + = x2 3n + = y Nhân phương trình thứ với phương trình thứ hai với trừ chúng cho nhau, vế theo vế, ta 3x2 − 2y = (3.13) Nghiệm nhỏ phương trình (3.13) x = y = Phương trình giải thức Pell là: u2 − 6v = có nghiệm (u0 , v0 ) = (5, 2) Từ Định lý 3.2, nghiệm tổng quát phương trình (3.13) cho xm = um + 2vm , ym = um + 3vm , m ≥ 0, √ m √ m 5+2 + 5−2 um = √ m √ m 5+2 − 5−2 vm = √ 2 71 Ta n = ym − x2m = (um + 3vm )2 − (um + 2vm )2 = vm (2um + 5vm ) , m ≥ 3.4 PHƯƠNG TRÌNH PELL ÂM Trong phương trình Pell x2 −dy = có nghiệm số nguyên dương d số phương, phương trình x2 − dy = −1 (3.14) có nghiệm với giá trị định d Tiếp theo, ta viết nghiệm phương trình (3.14) cách sử dụng phương pháp phần 3.3 Phương trình (3.14) biết phương trình Pell âm Từ định lí 3.2 ta có định lí sau: Định lý 3.3 Giả sử phương trình (3.14) có nghiệm nguyên dương lấy (A, B) nghiệm nhỏ Nghiệm tổng quát phương trình (3.14) cho (xn , yn )n≥0 , xn = Bun + dAvn , y = Aun + Bvn (3.15) (un , )n≥0 nghiệm tổng quát phương trình Pell u2 − dv = Nhận xét 3.4 1) Bằng cách sử dụng công thức (3.15) ta nghiệm phương trình Pell âm có dạng sau: √ n √ n √ √ xn = B + A d u0 + v0 d + B − A d u0 − v0 d 2 √ n √ n B B yn = A+ √ u0 + v0 d + A− √ u0 − v0 d 2 d d (3.16) 2) Các dãy (xn )n≥0 (yn )n≥0 cho công thức 3.15 3.16 thỏa mãn √ (3.17) x n = yn d √ √ Thật vậy, x2n − dyn2 = kéo theo yn d + xn yn d − xn = Vì √ √ yn d + xn > nên < yn d − xn < 1, (3.17) 72 Định lý 3.4 Nếu p số nguyên tố, p ≡ 1(mod4) phương trình Pell âm x2 − py = −1 có nghiệm nguyên dương Chứng minh Cho (u0 , v0 ) nghiệm phương trình giải thức Pell u2 − pv = Khi u20 − = pv02 u0 chẵn, trường hợp ta nên có −1 ≡ p( mod 4) Do u0 lẻ u0 −1, u0 +1 có ước chung lớn Vì u0 ± = 2α2 u0 ∓ = 2pβ , α, β ∈ Z+ cho v0 = 2αβ Bằng cách loại bỏ u0 ta nhận ±1 = α2 − pβ Vì β < v0 suy −1 = α2 − pβ Định lí chứng minh Phương pháp chủ yếu để xây dựng nghiệm phương trình Pell âm (3.14) liên quan đến liên phân số Bảng sau chứa nghiệm bản, trường hợp có nghiệm với d ≤ 101 d A B d A B 1 37 41 32 73 1068 125 74 43 10 50 82 13 18 17 53 58 182 99 25 13 85 89 378 500 41 53 26 29 70 13 61 29718 3805 65 d A B 97 5604 569 101 10 Ví dụ 3.5 Chỉ phương trình x2 − 34y = −1 vô nghiệm Giải Nghiệm phương trình giải thức Pell (35, 6) Nếu phương trình x2 − 34y = −1 có nghiệm có nghiệm (A, B) √ √ A + B 34 = 35 + 34 ⇔ A2 + 34B = 35 2AB = 73 Hệ phương trình nhiệm nguyên dương nên phương trình ban đầu vô nghiệm Ví dụ 3.6 Tìm tất cặp số nguyên dương (k, m) cho k < m + + + k = (k + 1) + (k + 2) + + m Giải Cộng + + + k vào hai vế phương trình trên, ta được: 2k (k + 1) = m (m + 1) ⇔ 2k + 2k = m2 + m ⇔ 8k + 8k = 4m2 + 4m ⇔ 4k + 4k + − = 4m2 + 4m + − ⇔ 2(2k + 1)2 − = (2m + 1)2 − ⇔ (2m + 1)2 − 2(2k + 1)2 = −1 Đặt x = 2m + 1, y = 2k + Ta có phương trình Pell âm: x2 − 2y = −1 có nghiệm nguyên dương nhỏ (1, 1) Từ (3.15), nghiệm tổng quát (xn , yn ) viết sau: xn = un + 2vn , yn = un + , n ≥ √ n √ n 3+2 + 3−2 , √ n √ n 3+2 − 3−2 = √ 2 un = n≥1 Khi xn = yn = √ 2 1+ √ 2n−1 1+ √ + 1− 2n−1 √ 2n−1 − 1− √ , 2n−1 n ≥ 74 Vì x2 − 2y = −1 nên x2 số lẻ, đặt x = 2l + Khi 2y = x2 + = 4l2 + 4l + + 2y = 4l2 + 4l + y = 2l2 + 2l + y số lẻ Lúc nghiệm phương trình ban đầu là: (k, m) = yn − xn − , , n ≥ 2 75 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu phương pháp giải phương trình Diophante, luận văn hoàn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: • Trình bày cách đầy đủ phương pháp sơ cấp giải phương trình Diophante Cụ thể phương pháp phân tích, phương pháp sử dụng bất đẳng thức, phương pháp tham số, phương pháp số học modular, phương pháp quy nạp, phương pháp giảm vô hạn Fermat Đồng thời giới thiệu ví dụ tập đặc sắc minh họa cho phương pháp nêu • Giới thiệu chi tiết số phương trình Diophante cổ điển Cụ thể phương trình Diophante tuyến tính a1 x1 + + an xn = b, điều kiện cần đủ để phương trình có nghiệm mô tả họ nghiệm Phương trình Pythagore x2 + y = z dạng mở rộng đề cập đến, đồng thời dạng nghiệm phương trình Pythagore Bên cạnh đó, ví dụ tập cụ thể minh họa cho phương trình Diophante tuyến tính Pythagore • Trình bày cách đầy đủ chi tiết phương trình Diophante kiểu Pell x2 − Dy = m Phương pháp sơ cấp giải phương trình Pell giới thiệu với ví dụ minh họa Ngoài ra, phương trình Pell dạng ax2 − by = dạng âm ax2 − Dy = −1 nghiên cứu cách cụ thể với ví dụ minh họa Với khảo sát được, luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân tiếp tục sâu nghiên cứu sau hy vọng nguồn tư liệu tốt cho quan tâm nghiên cứu phương trình Diophante Trong điều kiện thời gian khuôn khổ luận văn nên chưa nghiên cứu sâu phương trình Pell mở rộng sử dụng lý thuyết nhóm vành Đó hướng phát triển luận văn Trong trình làm luận văn, có nhiều cố gắng, song điều kiện khách quan lực có hạn thân nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý chân thành quý thầy cô bạn đọc để tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu phát triển luận văn sau 76 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Nam Dũng (2004), Phương trình Diophante, Một số chuyên đề Toán học chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, Tr 122 – 139 [2] Phạm Huy Điển, Hà Huy Khoái (2002), Số học Thuật toán: Cơ sở lý thuyết Tính toán thực hành, NXB ĐHQG Hà Nội [3] Đặng Hùng Thắng (2004), Phương trình Pell, Một số chuyên đề Toán học chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, Tr 72 – 88 [4] Đặng Hùng Thắng (2004), Một số phương trình Diophante phi tuyến, Một số chuyên đề Toán học chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, Tr 105 – 121 Tiếng Anh [5] T Andreescu, D Andrica (2000), Number Theory, Birkh¨auser Boston [6] T Andreescu, D Andrica (2002), An Introduction to Diophantine Equations, GIL Publishing House, Romania [7] József Sándor (2002), Geometric Theorems, Diophatine Equations, and Arithmetic Functions, American Research Press, Rehoboth ... Diophante qua số phương pháp giải Phạm vi nghiên cứu đề tài phương pháp giải phương trình Diophante, số phương trình Diophante cổ điển phương trình Diophante kiểu Pell Phương pháp nghiên cứu Thu thập... phương pháp giải phương trình Diophante Chương 2: Một số phương trình Diophante cổ điển Chương 3: Phương trình kiểu Pell CHƯƠNG CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE 1.1 PHƯƠNG PHÁP... việc giải phương trình Diophante, số phương trình Diophante cổ điển phương trình kiểu Pell Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài có nhiệm vụ nghiên cứu chương: – Chương giới thiệu phương pháp việc giải phương